精品解析：2025年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校九年级中考一模数学试题

2025年3月阶段性检测 初三数学 时量：120分钟总分：120分 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列实数中，比小的是（ ） A. B. 0 C. D. 3. 为视障和听障群体提供实时节目解读和详实的背景导赏，总台2025年春晚首次推出的无障碍转播．截至1月29日8时，无障碍转播及报道全媒体触达5897万人次，将5897万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，是外角的平分线，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 某校举办“汉字听写大赛”，7名学生进入决赛，他们所得分数互不相同，比赛共设3个获奖名额，某学生知道自己的分数后，要判断自己能否获奖，他应该关注的统计量是(　　) A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 7. 将点P先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后的对应点Q的坐标为(，3)，则点P的坐标为（ ） A. ( -1，3) B. (，1) C. (2，5) D. (1，0) 8. 如图，内接于圆，点D在弧上，连接，．下列角中，与相等的是（ ） A. B. C. D. 9. 已知一次函数的图象经过点，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 10. 如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点落在斜边上的点处，已知，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 甲、乙、丙三名运动员在5次射击训练中，平均成绩都是8.5环，方差分别是，则这三名运动员中5次训练成绩最稳定的是____________（填“甲”或“乙”或“丙”） 12. 当_________时，分式有意义． 13. 如图，已知，交于，，，则的长为______． 14. 从五个数中随机选取一个数作为二次函数中的值，则二次函数图象开口向上的概率是____________． 15. 若一个圆锥的主视图如图，其中AB＝6cm，BC＝4cm，则该圆锥的侧面积为_____cm2 16. 小华整理三叠数量相同的练习本（每叠至少本），操作如下： 第一步：从左叠拿本放入中间； 第二步：从右叠拿本放入中间； 第三步：左叠现有几本，就从中间拿回几本放入左叠． 请问最终中间叠剩下的练习本数量为______． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．） 17. 计算： 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 在一个阳光明媚、清风徐来的周末，小明和小强一起到郊外放风筝﹒他们把风筝放飞后，将两个风筝的引线一端都固定在地面上的C处(如图).现已知风筝A的引线（线段AC）长20m，风筝B的引线（线段BC）长24m，在C处测得风筝A的仰角为60°，风筝B的仰角为45°. （1）试通过计算，比较风筝A与风筝B谁离地面更高？ （2）求风筝A与风筝B的水平距离. (精确到0.01 m；） 20. 春节期间，人工智能题材新闻密集发酵，广受关注，相关话题讨论持续火热，海内外模型、机器人都已获得显著的技术突破，目前人工智能市场分为：决策类人工智能；：人工智能机器人；：语音类人工智能；：视觉类人工智能四大类型．为了解人们对以上四类人工智能的兴趣，某公司就“你最关注的人工智能类型”进行了一次调查，并将调查结果绘制成如图统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）①此次共调查了______人，扇形统计图中类对应的圆心角度数为______； ②请将条形统计图补充完整； （2）将四个类型的图标依次制成、、、四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽取到的两张卡片内容一致的概率． 21. 如图，在四边形中，平分． （1）证明：； （2）已知，求的长． 22. 某网店购进水果后再销售．甲种水果每件的进价是乙种水果每件的进价的倍，花500元购进甲种水果的件数比花450元购进乙种水果的件数少5件． （1）求甲、乙两种水果每件的进货单价； （2）若该网店购进甲、乙两种水果共100件，且购买的总费用不超过4200元．甲种水果售价每件60元，乙种水果按进价的2倍标价后再打六折销售，请你帮网店设计利润最大的进货方案，并求出最大利润，说明理由． 23. 在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“杠杆”，推动“杠杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎．如图，AB为圆O的直径，AC是的一条弦，D为弧BC的中点，作于点E，交AB的延长线于点F，连接DA． （1）若，则圆心O到“杠杆EF”的距离是多少？说明你的理由； （2）若，求阴影部分的面积．（结果保留） 24. 若直线与函数的图象存在至少一个交点，则称该函数是直线的“关联函数”，它们的交点叫做“关联点”．已知点的坐标为． （1）若直线为：，它的“关联函数”的图象也是一条直线：，求“关联点”点的坐标； （2）若直线，它的“关联函数”为：，且“关联点”只有一个恰好是点，求和的值； （3）若抛物线，满足：对于抛物线上的任意两点，，当时，始终成立．且抛物线是直线的“关联函数”，“关联点”也是点和另一点，若以为直径的圆恰好与轴相切，求的值． 25. 如图1，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点是抛物线上位于直线上方的动点，过点作的垂线，垂足为，交于点． ①求的最大值； ②连接，若与相似，求点坐标； ③若点运动到抛物线顶点位置，过点作的垂线，垂足为．过点的直线与抛物线交于两点，直线分别交轴于点．试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年3月阶段性检测 初三数学 时量：120分钟总分：120分 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形与中心对称图形；一个图形绕着某固定点旋转后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形，这个固定点叫做对称中心；如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据这两个概念判断即可． 【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 2. 下列实数中，比小的是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了实数大小的比较；根据两个负数相比较，绝对值大的反而小，零大于一切负数，即可完成． 【详解】解：∵， 且， ∴， 故选：D． 3. 为视障和听障群体提供实时节目解读和详实的背景导赏，总台2025年春晚首次推出的无障碍转播．截至1月29日8时，无障碍转播及报道全媒体触达5897万人次，将5897万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了把绝对值大于1的数用科学记数法表示，关键是确定 n与a的值．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，它等于原数的整数数位与1的差．据此即可解答． 【详解】解：5897万； 故选：B． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的除法、幂的乘方、二次根式的加法及完全平方公式，掌握这些基础知识是解题的关键；根据上述知识，逐项计算即可． 【详解】解：A、，故计算正确，符合题意； B、不是同类二次根式，不能合并，故计算错误，不符合题意； C、，故计算错误，不符合题意； D、，故计算错误，不符合题意； 故选：A． 5. 如图，在中，是外角的平分线，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形外角的性质；由角平分线可求得，再由三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵是外角的平分线，， ∴； ∵，， ∴； 故选：B． 6. 某校举办“汉字听写大赛”，7名学生进入决赛，他们所得分数互不相同，比赛共设3个获奖名额，某学生知道自己的分数后，要判断自己能否获奖，他应该关注的统计量是(　　) A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】B 【解析】 【分析】由于比赛设置了3个获奖名额，共有7名选手参加，故应根据中位数的意义分析． 【详解】解：因为3位获奖者的分数肯定是7名参赛选手中最高的， 而且7个不同的分数按从小到大排序后，中位数之后的共有3个数， 故只要知道自己的分数和中位数就可以知道是否获奖了． 故选． 【点睛】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数、方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用． 7. 将点P先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后的对应点Q的坐标为(，3)，则点P的坐标为（ ） A. ( -1，3) B. (，1) C. (2，5) D. (1，0) 【答案】C 【解析】 【分析】把原来的平移方向改变，让Q的横坐标加3，纵坐标加2即可得到点P的坐标． 【详解】把点Q向右平移3个长度单位，再向上平移2个长度单位，则对应点P点的横坐标为-1+3=2；纵坐标为3+2=5； ∴点P的坐标为（2，5）， 故选C． 【点睛】本题考查点坐标的平移变换，用到的知识点为：左右平移只改变点的横坐标，左减右加；上下平移只改变点的纵坐标，上加下减；注意求原来点的坐标应把平移方向改变． 8. 如图，内接于圆，点D在弧上，连接，．下列角中，与相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，熟练掌握圆内角度的关系是解题关键． 同弧或等弧所对的圆周角相等，从同弧或等弧的角度去寻找相等的角即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C． 9. 已知一次函数的图象经过点，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象性质，根据一次函数的，得出 随的增大而增大，再结合，得出，即可作答． 【详解】解：，依题意，一次函数的， ∴ 随的增大而增大， ∵点在一次函数的图象上，且， ∴， 故选：A． 10. 如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点落在斜边上的点处，已知，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了折叠、勾股定理、含的直角三角形的性质，找准相等关系是解题的关键． 根据折叠得到，，再结合含的直角三角形的性质和勾股定理即可求解． 【详解】解：由折叠的性质可知：，，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， 根据勾股定理，得， ∴， 解得：． ∴．   故选：A ． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 甲、乙、丙三名运动员在5次射击训练中，平均成绩都是8.5环，方差分别是，则这三名运动员中5次训练成绩最稳定的是____________（填“甲”或“乙”或“丙”） 【答案】乙 【解析】 【分析】本题考查了根据方差判断数据的稳定性；方差越小，数据的波动程度越小；比较三人训练成绩的方差大小即可判断稳定性． 【详解】解：由于三人的平均成绩都是环，且， 所以乙的训练成绩更稳定； 故答案为：乙． 12. 当_________时，分式有意义． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件、二次根式有意义的条件等知识点，掌握分式的有意义的条件为分母不等于零、二次根式的被开方数大于等于零是解题的关键． 根据分式和二次根式有意义的条件求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴，解得：． 故答案为：． 13. 如图，已知，交于，，，则的长为______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 由得到，则代入数据即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 解得：， 故答案为：9． 14. 从五个数中随机选取一个数作为二次函数中的值，则二次函数图象开口向上的概率是____________． 【答案】##0.6 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，简单事件的概率；根据二次函数图象性质知，当时，函数图象开口向上；五个数中任取一个有5种等可能的情况，其中取到正数的有3种等可能的情况，从而可求得概率． 【详解】解：由题意知，当时，二次函数图象开口向上； 而五个数中任取一个有5种等可能的情况，其中取到正数的有3种等可能的情况， 所以二次函数图象开口向上的概率为； 故答案为：． 15. 若一个圆锥的主视图如图，其中AB＝6cm，BC＝4cm，则该圆锥的侧面积为_____cm2 【答案】12π 【解析】 【分析】先根据主视图得出圆锥底面圆的半径为 ，母线长为 ，再根据圆锥的侧面积公式 即可求得答案. 【详解】由题意可知：圆锥的底面半径为 ，母线长为 根据圆锥的侧面积公式： 故答案为 【点睛】本题主要考查了由三视图判断几何体及圆锥的计算，掌握圆锥的侧面积计算公式和圆锥的三视图是解题关键. 16. 小华整理三叠数量相同的练习本（每叠至少本），操作如下： 第一步：从左叠拿本放入中间； 第二步：从右叠拿 本放入中间； 第三步：左叠现有几本，就从中间拿回几本放入左叠． 请问最终中间叠剩下的练习本数量为______． 【答案】本 【解析】 【分析】本题了列代数式，认真审题理解各种语句间的数量关系是解题的关键． 根据题意设练习本共有本，则每堆练习本本（），再根据题要求，步步列出数据数值解答即可． 【详解】解：由分布左、中、右三堆练习本，每堆牌不少于本，且各堆练习本的本数相同， 设练习本共有本，则每堆练习本本（）， 第一步：从左叠拿本放入中间， 则左：（本），中：（本），右本； 第二步：从右叠拿 本放入中间， 则左：（本），中：（本），右（本）； 第三步：左叠现有几本，就从中间拿回几本放入左叠， 则左：（本），中：（本），右（本）； 所以，中间一堆练习本现有的本数为（本）， 故答案为：本． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，涉及算术平方根、负整数指数幂、实数的绝对值及乘方的计算，掌握这些知识，并正确计算是关键；依次计算乘方、算术平方根、负整数指数幂、实数的绝对值，最后进行加法运算即可． 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先算小括号里面的，然后算括号外面的，最后代入求值． 【详解】解：原式 当时 ∴原式． 【点睛】本题考查分式的化简求值，掌握分式混合运算的运算顺序和计算法则是解题的关键． 19. 在一个阳光明媚、清风徐来的周末，小明和小强一起到郊外放风筝﹒他们把风筝放飞后，将两个风筝的引线一端都固定在地面上的C处(如图).现已知风筝A的引线（线段AC）长20m，风筝B的引线（线段BC）长24m，在C处测得风筝A的仰角为60°，风筝B的仰角为45°. （1）试通过计算，比较风筝A与风筝B谁离地面更高？ （2）求风筝A与风筝B的水平距离. (精确到0.01 m；） 【答案】（1）风筝A比风筝B离地面更高 （2）6.97米 【解析】 【详解】解：（1）分别过A，B作地面的垂线，垂足分别为D，E．在Rt△ADC中， ∵AC﹦20，∠ACD﹦60°， ∴AD﹦20×sin 60°﹦10≈17.32m 在Rt△BEC中， ∵BC﹦24，∠BCE﹦45°， ∴BE﹦24×sin 45°﹦12≈16.97 ∵17.32>16.97 ∴风筝A比风筝B离地面更高． …………………………………………3分 （2）在Rt△ADC中， ∵AC﹦20，∠ACD﹦60°， ∴DC﹦20×cos 60°﹦10 m 在Rt△BEC中， ∵BC﹦24，∠BEC﹦45°，∴EC﹦BC≈16.97 m ∴EC－DC≈16.97－10﹦6.97m 即风筝A与风筝B的水平距离约为6.97m．………………………3分 20. 春节期间，人工智能题材新闻密集发酵，广受关注，相关话题讨论持续火热，海内外模型、机器人都已获得显著的技术突破，目前人工智能市场分为：决策类人工智能；：人工智能机器人；：语音类人工智能；：视觉类人工智能四大类型．为了解人们对以上四类人工智能的兴趣，某公司就“你最关注的人工智能类型”进行了一次调查，并将调查结果绘制成如图统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）①此次共调查了______人，扇形统计图中类对应的圆心角度数为______； ②请将条形统计图补充完整； （2）将四个类型的图标依次制成、、、四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽取到的两张卡片内容一致的概率． 【答案】（1）①；； ②补全条形统计图如图所示： （2） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联、用列表法或树状图法求概率、求扇形统计图圆心角度数，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）①用类的人数除以所占的百分比即可得出总人数，用乘以类所占的比例即可得出圆心角度数；②求出类的人数，再补全条形统计图即可； （2）画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：①此次共调查了人，扇形统计图中C类对应的圆心角度数为； ②类的人数为（人）， 故答案为：；； 【小问2详解】 解：画出树状图如下： ， 由树状图可得，共有种等可能出现的结果，其中抽取到的两张卡片内容一致的情况有， ∴抽取到的两张卡片内容一致的概率为． 21. 如图，在四边形中，平分． （1）证明：； （2）已知，求的长． 【答案】（1） 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴ ∴； （2） 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，证明是解题的关键． （1）由平分得到，由得到，即可证明结论； （2）由得到，，由勾股定理得到，根据即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵ ∴，， ∴， ∵，即， 解得：． 22. 某网店购进水果后再销售．甲种水果每件的进价是乙种水果每件的进价的倍，花500元购进甲种水果的件数比花450元购进乙种水果的件数少5件． （1）求甲、乙两种水果每件的进货单价； （2）若该网店购进甲、乙两种水果共100件，且购买的总费用不超过4200元．甲种水果售价每件60元，乙种水果按进价的2倍标价后再打六折销售，请你帮网店设计利润最大的进货方案，并求出最大利润，说明理由． 【答案】（1）乙种水果每件的进价为元，则甲种水果每件的进价为元 （2）购进甲种水果件，购进乙种水果件，最大利润为元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一次函数的应用，理解题意，正确列出分式方程，求出一次函数的解析式是解此题的关键． （1）设乙种水果每件的进价为元，则甲种水果每件的进价为元，根据题意列出分式方程，解方程即可得解； （2）设购进甲种水果件，则购进乙种水果件，由题意列出一元一次不等式，解不等式即可得出，设购进的两种水果全部售出后获得的总利润为元，则，再由一次函数的性质即可得解． 【小问1详解】 解：设乙种水果每件的进价为元，则甲种水果每件的进价为元， 由题意可得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴， ∴乙种水果每件的进价为元，则甲种水果每件的进价为元； 【小问2详解】 解：设购进甲种水果件，则购进乙种水果件， 由题意可得：， 解得：， 设购进的两种水果全部售出后获得的总利润为元， 由题意可得：， 则， ∵， ∴随着的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为，此时， ∴利润最大的进货方案为：购进甲种水果件，购进乙种水果件，最大利润为元． 23. 在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“杠杆”，推动“杠杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎．如图，AB为圆O的直径，AC是的一条弦，D为弧BC的中点，作于点E，交AB的延长线于点F，连接DA． （1）若，则圆心O到“杠杆EF”的距离是多少？说明你的理由； （2）若，求阴影部分的面积．（结果保留） 【答案】（1）45cm； （2）． 【解析】 【分析】（1）连接AD，证明，即圆心O到EF的距离为OD，再求出OD即可； （2）设，求出，作交AB于点H，求出，，即可求出阴影面积． 【小问1详解】 解：连接AD， ∵D为弧BC的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即圆心O到EF的距离为OD， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 作交AB于点H， ∴， ∵， ∴， ∴S阴影． 【点睛】本题考查平行线的判定及性质，等弧所对的圆周角相等，解直角三角形，分割法求阴影部分的面积，（1）的关键是证明；（2）的关键是求出DH，OA的长度，理解阴影部分的面积包括扇形和三角形两部分． 24. 若直线与函数的图象存在至少一个交点，则称该函数是直线的“关联函数”，它们的交点叫做“关联点”．已知点的坐标为． （1）若直线为：，它的“关联函数”的图象也是一条直线：，求“关联点”点的坐标； （2）若直线，它的“关联函数”为：，且“关联点”只有一个恰好是点，求和的值； （3）若抛物线，满足：对于抛物线上的任意两点，，当时，始终成立．且抛物线是直线的“关联函数”，“关联点”也是点和另一点，若以为直径的圆恰好与轴相切，求的值． 【答案】（1）； （2），或，； （3）． 【解析】 【分析】（）联立，然后解出方程的解即可； （ ）联立联立，得，然后分当时和当时两种情况，求出的值即可； （）由时，始终成立，则抛物线的对称轴为直线，即，由关联点的坐标为，则抛物线解析式为，直线解析式为，联立，求出点的坐标为，设圆的半径为，又圆恰好与轴相切，则，然后求出的值即可． 【小问1详解】 解：联立， 解得:， ∴； 【小问2详解】 ∵直线的“关联函数”为且“关联点”只有一个恰好是点， ∴， ∴，， 联立， 得， 当时， ∴， 当时， ∴， ∴； ∴， 综上可知：，或，； 【小问3详解】 解：∵当时，始终成立， ∴抛物线的对称轴为直线，即， ∴， ∵关联点的坐标为， ∴，， ∴，， ∵抛物线解析式为，直线解析式为， 联立， 整理得， ∵， ∴解得：，， ∴点的坐标为， 设圆的半径为， ∵以为直径的圆，点的坐标为， ∴，圆心坐标为， ∵圆恰好与轴相切， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了新定义下的二次函数的综合运用，理解新定义，切线的性质，二次函数与一元二次方程，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 25. 如图1，抛物线与轴交于两点，与 轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点是抛物线上位于直线上方的动点，过点作的垂线，垂足为，交于点． ①求的最大值； ②连接，若与相似，求点坐标； ③若点运动到抛物线顶点位置，过点作的垂线，垂足为．过点的直线与抛物线交于两点，直线分别交轴于点．试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）； （2）①；②或；③是定值，16 【解析】 【分析】（1）两点式设出函数解析式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）①求出直线的解析式，设出点坐标，将的长转化为二次函数求最值即可； ②易得为等腰直角三角形，根据相似得到也为等腰直角三角形，分两种情况进行讨论求解即可； ③求出的坐标，设过点的直线为：，联立直线和抛物线的解析式，求出的坐标，设过点的直线的解析式为，分别求出点的坐标，进而求出的值，再进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于两点，与 轴交于点， ∴设抛物线的解析式为：，把，代入，得：， ∴， ∴； 【小问2详解】 设， ①∵，， ∴设直线的解析式为，把代入，得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，得值最大为：； ②∵，， ∴， ∴， ∵轴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴当与相似时，也为等腰直角三角形： 当时，则：， ∴轴， 即：关于对称轴对称， ∵， ∴对称轴为直线， ∵， ∴； 当时，过点作，则：， 由①知：， ∴， 解得：或（舍去）， ∴； 综上：或； ③是定值： ∵， ∴， ∴，， 由②可知：， 设过点的直线为：， 联立 ，解得： 或， 不妨设，， 设过点的直线解析式为：， 当时，， 把代入，得：， 解得：， ∴， 同理：当点在上时， ∴， 由题意可知：点分别在点的两旁， 不妨设点在点的左边，点在点的右边， 则：，， ∴； ∴是定值，为16． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，求二次函数的最值，相似三角形的判定和性质，求函数与坐标轴的交点问题等知识点，综合性强，计算量大，属于压轴题，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $