浙江省金丽衢十二校2024-2025学年高三下学期第二次联考数学试题

保密★考试结束前 金丽衢十二校2024学年高三第二次联考 数 学 试 题 命题人：永康一中 颜熙 高雄略 审核：浦江中学 本卷分选择题和非选择题两部分，考试时间为120分钟，试卷总分为150分，请考生将所有试题的答案涂、写在答题纸上。 选择题部分 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合，则（ ▲ ） A． B． C． D． 2．已知向量，则的值为（ ▲ ） A． B． C．1 D．2 3．已知复数满足，则为（ ▲ ） A． B．1 C． D．2 4．若圆锥的轴截面是一个边长为4的等边三角形，则它的体积为（ ▲ ） A． B． C． D． 5．已知函数，则（ ▲ ） A． B． C．1 D．e 6．已知两条相交直线，在平面内，在平面外．设的夹角为，直线与平面所成角为，．则由确定的平面与平面夹角的大小为（ ▲ ） A． B． C． D． 7．设抛物线的焦点为，斜率为的直线与抛物线交于两点，若，则的值为（ ▲ ） A．0 B． C． D． 8．在中，“”是“为直角”的（ ▲ ） A．充分但非必要条件 B．必要但非充分条件 C．充要条件 D．既非充分条件也非必要条件 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．设，则下列说法正确的有（ ▲ ） A． B． C．该二项式的所有二项式系数之和为64 D． 10．已知函数，下列说法正确的有（ ▲ ） A．的最小正周期为 B．是偶函数 C．在区间上单调递减 D．在上的值域为 11．已知正项等差数列与正项等比数列首项相等，且满足，则下列说法中正确的有（ ▲ ） A．的公比为2 B．，使得 C．对，数列为递增数列 D． 非选择题部分 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知椭圆的上顶点与右顶点分别为，若直线的倾斜角为，则的离心率为 ▲ ． 13．已知函数在处取得极大值，在处取得极小值，若在上的最大值为，则的最大值为 ▲ ． 14．有6张卡片，正面分别写有数字1，2，3，4，5，6，且背面均写有数字7．先把这些卡片正面朝上排成一排，且第个位置上的卡片恰好写有数字．然后掷一颗均匀的骰子，若点数为，则将第个位置上的卡片翻面并置于原处．进行上述实验3次，发现卡片朝上的数字之和为偶数，在这一条件下，计算骰子恰有一次点数为2的概率为 ▲ ． 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本题满分13分） 为了了解高中学生语文与数学成绩之间的联系，从某学校获取了400名学生的成绩样本，并将他们的数学和语文成绩整理如表： 单位：人 数学成绩 语文成绩 不优秀 优秀 不优秀 180 90 优秀 50 80 （1）依据的独立性检验，能否认为学生的数学成绩与语文成绩有关联？ （2）以顾率估计概率、从全市高中所有数学不优秀的学生中随机抽取5人，设其中恰有位学生的语文成绩优秀，求随机变量的分布列以及数学期望． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 附： 16．（本题满分15分） 已知等轴双曲线的左右焦点分别为，经过点的直线与的渐近线相交于点，点的横坐标为，是线段的中点，经过点的直线与相交于两点． （1）求双曲线的方程； （2）当的面积为时，求的方程． 17．（本题满分15分） 如图，在等腰直角三角形中，，，为的中点，分别为边上一点，满足．将分别沿着翻折成，满足在平面的同一侧，面面． （1）证明：共面； （2）在线段上是否存在一点（异于端点），满足平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由； （3）在（2）的情况下，求直线与平面所成角的正弦值． 18．（本题满分17分） 已知，函数． （1）若曲线在处的切线方程为，求的值； （2）若函数在上单调递增，求的取值范围； （3）若对，函数至多有两个零点，求的取值范围． 19．（本题满分17分） 对任意给定的，若有穷数列满足：其中．则称该数列为“数列”． （1）当时，是否存在符合条件的“数列”？若存在，请求出所有的符合条件的“数列”：若不存在，请说明理由： （2）证明：（i）； （ii）当时，任意符合条件的“数列”都满足； （3）当时，求出所有的“数列”． 数学试题卷 第 1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$金丽衢十二校2024学年高三第二次联考 数学参考答案及评分标准 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 日 C c A B 夕 ◇ 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9 10 11 ACD ABD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 6 13.4 14.3 6 四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.解：(1)假设H。:学生的数学成绩与语文无关… …1分 x2=400x080×80-90×50Y-14520 ≈28.57>3.841…3分 270×130×230×1705083 故拒绝原假设，即认为学生的数学成锁与语文成锁有关联，这一结论有5%的概率出错. …5分 (2)设抽取到的语文成绩优秀的学生恰有X人，则X~B5, …7分 0 2 3 4 5 32 80 80 40 10 1 243 243 243 243 243 243 因此机变量X的分布列为K=小G)(份 k=0,123,45小…11分 所以随机变量X的数学期望为E(X)=5×二= …13分 33 16()由题可知a=6=号。，因此点M的坐标为，放学》， 2 代入渐近线方 程y=x可得c=2所以C的方程为号上 22 …5分 数学参考答案第1页（共4页) (2)由于直线1不与y轴垂直，不妨设为x=y-2,与C方程联立得2-b少2-4+2=0， 41 2-1≠0，△=80+小0， …8分 2 为=2-可 4=i+7-为=+斤.22.P+ 4 2- d5= P+l 因此Ss-hdg45P于4 …13分 2- （5=22cb-为亦可) 解得1=2， 所以直线1的方程为x+2y+2=0或x-2y+2=0…15分 17.解：(1)延长OD,CE相交于点A,由题可知DE∥CO,DE=C0,因此AD=号A0 3 由于AD⊥面CODE,BO⊥面CODE,故DIIBO.而D=BO,故AA,B共线.所以 3 ,B,C,E共面.… …3分 (2)由(1)得AD∥BO.BOc面BOC,ADt面BOC,因此AD∥面BOC.5分 同理可得ED∥面BOC,而D∩ED=D,因此面NDE∥面BOC…6分 又由(1)得A,B,C,E共面枚AE∥BC取BC上靠近B的三等分点F,可得E=BF因 此四边形BEF为平行四边形.…8分 故EF∥AB,又EF丈面ADOB,NBc面ADOB. 所以EF∥面ADOB,…10分 (3)由(2)得直线CE与平面ODF所成角即直线AC与平面OAF所成角 作CH⊥OF与OF相交于点H.由BO⊥面CODE得BO⊥OA,又CO⊥OA,BO∩CO=O, 故OA⊥面OBC,…12分 因此OA⊥CH. 又OA∩OF=O,故CH⊥面OAF,所以∠CAH就是直线AC与平面OAF所成角.…14分 在ABOC中，可计算得CH=5 .又在△CHA中，CH⊥AH，AC=32,因此 sin∠CAH= 四，即直线CE与平面ODF所成角的正弦位为 …15分 5 18.(1)由题意得f0)=b-a=2.… …1分 f(x)=(1-xe-ae,故f何)=1-a=2得a=-l.…3分 所以b=1,a+b=0. (2)x)=0-xe-a心≥0白a≤自-xe2.…5分 数学参考答案第2页（共4页) 令g)=(0-x兆2，g()=(2x-32.…6分 故当x(引时，g<0,6单调遂减：当x[侵+四时，g6>0,&)单调选 增。 …7分 2e 所以a5-2京，经检验，符合思意。 …8分 (3)方法一：①油(2)得当a≤- 2元时，儿)单调递增，故至多一个零点，符合题意： …9分 ②当a≥0时，∫'(x)>0一a<g(x),由于当x→-o时，g(x)→+o,当x→+o时， g(→0…10分 设g)=a,可得f)在(0，)上单调递减，在(o,+)上单调递增，因此至多两个零点， 符合题意；… …12分 @当a气200时，8=a存在两个不同零点，设为，<小，可得/问在(0， 上单调递增，在(，2)上单调递减，在(x2,+∞)上单调递增.…l4分 而当x→-0时，fx)→-0，当x→+o时，fx)→+0. 枚当b∈(x)-》时，函数x)存在三个不同零点，舍去…16分 (两端极限未判断的不扣分) 综上所达，a02]b以 …17分 方法二：由题意可得f()=(-xe-a心至多有一个零点，即曲线y=g()与直线y=a至 多一个交点. …13分 由（2)得在（引上单调道减，在传+回上单调递增面当侵网）时 8(2这0小：当x→m时，g→w …16分 所以ae(2]U0+o小. …17分 19.(1)当n=1时，a=Xo儿a=0 f0,a1￥0 可知不存在“D数列”，…1分 当n=2时，若a=0,考虑到a=X10+X20=1+X20≠0，矛盾；若a≠0，则 a=X10+X20=0+X20=X20≤1，因此只能4=X20=1，故a2=0,但是此时 a2=X1+X21=1+0=1,矛盾.所以不存在“D数列”.…3分 (2)由题意可知an≤nm≤n且m∈N)… …4分 数学参考答案第3页（共4页） 假设k≤n满足ak=n,则Xmk-1=1付m≤)即am=k-1付m≤n）,这与a=n矛盾. ……5分 因此an≤n-lm≤n且meNr）,枚2Xn=ksn且keN),…6分 所以 0*ta-宫+2+22宫*含n …8分 (间设a=m≤m≤n-小，①当m≥号时，可知a4<m2≤k≤m,keN）否则与0矛盾，故 a1-21,因此2X21.而若西l,则名=l,得a22不.所以 a222:… …l0分 EX-1, 2 因此a2=∑X1=n-m-222.…12分 综上所述，当n≥7时，任意符合条件的“D数列”都满足a2≥2 (3)由(2)得当a,=m(≤m≤19)时，) 2Xu18=m,kat时e=8-m,a a41=1. ①当m=1时，a2=18-m=17≠am1'舍去： 4…13分 ②当m=2时，a2=16,a=1,而此时 2X=15,枚0,234与0矛盾，金 =I …小4分 20 ③当m>2时，恰满足4+a2+a+a1=n,故其他项均为0，可知a,-∑Xk0=l6,即 m=16。 …16分 因此a2=2,a3=1,a17=1,其他项均为0.综上所述，当n=20时，只有个符合题意的“D 数列”，即为16,21,0.0,0,0,0,0,0,0,0,0.0,0,0,1,0,0,0}…17分 数学参考答案第4页（共4页)