精品解析：山东省济宁市实验中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

2024-2025学年度高二年级三月份模块检测 数学试题 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 某直线运动的物体从时刻到的位移为，那么为（　　） A. 从时刻到物体的平均速度 B. 从时刻到位移的平均变化率 C. 当时刻为时该物体的速度 D. 该物体在时刻的瞬时速度 2. 下列求导运算正确的是（ ） A B. C. D. 3. 函数f (x)图象如图所示，下列数值排序正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学､航天等众多领域，并取得了显著经济效益.假设某放射性同位素的衰变过程中，其含量P（单位：贝克）与时间t（单位：天）满足函数关系，其中P0为时该放射性同位素的含量.已知时，该放射性同位素的瞬时变化率为，则该放射性同位素含量为4.5贝克时，衰变所需时间为（ ） A. 20天 B. 30天 C. 45天 D. 60天 7. 已知方程有两个零点，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 定义在R上的可导函数的导数为，满足且是偶函数，（为自然对数的底数），则不等式的解集为（　　） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列复合函数的导数计算正确的有（ ） A. 若函数，则 B. 若函数，则 C 若函数，则 D. 若函数，则 10. 函数的定义域为，导函数在内的图象如图所示，则下列命题正确的是（ ） A. 函数内一定不存在最小值 B. 函数在内只有一个极小值点 C. 函数在内有两个极大值点 D. 函数在内可能没有零点 11. 已知函数，函数，下列对函数描述正确的是（ ） A. 当时，有三个零点 B. 当时，有三个零点 C. 当时，有三个零点 D. 当时，有两个零点 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若，则________ 13. 已知为函数图象上任意一点，则的最大值为______. 14. 已知定义在R上的函数 ，若 有解，则实数a的取值范围是______________． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知函数，其导函数为，不等式的解集为. （1）求a，b的值； （2）求函数在上的最大值和最小值. 16. 某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：m），其中容器的中间为圆柱体，左右两端均为半球体，按照设计要求容器的体积为m3.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱体部分每平方米建造费用为3万元，半球体部分每平方米建造费用为4万元．设该容器的总建造费用为y万元． （1）将y表示成r的函数，并求该函数的定义域； （2）确定r和l为何值时，该容器的建造费用最小，并求出最小建造费用． 17. 设. （1）讨论f(x)的单调性； （2）当x>0时，f(x)>0恒成立，求k的取值范围. 18. 已知函数，记的图象为曲线C． （1）若以曲线C上的任意一点为切点作C的切线，求切线的斜率的最小值； （2）求证：以曲线C上的两个动点A，B为切点分别作C的切线，，若恒成立，则动直线AB恒过某定点M． 19. 已知函数，其中． （1）当时，求的单调区间； （2）求当时，函数在区间上的最小值； （3）若函数有两个不同的零点. ①求实数a的取值范围； ②证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度高二年级三月份模块检测 数学试题 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 某直线运动的物体从时刻到的位移为，那么为（　　） A. 从时刻到物体的平均速度 B. 从时刻到位移的平均变化率 C. 当时刻为时该物体的速度 D. 该物体在时刻的瞬时速度 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由变化率与导数的关系，分析可得答案. 【详解】根据题意，直线运动的物体，从时刻到时，时间的变化量为，而物体的位移为，那么为该物体在时刻的瞬时速度. 故选：D. 2. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的运算法则即可判断各选项. 【详解】对于A，，A错； 对于B，，B错； 对于C，，C错； 对于D，，D对. 故选：D 3. 函数f (x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知函数的图象，先判断它的单调性，然后根据函数图象斜率的变化，从而求解． 【详解】观察函数的图象知：当时，单调递增，且当时，， 随着逐渐增大，函数图象由陡逐渐变缓，，，， 而（即点B）处切线的倾斜角比（即点A）处的倾斜角小，且均为锐角， ，又是割线AB的斜率，显然， 所以. 故选：B 4. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 判断奇偶性，函数值正负，特殊的函数值的大小，用排除法得出正确结论． 【详解】，是奇函数，排除A，又时，，，排除D，，排除B． 故选：C． 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手： (1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象. 5. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知，通过构造函数，利用导数研究函数的单调性，再利用单调性比较函数值的大小. 【详解】因为，，，所以构造函数， 因为，由有：， 由有：，所以在上单调递减， 因为，，, 因为，所以，故A，B，D错误. 故选：C. 6. 随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学､航天等众多领域，并取得了显著经济效益.假设某放射性同位素的衰变过程中，其含量P（单位：贝克）与时间t（单位：天）满足函数关系，其中P0为时该放射性同位素的含量.已知时，该放射性同位素的瞬时变化率为，则该放射性同位素含量为4.5贝克时，衰变所需时间为（ ） A. 20天 B. 30天 C. 45天 D. 60天 【答案】D 【解析】 【分析】根据题中条件，先求出，再令，代入解析式求解，即可得出结果. 【详解】由得， 因为时，该放射性同位素的瞬时变化率为， 即，解得， 则， 当该放射性同位素含量为贝克时，即， 所以，即，所以，解得. 故选：D. 7. 已知方程有两个零点，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求定义域，令得有两个根，构造，求导得到其单调性，得到最值，结合函数图象特征得到实数a的取值范围. 【详解】的定义域为， 令得，即有两个根， 令，则， 令，显然在单调递减， 又，故当时，，当时，， 故时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故的最大值为，当时，恒成立， 当趋向于0时，趋向于， 故要想有两个根，需满足 故选：A 8. 定义在R上的可导函数的导数为，满足且是偶函数，（为自然对数的底数），则不等式的解集为（　　） A. B. C D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知不等式和所求不等式的形式构造新函数，结合导数，利用新函数的单调性，以及偶函数的性质进行求解即可. 【详解】构造函数，所以， 因为，所以，因此函数是实数集上的增函数， 因为函数是偶函数，所以有， 令，有，因此， 于是由， 因为函数是实数集上的增函数，所以有， 故选：C 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列复合函数的导数计算正确的有（ ） A. 若函数，则 B. 若函数，则 C. 若函数，则 D. 若函数，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，结合复合函数的求导法则，准确计算，即可求解. 【详解】对于A中，由函数，可得，所以A正确； 对于B中，由函数，可得，所以B正确； 对于C中，由函数，可得，所以C错误； 对于D中，由函数， 可得，所以D正确． 故选：ABD. 10. 函数的定义域为，导函数在内的图象如图所示，则下列命题正确的是（ ） A. 函数在内一定不存在最小值 B. 函数在内只有一个极小值点 C. 函数在内有两个极大值点 D. 函数在内可能没有零点 【答案】BCD 【解析】 【分析】对AB，设的根为，且，进而分析函数的单调性与极值和最值即可；对C，根据导数确定原函数的极值点即可；对D，举反例判断即可. 【详解】对AB，设的根为，且，则由图可知， 函数在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增， 在内单调递减，所以函数在区间内有极小值， 当时，是函数在区间内的最小值， 所以A错误，B正确； 对C，函数在区间内有极大值，所以C正确； 对D，当时，函数在内没有零点，所以D正确． 故选：BCD． 11. 已知函数，函数，下列对函数描述正确的是（ ） A. 当时，有三个零点 B. 当时，有三个零点 C. 当时，有三个零点 D. 当时，有两个零点 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用导数分析函数的单调性和函数值的变化规律，根据零点定义可得函数的零点为方程和方程的解，结合函数的性质确定取不同值时函数的零点个数，可得结论. 【详解】当时，， 所以， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 且，，， 当时，，当时，， 当时，与一次函数相比，函数呈爆炸性增长， 从而，，当时，， 所以， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 且，， 当时，，当时，， 当时，与对数函数相比，一次函数呈爆炸性增长， 从而，， 当，且时，， 根据以上信息，可作出函数的大致图象如下： 函数的零点个数与方程的解的个数一致， 方程，可化为， 所以或， 由图象可得没有解， 所以方程的解的个数与方程解的个数相等， 而方程的解的个数与函数的图象与函数的图象的交点个数相等， 当时，函数的图象与函数的图象有两个交点， 所以当时，有两个零点，B错误； 当时，函数的图象与函数的图象有两个交点， 所以当时，有两个零点，D正确； 当时，函数的图象与函数的图象有三个交点， 所以当时，有三个零点，A正确； 当时，函数的图象与函数的图象有三个交点， 所以当时，有三个零点，C正确； 故选：ACD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若，则________ 【答案】 【解析】 【分析】由导数的运算法则与赋值法求解， 【详解】，令，得， 故答案为： 13. 已知为函数图象上的任意一点，则的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，利用导数求解函数的单调性，即可求解极值点与端点值，比较即可求解. 【详解】由题意可得，所以， 记，则， 令，则，解得或， 令，则，解得， 故在单调递增，在单调递减， 故， 由于，所以最大值为， 故答案为： 14. 已知定义在R上的函数 ，若 有解，则实数a的取值范围是______________． 【答案】 【解析】 【分析】分析 的奇偶性和单调性，根据奇偶性和单调性求解. 【详解】 ，所以 是奇函数， 又 ， 在R的范围内是增函数， 有解等价于 ， 有解， 令 ， 当 时， 是增函数，当x趋于 时， 趋于 ，满足题意； 当 时，当 时， ， 是增函数，当 时， 是减函数， ； 令 ，则 ，当 时， ， 是增函数，当 时， 是减函数， 并且当 时， ， ， 当 时 ，即当 时， 满足题意， 所以a的取值范围是 ； 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知函数，其导函数为，不等式的解集为. （1）求a，b的值； （2）求函数在上的最大值和最小值. 【答案】（1）；（2）最大值：，最小值：. 【解析】 【分析】（1）根据题意可得的解集为，利用韦达定理即可求解. （2）利用导数判断函数的单调性，然后求出极值与端点值即可求解. 【详解】解：（1）由的解集为， 则. （2）由（1）问可知，， ，则 x 2 大于零 等于零 小于零 单调递增 极大值 单调递减 则， 由，，则. 【点睛】本题考查了由一元二次不等式的解集求参数、利用导数求函数的最值，考查了计算求解能力，属于基础题. 16. 某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：m），其中容器的中间为圆柱体，左右两端均为半球体，按照设计要求容器的体积为m3.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱体部分每平方米建造费用为3万元，半球体部分每平方米建造费用为4万元．设该容器的总建造费用为y万元． （1）将y表示成r的函数，并求该函数的定义域； （2）确定r和l为何值时，该容器的建造费用最小，并求出最小建造费用． 【答案】（1），定义域为 （2）当r＝2米时，该容器的建造费用最小，为96π万元，此时l＝m 【解析】 【分析】（1）根据圆柱和球的体积公式即可得与关系，根据题意建立与的函数关系； （2）求函数的导数，判断函数的单调性，即可求出函数的最小值． 【小问1详解】 由题意可知，，∴， 又圆柱的侧面积为，两端两个半球的表面积之和为， 所以， 又，， 所以定义域为. 【小问2详解】 因为， 所以令，得，令，得， 又定义域为，所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当米时，该容器的建造费用最小，为万元，此时m. 17. 设. （1）讨论f(x)的单调性； （2）当x>0时，f(x)>0恒成立，求k的取值范围. 【答案】（1）答案见解析（2） 【解析】 【分析】（1）求函数导数，根据的取值范围分类讨论即可求出函数的单调性； （2）由（1）求函数在时的最小值，问题转化为函数的最小值大于0恒成立，根据函数单调性，分类讨论求函数的最小值，并判定最小值与0的大小关系即可求解. 【详解】（1）， ， ①当时，即时，， 在上是减函数； ②当时，即时， 由， 解得， 当时，，当时，， 在单调递减，在上单调递增， 综上，时，函数在上是减函数，无单调增区间； 时，函数在单调递减，在上单调递增. （2）由（1）知， 若时，在无最小值，所以f(x)>0不恒成立； 若时， ①当时，， 所以函数在上单调递增， 所以， 即当x>0时，f(x)>0恒成立； ②当时，， 函数在递减，在上递增， 所以当时， ， 只需即可， 令，， 则， 所以在上是增函数， 故， 即无解， 所以时，f(x)>0不恒成立。 综上，k的取值范围为. 【点睛】本题主要考查了利用导数求函数单调区间，求函数的最小值，分类讨论，转化思想，属于难题. 18. 已知函数，记的图象为曲线C． （1）若以曲线C上任意一点为切点作C的切线，求切线的斜率的最小值； （2）求证：以曲线C上的两个动点A，B为切点分别作C的切线，，若恒成立，则动直线AB恒过某定点M． 【答案】（1）； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用导数求出切线的斜率，再借助二次函数求出最小值. （2）设出点的坐标，再结合两条切线平行，列式计算推理即得. 【小问1详解】 由函数，求导得， 因此曲线C在处切线的斜率为，当且仅当时取等号， 所以切线的斜率的最小值为. 【小问2详解】 设点，，由，得， 即，整理得，因此， 于是 ， 显然点是线段的中点， 所以当时，直线恒过定点. 19. 已知函数，其中． （1）当时，求的单调区间； （2）求当时，函数在区间上的最小值； （3）若函数有两个不同的零点. ①求实数a的取值范围； ②证明：. 【答案】（1）增区间为，减区间为 （2） （3）①；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数求函数的单调区间； （2）利用导数分类讨论函数在区间的单调性，由单调性求最小值； （3）由函数有两个不同的零点，构造函数利用导数研究函数单调性的最值，结合函数图像求实数a的取值范围；把零点代入函数解析式，证明转化为证明，通过构造函数利用导数求最值的方法证明. 【小问1详解】 当时，，定义域为， 若，则；若，则； 所以的增区间为，减区间为 【小问2详解】 函数的定义域是， ． 当时，令则或(舍)． 当，即时，，在上单调递减， 在上最小值是， 当，即时， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 在上的最小值是， 当，即时，，，在上单调递增， 在上的最小值是． 综上，． 【小问3详解】 ①有两个不同的零点即有两个不同实根， 得，令，，令，得， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 时，取得最大值，且，当时， 得的大致图像如图所示： ，所以实数a的取值范围为． ②当时，有两个不同的零点． 两根满足，， 两式相加得：，两式相减得：， 上述两式相除得，不妨设，要证：， 只需证：，即证， 设，令，则， 函数在上单调递增，且． ，即，． 【点睛】方法点睛： 导函数中常用两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．不等式问题，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$