第3章 专题 圆锥曲线中的最值(范围)、定值(定点)、探索性问题(课件PPT)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

高中数学 选择性必修 第一册 A版 赢在微点 轻松课堂 数学 第三章 圆锥曲线的方程 专题　圆锥曲线中的最值(范围)、定值(定点)、探索性问题 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第三章　专题　圆锥曲线中的最值(范围)、定值(定点)、探索性问题 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 自主预习·明新知 稳健启程，新知初步构建 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第三章　专题　圆锥曲线中的最值(范围)、定值(定点)、探索性问题 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 1.定点、定值问题 对于解析几何中的定点、定值问题,要善于运用辩证的观点去思考分析,在动点的“变”中寻求定值的“不变”性,用特殊探索法(特殊值、特殊位置、特殊图形等)先确定出定值,揭开神秘的面纱,这样可将盲目的探索问题转化为有方向有目标的一般性证明题,从而找到解决问题的突破口。 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第三章　专题　圆锥曲线中的最值(范围)、定值(定点)、探索性问题 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 2.最值、范围问题 解决圆锥曲线中的最值问题,一般有两种方法:一是几何法,特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解非常巧妙;二是代数法,将圆锥曲线中的最值问题转化为函数问题(即根据条件列出所求的目标函数),然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角有界法、函数单调法及基本不等式法等,求解最大或最小值。 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第三章　专题　圆锥曲线中的最值(范围)、定值(定点)、探索性问题 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 3.探索性问题 存在探索型问题作为探索性问题之一,具备了内容涉及面广、重点题型丰富等命题要求,方便考查分析、比较、猜测、归纳等综合能力,因而受到命题人的喜爱。 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第三章　专题　圆锥曲线中的最值(范围)、定值(定点)、探索性问题 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 合作探究·攻重难 细研深究，萃取知识精华 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第三章　专题　圆锥曲线中的最值(范围)、定值(定点)、探索性问题 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 类型一　最值与范围问题 　　命题方向1:几何法求最值(范围) 已知动点P(x,y)在椭圆=1上,若点A(3,0),M满足|AM|=1,且=0,则|PM|的最小值是 。  例1   轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第三章　专题　圆锥曲线中的最值(范围)、定值(定点)、探索性问题 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 因为·=0,所以,所以||2-1。因为点M的轨迹是以A为圆心,1为半径的圆,||越小,||就越小,结合示意图知,当P为椭圆的右顶点时,||取最小值a-c=5-3=2,所以||的最小值是, 即|PM|的最小值是。 解析 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第三章　专题　圆锥曲线中的最值(范围)、定值(定点)、探索性问题 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 　　本题求|PM|最小值可运用椭圆与圆的几何性质,这种方法简单、直观。 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第三章　专题　圆锥曲线中的最值(范围)、定值(定点)、探索性问题 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 变式训练 　已知F1是椭圆=1的左焦点,P是此椭圆上的动点,A(-1,3)是一定点,则|PA|+|PF1|的最大值是 。  由题意知F1(-3,0),F2(3,0),利用椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a=10。易知|PA|+|PF1|=|PA|+10-|PF2|≤10+|AF2|=15。 解析 15 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第三章　专题　圆锥曲线中的最值(范围)、定值(定点)、探索性问题 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 　　命题方向2:代数法求最值(范围) 已知椭圆C:=1(a>b>0)的右焦点坐标为(,0),且点(0,-1)在C上。 (1)求椭圆的方程; 例2 (1)由题意,得所以椭圆C的方程为+y2=1。 解 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第三章　专题　圆锥曲线中的最值(范围)、定值(定点)、探索性问题 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 (2)过点(1,0)的直线l与C交于M,N两点,P为线段MN的中点,A为C的左顶点,求直线PA的斜率k的取值范围。 (2)当直线l的斜率不存在时,AP的斜率k=0。当直线l的斜率为0时, AP的斜率k=0。当直线l的斜率不为0时,设直线l的方程为x=my+1,联立方程组得(m2+4)y2+2my-3=0。Δ>0显然成立。 解 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第三章　专题　圆锥曲线中的最值(范围)、定值(定点)、探索性问题 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 设M(x1,y1),N(x2,y2),P(x0,y0),则y1+y2=-,所以y0=-,则x0=my0+1=-,而点A的坐标为(-2,0),所以直线AP的斜率为k=。①当m=0时,k=0。②当m≠0时, |k|=||=。因为|2m+|=|2m|+||≥4,当且仅当|2m|=||时,等号成立。所以0<,从而-, 且k≠0。综上所述,斜率k的取值范围是。 解 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第三章　专题　圆锥曲线中的最值(范围)、定值(定点)、探索性问题 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 　　用代数法求最值常用函数的性质或基本不等式求解。 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第三章　专题　圆锥曲线中的最值(范围)、定值(定点)、探索性问题 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 变式训练 　 已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,椭圆的短轴端点与双曲线-x2=1的焦点重合,过点P(4,0)且不垂直于x轴的直线l与椭圆C相交于A,B两点。 (1)求椭圆C的方程; (1)由题意知e=,所以e2=,所以a2=b2,因为双曲线-x2=1的焦点坐标为(0,±),所以b=,所以a2=4,所以椭圆C的方程为=1。 解 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第三章　专题　圆锥曲线中的最值(范围)、定值(定点)、探索性问题 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 (2)求的取值范围。 (2)当直线l的倾斜角为0°时,不妨令A(-2,0),B(2,0),则·=-4;当直线l的倾斜角不为0°时,设其方程为x=my+4,由⇒(3m2+4)y2+24my+36=0,由Δ>0⇒(24m)2-4×(3m2+4)×36>0⇒m2>4,设A(my1+4,y1),B(my2+4,y2)。因为y1+y2=-,y1y2=, 解 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第三章　专题　圆锥曲线中的最值(范围)、定值(定点)、探索性问题 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 所以·=(my1+4)(my2+4)+y1y2=m2y1y2+4m(y1+y2)+16+y1y2=-4,因为m2>4,所以·。综上所述, ·。 解 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第三章　专题　圆锥曲线中的最值(范围)、定值(定点)、探索性问题 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 类型二　定点与定值问题 　 已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,且过点A(2,1)。 (1)求C的方程; 例3 (1)由题设得=1,,解得a2=6,b2=3。所以C的方程为=1。 解 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第三章　专题　圆锥曲线中的最值(范围)、定值(定点)、探索性问题 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 (2)点M,N在C上,且AM⊥AN,AD⊥MN,D为垂足。证明:存在定点Q,使得|DQ|为定值。 (2)证明:设M(x1,y1),N(x2,y2)。若直线MN与x轴不垂直,设直线MN的方程为y=kx+m,代入=1得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-6=0。于是　①。由AM⊥AN知·=0, 解 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第三章　专题　圆锥曲线中的最值(范围)、定值(定点)、探索性问题 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 故(x1-2)(x2-2)+(y1-1)(y2-1)=0,可得(k2+1)x1x2+(km-k-2)(x1+x2)+(m-1)2+ 4=0。将①代入上式可得(k2+1)-(km-k-2)+(m-1)2+4=0。整理得(2k+3m+1)(2k+m-1)=0。因为A(2,1)不在直线MN上,所以2k+m-1≠0,故2k+3m+1=0,k≠1。于是MN的方程为y=k(k≠1)。所以直线MN过点P。若直线MN与x轴垂直,可得N(x1,-y1)。由·=0得(x1-2)(x1-2)+(y1-1)(-y1-1)=0。又=1,可得3- 解 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第三章　专题　圆锥曲线中的最值(范围)、定值(定点)、探索性问题 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 8x1+4=0。解得x1=2(舍去),x1=。此时直线MN过点P。令Q为AP的中点,即Q。若D与P不重合,则由题设知AP是Rt△ADP的斜边,故|DQ|=。若D与P重合,则|DQ|=|AP|。综上,存在点Q,使得|DQ|为定值。 解 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第三章　专题　圆锥曲线中的最值(范围)、定值(定点)、探索性问题 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 　　本题容易忽略直线MN的斜率不存在的情况,导致解题过程不完 整,从而失分。在解题的过程中,要注意在直角三角形中斜边的中线等于斜边的一半这一性质。 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第三章　专题　圆锥曲线中的最值(范围)、定值(定点)、探索性问题 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 变式训练 　已知椭圆=1(a>b>0)过点(0,1),其长轴长与短轴长的平方和是焦距的平方的2倍。直线l与x轴正半轴和y轴分别交于点Q,P,与椭圆分别交于点M,N,各点均不重合且满足=λ1,=λ2。 (1)求椭圆的标准方程; (1)设椭圆的焦距为2c,由题意知b=1,且(2a)2+(2b)2=2(2c)2,又a2=b2+c2,所以a2=3,所以椭圆的方程为+y2=1。 解 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第三章　专题　圆锥曲线中的最值(范围)、定值(定点)、探索性问题 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 (2)若λ1+λ2=-3,试证明:直线l过定点,并求此定点。 (2)证明:由题意设P(0,m),Q(x0,0),M(x1,y1),N(x2,y2),设l方程为x=t(y-m),由=λ1得(x1,y1-m)=λ1(x0-x1,-y1)。所以y1-m=-y1λ1,由题意y1≠0,所以λ1=-1。同理由=λ2得λ2=-1。因为λ1+λ2=-3,所以y1y2+m(y1+y2)=0　①。由消x得(t2+3)y2-2mt2y+t2m2-3=0, 解 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第三章　专题　圆锥曲线中的最值(范围)、定值(定点)、探索性问题 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 所以由题意知Δ=4m2t4-4(t2+3)(t2m2-3)>0　②,且有　③,将③代入①得t2m2-3+2m2t2=0,所以(mt)2=1,由题意mt<0,所以mt=-1,满足②,得l方程为x=ty+1,故直线l过定点(1,0)。 解 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第三章　专题　圆锥曲线中的最值(范围)、定值(定点)、探索性问题 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 类型三　探索性问题 　给出下列条件:①焦点在x轴上;②焦点在y轴上;③抛物线上横坐标为1的点M到其焦点F的距离等于2;④抛物线的准线方程是x=-2。 (1)对于顶点在原点O的抛物线C:从以上四个条件中选出两个适当的条件,使得抛物线C的方程是y2=4x,并说明理由; 例4 (1)因为抛物线C:y2=4x的焦点F(1,0)在x轴上,所以条件①适合,条件②不适合。又因为抛物线C:y2=4x的准线方程为x=-1,所以条件④不适合题意。当选择条件③时,|MF|=xM+1=1+1=2,此时适合题意,故选择条件①③时,可得抛物线C的方程是y2=4x。 解 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第三章　专题　圆锥曲线中的最值(范围)、定值(定点)、探索性问题 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 (2)过点(4,0)的任意一条直线l与C:y2=4x交于A,B不同两点,试探究是否总有?请说明理由。 (2)由题意得直线l的斜率不为0,设直线l的方程为x=ty+4,由得y2-4ty-16=0。设A(x1,y1),B(x2,y2),所以Δ>0恒成立,y1+y2=4t,y1y2=-16,则x1x2=(ty1+4)(ty2+4)=t2y1y2+4t(y1+y2)+16=-16t2+16t2+16=16,所以·=x1x2+y1y2=16-16=0,所以。综上所述,无论l如何变化,总有。 解 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第三章　专题　圆锥曲线中的最值(范围)、定值(定点)、探索性问题 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 　　(1)探索性问题通常采用“肯定顺推法”,将不确定性问题明朗 化。其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在,用待定系数法设出,列出关于待定系数的方程组,若方程组有实数解,则元素(点、直线、曲线或参数)存在;否则,元素(点、直线、曲线或参数)不存在。 (2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法。 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第三章　专题　圆锥曲线中的最值(范围)、定值(定点)、探索性问题 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 变式训练 　试问是否能找到一条斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆+y2=1交于两个不同的点M,N,且使M,N到点A(0,1)的距离相等?若存在,试求出k的取值范围;若不存在,请说明理由。 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第三章　专题　圆锥曲线中的最值(范围)、定值(定点)、探索性问题 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 设直线l:y=kx+m为满足条件的直线,再设P为MN的中点,欲满足条件,只需AP⊥MN即可。由消y得(1+3k2)x2+6mkx+3m2-3=0。设M(x1,y1),N(x2,y2),则xP=, yP=kxP+m=,所以kAP=。因为AP⊥MN,所以,故m=-。由Δ=36m2k2-4(1+3k2)(3m2-3)=9(1+3k2)(1-k2)>0,得-1<k<1,且k≠0。故当k∈(-1,0)∪(0,1)时,存在满足条件的直线l。 解 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 第 ‹#› 页 赢在字里行间 第三章　专题　圆锥曲线中的最值(范围)、定值(定点)、探索性问题 点击 导航 合作探究·攻重难 自主学习·明新知 $$