第2章 直线和圆的方程 测评卷(课件PPT)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

高中数学 选择性必修 第一册 A版 第二章测评卷 (时间:120分钟　满分:150分) 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.直线x+y=0的倾斜角为 A.45° B.60° C.90° D.135° 因为直线的斜率为-1,所以tan α=-1,即倾斜角为135°。 解析 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2.已知过点M(-2,a),N(a,4)的直线的斜率为-,则|MN|= A.10 B.180 C.6 D.6 由kMN=,解得a=10,即M(-2,10),N(10,4),所以|MN|=。故选D。 解析 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 3.若直线mx+ny+3=0在y轴上的截距为-3,且它的倾斜角是直线的倾斜角的2倍,则 A.m=-,n=1 B.m=-,n=-3 C.m=,n=-3 D.m=,n=1 依题意得,直线,所以其倾斜角为60°。所以-=-3,-,解得m=,n=1。 解析 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 4.平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是 A.2x+y+5=0或2x+y-5=0 B.2x+y+=0或2x+y-=0 C.2x-y+5=0或2x-y-5=0 D.2x-y+=0或2x-y-=0 设所求直线方程为2x+y+c=0,依题意有,解得c=±5,所以所求直线方程为2x+y+5=0或2x+y-5=0。故选A。 解析 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 5.若点P(1,1)为圆x2+y2-6x=0的弦MN的中点,则弦MN所在直线的方程为 A.2x+y-3=0 B.x-2y+1=0 C.x+2y-3=0 D.2x-y-1=0 由题意,知圆的标准方程为(x-3)2+y2=9,圆心A(3,0)。因为点P(1,1)为弦MN的中点,所以AP⊥MN。又AP的斜率k=,所以直线MN的斜率为2,所以弦MN所在直线的方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0。 解析 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 6.圆x2+y2-ax+2y+1=0关于直线x-y=1对称的圆的方程为x2+y2=1,则实数a的值为 A.0 B.1 C.±2 D.2 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 圆x2+y2-ax+2y+1=0,即+(y+1)2=,表示以A为圆心,以||为半径的圆。关于直线x-y-1=0对称的圆x2+y2=1的圆心坐标为(0,0),故有解得a=2。故选D。 解析 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 7.古希腊数学家阿波罗尼奥斯(约公元前262—公元前190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果。著作中有这样一个命题:平面内与两定点距离的比为常数k(k>0,且k≠1)的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆。已知点O(0,0),A(3,0),圆C:(x-2)2+y2=r2(r>0)上有且仅有一个点P满足|PA|=2|PO|,则r的取值可以为 A.1 B.2 C.3 D.4 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 设动点P(x,y),由|PA|=2|PO|,得(x-3)2+y2=4x2+4y2,整理得(x+1)2+y2=4,又点P是圆C:(x-2)2+y2=r2(r>0)上有且仅有的一点,所以两圆相切。 圆(x+1)2+y2=4的圆心坐标为(-1,0),半径为2,圆C:(x-2)2+y2=r2(r>0)的圆心坐标为(2,0),半径为r,两圆的圆心距为3,当两圆外切时,r+2=3,得r=1,当两圆内切时,|r-2|=3,r>0,得r=5。故选A。 解析 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 8.已知☉M:x2+y2-2x-2y-2=0,直线l:2x+y+2=0,P为l上的动点。过点P作☉M的切线PA,PB,切点为A,B当|PM|·|AB|最小时,直线AB的方程为 A.2x-y-1=0 B.2x+y-1=0 C.2x-y+1=0 D.2x+y+1=0 因为☉M:(x-1)2+(y-1)2=4,所以圆心M(1,1)。连接AM,BM,易知四边形PAMB的面积为|PM|·|AB|,欲使|PM|·|AB|最小,只需四边形PAMB的面积最小,即只需△PAM的面积最小。因为|AM|=2,所以只需|PA|最小。又 解析 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 |PA|=,所以只需|PM|最小,此时PM⊥l。因为PM⊥AB,所以l∥AB,所以kAB=-2,排除A,C。易求出直线PM的方程为x-2y+1=0,由所以P(-1,0)。因为点M到直线x=-1的距离为2,所以直线x=-1过点P且与☉M相切,所以A(-1,1)。因为点A(-1,1)在直线AB上,故排除B。故选D。 解析 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。 9.若直线过点(1,2),且在两坐标轴上截距的绝对值相等,则直线的方程可能为 A.x-y+1=0 B.x+y-3=0 C.2x-y=0 D.x-y-1=0 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 当直线过原点时,设直线的方程为y=kx,把点(1,2)代入,得k=2,所以此时直线的方程为2x-y=0;当直线斜率k=1时,设直线的方程为y=x+b,把点(1,2)代入,得b=1,所以此时直线的方程为x-y+1=0;当直线斜率k=-1时,设直线的方程为y=-x+b,把点(1,2)代入,得b=3,所以此时直线的方程为x+y-3=0。 解析 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 10.已知圆C和直线x-y=0及x轴都相切,且过点(3,0),则该圆的方程是A.(x-3)2+(y-)2=3 B.(x-3)2+(y+3)2=27 C.(x+3)2+(y-)2=3 D.(x-3)2+(y-3)2=27 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 设该圆的方程是(x-a)2+(y-b)2=b2(b≠0)。由题意,得所以该圆的方程是(x-3)2+(y-)2=3或(x-3)2+(y+3)2=27。故选AB。 解析 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 11.已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(-2,3),B(-2,-1),C(6,-1),以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点,则该圆的方程为 A.x2+y2=1 B.x2+y2=37 C.x2+y2=4 D.x2+y2= 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 过点A,C的直线方程为,化为一般式为x+2y-4=0,过点A,B的直线方程为x=-2,过点B,C的直线方程为y=-1,所以原点O到直线x+2y-4=0的距离dAC=。原点O到直线x=-2的距离dAB=2,原点O到直线y=-1的距离dBC=1,所以dAB>dAC>dBC。又|OA|=, |OB|=,且|OC|=,结合图形可 知,若以原点为圆心的圆与△ABC有唯一公共点,则公共点为(0,-1)或(6,-1),所以圆的半径为1或。故选AB。 解析 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 12.点M到x轴和到点N(-4,2)的距离都等于10,则点M的坐标为 。  (2,10)或(-10,10) 设M(x,y),则|y|==10,解得所以点M的坐标为(2,10)或(-10,10)。 解析 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 13.已知圆C的圆心坐标是(0,m),若直线2x-y+3=0与圆C相切于点A(-2,-1),则圆C的标准方程为 。  x2+(y+2)2=5 因为圆心坐标为(0,m),直线2x-y+3=0与圆C相切于点A(-2,-1),圆心和切点的连线与直线2x-y+3=0垂直,所以,解得m=-2,根据两点间的距离公式,可得圆C的半径r=,故圆C的标准方程为x2+(y+2)2=5。 解析 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 14.已知直线l:mx-y=1,若直线l与直线x+m(m-1)y=2垂直,则m的值为 ; 动直线l:mx-y=1被圆C:x2-2x+y2-8=0截得的最短弦长为 。  0或2 2 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 因为直线mx-y=1与直线x+m(m-1)y=2垂直,所以m×1+(-1)×m(m-1)=0,解得m=0或m=2。动直线l:mx-y=1过定点(0,-1),圆C:x2-2x+y2-8=0化为(x-1)2+y2=9,圆心(1,0)到直线mx-y-1=0的距离的最大值为,所以动直线l 被圆C截得的最短弦长为2。 解析 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分)已知直线l经过点P(-2,1),且与直线x+y=0垂直。 (1)求直线l的方程; (1)由题意得直线l的斜率为1,故直线l的方程为y-1=x+2,即x-y+3=0。 解 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)若直线m与直线l平行且点P到直线m的距离为,求直线m的方程。 (2)由直线m与直线l平行,可设直线m的方程为x-y+c=0(c≠3),由点到直线的距离公式得,即|c-3|=2,解得c=1或c=5。故直线m的方程为x-y+1=0或x-y+5=0。 解 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 16.(本小题满分15分)已知圆M:(x-1)2+(y-1)2=4,直线a过点P(2,3)与圆M交于A,B两点,且|AB|=2,求直线a的方程。 当直线a的斜率存在时,设直线a的方程为y-3=k(x-2),即kx-y+3-2k=0。如图,作MC⊥AB于点C,在Rt△MBC中,BC=,MB=2,所以MC==1。由点到直线的距离公式,得|MC|==1, 解 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解得k=。所以直线a的方程为3x-4y+6=0。当直线a的斜率不存在时,其方程为x=2,此时圆心M到直线a的距离为1,符合题意。综上可知,直线a的方程为3x-4y+6=0或x=2。 解 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 17.(本小题满分15分)红谷隧道是江西南昌穿越赣江的一条过江行车通道,总长2 997 m,在南昌大桥和新八一大桥之间,也是国内最大的水下立交系统。如图,已知隧道截面是一圆拱形(圆拱形是取某一圆周的一部分构成巷道拱部的形状),路面宽为4 m,高4 m。车辆只能在道路中心线一侧行驶,一辆宽为2.5 m,高为3.5 m的货车能否驶入这个隧道?请说明理由。(参考数据:≈3.74) 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 如图,建立平面直角坐标系,设圆心M(0,m),A(2,0),B(0,4),由|MA|=|MB|得,m=-,则圆的方程为x2+,所以当x=2.5时,y=≈3.24<3.5。即一辆宽为2.5 m,高为3.5 m的货车不能驶入这个隧道。 解 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 18.(本小题满分17分)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C:(x-2)2+ (y-3)2=1交于M,N两点。 (1)求k的取值范围; (1)由题设可知直线l的方程为y=kx+1。因为直线l与圆C交于两点,所以<1,解得。所以k的取值范围为。 解 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)若=12,其中O为坐标原点,求|MN|。 (2)设M(x1,y1),N(x2,y2)。将y=kx+1代入方程(x-2)2+(y-3)2=1,整理得(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0。所以x1+x2=,x1x2= ·=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=+8。由题设可得+8=12,解得k=1,满足,所以直线l的方程为 y=x+1。故圆心C在直线l上,所以|MN|=2。 解 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 19.(本小题满分17分)已知以点C(t∈R,t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O,A,与y轴交于点O,B,其中O为原点。 (1)求证:△OAB的面积为定值; (1)证明:因为圆C过原点O,且|OC|2=t2+。所以圆C的方程是(x-t)2+,令x=0,得y1=0,y2=,即B;令y=0,得x1=0,x2=2t,即A(2t,0),所以S△OAB=|OA|·|OB|=×|2t|×||=4,即△OAB的面积为定值。 解 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 1 2 3 4 6 7 8 9 5 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)设直线y=-2x+4与圆C交于点M,N,若|OM|=|ON|,求圆C的方程。 (2)因为|OM|=|ON|,|CM|=|CN|,所以OC垂直平分线段MN。因为kMN=-2,所以kOC=t,解得t=2或t=-2。当t=2时,圆心C的坐标为(2,1),|OC|=,此时圆心C到直线y=-2x+4的距离d=,圆C与直线y=-2x+4相交于两点。当t=-2时,圆心C的坐标为(-2,-1),|OC|=,此时圆心C到直线y=-2x+4的距离d=。圆C与直线y=-2x+4不相交,所以t=-2不符合题意,舍去。所以圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5。 解 第 ‹#› 页 赢在字里行间 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第一册 A版 $$