浙江省宁波十校2024-2025学年高三下学期3月联考数学试题

宁波“十校”2025届高三3月联考 数学参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 题号 2 3 4 6 7 8 答案 D C A B B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目 要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 ABD AB ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.3-√5 13.2 14.10505 提示：2c4=56-4)=10505 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)【解析】 （1）f)=5.sin2x-cos2x=2sin2x-2,f八2=-5.6 2)九0=2sm24-原-子，因为4e0受.故24-管c(后爱， 因为sm4-骨-子分故24-君e0,所以w4-名=29 3 w24-o24-后+7=o24-爱osin24-3sg-299-}5- 6 “6323236 .13 16.(15分) 【解析】 (1)作DE⊥AB于E,连PE. 在△4CB中，BC2+4AC2=AB,则∠ACB=90e,又AD=l,故DE= 3,E6 在△APB中，PA+PB2=AB,则∠APB=90,cos∠PAE= 3 在△PAE中，PE'=PP+AE2-2PAAB:c0s∠PAE=2+-2x2x6x54 3 33 又PE+AE-+号-2=PA,则PELB. 3 由于DE∩PE=E,DE⊥AB,PE⊥AB,则AB⊥平面PDE, 宁波“十校”数学参考答案第1页共5页 又PDC平面PDE,故AB⊥PD. .7 (2)由(1)得，PE⊥AB,DE⊥AB,则二面角P-AB-C的平面角为∠PED= 3 号，则PD=l,在△PDA中，PD+Df=Pf,则PD⊥AD B D A 方法1：由于D为AC的中点，PA=√2，且PA⊥PC,则PC=√2. 又PA⊥PB,PB∩PC=P,则PA⊥平面PBC, 则∠PCA为直线AC与平面PBC所成的角，又∠PCA=45°， 故直线AC与平面PBC所成的角为45°..15 方法2：由(I)得PD⊥AB,AB∩AC=A,则PD⊥平面ABC,取AB中点F,连DF, 则DF∥BC,DF⊥AC,以D为坐标原点，分别以DA,DF,DP所在直线为x,y,:轴， 建立如图的空间直角坐标系，则A,0,0),C(-1,0,0),B(-1,√2,0)，P(0,0,1),CA=(2,0,0), cP=(1,0,1), BF=L,-V2,). 设平面PBC的一个法向量n=(x,y,), 则nBF=0-y+=0,令x=1得，得n=00,-, n.Cp=0,x+z=0, 设直线AC与平面PBC所成的角为a,则sina= BA.nl 22 1BAn2×√22 故直线AC与平面PBC所成的角为 …15 17.(15分) 【解析】 (1)当k=e时，fx)=xe-c(x-1)+e=xe-ex+2e, 由于f'(x)=(x+l)e-e,f"(2)=3e-e=2e,f2)=2e-2e+2e=2e, 故函数f(x)在点(2，f(2)处的切线方程为y-2e=2(x-2),即y=2r-2e.5 (2)方法1： 由于f'(x)=(x+1)e-k,令p(x)=f"(x),则o'(x)=(x+2)e,因为xe[-2,+∞)， 有p'(x)≥0，则p(x)在区间-2，+o)上单调递增，即∫"(x)在区间-2，+o)上单调递增， 所以f"(x)m=f"(-2)=-e3-k. 宁波“十校”数学参考答案第2页共5页 ①当k≤-e3时，有(x)≥f'(-2)≥0，则f(x)在区间[-2，+o)上单调递增， 由/2=-28+k+e≥0，得k20号e,放2号≤k5-e ②当k>-e3时，有f'(x)mn=f"(-2)<0,因为f(x)在区间[-2，+∞)上单调递增， 若-e3<ks0,有f0)=1-k>0,则存在x(-2,0)使得f)=0, 当k>0时，取n=max{0,lnk+l},有f(m)>0,则存在x∈(-2，)，使得f'(x)=0, 综上，当k>-e3时，存在x∈(-2，+oo),使得f"(x)=0,即(x。+1)e1-k=0. 故当-2<x<x时，∫"(x)<0,则f(x)在区间(-2，x)上单调递减：当x>x时，∫"(x)>0, 则f(x)在区间(xo,o∞)上单调递增，故f(x)mm=f(xo)=xe-k(x-1)+e之0， (*) 由(x+1e--k=0,得k=(x。+1)e-, 代入(*)得xe-1-(x,+1)e-'(x-)+e=（-x+x%+1)e-+e20, 令F(x)=-(x2-x-1)e+e,则F'(x)=(x2+x-2)e=-(x+2x-l0e 由于x2-2,由F'(x)=0得，x=1, 当-2<x<1时，F'(x)>0,F(x)在区间(-2,1)上单调递增： 当x>1时，F'(x)<0,F(x)在区间(L,+∞)上单调递减， 又因为F(-2)=-e3+e<0,FI)=1+e>0,F(2)=0,故当x>2时，F(x)<0,所以满足 (仁x+x+1)e-1+e≥0的实数x的取值范围为-2<x。≤2. 又因为k=(+1)e,令H(x)=(x+1)e,则H'(x)=(x+2e≥0，所以H(x)在区间 (-2,+o)上单调递增，故-e3<k≤3e, 综上所述，实数k的取值范围为20-≤k≤3C.……15 3 方法2： ①当x=1时，不等式1+e20恒成立，此时k∈R; ②当x>1时，问题转化为k≤C+对任意xLo)恒成立。…7 x-1 令=e+c,则i)=--le-c x-1 (x-1)2 令4(x)=(x2-x-1)e-e，则r(x)=(x2+x-2)e=(x+2x-1)e-1. 因为x>1,有H'(x)>0,所以4(x)在(L,+∞)上单调递增.又因为H(2)=4(2)=0,所以x=2 是h(x)在(L,+o)上的唯一零点，所以当1<x<2时，h(x)<0,h(x)在(1,2)上单调递减， 当x>2时，h(x)>0,h(x)在(2，+o)上单调递增，所以hx)m=h2)=3C,所以k≤3e· ③当-2≤x<1时，问题等价于k≥C+对任意x-2,)恒成立. x-1 此时dx)=(x2+x-2)e=(x+2(x-1)e-1,由于当-2<x<1时，4'(x)<0,故4(x)在区 间[-2,1)上单调递减，且4(-2)=5e3-e<0,当-2≤x<1时，4x)<4(-2)<0· 故当-2≤x<1时，()<0，h()在区间-2，)上单调递减，k≥M=-2)=2e 3 综上所述，实数k的取值范围为2e-C≤k≤30.15 3 宁波“十校”数学参考答案第3页共5页 18.(17分)【解析】 (1)椭圆E的标准方程为 y2 4+2 =1..4 (2)(①D设A,B(,为)，Cx,y),记m=-4 n=1 % % 则直线AB的方程：x=m+4,联立椭圆方程父+上 + =1，消去x得 4 2 (m2+2)y2+8my+12=0 由韦达定理得=2， m2+2,则斯= 12 (m2+2)% 另一方面BG:X=网+1，联立椭圆方程号+号=1，消去x得+2y+2-3=0 42 -3 由韦达定理得丛十2'则%㎡+2) 由于x+2=4,则2=4-x. -以-4㎡+2=4s-+2=4色-+4-蓝=45-2=1， Hy购m2+2(x。-4)2+28(。-4)2+4-房 20-8x。 10° (ii)由上面的结论可知，H为线段AC的中点，则SAGCP=SAGAP· 进一步有Sc=Sc心=上」 SAGBPSAGBP为 由上面的直线AB与联立椭圆方程女+二=1，消去x得㎡+2y+8m+12=0. 42 由判别式△=64m2-48(m2+2)=16m2-96>0,得m2>6. 由韦达定理得，%+八㎡+2 -8m 12 %y= m2+2 4+丛+=+-2=6-2e2号，得点， yo y yoy Yoyi 3(m2+2) 故c@=。心=立的取值范围是（兮）.…17 SAGBP SAGBP Yo 19.(17分)【解析】 (1)由于anan1an2=3(an+al+an+2), ① an41an+20n3=3(an1+an+2+an3), ② 由②-①得，a1an+2(an3-an)=3(an3-an),即(a3-a,a1a2-3)=0, 又aa1≠3，则an3=an,故3是{a}的一个周期. .5 (2)由递推bn2=lb-bn和6=-a,b2=b,得6=b+a,b,=a,b=-b,b=b-a. (i)若b2a,则b,=2b-a,6=b,b=a-b,b。=-a,b:=b. (i)若b<a,则b,=a,b=2a-b,b=a-b,bo=-a,b,=b. 宁波“十校”数学参考答案第4页共5页 无论何种情况，都有b=b。,b2=b,· 由递推关系得，{b}会逐渐进入循环，对n≥1的自然数，恒有b9=bn 故T=9是{b}的一个周期..10 (3)假设{c,}是周期数列，则至少存在m,n∈N,不妨设m>n,使得cm1=cn1 由递推关系得3+。=3+长，整理得cn=6, 1-3cm1-3cn 再进一步得到Cm-=Cm-1,如此进行下去，最后得到cm-+1=G. 设m-=p,则c一多=9=3，得6，=0，但这不可能 接下来证明：neN,cn≠0. 设3=tana,a∈0，)， 2 3+tana 2tana 则g-1-3tana1-tana -tan 2a 3+c=tana+tan2a =1-3c1-tanatan2a tan 3a 以此类推，得到cn=tanna,neN”. 于是有c2n=tan2na= 1-c2' () 若存在cn=0,不妨设n=2'(21+1),其中s,1都是非负整数， 则式经过s步倒推后，得到c1=0,则0=691-3 3+c21,得c2=-3. 各l生0 由于92，= 但G=3经过递推后得到c,都是有理数，两者矛盾 故n∈N”,cn≠0，假设不成立，故{cn}不是周期数列..17 宁波“十校”数学参考答案第5页共5页 绝密★考试结束前 宁波“十校”2025届高三3月联考 数学试题卷 考生须知： 1．本卷满分150分，考试时间120分钟； 2．答题前务必将自己的姓名，准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的地方。 3．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范答题，在本试卷纸上答题一律无效。 4．考试结束后，只需上交答题卷。 第I卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知随机变量，则 A．2 B．3 C．4 D．9 2．已知集合，则 A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，动点满足方程，则动点轨迹的离心率为 A． B．2 C． D． 4．已知函数为偶函数，则 A． B． C． D． 5．已知，则的最大值为 A． B． C．1 D． 6．对空间中的非零向量，记向量与的夹角为，对， ，则的最大值是 A．5 B．6 C．7 D．8 7．在四边形中，已知，若，则的长度为 A．4 B． C．5 D． 8．已知函数，对任意，都有恒成立，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．在二项式的展开式中，前3项的系数成等差数列，则下列结论中正确的是 A． B．展开式中所有奇数项的二项式系数和为128 C．常数项为 D．展开式中系数最大项为第3项和第4项 10．已知函数部分图像如图所示，则下列说法中正确的是 A．的图像关于直线对称 B．的图像关于点对称 C．将函数的图像向左平移个单位得到函数的图像 D．若方程在上有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 11．在棱长为2的正方体中，为面内以为直径的半圆上的动点，则 A．的最大值为 B．与平面所成角的最大值的正弦值为 C．的最小值为 D．二面角的最小值的正切值为 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知复数满足，则的最小值为 ▲ ． 13．已知点为抛物线的焦点，过的直线（倾斜角为锐角）与交于两点（点在第一象限），交其准线于点，过点作准线的垂线，垂足为，若，则 ▲ ． 14．生活中经常会统计一列数据中出现不同数据的个数．设，对于有序数组，记为中所包含的不同整数的个数，比如：．当取遍所有的个有序数组时，的总和为 ▲ ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知函数． （1）化简，并求的值； （2）在锐角中，内角满足，求的值． 16．（15分）在三棱锥中，，，，为的中点． （1）求证：； （2）若二面角的大小为，求直线与平面所成的角． 17．（15分）已知函数为自然对数的底数． （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）若不等式对任意恒成立，求的取值范围． 18．（17分）已知椭圆的离心率为，且过点（2，0）． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知点，过点作直线（不与轴重合）交椭圆于，连接交于点，连接，直线与轴交于点． （i）求的值； （ii）若点在线段上，求的取值范围． 19．（17分）对于数列，若存在正整数，使得从数列的第项起，恒有成立，则称数列为第项起的周期为的周期数列。 （1）已知数列满足，且，证明：3是的一个周期． （2）已知数列，（其中不全为0），，证明：存在正整数，使得时，成立，并求出满足条件的一个周期． （3）已知数列，，求证：不是周期数列． 命题：慈溪中学 陈红冲、苗孟义 审题：宁海中学 吕珊娟 宁波中学 竺佳菁 宁波“十校”数学试题卷 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $$