精品解析：辽宁省鞍山市普通高中2024-2025学年高一下学期3月第一次月考数学试卷

2024-2025学年度下学期月考 高一数学 时间：90分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 设集合，，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知数据，且满足，若去掉，后组成一组新数据，则新数据与原数据相比，有可能变大的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 极差 D. 方差 4. 如图所示，在中，，若，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知集合，，若“”是“”充分不必要条件，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数是定义在的奇函数，且在上单调递增，若，则实数t的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，，的零点分别是a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则下列说法正确的是（ ） A. B. 事件与不互斥 C. 事件与相互独立 D. 事件与不一定相互独立 10. 下列结论中正确的是 （ ） A. 若幂函数的图象经过点，则 B. 函数且的图象必过定点 C. 函数的单调增区间是 D. 若幂函数，则对任意、，都有 11. PM2.5的监测值是用来评价环境空气质量的指标之一．划分等级为日均值在以下，空气质量为一级，在，空气质量为二级，超过为超标．如图是某地12月1日至10日的日均值（单位：），则下列说法正确的是（ ） A. 这10天日均值的80%分位数为60 B. 从日均值看，前5天的日均值的极差小于后5天的日均值的极差 C. 从日均值看，前5天的日均值的方差小于后5天日均值的方差 D. 这10天中日均值平均值是50 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数在上单调递增，则__________. 13. 2022北京冬奥会期间，吉祥物冰墩墩成为顶流”，吸引了许多人购买，使一“墩难求甲、乙、丙3人为了能购买到冰墩墩，商定3人分别去不同的官方特许零售店购买，若甲、乙2人中至少有1人购买到冰墩墩的概率为，丙购买到冰墩墩的概率为，则甲，乙，丙3人中至少有1人购买到冰墩墩的概率为_________． 14. 已知函数（且）的图像过定点，正实数，满足，则的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 计算下列各式值： （1）； （2）. 16. 设集合U=R，； （1）求：，； （2）设集合，若，求a的取值范围． 17. 为了解某小区居民的体育锻炼时间，随机在该小区选取了名住户，将他们上周体育锻炼的时间（单位：时）按照、、、、分成组，制成如图所示的频率分布直方图. （1）求图中的值并估计样本数据的第百分位数； （2）按分层随机抽样的方法从上周体育锻炼时间在、的住户中选取人，再从这人中任意选取人，求这人上周体育锻炼时间都不低于小时的概率. 18. 如图，在中，点满足，是线段的中点，过点的直线与边，分别交于点． （1）若，求的值； （2）若，，求的最小值． 19. 若函数在区间上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数是在区间上的“美好函数”. （1）函数；；中，哪个函数是在区间上的“美好函数”？并说明理由； （2）已知函数. ①函数是在区间上的“美好函数”，求的值； ②当时，函数是在区间上“美好函数”，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度下学期月考 高一数学 时间：90分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解指数不等式求出集合，再根据并集的定义计算可得. 【详解】由，解得，所以， 又， 所以. 故选：C 2. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件，结合平面向量共线的性质，以及向量的坐标运算法则，即可求解． 【详解】， 则，解得， 故， ． 故选：A． 3. 已知数据，且满足，若去掉，后组成一组新数据，则新数据与原数据相比，有可能变大的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 极差 D. 方差 【答案】A 【解析】 【分析】根据极差，中位数以及方差的定义即可排除BCD，举反例即可求解A. 【详解】由于，所以原来的极差为，新数据的极差为，故极差变小， 原来和新数据的中位数均为，故中位数不变， 去掉，后，数据波动性变小，故方差变小， 因此可能变大的是平均数，比如，原数据的平均数为6.6，去掉1和12后， 新数据的平均数为，但，故A正确. 故选：A 4. 如图所示，在中，，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 分析】计算到，得到答案. 【详解】. 故选：. 【点睛】本题考查了向量的基本定理的应用，意在考查学生的计算能力. 5. 已知集合，，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用充分不必要条件的定义转化为集合间的基本关系，结合一元二次不等式的解法计算即可. 【详解】由“”是“”的充分不必要条件，得A是B的真子集. 又，则必有，即，所以. 故选:D. 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求函数定义域，研究其奇偶性及的符号即可判断. 【详解】因为定义域为且，， 所以为奇函数，则图象关于原点对称，故排除B项、D项， 又，故排除C项. 故选：A. 7. 已知函数是定义在的奇函数，且在上单调递增，若，则实数t的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用奇函数性质可得及单调性性质求解即可. 【详解】因为是定义在的奇函数，且在上单调递增， 所以在上单调递增， 又， 所以， 所以，解得， 故t范围为. 故选：D. 8. 已知函数，，的零点分别是a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将，，的零点转化为函数，，与交点横坐标，做出图像即可得出结论． 【详解】令，，， 得，，， 则为函数与交点横坐标， 为函数与交点横坐标， 为函数与交点横坐标， 在同一直角坐标系中，分别做出，，和的图像，如图所示， 由图可知，， 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，则下列说法正确的是（ ） A. B. 事件与不互斥 C. 事件与相互独立 D. 事件与不一定相互独立 【答案】BC 【解析】 【分析】利用对立事件概率和为可判断错误；根据互斥事件不可能同时发生，可判断正确；根据相互独立事件的定义和性质，可以判断正确，错误. 【详解】故错误； 又所以事件与不互斥，故正确； 则事件与相互独立，故正确； 因为事件与相互独立，所以事件与一定相互独立，故错误. 故选： 10. 下列结论中正确的是 （ ） A. 若幂函数的图象经过点，则 B. 函数且的图象必过定点 C. 函数的单调增区间是 D. 若幂函数，则对任意、，都有 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用幂函数的定义可判断A选项；利用可判断B选项；利用复合函数法可判断C选项；利用作差法可判断D选项. 【详解】对于A选项，设幂函数的解析式为， 由题意可得，解得，则，A错； 对于B选项，因为， 所以，函数且的图象必过定点，B对； 对于C选项，因为内层函数的增区间为，减区间为， 外层函数为减函数，故函数的增区间为，C对； 对于D选项，幂函数，对任意的，则， 则对任意、， ， ， 所以， ， 所以，，可得， 所以，，D对. 故选：BCD. 11. PM2.5的监测值是用来评价环境空气质量的指标之一．划分等级为日均值在以下，空气质量为一级，在，空气质量为二级，超过为超标．如图是某地12月1日至10日的日均值（单位：），则下列说法正确的是（ ） A. 这10天日均值的80%分位数为60 B. 从日均值看，前5天的日均值的极差小于后5天的日均值的极差 C. 从日均值看，前5天的日均值的方差小于后5天日均值的方差 D. 这10天中日均值的平均值是50 【答案】BC 【解析】 【分析】A由百分位数的定义求80%分位数；B、C求出前后5天的极差、方差判断；C由平均值求法求10天中日均值的平均值即可. 【详解】由图知：从小到大为，而， 所以分位数为，A错误；日均值的平均值，D错误； 前5天极差为，后5天极差为，B正确； 前5天平均值为，后5天平均值为， 所以前5天的日均值的方差，后5天日均值的方差，C正确； 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数在上单调递增，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数的定义以及单调性得出，进而得出. 【详解】由题意可知，，解得，即， 故答案为： 13. 2022北京冬奥会期间，吉祥物冰墩墩成为顶流”，吸引了许多人购买，使一“墩难求甲、乙、丙3人为了能购买到冰墩墩，商定3人分别去不同的官方特许零售店购买，若甲、乙2人中至少有1人购买到冰墩墩的概率为，丙购买到冰墩墩的概率为，则甲，乙，丙3人中至少有1人购买到冰墩墩的概率为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】先算出甲乙2人均购买不到冰墩墩的概率，然后算出丙购买不到冰墩墩的概率，进而算出甲乙丙3人都购买不到冰墩墩的概率，最后算出答案. 【详解】因为甲乙2人中至少有1人购买到冰墩墩概率为，所以甲乙2人均购买不到冰墩墩的概率. 同理，丙购买不到冰墩墩的概率. 所以，甲乙丙3人都购买不到冰墩墩的概率， 于是甲乙丙3人中至少有1人购买到冰墩墩的概率. 故答案为：. 14. 已知函数（且）的图像过定点，正实数，满足，则的最小值为______. 【答案】12 【解析】 【分析】先求出函数的定点，然后得到，然后利用基本不等式求解即可. 【详解】函数的图像过定点，所以，，即， 所以， 当且仅当，时等号成立. 故答案为：12 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 计算下列各式的值： （1）； （2）. 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】（1）将根式化为分数指数幂，利用分数指数幂及根式运算法则进行计算； （2）利用对数运算性质计算出答案. 【小问1详解】 原式=； 【小问2详解】 原式. 16. 设集合U=R，； （1）求：，； （2）设集合，若，求a的取值范围． 【答案】（1），；（2）. 【解析】 【分析】 （1）首先解指数不等式和对数不等式得集合A，B，然后由集合运算法则计算； （2）求出，由是的子集，按是否为空集分类讨论． 【详解】（1）， ， ，，， （2）， （i） 时，； （ii）时， ，解得. 综上：． 【点睛】本题考查集合的运算，考查集合的包含关系．掌握集合的运算法则是解题关键，在解决集合包含关系时，要注意空集是任何集合的子集，因此可能要分类讨论． 17. 为了解某小区居民的体育锻炼时间，随机在该小区选取了名住户，将他们上周体育锻炼的时间（单位：时）按照、、、、分成组，制成如图所示的频率分布直方图. （1）求图中的值并估计样本数据的第百分位数； （2）按分层随机抽样的方法从上周体育锻炼时间在、的住户中选取人，再从这人中任意选取人，求这人上周体育锻炼时间都不低于小时的概率. 【答案】（1），第百分位数为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有矩形面积之和为可求得的值，再利用百分位数的定义可求得该样本数据的第百分位数； （2）分析可知，按分层随机抽样的方法选取人，上周体育锻炼时间在的住户被抽取人，记为、，体育锻炼时间在的住户被抽取人，记为、、，列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可取得所求事件的概率. 【小问1详解】 解：，解得. 设样本数据的第百分位数为， 因为样本数据在的频率为， 样本数据在的频率为， 则，所以，解得， 故估计样本数据的第百分位数为. 【小问2详解】 解：上周体育锻炼时间在频数为， 上周体育锻炼时间在的频数为， 按分层随机抽样的方法选取人， 则上周体育锻炼时间在的住户被抽取人，记为、， 体育锻炼时间在的住户被抽取人，记为、、， 所以从这人中随机抽取人的情况有、、、、、、、、 、，共种， 其中，事件“所抽取的人上周体育锻炼时间都不低于小时”包含的情况有、 、，共种， 则所求的概率. 18. 如图，在中，点满足，是线段的中点，过点的直线与边，分别交于点． （1）若，求的值； （2）若，，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意根据向量的线性运算法则得到，，再根据三点共线，求得即可求解. （2）根据题意得到，，结合三点共线得到，利用基本不等式“1”的妙用即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以， 因为是线段的中点，所以， 又因为，设，则有， 因为三点共线，所以，解得，即， 所以． 【小问2详解】 因为， ， 由（1）可知，，所以， 因为三点共线，所以，即， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为． 19. 若函数在区间上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数是在区间上的“美好函数”. （1）函数；；中，哪个函数是在区间上的“美好函数”？并说明理由； （2）已知函数. ①函数是在区间上的“美好函数”，求的值； ②当时，函数是在区间上的“美好函数”，求的值. 【答案】（1）和是在区间上的“美好函数”，理由见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据新定义，利用函数单调性求最值，逐个判断即可； （2）①由函数是“美好函数”，求出函数最大最小值，列出方程求解即可； ②对函数换元后转化为二次函数，分类讨论求最大最小值，列出方程求解. 【小问1详解】 因为函数在区间上单调递减，所以，， 所以，故是在区间上的“美好函数”； 因为函数在区间上单调递增，所以，， 所以，故不是在区间上的“美好函数”； 因为在区间上单调递增，所以，， 所以，故是在区间上的“美好函数”. 【小问2详解】 ①有题知. 因，所以. 令，则， 当时，函数在区间上单调递增， 此时，，所以有； 当时，函数在区间上单调递减， 此时，，所以有 综上所述，； ②由题可知，函数. 因为，所以. 令，则，. 可知此时，函数的对称轴为且开口向上 当，即时，函数在上单调递减， 此时，， 因为函数是在区间上的“美好函数”， 所以有，整理得，无解； 当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增， 又，故此时， 因为函数是在区间上的“美好函数”， 所以有，解得（舍去）； 当，即时，函数在上单调递增， 此时，， 因为函数是在上的“美好函数”， 所以有，解得. 综上所述：. 【点睛】关键点点睛：本题主要理解运用新定义，转化为求函数最大值与最小值差为5的问题，涉及指数函数单调性，二次函数分类讨论，对运算能力要求较高. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$