第1章 空间向量与立体几何 测评卷(教用Word)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

第一章测评卷 (时间:120分钟　满分:150分) 　　　　　　　　　　　　　　 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.在长方体ABCD⁃A1B1C1D1中,等于(A) A. B. C. D. 解析　。 2.已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(1,3,λ),若a,b,c三向量共面,则实数λ等于(A) A.1 B.2 C.3 D.4 解析　若向量a,b,c共面,则c=xa+yb,其中x,y∈R,即(1,3,λ)=(2x,-x,3x)+(-y,4y,-2y)=(2x-y,-x+4y,3x-2y),则有 3.已知四边形ABCD满足:<0,<0,<0 ,<0,则该四边形为(D) A.平行四边形 B.梯形 C.长方形 D.空间四边形 解析　由已知条件可知四边形ABCD中,∠ABC,∠BCD,∠ADC和∠BAD均为锐角,而在平面四边形中任一四边形的内角和均为360°,这与已知条件矛盾,所以该四边形一定为空间四边形。故选D。 4.如果平面的一条斜线和它在这个平面上的投影的方向向量分别是a=(1,0,1),b=(0,1,1),那么,这条斜线与平面所成的角是(D) A.90° B.30° C.45° D.60° 解析　cos<a,b>=,所以<a,b>=60°。 5.在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,M是棱DD1的中点,点O为底面ABCD的中心,P为棱A1B1上任一点,则异面直线OP与AM所成的角的大小为(C) A. B. C. D. 解析　如图,以D为原点,建立空间直角坐标系,设||=1,则A(1,0,0),M,O,P(1,y,1),则,,所以·=0,所以OP⊥AM。 6.设a1=2m-j+k,a2=m+3j-2k,a3=-2m+j-3k,a4=3m+2j+5k,其中m,j,k是两两垂直的单位向量,若a4=λa1+μa2+va3,则实数λ,μ,v的值分别是(B) A.1,-2,3 B.-2,1,-3 C.-2,1,3 D.-1,2,3 解析　由题意知,a4=2λm-λj+λk+μm+3μj-2μk-2vm+vj-3vk=3m+2j+5k,所以 7.已知空间三点O(0,0,0),A(-1,1,0),B(0,1,1),在直线OA上有一点H满足BH⊥OA,则点H的坐标为(C) A.(-2,2,0) B.(2,-2,0) C. D. 解析　由=(-1,1,0),且点H在直线OA上,可设H(-λ,λ,0),则=(-λ,λ-1,-1)。又BH⊥OA,所以·=0,即(-λ,λ-1,-1)·(-1,1,0)=0,即λ+λ-1=0,解得λ=,所以H。故选C。 8.如图,在四棱锥P⁃ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AB⊥AD,BC∥AD,且AB=BC=2,AD=3,PA⊥平面ABCD且PA=2,则PB与平面PCD所成角的正弦值为(C) A. B. C. D. 解析　 依题意,以A为原点,分别以AB,AD,AP为x,y,z轴建立空间直角坐标系。AB=BC=2,AD=3,PA=2,则P(0,0,2),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,3,0),从而=(2,0,-2),=(2,2,-2),=(0,3,-2),设平面PCD的法向量为n=(a,b,c),则不妨取c=3,则a=1,b=2,所以平面PCD的一个法向量为n=(1,2,3),所以PB与平面PCD所成角的正弦值为sin θ=|cos<,n>|=。 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。 9.已知向量a=(1,1,-1),b=(2,-1,0),c=(0,1,-2),则下列结论正确的是(ABD) A.a·(b+c)=4 B.(a-b)·(b-c)=-8 C.记a与b-c的夹角为θ,则cos θ= D.若(a+λb)⊥c,则λ=3 解析　由题意得,a·(b+c)=(1,1,-1)·(2,0,-2)=2+0+2=4,(a-b)·(b-c)=(-1,2,-1)·(2,-2,2)=-2-4-2=-8。因为a·(b-c)=(1,1,-1)·(2,-2,2)=2-2-2=-2,|a||b-c|==6,所以cos θ=。因为(a+λb)⊥c,所以(a+λb)·c=(1+2λ,1-λ,-1)·(0,1,-2)=1-λ+2=0,解得λ=3。综上可知,选项A,B,D正确。 10.如图,在三棱柱ABC⁃A1B1C1中,设=a,=b,=c,M是A1B的中点,点N在CM上,且CN∶CM=1∶4,用基底{a,b,c}表示下列各向量,其中正确的是(BCD) A.(a+b) B.=a+b-c C.a+b-c D.a+b-c 解析　=a-b,=()+=-c+b+a。因为M是A1B的中点,点N在CM上,且CN∶CM=1∶4,所以=()+=(-c+b)+()=(-c+b)+(-b+a)=a+b-c,所以=-a+a+b-c。 11.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A⁃BD⁃C,则在四面体ABCD中,下列四个结论正确的是(ABD) A.AC⊥BD B.△ACD是等边三角形 C.AB与平面BCD所成的角为 D.AB与CD所成的角为 解析　 如图所示,建立空间直角坐标系Oxyz,设正方形ABCD的边长为,则D(1,0,0),B(-1,0,0),C(0,0,1),A(0,1,0),所以=(0,-1,1),=(2,0,0),·=0,故AC⊥BD,A正确。又|,|,|,所以△ACD为等边三角形,B正确。对于C,为平面BCD的一个法向量,cos<,,所以AB与平面BCD所成的角为,故C错误。因为cos<,,异面直线所成的角为锐角或直角,所以AB与CD所成的角为,故D正确。 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 12.已知平面α的一个法向量为n=(1,-1,0),则y轴与平面α所成的角的大小为  。  解析　y轴的一个方向向量为s=(0,1,0),cos<n,s>=,即y轴与平面α所成角的正弦值是,故其所成的角的大小是。 13.两个非零向量a,b,定义|a×b|=|a||b|sin<a,b>。若a=(1,0,1),b=(0,2,2),则|a×b|= 2 。  解析　因为|a|=,|b|=,a·b=2,所以cos<a,b>=,故sin<a,b>=,所以|a×b|=。 14. 如图所示,在直三棱柱ABC⁃A1B1C1中,底面是以∠ABC为直角的等腰三角形,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中点,点E在棱AA1上,要使CE⊥平面B1DE,则AE= a或2a 。  解析　 建立如图所示的空间直角坐标系,则A(a,0,0),B1(0,0,3a),C(0,a,0)。设点E的坐标为(a,0,z)(0≤z≤3a),则=(a,-a,z),=(a,0,z-3a),由,得2a2+z2-3az=0,解得z=a或z=2a,即AE=a或2a。 四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分)已知空间四边形OABC中,M,N分别是OA,BC的中点,点G在MN上且MG=2GN,如图,设=a,=b,=c,试用{a,b,c}为基底表示。 解　()=a+a-a+c+b-c=a+b+c。 16.(本小题满分15分)如图,已知直三棱柱ABC⁃A1B1C1中,AC⊥BC,D为AB的中点,AC=BC=BB1。求证: (1)BC1⊥AB1; (2)BC1∥平面CA1D。 证明　 如图,以C1为原点,分别以C1A1,C1B1,C1C所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系。设AC=BC=BB1=2,则A(2,0,2),B(0,2,2),C(0,0,2),A1(2,0,0),B1(0,2,0),C1(0,0,0),D(1,1,2)。 (1)由于=(0,-2,-2),=(-2,2,-2),所以·=0-4+4=0,因此,即BC1⊥AB1。 (2)取A1C的中点E,连接DE,由于E(1,0,1),所以=(0,1,1),又=(0,-2,-2),所以,所以,所以ED∥BC1,又DE⊂平面CA1D,BC1⊄平面CA1D,故BC1∥平面CA1D。 17.(本小题满分15分)如图,在边长为4的正三角形ABC中,E,F分别为BC和AC的中点,PA=2,且PA⊥平面ABC,设Q是CE的中点。 (1)求证:AE∥平面PFQ; (2)求AE与平面PFQ间的距离。 解　 (1)证明:如图所示,以A为原点,平面ABC内垂直于AC边的直线为x轴,AC所在直线为y轴,AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系。因为AP=2,AB=BC=AC=4,E,F分别是BC,AC的中点,所以A(0,0,0),B(2,2,0),C(0,4,0),F(0,2,0),E(,3,0),Q,P(0,0,2)。因为,=(,3,0),所以。因为AE与FQ无交点,所以AE∥FQ。又FQ⊂平面PFQ,AE⊄平面PFQ,所以AE∥平面PFQ。 (2)由(1)知,AE∥平面PFQ,所以点A到平面PFQ的距离就是AE与平面PFQ间的距离。设平面PFQ的法向量为n=(x,y,z),则=(0,2,-2),,所以令y=1,则x=-,z=1,所以平面PFQ的一个法向量为n=(-,1,1)。又,所以所求距离为。 18.(本小题满分17分)如图,在四棱锥P⁃ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,AB∥DC,AD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC的中点。 (1)求证:BE⊥DC; (2)若F为棱PC上一点,满足BF⊥AC,求平面FAB与平面ABP夹角的余弦值。 解　(1)证明:依题意,以点A为原点建立空间直角坐标系(如图),可得A(0,0,0),B(1,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2)。由E为棱PC的中点,得E(1,1,1),所以=(0,1,1),=(2,0,0),因为·=0,所以BE⊥DC。 (2)=(1,2,0),=(-2,-2,2),=(2,2,0),=(1,0,0)。由点F在棱PC上,设=λ(0≤λ≤1),故+λ=(1-2λ,2-2λ,2λ)。由BF⊥AC,得·=2(1-2λ)+2(2-2λ)=0,解得λ=,即。设n1=(x,y,z)为平面FAB的法向量,则不妨令z=1,可得n1=(0,-3,1)为平面FAB的一个法向量。易知向量n2=(0,1,0)为平面ABP的一个法向量,则cos<n1,n2>=。所以平面FAB与平面ABP夹角的余弦值为。 19.(本小题满分17分)空间中,两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系,如果坐标系中有两条坐标轴不垂直,那么这样的坐标系称为“斜坐标系”。现有一种空间斜坐标系,它任意两条数轴的夹角均为60°,我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”。我们类比空间直角坐标系,定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标:i,j,k分别为“斜60°坐标系”下三条数轴(x轴、y轴、z轴)正方向的单位向量,若向量n=xi+yj+zk,则n与有序实数组(x,y,z)相对应,称向量n的斜60°坐标为[x,y,z],记作n=[x,y,z]。 (1)若a=[1,2,3],b=[-1,1,2],求a+b的斜60°坐标; (2)在平行六面体ABCD⁃A1B1C1D1中,AB=AD=2,AA1=3,∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°,N为线段D1C1的中点。如图,以{,,}为基底建立“空间斜60°坐标系”。 ①求的斜60°坐标; ②若=[2,-2,0],求与夹角的余弦值。 解　(1)由a=[1,2,3],b=[-1,1,2],知a=i+2j+3k,b=-i+j+2k,所以a+b=(i+2j+3k)+(-i+j+2k)=3j+5k,所以a+b=[0,3,5]。 (2)设i,j,k分别为与,,同方向的单位向量,则=2i,=2j,=3k, ①=2j+3k-i=-i+2j+3k,所以=[-1,2,3]。 ②因为=[2,-2,0],所以=2i-2j,则||=|2i-2j|==2,因为|,所以·=(-i+2j+3k)·(2i-2j)=4i·j+6i·k-2i2-4j2-6k·j+2i·j=-3,cos<,,所以的夹角的余弦值为-。 学科网（北京）股份有限公司 $$