专题3.4 圆锥曲线综合大题（期末复习专项训练）高二数学上学期人教A版选择性必修第一册

专题3-4 圆锥曲线综合大题 题型1 “设而不求”基础 题型9 斜率和定（常考点） 题型2 横截式直线 题型10 斜率积定 题型3 无定点双变量直线（常考点） 题型11 斜率比定（难点） 题型4 最值范围型：面积最值 题型12 三斜率 题型5 最值范围型：参数最值（重点） 题型13 圆锥切线（难点） 题型6 定点（常考点） 题型14 非对称型韦达定理转换（难点） 题型7 定值（难点） 题型15 无韦达定理代入型 题型8 定直线 题型16 三角函数型 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一、“设而不求”基础 （共2大题） 1．（25-26高二上·河北·月考）已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，左、右焦点分别为，，离心率为.P为椭圆C上异于A，B的任意一点，面积的最大值为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点且不与x轴重合的直线l与椭圆C交于G，H两点，设点，证明：的平分线在x轴上. 【答案】(1)；(2)证明见解析. 【分析】（1）根据面积最大值为，再结合离心率公式即可得到方程，解出即可； （2）设直线的方程为，将其与椭圆方程联立得到韦达定理式，再计算斜率之和的表达式，代入韦达定理式即可. 【详解】（1）当点是椭圆的上顶点或下顶点时，的面积最大，为， 由题意得． 因为离心率，所以，所以． 因为，所以． 解得，所以， 所以椭圆的标准方程是． （2）当直线的斜率不存在时，由椭圆与直线的轴对称性知，点，关于轴对称， 又点在轴上，所以的平分线在轴上． 当直线的斜率存在时，设为，由题意知，． 由（1）知，点，则直线的方程为． 由消去，整理得． 恒成立，设，则．设直线的斜率分别为．因为点，所以， 所以.将代入， 得，所以直线关于轴对称，即的平分线在轴上． 综上，的平分线在轴上． 2．（25-26高二上·黑龙江佳木斯·月考）已知椭圆，其中离心率为，长轴长为4. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线交椭圆于两点，为坐标原点，若的面积为，求. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）由长轴长为4，得出，由离心率为，求出，再根据即可得出椭圆的标准方程； （2）由题意知直线的斜率存在，画出图形，设直线，联立直线与椭圆方程化简写出韦达定理，利用弦长公式求出，再求出原点到直线的距离，表示出三角形的面积，解出参数，求出即可. 【详解】（1）因为长轴长为，所以，由离心率为，可得， 从而，故椭圆的方程为. （2）由题意知当直线的斜率存在设为，记，如图所示： 故设直线，，联立，整理得：， 由解得：，由韦达定理得：， 所以 ，又原点到直线的距离为： ，则 ，即，解得：满足题意，所以. 题型二、横截式直线 （共2大题） 3．（25-26高二上·山东济南·月考）设椭圆的左焦点为，右焦点为，上顶点为，离心率为，是坐标原点，且. (1)求椭圆的方程. (2)已知过点的直线与椭圆的两交点为，，若，求直线的方程. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）依次由题设列出关于的等量关系即可分析计算求解； （2）由题意设直线方程为，与椭圆联立方程，借助韦达定理和向量垂直的坐标表示计算求解t即可得解. 【详解】（1）设椭圆的焦距为，则，∴，∵，∴， 又，，，∴，∴，∴，∴，， ∴椭圆C的方程为. （2）由（1）知，，由题可设直线方程为，由得， 设，，则，，， ∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴的方程为. 4．（25-26高二上·山东济宁·期中）已知线段的端点，端点在圆上运动，线段的中点的轨迹方程为. (1)求轨迹方程； (2)过点的直线与曲线交于两点，若，其中为坐标原点，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用中点坐标公式将点用的中点坐标和点坐标表示出来，再利用代入法即可求出轨迹方程； （2）联立直线与曲线，利用韦达定理结合即可求出直线的方程，进而求出. 【详解】（1）设的中点为， 的中点为，且，，即，∵点在圆上， ，即，化简得， 所以的轨迹方程为：. （2）设，由直线过点且与圆有两个交点，所以直线的斜率存在且不为0. 设直线的方程为：，联立直线与圆的方程，可得，，解得，， 由得，即， 化简得，将韦达定理代入可得，解得，符合题意.此时直线的方程为：，由圆的方程知，圆的圆心坐标为，半径为， 又在直线的方程中，当时，，即直线过圆心，所以. 题型三、无定点双变量直线 （共2大题） 5．（25-26高二上·安徽安庆·月考）在平面直角坐标系中，已知双曲线的离心率为，焦距． (1)求的方程； (2)双曲线左、右顶点分别为，，直线与的左、右两支分别交于点，，记直线，的斜率分别为，且． （i）求证：直线过定点； （ii），直线与交于点，判断并证明直线与的位置关系． 【答案】(1)(2)（i）证明见解析；（ii），证明见解析 【分析】（1）根据离心率和焦距的概念求，再利用求，可得双曲线方程. （2）（i）设直线l的方程为，将直线方程代入双曲线方程，消去，利用韦达定理可得，再利用，得到的关系，即可判断直线经过定点. （ii）通过证明直线AQ与BC的斜率关系判断两直线的位置关系. 【详解】（1）设双曲线的焦距为2c，则，且，解得， 所以，所以的方程为. （2）（i）设直线的方程为， 联立与，消去，得，所以， 由，得，整理得，所以， 整理得，所以或，当时，直线的方程为，过点，不符，故舍去；当时，直线l的方程为，过点，所以直线l过定点； （ⅱ）直线AQ与直线BC的位置关系是平行，理由如下：因为，所以直线OP方程为：， 又直线BD方程为：，联立与， 解得，即，因为，所以直线AQ的斜率为，由，得直线BC的斜率，所以． 6．（25-26高三上·上海青浦·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为为上两个不同的点，记的周长和面积分别为和. (1)若的离心率为，求的值； (2)若满足的点有且仅有两个，求的取值范围； (3)若，是否存在点使得和同时取到最大值？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由. 【答案】(1)(2)(3)不存在，理由见解析. 【分析】（1）根据离心率的定义计算； （2）根据椭圆的对称性以及即可求出； （3）根据椭圆的定义得出，得出当三点共线时最大，进而设，与椭圆方程联立，再分别令，，结合基本不等式分别求面积的最大值，再作比较即可. 【详解】（1）由题意知，，则，因，则离心率为，得； （2）对于椭圆上任意一点，有， 因满足的点有且仅有两个且椭圆为对称图形，则，得， 故的取值范围为； （3）若，则，，由椭圆的定义可知，， 则，等号成立时三点共线， 故当三点共线时，取得最大值；因直线的斜率不为，则可设直线，，联立，得，则，得，由韦达定理可知，，则， 则， 令，则，若，则，则，等号成立时；若，则则，等号成立时；因，   则不存在点使得和同时取到最大值. 题型四、最值范围型：面积最值 （共2大题） 7．（25-26高二上·江西·月考）在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为分别是的左、右焦点，是上位于轴上方的两点，且直线与直线平行，与交于点.当轴时，. (1)求椭圆的方程. (2)证明：为定值. (3)记点的轨迹为，动直线与交于两点，求面积的最大值. 【答案】(1)(2)证明见解析(3) 【分析】（1）根据条件列出关于的方程组，由此可求解出椭圆的方程； （2）延长交椭圆于点，设出点坐标，联立与椭圆的方程，可得点坐标，则点坐标可知，联立的直线方程可得点坐标，根据点到点的距离公式进行化简计算，即可完成证明； （3）判断出的轨迹并求出轨迹方程，计算出到的距离并通过弦长公式表示出，由此可表示出的面积，结合基本不等式求解出面积的最大值. 【详解】（1）当轴时，，所以，此时由对称性可知， 因为轴，为的中点，所以为的中点，所以，且， 所以，解得，所以椭圆的方程为. （2）证明：延长交椭圆于点，由对称性可知关于原点对称， 设，，所以， 联立，可得，且， 所以， 所以，所以， 所以，所以，所以， 因为，，即， 联立的方程可解得，所以， 因为在轴上方，所以且，所以， 又因为，所以，解得，所以， 又因为时，恒成立，所以， 所以为定值. （3）由（2）可知，为以为焦点，以为长轴长的半椭圆， 设半椭圆的方程为，所以， 所以，设，联立和的方程，可得，则， 且，即，到直线的距离为， ， 所以 ，当且仅当，即时等号成立，所以面积的最大值为. 8．（25-26高二上·辽宁沈阳·月考）设椭圆，是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，点在椭圆外，且． (1)求椭圆的方程； (2)若，点为椭圆上横坐标大于1的一点，过点的直线与椭圆有且仅有一个交点，并与直线交于两点，与轴交于． ①求的取值范围； ②为坐标原点，记的面积分别为，求的最小值． 【答案】(1)(2)①；② 【分析】(1)结合已知条件，将可得到一个关系式，然后再结合求出半焦距，最后再结合即可求解； (2) ①由椭圆性质以及点的横坐标大于1即可求解；②首先设出直线的方程，然后利用直线与椭圆相切求出与的关系，再通过联立直线间的方程表示出直线与点的纵坐标，并表示出和，进而表示出，最后利用换元法和均值不等式即可求解. 【详解】（1）因为点在椭圆上，所以，① 因为点在椭圆外，且，所以，即，② 由①②解得，，故椭圆的方程为； （2）①设点，，设直线：，结合题意，由椭圆性质可知， ②将直线代入方程并化简可得，，即， 因为直线与椭圆有且仅有一个交点，所以，即． 直线的方程为：；直线的方程为：， 联立方程得，同理得，所以， 所以，， 所以 ， 令，则，当且仅当，即时，不等式取等号， 故当时，取得最小值． 题型五、最值范围型：参数最值 （共2大题） 9．（25-26高二上·河北承德·月考）已知抛物线的焦点为，双曲线以为右焦点，且离心率．过双曲线的左顶点作直线，与抛物线交于两点，与双曲线的右支交于另一点，满足． (1)求双曲线的标准方程； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用抛物线焦点确定双曲线的，结合离心率求出，再由双曲线的求，写出双曲线的方程即可； （2）联立直线与抛物线、双曲线的方程，结合向量关系得到关于的表达式，再利用不等式求解的范围. 【详解】（1）由得，所以双曲线右焦点为，故半焦距； 所以，则；得， 所以双曲线标准方程代入，得（或）． （2）双曲线左顶点，可得到直线，设，由，及．可得．所以，由整理得，因为为方程的一个根，所以， 解得，所以，因为点在双曲线右支，其横坐标， 解得，又，故,又由化简得，即，解得且．所以， 所以，因为，所以令，即， 解得或，综上的取值范围为． 10．（25-26高二上·广东·月考）记椭圆的左､右焦点分别为，，过点的直线与交于，两点，已知的周长为，的周长为. (1)求的方程； (2)当时，求的斜率； (3)求的最大值. 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）利用椭圆的定义结合周长条件求解，再通过的关系求出，最后求出椭圆标准方程； （2）联立直线与椭圆方程，结合的向量垂直条件（数量积为）求斜率； （3）用向量的数量积公式表示余弦值，结合二次函数求最值. 【详解】（1）不妨设的半焦距为，则，则， 于是，故的方程为. （2）由三角形知的斜率不为，显然，，设，，，联立.则，于是，. 而，， 由知，即 ，得，于是的斜率. （3）由（2）得，而 ，，于是 ， 故，当且仅当时，等号成立， 故的最大值为. 题型六、定点 （（共2大题）） 11．（25-26高二上·福建·月考）设分别是椭圆的左､右焦点，过且斜率为1的直线与相交于两点，且成等差数列. (1)求的离心率； (2)若点满足. ①求的方程； ②设，点在上，且为垂足.试探究，是否存在定点，使得为定值，若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】(1)(2)①②存在，. 【分析】（1）由成等差数列，得.又，所以.联立直线与椭圆的方程，根据弦长公式可得的关系式，从而求得椭圆的离心率； （2）根据已知条件，求得直线过定点，由知，点在以为直径的圆上，因此的中点即为所求定点. 【详解】（1）由成等差数列，得. 又，所以.设，. 则直线的方程为.由，得. 所以.所以. 所以，所以，，所以.所以的离心率为； （2）若点满足，则点在线段的垂直平分线上，记的中点为，则直线的斜率为. 由（1）知. 所以.所以.由（1）知，所以. ①所以椭圆的方程为； ②设. 当直线的斜率均存在时，设直线的方程为，则直线的方程为.由，得. .所以. ，所以. 所以.即. 以代得，.即. 所以直线的斜率为： 所以直线的方程为： 所以直线过定点.当直线的斜率不都存在时，一条为，另一条为. 则，或交换.此时的方程为，即.过. 因为，所以点在以为直径的圆上. 的中点为，所以存在，使得为定值，且. 12．（25-26高二上·陕西西安·月考）已知抛物线经过点，且为的焦点． (1)求的坐标． (2)设为上两个不同的点，且三点不共线，的斜率分别为，且． （i）试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． （ii）证明：存在关于轴对称的两个定点，使得直线过或． 【答案】(1) (2)（i），证明过程见解析. （ii）直线恒过定点或，且这两个定点关于轴对称，证明过程见解析. 【分析】（1）将点坐标代入抛物线方程，利用点在曲线上求出参数，再根据抛物线标准方程求得焦点坐标. （2）（i）向量夹角余弦绝对值相等转化为直线到角的正切绝对值相等，代入 后分正负号讨论,取正号得 （为上两个不同的点,舍去），取负号解得 为定值. （ii）设直线方程与抛物线联立，利用韦达定理表示坐标关系；根据（i）中斜率乘积为定值得到关于斜率和截距的等式，由此推出直线过定点，并判断定点关于坐标轴对称. 【详解】（1）抛物线经过点， 将点坐标代入抛物线方程得：，左边计算：于是解得. 抛物线方程为，其焦点坐标为，即. （2），由 在 上，有, 直线 斜率分别为 设直线 与 的夹角为 ，设直线 与 的夹角为 ，由, 即 或 ，又 由 可得：代入 化简得：， 取正号：得 ，即三点共线，不符合题意,取负号： 整理得：，故 （ii）设直线，联立，消去得： 消去得，则， 由（i）中得：，代入韦达定理并整理得： 两边乘以：化简得即， 于是直线的方程为：，取“+2”时，过定点；当取“-2”时，过定点， 因此，直线恒过定点或，这两个定点关于轴对称. 题型七、定值 （共2大题） 13．（25-26高二上·福建厦门·期中）已知圆，圆.动圆与圆外切，且与圆内切，记点的轨迹为. (1)求的方程； (2)过点且斜率不为的直线与相交于点，（在的左侧）. ①设直线，的斜率分别为，，求证：为定值； ②设直线，相交于点，点为的内心，记，，的面积分别为，，，证明：为定值. 【答案】(1)；(2)①；②. 【分析】（1）根据动圆与两定圆的位置关系得出点满足椭圆的定义，进而求出轨迹方程； （2）①设出直线的方程并与椭圆方程联立，利用韦达定理表示出与的比值，化简得出定值； ②根据三角形内心的性质和三角形面积公式进行推导，得出为定值. 【详解】（1）设动圆的半径为，圆心。 已知圆，则圆心，半径；圆，则圆心，半径； 因为动圆与圆外切，且与圆内切，所以，； 则；根据椭圆的定义可得点的轨迹的方程为； （2）①设过点的直线方程为，与椭圆联立： ，消去得：，设，，由韦达定理得：，；直线的斜率，直线的斜率， 因此：，代入，，得：， 分子：，分母：， 因此，代入斜率比得：，故为定值； ②设的内心到三边的距离为， ，因，故，，， 因此：，直线：，由①知，故直线可写为：，即：，直线过和，斜率为，其方程为：，联立直线与的方程，消去后解得：， 代入的方程得，即；，则：，， 因为点在椭圆上，故由椭圆方程，得；将代入化简得： ，. 由题知在的左侧，易得在左半椭圆，故，，， 因此：，； 故：， 因，故，所以，故：.    14．（25-26高二上·重庆·月考）已知动点与定点的距离和到定直线的距离之比是常数. (1)求点的轨迹的方程； (2)已知定点，直线的方程为，直线上有一动点，轨迹上有一动点，求的最小值； (3)若，为轨迹上不同的两点，线段的中点为，当面积取最大值时，是否存在两定点S，T，使为定值？若存在，求出这个定值，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)；(2)；(3)存在两定点S，T，使为定值. 【分析】（1）根据题意得到方程，化简后得到轨迹方程； （2）设为的左焦点，由椭圆定义和三点共线转化为直线上找到一点，使得最小，求出点关于直线的对称点为的坐标，由对称可得最小值为； （3）考虑直线的斜率存在和不存在两种情况，求出点的轨迹方程为椭圆，由椭圆定义可知，存在两定点S，T，分别为或，使为定值. 【详解】（1）由题意得，两边平方得， 整理得，点的轨迹的方程为； （2）中，，则， 为的右焦点，设为的左焦点， 连接，则，，则， 其中当三点共线时，取得最小值， 问题转化为在直线上找到一点，使得最小， 设点关于直线的对称点为，则，解得， 故，连接，与直线的交点即为所求点， 使得最小，最小值为， 故的最小值为. （3）存在两定点S，T，使为定值,理由如下：当直线的斜率存在时，设直线方程为，，联立直线与椭圆方程得，，即， 设，则， 故 ， 故当时，取得最大值，最大值为，此时，满足， 因为，所以，故， 故，令，两式相除得，故， 将其代入得，结合得， 化简得，因为，所以，故，即， 当直线的斜率不存在时，设，则， 则， 不妨设点在第一象限，则当时，取得最大值， 此时的中点坐标为，满足， 故当取得最大值时，点的轨迹方程为椭圆，两焦点坐标为， 由椭圆定义可知，存在两定点S，T，分别为或， 使为定值. 题型八、定直线 （共2大题） 15．（25-26高二上·河北邢台·期中）已知抛物线：的焦点到直线：的距离为． (1)求的值； (2)倾斜角为的直线过，与交于，两点，求； (3)是直线上一动点，过点作的两条切线，切点分别为，，证明：直线过定点． 【答案】(1)2(2)16(3)证明见解析 【分析】（1）根据抛物线方程求出焦点坐标，利用点到直线的距离公式列出关于的方程，求解即可． （2）求出直线的方程，联立抛物线方程，利用韦达定理，代入弦长公式求解即可． （3）设出点、、的坐标及直线及切线，的方程，联立抛物线方程，根据得到切线方程，从而得到切点弦所在直线方程，即可得到所过定点． 【详解】（1）抛物线的焦点，由题意可得：，即，， 解得或，又因为，所以． （2）由（1）可得抛物线方程为，，所以直线的方程为，设，， 联立，得，，所以，， . （3）设，，的方程为．由，得， 所以，，． 易知直线，的斜率存在， 设直线的方程为，由，得． 由，解得，所以直线的方程为，即． 同理可得，直线的方程为．设，代入直线、中，，， 即，，所以，可看作方程的两根， 所以，又，所以． 所以直线的方程为，故直线过定点． 16．（25-26高二上·江苏·期末）已知椭圆上的点到其右焦点的最大距离为3． (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的左、右顶点分别为，过点的直线与椭圆交于两点（异于）． ①若的面积为，求直线的方程； ②若直线与直线交于点，证明：点在一条定直线上． 【答案】(1)(2)① ；②证明见解析 【分析】（1）根据已知条件得出的值，进而得出求出椭圆方程； （2）①设直线的方程及，联立椭圆方程，利用韦达定理，表示出弦长，结合点到直线的距离公式和三角形面积公式建立方程求解； ②联立直线得出代数关系式，结合韦达定理构造方程，化简计算求解． 【详解】（1）椭圆上的点到其右焦点的最大距离为3， ，故，，椭圆的方程为； （2）①设过点的直线方程为，点， 联立，得，则， 则， 又点到直线的距离，令，化简整理得，，，解得， 直线的方程为． ②由①知，， 直线，直线， 联立直线，整理得， 由①知，，， 即，解得，点在直线上． 题型九、斜率和定 （共2大题） 17．（2025·陕西汉中·一模）已知抛物线的焦点为F，点在C上，，斜率为的直线与交于两点． (1)求的方程； (2)若，求直线的方程； (3)设直线与的斜率分别为，证明：为定值． 【答案】(1)(2)(3)证明见解析 【分析】（1）根据抛物线的定义求解的值，即可得抛物线方程； （2）设，直线的方程为，联立直线与抛物线可得，结合弦长公式求解的值，即可得直线的方程； （3）根据斜率的坐标运算结合（2）中的式子即可证得为定值. 【详解】（1）由抛物线的定义可得，解得，所以抛物线方程为：； （2）设，直线的方程为， 则消去可得，故，则，所以，则， 解得，检验符合题意，故直线的方程为； （3）证明：因为点在抛物线上，所以或（舍），故， 由（2）可得，所以， 因为，所以，即为定值. 18．（25-26高三上·贵州·月考）已知抛物线：（）的焦点为，点（）在上，，斜率为的直线与交于，两点． (1)求的方程； (2)若，求直线的方程； (3)设直线与的斜率分别为，，证明：为定值． 【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析. 【分析】（1）由焦半径公式求出p即可求解； （2）设直线的方程为，与抛物线方程联立，结合韦达定理和弦长公式即可求出参数得解； （3）由两点间斜率公式结合（2）中的韦达定理进行转化计算即可求解. 【详解】（1）根据题意可得，解得．所以的方程为． （2）设，，直线的方程为． 由消去得，所以即，，， 所以，解得， 所以直线的方程为； （3）证明：因为点在上，所以或（舍去），所以， 由（2）得，， 所以． 因为，， 所以，即为定值． 题型十、斜率积定 （共2大题） 19．（25-26高二上·山东泰安·月考）已知椭圆的一个焦点为，椭圆过，椭圆的左顶点为. (1)求椭圆的方程； (2)已知斜率存在且不为0的直线过点，设直线与椭圆交于.若直线分别交直线于点为的中点，记直线的斜率分别为.探究：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】(1)(2)是定值， 【分析】（1）设出椭圆方程，利用点在椭圆上和列方程组可得； （2）设直线的方程与椭圆联立，表示出韦达定理和，然后利用斜截式表示出方程，与联立得到点坐标，同理得到点，利用中点坐标表示出，然后可得两斜率关系. 【详解】（1）设椭圆方程由题意可得，解得 所以椭圆方程. （2）设直线的方程为：，与椭圆方程联立可得， 整理得，设， 则①，②，直线的方程为， 令，解得，同理可得，设，， 将①②代入上式并化简可得，故，为定值. 20．（25-26高二上·重庆·月考）已知椭圆的右焦点为，长轴长为． (1)求椭圆的方程； (2)已知、、是椭圆上的三个不同点． ①若，且是等边三角形，求； ②若（异于原点）是的外心，直线、、、的斜率均存在，并分别记为、、、，求的值． 【答案】(1)(2)①；②. 【分析】（1）根据题意得出、的值，可求出的值，即可得出椭圆的标准方程； （2）①不妨假设点在轴的上方，可知直线的倾斜角为，可得出直线的方程，将该直线的方程与椭圆的方程，结合弦长公式可求出的值，即可得出的值； ②设、、、，求出、、、的表达式，结合点差法可得出的值. 【详解】（1）由题意可得，可得，因此椭圆的标准方程为. （2）①由题意可知，且为等边三角形，易知、关于轴对称， 又因为，不妨假设点在轴上方，则直线的倾斜角为， 所以直线的方程为，即， 联立可得，解得或， 所以，故； ②设、、、，则，，.，， 设的外接圆方程为，得，，两式相减得， 因为，所以，同理：. 两式相减得，于是，所以，将，代入得，因为，， 所以，所以，即. 题型十一、斜率比定 （（共2大题）） 21．（25-26高二上·陕西西安·月考）已知双曲线的右焦点的坐标为，双曲线的一条渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)记双曲线的左､右顶点分别为，过点的直线交双曲线于点，（点在第一象限），记直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值. 【答案】(1)(2)证明见解析，. 【分析】（1）利用双曲线的焦点坐标和渐近线求出的值，从而得到双曲线方程； （2）联立直线方程和双曲线方程，通过韦达定理得到相关点的坐标关系，再根据直线斜率公式证明为定值. 【详解】（1）由题可知，，，又因为，可解得， 故双曲线的标准方程为：. （2）由（1）知，，.显然直线不垂直于轴，设直线的方程为，设，由，消去得， 若直线与双曲线交于两点，则， 由韦达定理，可得， 直线的斜率，直线的斜率， 所以，即为定值. 22．（25-26高三上·北京·月考）椭圆的离心率为，左右顶点分别为，，上下顶点分别为，，四边形是边长为的菱形． (1)求椭圆C的方程； (2)已知A是椭圆C在第一象限上的点，B与A关于原点对称，为椭圆C的右焦点，连接与，并延长交椭圆C于D，E两点，若直线AB的斜率为，直线DE的斜率为，试探究是否为定值．若是，则求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)(2)是定值，． 【分析】（1）根据离心率和菱形的边长，建立关于的方程组，求解即得椭圆方程； （2）设，求出，写出直线的方程并与椭圆方程联立，消去后得到韦达定理，从而用表示出点的坐标，写出的算式并化简即可求出的定值. 【详解】（1）由可得又由题意，， 联立两式，解得所以椭圆C的方程为． （2）设，则，，，则，． 则直线与椭圆方程联立， 消去可得：，即． 显然,，所以，．所以，同理可得． 所以．所以． 题型十二、三斜率 （（共2大题）） 23．（25-26高二上·安徽合肥·期中）（1）已知点和圆：，若点在圆上，求点处切线的方程； （2）已知圆：，过圆外一点作圆的切线，切线分别切圆于，两点，求直线的方程； （3）法国数学家吉拉德·笛沙格于1639年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》中正式阐述：已知圆锥曲线：.则称点和直线：是圆锥曲线的一对极点和极线.已知点和直线为椭圆：的一对极点和极线. ①根据材料写出极线的方程； ②若为极线上任意一点，过点作直线交椭圆于，两点，记，，所在直线的斜率依次为，，.求证：. 【答案】（1）（2）（3）①  ②证明见解析 【分析】（1）当切点不在坐标轴上时，根据切线与过圆心和切点直线垂直，求出切线斜率，即可得到切线方程，再验证切点在坐标轴上也成立即可； （2）根据（1）直接得到过的两条切线，代入点坐标，再证明切点坐标分别满足同一方程，即可得解； （3）①根据新定义直接写出极线方程即可； ②联立直线方程与椭圆方程，由韦达定理以及斜率公式证明即可 【详解】（1）在圆上，， 当点不在坐标轴上时，切线方程为：，化简得：， 当点在坐标轴上时，可以验证上述方程同样适用, 即切线的方程为：. （2）如图，设, 由（1）得过两点的切线方程分别为，因为两切线都过， 所以，，即的坐标都满足方程， 又两点确定一条直线，所以直线的方程为. （3）①由题意易知，极点，对应极线的方程为，即. ②因为，所以，即极线与椭圆相交， 设，经过P的直线交椭圆于， 代入椭圆方程可得， 所以 ，由韦达定理有， 此时要证明的是：，也就是， 也就是，也就是， 也就是， 也就是， 也就是， 也就是， 也就是， 也就是， 也就是，这显然成立，所以结论得证. 当过点的直线的斜率为0时，， 所以，， 所以，综上，. 24．（25-26高二上·贵州贵阳·月考）已知抛物线：的焦点为，过点且与轴垂直的直线交于两点，且. (1)求抛物线的方程，并写出的焦点坐标和准线方程； (2)过焦点的直线与抛物线交于两点（异于两点），且位于轴同一侧，直线与相交于点. ①证明：点在定直线上，记该直线为，求出的方程； ②，设直线的斜率分别为，证明：. 【答案】(1)抛物线的方程为，焦点，准线方程为． (2)①证明见解析，；②证明见解析 【分析】（1）根据已知条件先找出直线的方程，联立直线和抛物线方程解出，从而得出的值建立方程求出的值即可； （2）①由抛物线的对称性进行分析后，设直线，联立直线和抛物线方程，分析写出韦达定理，分别求出直线和的方程，联立两直线方程分析即可得出结论； ②设点，表示出，结合韦达定理，即可得证. 【详解】（1）抛物线的焦点，则直线，由得， 依题意，，解得， 所以抛物线的方程为，焦点，准线方程为． （2）①由抛物线对称性，不妨令点在上方，由（1）知，， 显然直线不垂直于轴，也不与轴重合，故可设其方程为， ，联立直线与抛物线，，消去得：，显然，， 直线的斜率为，方程为， 直线的斜率为，方程为， 由消去得：， 整理得， 因此点的横坐标恒为，所以点在定直线上； ②由，可设，结合，得 ． 而，故. 题型十三、圆锥切线 （共2大题） 25．（25-26高二上·湖北·期中）已知椭圆，点，，其中，是椭圆上的一点，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为，椭圆在两点处的切线与相交于点，线段的中点为，设直线，的斜率分别为，. (1)证明：直线的方程为； (2)求的取值范围（用表示）； (3)若点的坐标为，求. （附：若是椭圆上一点，则椭圆在点处的切线方程为.） 【答案】(1)证明见解析(2)(3)1 【分析】（1）设，由题中结论求得切线，的方程，由与相交于点，可得均在直线上，即可得出直线的方程； （2）由条件求得，根据在椭圆上及确定范围即可； （3）联立，的方程，可得，分别联立直线，与椭圆的方程，利用韦达定理求得，，代入可求得，所以点的横坐标，所以，，即可求出答案. 【详解】（1）设， 椭圆在点处的切线的方程为，在点处的切线的方程为， 因为切线与相交于点，所以，且， 说明均在直线上，所以直线的方程为. （2）由，，，可得，所以， 又在椭圆上，则，得， 因此，因为，所以，则， 所以，即的取值范围是. （3）的方程为，的方程为， 联立，可得，即， 点的坐标为，则，直线的方程为：，即， 直线的方程为：，即，联立，得， 由题意，此方程的两根为，则，即， 联立，得， 由题意，此方程的两根为，则，即， 又，，所以 ， 所以点的横坐标，所以， 又为线段的中点，故，可得. 26．（25-26高二上·贵州贵阳·期中）已知曲线上的动点满足点与定点的距离和到定直线：的距离之比是常数.圆：.点为一动点.    (1)求曲线的方程； (2)过点作曲线的两条切线，切点分别为两点.证明：直线过定点：（参考公式：若为椭圆上的点，则其在处的切线方程为.） (3)若直线与圆相切于点，且交曲线于两点.证明：为定值. 【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，列出方程并化简即得. （2）设出点的坐标，写出切线的方程，进而求出直线方程即可得证. （3）按直线的斜率是否存在，设出方程并与椭圆方程联立，结合圆心到直线距离及向量数量积的坐标表示求出，再利用数量积的运算律计算得证. 【详解】（1）依题意，，化简整理得， 所以曲线的方程为. （2）设点，则切线的方程分别为，， 因此，显然点的坐标满足方程，则直线的方程为， 对于任意实数，当时，恒有，即直线过定点， 所以直线过定点.   （3）当直线的斜率存在时，设其方程为，， 由直线与圆相切于点，得，，则， 由消去并整理得，则， ，， 因此 ，当直线的斜率不存在时，其方程为或， 由，解得，，于是， 所以为定值. 题型十四、非对称型韦达定理转换 （（共2大题）） 27．（2024·河南新乡·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，且． (1)求的渐近线方程． (2)点为的左支上一点，且．分别为的左、右顶点，过点的直线交的右支于两点，其中点在轴上方，直线与交于点． ①求直线的方程； ②证明：点到直线的距离为定值． 【答案】(1)(2)①；②证明见解析 【分析】（1）根据焦距求出，即可求出渐近线方程； （2）①设，则，利用余弦定理可求出，再利用勾股定理证明，即可得出结论；②可设直线的方程为，，联立方程，利用韦达定理求出，再分别求出直线的方程，再联立方程，从而可求出动点所在的位置，进而可得出结论. 【详解】（1）由题意可知，解得，则， 所以双曲线，所以的渐近线方程为； （2）①设，则，由余弦定理得， 即，解得（负根舍去），所以， 所以，则，所以直线的方程为； ②易知直线的斜率不为零，则可设直线的方程为，设， 联立，得，恒成立， 则，由题意得且，所以， 则直线，直线，联立可得 ，解得，故动点在直线上， 所以点到直线的距离为，所以点到直线的距离为定值. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 28．（2024·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，椭圆的方程是. (1)若直线与椭圆交于两点，为椭圆上任意一点，直线、斜率分别为、，求； (2)过椭圆的右焦点作直线交椭圆于，两点.直线，作于点证明直线过定点，并求出点坐标. 【答案】(1)(2)证明见解析， 【分析】（1）将直线与椭圆的方程联立，求得点的坐标，设点，将用点的坐标表示，代入点的坐标，化简计算即得； （2）设直线的方程为，与椭圆方程联立，设点，写出韦达定理，依次求出直线的斜率和直线方程，由图形对称性推得直线经过轴上的一个定点，令，利用韦达定理化简计算即得定点. 【详解】（1）把代入,整理得, 设,不妨设在第一象限，在第三 象限， 则,分别代入中,解得. 设点，则， 于是，（*），因点在椭圆上，则，即， 代入（*），可得； （2）当直线的斜率不为0时，如图可设其方程为， 代入，整理得：， 显然，设点， 则故得， 因，故，则直线的斜率为， 于是直线的方程为：， 由图形的对称性（交换点和点的位置）可知直线必经过轴上的一个定点， 故可令，代入可得：， 即直线经过定点.显然，当直线的斜率为0时，直线即轴，满足题意. 故直线经过定点. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线相交产生的定点、定值问题，属于较难题.在求解直线过定点问题时，要结合图形特征巧妙利用对称性，通过换角度作图，判断定点的大致位置，再予以针对性地求解证明. 题型十五、无韦达定理代入型 （（共2大题）） 29．（21-22高三·全国 专题练习） 已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F的直线与椭圆C相交于AB两点，当斜率为1时，坐标原点O到的距离为 （Ⅰ）求a,b的值； （Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有成立？ 若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由． 【答案】（Ⅰ），=（Ⅱ）C上存在点使成立，此时的方程为 【详解】解：设设方程为到的距离为 故由 得 ，= （Ⅱ）C上存在点，使得当绕转到某一位置时，有成立． 由 （Ⅰ）知C的方程为+="6." 设 (ⅰ) 由得，故 于是 , =, 代入①解得，，此时于是=， 即因此， 当时，， ； 当时，， ． （ⅱ）当垂直于轴时，由知，C上不存在点P使成立．综上，C上存在点 使成立，此时的方程为 30．（25-26高二上·北京海淀·月考）已知椭圆：的右焦点，离心率. (1)求椭圆的标准方程； (2)点是椭圆上一动点，且点不在坐标轴上，轴于点，，且交直线于点，直线交轴于点，求证：为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据椭圆的离心率计算得到椭圆的标准方程； （2）设点其中，因为轴于点，得到，利用两直线垂直的斜率关系和直线的点斜式方程得到直线的方程为，进而得到，计算的方程为，进而得到，计算得到证明. 【详解】（1）因为椭圆：的右焦点，所以， 因为离心率，解得，由，解得， 因此椭圆的标准方程为. （2）设点在椭圆上且，则，即， 当时，，直线为，因为，故直线为，为直线与的交点，即，直线的轴截距点，此时，所以. 当时，因为轴于点，所以， 故的斜率为，因，故的斜率为， 所以直线的方程为，令得点纵坐标为， 故，直线的斜率为，代入， 直线的方程为， 令，解得， 故，因此为定值. 综上所述，为定值. 题型十六、三角函数型 （（共2大题）） 31．（25-26高二上·江西南昌·月考）已知双曲线的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为，，且焦点到渐近线的距离为.点是双曲线上不同于的任意一点，过点作的平分线的垂线（垂足为）交直线于点，（为坐标原点）.过右焦点的直线交双曲线的右支于两点，记，的内切圆的圆心分别为，. (1)求双曲线的标准方程，并求出直线的倾斜角的取值范围. (2)求，到右顶点的距离之差的取值范围. 【答案】(1)，(2) 【分析】（1）利用焦点到渐近线的距离和焦点距离求出双曲线的值，得到双曲线标准方程，通过直线与双曲线方程联立，结合韦达定理和判别式求解直线斜率的范围，进而得到倾斜角的范围. （2）利用双曲线定义和内切圆性质，得到，的横坐标均为，且，的横坐标与右顶点相同，应用图形特征得出最后结合角的范围计算求解. 【详解】（1）焦点到渐近线的距离均为，故． 由角平分线的性质可知，在中，是中位线，则有． 又，即．又，所以，所以双曲线的标准方程为． 知，渐近线的倾斜角分别为，当是通径时，其倾斜角； 当不是通径时，可设其方程为，代入双曲线方程， 整理可得，． 由，可得，所以或， 综上所述，．所以双曲线的标准方程为．直线的倾斜角的取值范围为 （2）设在第一象限内，内切圆与的切点分别为， 则， 所以． 因此，切点是右顶点，所以圆心在直线上； 同理，圆心也在直线上，从而在直线上． 连接，由上分析可知，都垂直于， 且平分．知． 当时，，到右顶点的距离之差为0． 当时，在中，因为，所以， 则，所以． 因为， 所以．又，且，即或， 所以或． 综上所述，，到右顶点的距离之差的取值范围是． 32．（25-26高三上·湖南·月考）已知椭圆上一点到两个焦点的距离之和为6. (1)求椭圆的方程； (2)若椭圆上有不同的两点关于直线对称，求实数的取值范围； (3)若动直线与交于点，，点是轴正半轴上异于的一定点，若直线，的倾斜角分别为，且存在实数使得恒成立，求点的坐标及的值. 【答案】(1)(2)(3)， 【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的方程. （2）利用点差法列方程，根据点和椭圆的位置关系列不等式，由此求得的取值范围. （3）设，联立直线与椭圆的方程，化简写出根与系数的关系，由此化简已知条件，求得点坐标以及的值. 【详解】（1）由已知，将代入椭圆方程得，解得， 又椭圆上一点到两个焦点的距离之和为6， 所以，解得，所以椭圆的方程为. （2）设，是椭圆上关于直线：对称的两个点， 设是线段的中点，则点在直线上，且.则两式相减， 得. ，故，联立解得. ，点应在椭圆的内部，，解得. 实数的取值范围是. （3）设，（且），，， 将与联立得， 则，又分别为直线的倾斜角， 因为，所以为定值， 又， 又为定值，则，所以，当时，为定值， ，所以.   结束 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 专题3-4圆锥曲线综合大题 题型归纳·内容导航 题型1 “设而不求”基础 题型9 斜率和定（常考点） 题型2横截式直线 题型10斜率积定 题型3无定点双变量直线（常考点） 题型11斜率比定（难点) 题型4最值范围型：面积最值 题型12三斜率 题型5最值范围型：参数最值（重点） 题型13圆锥切线（难点） 题型6定点（常考点） 题型14非对称型韦达定理转换（难点） 题型7定值（难点） 题型15无韦达定理代入型 题型8定直线 题型16三角函数型 题型通关·靶向提分 题型一、“设而不求”基础（共2大题） 《25-26高三上河北月考)已知圆C+1Q>b>0的左、右顶点分别为4,8，左、右焦脑 分别为F,E,离心率为；P为椭圆C上异于A,B的任意一点，△PAB面积的最大值为23 (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点F且不与x轴重合的直线1与椭圆C交于G,H两点，设点Q(4,0),证明：∠GQH的平分线在x轴 上 6高三上黑龙江佳木斯月考)已知椭圆C:之+方a>b>0),其中离 2 ,长轴长为 4. (1)求椭圆C的标淮方程： (2)过点(0,2)的直线I交椭圆C于AB两点，0为坐标原点，若△AB0的面积为√2，求AB: 题型二、横截式直线（共2大题） 日25-Z6高=上山东济南月考)设稀图C。+口>6>0的左焦点为B,石焦点为，上顶京为 B,离心率为5，0是坐标原点，且1O8FB=6 3 (1)求椭圆c的方程 (2)已知过点F的直线1与椭圆C的两交点为M,N,若MF,⊥NF,,求直线1的方程. 4.(25-26高二上山东济宁.期中)己知线段MN的端点M(3,),端点N在圆(x+1)2+(y-1)2=4上运动， 线段MN的中点的轨迹方程为E· (1)求轨迹方程E; (2)过点A-1,0的直线1与曲线E交于P,Q两点，若0P.00=1,其中0为坐标原点，求PQ 题型三、无定点双变量直线（共2大题） 5,（25-26高三上安微安庆月考)在平面直角型标系x0中，已知双曲线T:千-片=1a>0,b>0)的离心 率为2，焦距4， (1)求Γ的方程： 1/7 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)双曲线左、右顶点分别为A,B,直线1与厂的左、右两支分别交于点C,D,记直线BC,BD的斜率 11=-1. 分别为，，且无十友 ()求证：直线l过定点： (i)P(-l,2),直线OP与BD交于点Q,判断并证明直线AQ与BC的位置关系。 6.(25-26高三上·上海青浦期末)已知椭圆r:x 22+,4a>2的左，右焦点分别为，，48为「上两 个不同的点，记△ABF的周长和面积分别为C和S. 1)若r的离心率为，，求a的值； (2)若满足AF=10的点A有且仅有两个，求a的取值范围： (3)若a=√5，是否存在点A,B使得C和S同时取到最大值？若存在，求出直线AB的方程；若不存在，说明 理由 题型四、最值范围型：面积最值（共2大题） 亿，(25-26商三上江西月考)在平面直角坐标系x0y中，已知椭图C:。+0>6>0)的离心率为 、右焦点，么B是C上位于x轴上方的两点，且直线 交于点P,当A上x轴时，PF=3 4 (1)求椭圆C的方程 (2)证明：PF+PF,为定值 (3)记点P的轨迹为T,动直线：y=x+m与T交于M,N两点，求aOMN面积的最大值 2526高上亚宁沈阳月考》设椭圆式+广口>b>0，R、F是椭圆T的左、右焦点， 在椭圆T上，点P(4,0)在椭圆外，且PF=4-5. (1)求椭圆Γ的方程： 2若1- 2 ,点C为椭圆Γ上横坐标大于1的一点，过点C的直线1与椭圆有且仅有一个交点，并与直 线PA,PB交于M,N两点，与x轴交于T(1,0). ①求t的取值范围； ②0为坐标原点，记aOMN,aPMN的面积分别为SS2,求S-S,S,+S的最小值. 题型五、最值范围型：参数最值（共2大题） 9256商二上河北承德月考)已知越物线C:产=4：的焦点为F,双脚战C,若若=a>06>0以 F为右焦点，且离心率e=2.过双曲线C,的左顶点A作直线：y=k(x+a)(k≠0)，与抛物线C交于M,N两 点，与双曲线C,的右支交于另一点P,满足AM=1AP,AN=sAP. (1)求双曲线C,的标准方程； 4 2)若1+s了求k的取值范围， 0.C25-26高三上广东月考)记椭圆E:5+片=1>b>0的左，右焦点分别为F,乃，过点F的直线 1与E交于A,B两点，己知△AFF的周长为6，△AFB的周长为8 (1)求E的方程； 2/7 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)当AF⊥BF,时，求1的斜率； (3)求cos∠AF,B的最大值 题型六、定点(（共2大题）) ,(25-26高二上福健月考)设F,卫分别是椭圆E:之+三1a>b>0的左，右焦点，过F且斜率为 的直线与E相交于A,B两点，且AF,AB,BF,成等差数列 (1)求E的离心率： g洁点P0引满P4=P8叭 ①求E的方程； ②设S2,2),点M,N在E上，且SM⊥SN,SD⊥MN,D为垂足.试探究，是否存在定点Q,使得DQ为定 值，若存在，求出定点Q的坐标；若不存在，说明理由 12.(25-26高二上陕西西安月考)已知抛物线C:y2=ax经过点P3-2√2,2√2-2，且F为C的焦点 (1)求F的坐标， (2)设A,B为C上两个不同的点，且A,B,F三点不共线，FA,FB的斜率分别为k,k2,且cosFA,FP= cosFB,FP (1)试问kk,是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. (i)证明：存在关于x轴对称的两个定点M,N,使得直线AB过M或N. 题型七，定值（共2大题） 13.（25-26商二上福建厦门期中)已知圆4(x+1+y2=},圆8：(x-1+少-9动圆p与圆4外切， 4 且与圆B内切，记点P的轨迹为C. (1)求C的方程； (2)过点Q(-4,0)且斜率不为0的直线1与C相交于点E,F(E在F的左侧)· ①设直线AB,AF的斜率分别为k,k,求证： 人为定值： ②设直线AF,BE相交于点M,点I为△AMB的内心，记△IAB,△IMA,△IMB的面积分别为S,S2,S ，证明：3、S为定值 14.(25-26高二上·重庆月考)己知动点M(x,y)与定点R2W2,0的距离和M到定直线1：x=42的距离 之北是常数号 (1)求点M的轨迹C的方程： (2)已知定点E(0,√2)，直线的方程为x+y-4√2=0，直线（上有一动点H,轨迹C上有一动点G，,求 EH+GH-GR的最小值： (3)若A,B为轨迹C上不同的两点，线段AB的中点为Q,当AOB面积取最大值时，是否存在两定点S, T,使QS+№T为定值？若存在，求出这个定值，若不存在，请说明理由. 题型八、定直线（共2大题） 15.(25-26高二上河北邢台期中)已知抛物线C:x2=2pyp>0)的焦点F到直线1：x-y-2=0的距离 为3V2 2 3/7 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)求p的值； 2倾斜角为2匹的直线I过F,与C交于A,B两点，求AB: (3)E是直线y=-1上一动点，过点E作C的两条切线，切点分别为M,N,证明：直线MN过定点 6256商上苏未3均州C号+ =1(a>b>0)上的点到其右焦点F(1,0)的最大距离为3. b2 (1)求椭圆C的方程； (2)设椭圆的左、右顶点分别为A,B,过点F的直线I与椭圆交于M,N两点（异于A,B)· ①若△AMN的面积为√15，求直线1的方程； ②若直线AN与直线BM交于点P,证明：点P在一条定直线上. 题型九、斜率和定（共2大题） 17.(2025陕西汉中.一模)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点P(1,y)(y>0)在C上， PF=2,斜率为-1的直线1与C交于M,N两点. (1)求C的方程； (2)若MN=8,求直线1的方程： (3)设直线PM与PN的斜率分别为k,k2,证明：k+k2为定值， 18.(25-26高三上贵州月考)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点P(1,y)(,>0)在C 上，PF=2,斜率为-1的直线1与C交于M,N两点. (1)求C的方程； (2)若MW=8,求直线1的方程； (3)设直线PM与PN的斜率分别为k,k,证明：k+k2为定值. 题型十、斜率积定（共2大题） 19.(25-26高二上山东泰安月考)已知椭圆C的一个焦点为-2,0，椭圆过 59 椭圆C的左顶点 为P. (1)求椭圆C的方程； (2)已知斜率存在且不为0的直线1过点D(1,0),设直线1与椭圆C交于A,B.若直线PA,PB分别交直线x=3于 点M,N,R为MN的中点，记直线AB,RD的斜率分别为k,k'探究：kk'是否为定值？若是，求出该定值； 若不是，请说明理由 0(2526高一上重庆月考已知南服E。+1a>0,b>0,的右焦点为F2.0,长独长为8 O.D (1)求椭圆E的方程； (2)己知A、B、C是椭圆E上的三个不同点. ①若A(-a,O),且ABC是等边三角形，求BC: ②若D(异于原点O)是ABC的外心，直线AB、BC、CA、OD的斜率均存在，并分别记为k、k、k、 4/7 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 k,求kkkk的值. 题型十一、斜率此定(（共2大题）） L35石商三上质西佰安月考)已双南线C:号若-a>0>0的右华点5倒坐标为5小，双 曲线C的一条渐近线方程为2x-y=0 (1)求双曲线C的标准方程； (2)记双曲线C的左、右顶点分别为AB,过点T(2,0)的直线1交双曲线C于点P,Q,(点P在第一象限)， 记直线4P的斜率为，直线BQ的斜率为k,求证：车为定值， k 2（2526商三上北京月考》锅圆C若+茶=>60的离心率为 ,左右顶点分别为A,4,上 3 下顶点分别为B,B,四边形AB,A,B是边长为2√2的菱形 (1)求椭圆C的方程； (2)已知A是椭圆C在第一象限上的点，B与A关于原点对称，E为椭圆C的右焦点，连接AF,与BF,并 延长交椭圆C于D,E两点，若直线AB的斜率为k,直线DE的斜率为k,试探究是否为定值.若是， k 则求出这个定值；若不是，请说明理由， 题型土二、三斜率(（共2大题）) 23.（25-26高二上安徽合肥期中)(1)己知点P(xo,y)和圆0：x2+y2=2,若点P在圆上，求点P处 切线1的方程； (2)己知圆0：x2+y2=r2,过圆0外一点P(x,)作圆0的切线，切线分别切圆0于A,B两点，求直 线IAB的方程； (3)法国数学家吉拉德·笛沙格于1639年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》中正式阐述：已知圆 锥曲线C:Ax2+By2+2Dx+2Ey+F=0.则称点P(xo,y)和直线I: Axx+Byy+D(x+x)+E(y+)+F=0是圆锥曲线C的一对极点和极线.已知点P(P,0)(p>a和直线1为 椭圆C:+少2 a+6=1(a>b>0)的一对极点和极线 ①根据材料写出极线1的方程： ②若Q为极线1上任意一点，过点P作直线交椭圆C于A,B两点，记PQ,OA,QB所在直线的斜率依 次为kpo,kA,koB求证：2kpe=kg4+kgB: 24.(25-26高二上贵州贵阳·月考)己知抛物线C:y2=2Px(p>0)的焦点为F,过点F且与x轴垂直的 直线交C于AB两点，且AB=4. (1)求抛物线C的方程，并写出C的焦点坐标和准线方程； (2)过焦点F的直线I与抛物线C交于M,N两点（异于A,B两点），且M,A位于x轴同一侧，直线AM与 BN相交于点G ①证明：点G在定直线上，记该直线为m,求出m的方程： ②H∈m,设直线HM,HF,HW的斜率分别为k,k,k,,证明：k+k=2k 题型土三、圆维切线（共2大题） 25.(25-26高二上湖北期中)已知椭圆+父-1，点8(-a,0,C(a,0),其中0<a<22, 82 D(x,y)(0<x<a,y>O)是椭圆上的一点，直线DB与椭圆的另一个交点为E,直线DC与椭圆的另一个 交点为F,椭圆在E,F两点处的切线I与相交于点P(m,n),线段DP的中点为G,设直线DB,DC的斜 率分别为k,k 5/7 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)证明：直线EF的方程为+四=1， 82 2求1 无+的取值范围（用a表示）； GB 3)若点D的坐标为(2.1，求Gd 给：若x,是指圆。+上一点，则椭围在点K)处的切线方程为停+常 26. (25-26高二上·贵州贵阳·期中)已知曲线W上的动点M(x,y)满足点M与定点F(1,0)的距离和M到定 直线1：x=2的距离之比是常数5.圆0：2+y=名点P为1一动点. 3 0 D (1)求曲线W的方程： (2)过点P作曲线W的两条切线PA,PB,切点分别为AB两点.证明：直线AB过定点：（参考公式：若 0)为篮号+若=a>6>0上的点，则其在0处偷切线方背为兰兴-1 (3)若直线CD与圆O相切于点M,且交曲线W于C,D两点.证明：|MCMD1为定值. 题型土四、非对称型韦达定理转换(（共2大题）) 72024河南新多一卫双曲线C无，3a>0)的左，右焦点分别为，5，且5E25 (1)求C的渐近线方程， ,且cos ZFO5,,4B分别为C的左、右顶点，过 于E,F两点，其中点E在x轴上方，直线EA与FB交于点P. ①求直线FQ的方程： ②证明：点P到直线FQ的距离为定值， 28。(2024四川成都模拟预测)在平面直角坐标系中，椭圆C的方程是×+上 431. (1)若直线y=x与椭圆C交于A,B两点，P为椭圆C上任意一点，直线PA、PB斜率分别为k、k2,求 k·k2; (2)过椭圆C的右焦点E作直线交椭圆于M,N两点.直线1：x=4,作MH⊥1于点H证明直线NH过定点E, 并求出E点坐标. 题型土五、无韦达定理代入型(（共2大题）) 没222高全国专陈》已如指版C号若-106>0：的心率为 ,过右焦点F的直 3 线1与椭圆C相交于A8两点，当1斜幸为1时，坐标原点0到1的距离为2 6/7 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (I)求a,b的值； (Ⅱ)C上是否存在点P,使得当1绕F转到某一位置时，有OP=OA+OB成立？ 若存在，求出所有的P的坐标与|的方程；若不存在，说明理由 30。(25-26高二上北京海淀月考)已知椭圆G: ,之+发1a>b>0的石焦点F,0，离心率e=Y 2 (1)求椭圆G的标准方程； (2)点P是椭圆G上一动点，且点P不在坐标轴上，PM⊥x轴于点M,FQ⊥PF,且FO交直线x=2于点 Q,直线交x轴于点N,求证：OMOW为定值. 题型士六、三角函数型(（共2大题）） 31.(25-26高二上江西南昌月考)已知双曲线-y 。厅=1a>0,b>0)的左、右顶点分别为4B,左、右 焦点分别为F,F,且焦点到渐近线的距离为2√3.点P是双曲线上不同于A,B的任意一点，过点E作 ∠FPF的平分线的垂线（垂足为M)交直线PF,于点Q,FF,=4OM(O为坐标原点）.过右焦点E的 直线交双曲线的右支于C,D两点，记△CFF,△DFF的内切圆的圆心分别为O,O. (1)求双曲线的标准方程，并求出直线CD的倾斜角的取值范围. (2)求O,O到右顶点B的距离之差的取值范围. 2.25:26商三上湖南月考》已知椭圆C:若+茶=1口>0>0)上一点40川到两个焦点的商之和为6 (1)求椭圆C的方程； (2)若椭圆C上有不同的两点关于直线y=4x+1对称，求实数t的取值范围； (3)若动直线x=my+1与C交于点M,N,点E是x轴正半轴上异于(1,0)的一定点，若直线EM,EN的倾 斜角分别为a,B(a+B≠π，且存在实数k使得tana+B)-k(tana+tanB)=0恒成立，求点E的坐标及k的 值 7/7