7.1 条件概率与全概率公式（单元教学设计）-【大单元教学】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第三册）

7．1 条件概率与全概率公式（单元教学设计） 一、【单元目标】 （1）使学生了解条件概率及全概率公式的概念及其应用场景． （2）掌握条件概率和全概率公式的计算方法． （3）能够运用条件概率和全概率公式解决实际问题，提高数学思维和问题解决能力． 二、【单元知识结构框架】 三、【学情分析】 本节课面对的学生已经具备了一定的概率基础知识，对随机事件、概率计算等概念有所了解．然而，条件概率与全概率公式是相对抽象且较难理解的内容，学生可能会在计算和应用方面遇到困难．部分学生可能对于条件概率的“条件”理解不够深入，容易混淆条件概率与一般概率．因此，在教学过程中，需要注重引导学生理解条件概率的含义，通过实例演示和练习，帮助学生掌握条件概率和全概率公式的计算方法，并培养他们的实际应用能力，确保学生能够灵活运用所学知识解决实际问题． 四、【教学设计思路/过程】 课时安排：2课时 教学重点：条件概率与概率的乘法公式、全概率公式；用条件概率、概率乘法公式、全概率公式解决实际问题的概率问题． 教学难点：对条件概率中条件的正确理解，及乘法公式和全概率公式的应用． 教学方法/过程： 五、【教学问题诊断分析】 环节一、情景引入，温故知新 情景：集市上，有这样一个游戏很受孩子们的喜欢，游戏规则是： 袋中有两个球，一个白球，一个黑球，从袋中每次随机摸出1个球，现有两种方案： （1）若两次都取到黑球，摊主送给摸球者10元钱，否则摸球者付给摊主5元钱； （2）若已知第一次取到黑球的条件下，第二次也取到黑球，摊主送给摸球者10元钱，否则摸球者付给摊主5元钱．你觉得这个游戏公平吗？摊主会不会赔钱？ 环节二、抽象概念，内涵辨析 1．条件概率的理解 问题1：抛掷一枚质地均匀的硬币两次． （1）两次都是正面向上的概率是多少？ （2）在已知有一次出现正面向上的条件下，两次都是正面向上的概率是多少？ （3）在第一次出现正面向上的条件下，第二次出现正面向上的概率是多少？ 【破解方法】（1）两次抛掷硬币，试验结果的样本点组成样本空间正正，正反，反正，反反}，其中两次都是正面向上的事件记为，则正正，故． （2）将两次试验中有一次正面向上的事件记为，则正正，正反，反正，那么，在发生的条件下，发生的概率为．在事件发生的条件下，事件发生的概率产生了变化． （3）将第一次出现正面向上的事件记为，则正正，正反，那么，在发生的条件下，发生的概率为．在事件发生的条件下，事件发生的概率产生了变化． 【归纳新知】 （1）条件概率的概念 一般地，设A，B为两个随机事件，且，我们称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率，简称条件概率． 2．全概率公式 问题2：从有个红球和个蓝球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回．显然，第1次摸到红球的概率为．那么第2次摸到红球的概率是多大?如何计算这个概率呢? 【破解方法】因为抽签具有公平性，所以第2次摸到红球的概率也应该是，但是这个结果并不显然，因为第2次摸球的结果受第1次摸球结果的影响．下面我们给出严格的推导． 用表示事件“第次摸到红球”，表示事件“第次摸到蓝球”，．如图所示． 事件可按第1次可能的摸球结果（红球或蓝球）表示为两个互斥事件的并， 即 利用概率的加法公式和乘法公式， 得 【归纳新知】 全概率公式 （1）； （2）定理：若样本空间中的事件，，…，满足： ①任意两个事件均互斥，即，，； ②； ③，． 则对中的任意事件，都有，且 ． 注意：①全概率公式是用来计算一个复杂事件的概率，它需要将复杂事件分解成若干简单事件的概率计算，即运用了“化整为零”的思想处理问题． ②什么样的问题适用于这个公式？所研究的事件试验前提或前一步骤试验有多种可能，在这多种可能中均有所研究的事件发生，这时要求所研究事件的概率就可用全概率公式． 贝叶斯公式 （1）一般地，当且时，有 （2）定理若样本空间中的事件满足： ①任意两个事件均互斥，即，，； ②； ③，． 则对中的任意概率非零的事件，都有， 且 注意：①在理论研究和实际中还会遇到一类问题，这就是需要根据试验发生的结果寻找原因，看看导致这一试验结果的各种可能的原因中哪个起主要作用，解决这类问题的方法就是使用贝叶斯公式．贝叶斯公式的意义是导致事件发生的各种原因可能性的大小，称之为后验概率． ②贝叶斯公式充分体现了，，，，，之间的转关系，即，，之间的内在联系． 3．概率的乘法公式 问题3：三张奖券中只有一张能中奖，现分别由甲、乙两名同学有放回地抽取，事件为“甲没有抽到中奖奖券”，事件为“乙抽到中奖奖券”，事件的发生会不会影响事件发生的概率?与有什么关系? 【破解方法】不会，事件与事件是相互独立事件；有放回地抽取奖券时，乙也是从原来的三张奖券中任抽一张，因此． 【归纳新知】 概率的乘法公式 由条件概率的定义，对任意两个事件与，若，则．我们称上式为概率的乘法公式． 4．互斥事件的条件概率 问题4：在必修第二册中，我们已经学习了概率的基本性质，基本性质包括什么？ 【破解方法】性质1：对任意的事件，都有； 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即； 性质3：如果事件与事件互斥，那么； 性质4：如果事件与事件互为对立事件，那么； 性质5：如果，那么，由该性质可得，对于任意事件，因为，所以． 性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，有． 【归纳新知】 条件概率的性质 设，则 （1） （2）如果与是两个互布事件，则； （3）设和互为对立事件，则． 环节三：例题练习，巩固理解 题型一：利用定义求条件概率 【典例1-1】在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回．求： （1）第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率； （2）在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率． 【解析】（1）设事件表示“第1次抽到代数题”，事件表示“第2次抽到几何题”， 则，所以第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率为． （2）由（1）可得，在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为． 【典例1-2】设，且，．根据事件包含关系的意义及条件概率的意义，直接写出 和的值再由条件概率公式进行验证． 【解析】因为，且，，则发生一定发生， 所以，， 又因为，由条件概率公式得： ，． 【变式1-1】从一副不含大小王的52张扑克牌中，每次从中随机抽出1张扑克牌，抽出的牌不再放回．已知第1次抽到A牌，求第2次抽到A牌的概率． 【解析】设第一次抽到的事件为，第2次抽到的事件为， 则第一次和第二次都抽到事件的事件为， 在第一次抽到的条件下，扑克牌仅剩下51张牌，其中有3张， ，， 第1次抽到，第2次也抽到的概率为： ． 题型二：全概率公式 【典例2-1】已知3张奖券中只有1张有奖，甲、乙、丙3名同学依次无放回地各抽一张．他们中奖的概率与抽奖的次序有关吗？ 【解析】用A，B，C分别表示甲、乙、丙中奖的事件，则，． ； ； ． 因为，所以中奖的概率与抽奖的次序无关． 【典例2-2】银行储蓄卡的密码由6位数字组成．某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后1位数字，求： （1）任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率； （2）如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率． 【解析】（1）设“第i次按对密码”（，2），则事件“不超过2次就按对密码”可表示为． 事件与事件互斥，由概率的加法公式及乘法公式，得 ． 因此，任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率为． （2）设“最后1位密码为偶数”，则． 因此，如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率为． 【变式2-1】某学校有A，两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0．6；如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0．8，计算王同学第2天去餐厅用餐的概率． 【解析】设 “第1天去A餐厅用餐”，“第1天去B餐厅用餐”，“第2天去A餐厅用餐”， 根据题意得，，， 由全概率公式，得， 因此，王同学第天去餐厅用餐的概率为． 【变式2-2】在、、三个地区爆发了流感，这三个地区分别有、、的人患了流感假设这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任意选取一个人． （1）求这个人患流感的概率； （2）如果此人患流感，求此人选自地区的概率． 【解析】（1）记事件选取的这个人患了流感，记事件此人来自地区，记事件此人来自地区，记事件此人来自地区， 则，且、、彼此互斥， 由题意可得，，， ，，， 由全概率公式可得 ； （2）由条件概率公式可得． 题型三：贝叶斯公式 【典例3-1】有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%． （1）任取一个零件，计算它是次品的概率； （2）如果取到的零件是次品，计算它是第i（i＝1，2，3）台车床加工的概率． 【解析】设B＝“任取一个零件为次品”，Ai＝“零件为第i台车床加工”（i＝1，2，3），则Ω＝A1∪A2∪A3，A1，A2，A3两两互斥．根据题意得 P（A1）＝0．25，P（A2）＝0．3，P（A3）＝0．45， P（B|A1）＝0．06，P（B|A2）＝P（B|A3）＝0．05． （1）由全概率公式，得 P（B）＝P（A1）P（B|A1）＋P（A2）P（B|A2）＋P（A3）P（B|A3） ＝0．25×0．06＋0．3×0．05＋0．45×0．05 ＝0．0525． （2）“如果取到的零件是次品，计算它是第i（i＝1，2，3）台车床加工的概率”，就是计算在B发生的条件下，事件Ai发生的概率． P（A1|B）＝＝ ＝＝． 类似地，可得 P（A2|B）＝，P（A3|B）＝． 【典例3-2】在数字通信中心信号是由数字0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0．9和0．1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0．95和0．05．假设发送信号0和1是等可能的． （1）分别求接收的信号为0和1的概率； （2）已知接收的信号为0，求发送的信号是1的概率． 【解析】（1）设“发送的信号为0”，“接收到的信号为0”，则“发送的信号为1”，“接收到的信号为1”．由题意得 ，，， ，． ； ． （2）． 【变式3-1】两批同种规格的产品，第一批占40%，次品率为5%；第二批占60%，次品率为4%．将两批产品混合，从混合产品中任取1件． （1）求这件产品是合格品的概率； （2）已知取到的是合格品，求它取自第一批产品的概率． 【解析】（1）求这件产品是合格品的概率为 （2）设{取到的是合格品}，{产品来自第批}， 则， 则， 根据公式得： ． 环节四：小结提升，形成结构 问题5：请你带着下列问题回顾本节课学习的内容： （1）什么是条件概率?求条件概率一般方法有哪些？ （2）条件概率有哪些性质? （3）应用全概率公式计算概率的步骤是什么？ （4）条件概率与贝叶斯公式有什么联系? 【破解方法】进一步反思巩固所学知识， 感悟数学思想与方法的作用， 厘清知识之间的联系与区别， 培养归纳概括的能力． 六、【教学成果自我检测】 环节五：目标检测，检验效果 1．袋子中有10个大小相同的小球，其中7个白球，3个黑球．每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．求： （1）在第1次摸到白球的条件下，第2次摸到白球的概率； （2）两次都摸到白球的概率． 【解析】（1）设第1次摸到白球为事件A，第2次摸到白球为事件B，由题意即求， 因为 ， ， 所以， 即在第1次摸到白球的条件下，第2次摸到白球的概率 ． （2）因为摸出的球不放回，所以两次都摸到白球的概率为． 2．为了研究不同性别学生患色盲的比例，调查了某学校2000名学生，数据如下表所示． 男 女 合计 色盲 60 2 62 非色盲 1140 798 1938 合计 1200 800 2000 从这2000人中随机选择1个人． （1）已知选到的是男生，求他患色盲的概率； （2）已知选到的学生患色盲，求他是男生的概率． 【解析】（1）记“选到男生”为事件，则， 记“选到既是男生又是色盲” 为事件，则， 所以在选到是男生的条件下，选到色盲的概率为； （2）记“选到为色盲”为事件，则， 则在选到色盲的条件下，选到男生的概率是． 3．甲、乙两人同时向一目标射击，已知甲命中目标的概率为0．6，乙命中目标的概率为0．5．已知目标至少被命中1次，求甲命中目标的概率． 【解析】由题意可得，目标至少被命中1次的概率为， 又因为甲命中目标的概率为， 所以目标至少被命中1次，甲命中目标的概率． 4．甲和乙两个箱子中各装有10个球，其中甲箱中有5个红球、5个白球，乙箱中有8个红球、2个白球．掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，从甲箱子随机摸出1个球；如果点数为3，4，5，6，从乙箱子中随机摸出1个球．求摸到红球的概率． 【解析】从甲箱中摸红球：掷到点数为1或2的概率为，再从甲箱中摸到红球的概率为， 故从甲箱中摸到红球的概率为； 从乙箱中摸红球：掷到点数为3，4，5，6的概率为，再从乙箱中摸到红球的概率为， 故从乙箱中摸到红球的概率为； 综上所述：摸到红球的概率为． 5．已知，，，证明：． 【解析】因为，，所以，即 ， 所以，即． 6．一批产品共有100件，其中5件为不合格品．收货方从中不放回地随机抽取产品进行检验，并按以下规则判断是否接受这批产品：如果抽检的第1件产品不合格，则拒绝整批产品；如果抽检的第1件产品合格，则再抽1件，如果抽检的第2件产品合格，则接受整批产品，否则拒绝整批产品．求这批产品被拒绝的概率． 【解析】抽检第1件产品不合格的概率为， 抽检的第1件产品合格，第2件产品不合格的概率为， 所以这批产品被拒绝的概率为． 7．在孟德尔豌豆试验中，子二代的基因型为、、，其中为显性基因，为隐性基因，且这三种基因型的比为．如果在子二代中任意选取颗豌豆作为父本母本杂交，那么子三代中基因型为的概率是多大？ 【解析】记事件子三代中基因型为，记事件选择的是、，记事件选择的是、，记事件选择的是、， 则，，． 在子二代中任取颗豌豆作为父本母本杂交，分以下三种情况讨论： ①若选择的是、，则子三代中基因型为的概率为； ②若选择的是、，则子三代中基因型为的概率为； ③若选择的是、，则子三代中基因型为的概率为． 综上所述， ． 因此，子三代中基因型为的概率是． 【设计意图】落实与理解教材要求的基本教学内容． 环节六：布置作业，应用迁移 作业：教科书第52页习题7．1 第1、3、4、9、10题． 【设计意图】巩固本节课的知识点． 七、【教学反思】 本节课教授了条件概率与全概率公式，整体教学效果尚可，但也存在一些需要改进的地方。 首先，我发现部分学生对条件概率的概念理解不够深入，容易将其与一般概率混淆。这可能是因为我在讲解时未能充分突出条件概率的特殊性。因此，我需要在后续的课程中加强对条件概率概念的阐述，通过更多实例帮助学生加深理解。 其次，全概率公式的应用部分学生掌握得不够熟练。我意识到在讲解公式时，可能过于注重公式的形式，而忽略了公式的实际应用场景。因此，我计划增加一些实际应用题，让学生在实践中掌握全概率公式的使用方法。 总之，本节课让我意识到教学中还需更加注重细节，加强与学生的互动，以提高学生的理解和掌握程度。 1 / 13 京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$