5.1.2 数列中的递推(课件PPT)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教B版2019）

高中数学 选择性必修 第三册 B版 赢在微点 轻松课堂 数学 第五章 数列 5.1.2　数列中的递推 5.1　数列基础 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.1.2　数列中的递推 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 —— —— 稳健启程 新知初步构建 自主预习·明新知 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.1.2　数列中的递推 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.1.2　数列中的递推 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.1.2　数列中的递推 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.1.2　数列中的递推 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 —— —— 细研深究 萃取知识精华 合作探究·攻重难 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.1.2　数列中的递推 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.1.2　数列中的递推 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.1.2　数列中的递推 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.1.2　数列中的递推 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.1.2　数列中的递推 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.1.2　数列中的递推 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.1.2　数列中的递推 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.1.2　数列中的递推 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.1.2　数列中的递推 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.1.2　数列中的递推 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.1.2　数列中的递推 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.1.2　数列中的递推 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.1.2　数列中的递推 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.1.2　数列中的递推 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.1.2　数列中的递推 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.1.2　数列中的递推 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.1.2　数列中的递推 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 —— —— 即时训练 巩固当堂所学 当堂检测·提素养 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.1.2　数列中的递推 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.1.2　数列中的递推 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.1.2　数列中的递推 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.1.2　数列中的递推 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.1.2　数列中的递推 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 点击 导航 合作探究·攻重难 自主预习·明新知 5.1.2　数列中的递推 当堂检测·提素养 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 　 　《算盘全书》中有一个关于兔子繁殖的问题:如果1对兔子每月能生1对小兔子(一雄一雌),而每1对小兔子在它出生后的第3个月里,又能生1对小兔子。在不发生死亡的情况下,由1对初生的小兔子开始,50个月后会有多少对兔子?从第1个月开始,每月月末的兔子总对数是1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,…,这就是著名的斐波那契数列。 1.了解递推公式是数列的一种表示方法; 2.理解递推公式的概念及含义,能够根据递推公式写出数列的前几项; 3.掌握由一些简单的递推公式求数列的通项公式。 知识点一、数列的递推关系 如果已知数列的首项(或前几项)，且数列的相邻两项或两项以上的关系都可以用一个公式来表示，则称这个公式为数列的递推关系(也称为递推公式或递归公式) 知识点二、通项公式与递推公式的区别与联系 区别 联系 通项公式 项an是序号n的函数an＝f(n) 都是给出数列的方法，可求出数列中任意一项 递推公式 已知a1(或前几项)及相邻项(或相邻几项)间的关系式 知识点三、数列的前n项和 一般地，给定数列{an}，称Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an为数列{an}的前n项和。 递推公式与通项公式一样，都是关于n的恒等式，我们可用符合要求的正整数依次去替换n，从而可以求出数列的各项。 微思考　数列的前n项和与通项an之间的关系？ 提示：an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2。)) 类型一 由递推关系求数列中的项 【例1】　已知数列{an}的第一项是2，且an＝1－eq \f(1,an－1)(n≥2)，写出这个数列的前5项，你能说出这个数列有什么特点吗？ 解　a1＝2，a2＝1－eq \f(1,a1)＝1－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)，a3＝1－eq \f(1,a2)＝1－eq \f(1,\f(1,2))＝－1，a4＝1－eq \f(1,a3)＝1－eq \f(1,－1)＝2，a5＝1－eq \f(1,a4)＝1－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)。可以看到从第4项开始，数列中的项呈周期性地出现2，eq \f(1,2)，－1这三个数，也就是说a1＝a4，a2＝a5，…，an＝an＋3，…。 由递推公式写出数列的项的方法 (1)根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，然后依次代入计算即可。 (2)解答这类问题时还需注意：若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式。 (3)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式。 【变式训练】　已知数列{an}满足下列条件，写出它的前5项，并归纳出数列的一个通项公式。 (1)a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)； (2)a1＝1，an＋1＝eq \f(2an,2＋an)。 解　(1)因为a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1), 所以a2＝a1＋(2×1－1)＝0＋1＝1; a3＝a2＋(2×2－1)＝1＋3＝4; a4＝a3＋(2×3－1)＝4＋5＝9; a5＝a4＋(2×4－1)＝9＋7＝16。 故该数列的一个通项公式是an＝(n－1)2。 (2)由a1＝1，an＋1＝eq \f(2an,2＋an)，所以a2＝eq \f(2a1,2＋a1)＝eq \f(2,3)，a3＝eq \f(2a2,2＋a2)＝eq \f(1,2)，a4＝eq \f(2a3,2＋a3)＝eq \f(2,5)，a5＝eq \f(2a4,2＋a4)＝eq \f(1,3)， 所以它的前5项依次是1，eq \f(2,3)，eq \f(1,2)，eq \f(2,5)，eq \f(1,3)，故它的一个通项公式为an＝eq \f(2,n＋1)。 类型二 由递推关系求通项公式 【例2】　已知数列{an}满足a1＝－1，an＋1＝an＋eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋1)，n∈N＋，求数列{an}的通项公式。 解　因为an＋1－an＝eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋1)， 所以a2－a1＝eq \f(1,1)－eq \f(1,2)， a3－a2＝eq \f(1,2)－eq \f(1,3)， a4－a3＝eq \f(1,3)－eq \f(1,4)， …， an－an－1＝eq \f(1,n－1)－eq \f(1,n)(n≥2)， 所以(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3)))＋…＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n－1)－\f(1,n)))， 即an－a1＝1－eq \f(1,n)(n≥2)。 所以an＝a1＋1－eq \f(1,n)＝－1＋1－eq \f(1,n)＝－eq \f(1,n)(n≥2)， 又当n＝1时，a1＝－1，也符合上式。 所以an＝－eq \f(1,n)，n∈N＋。 由递推公式求通项公式的技巧 (1)由数列的递推公式求通项公式是数列的重要问题之一，是高考考查的热点，累加法、累乘法、迭代法是解决这类问题的常用技巧。 (2)当an－an－1＝f(n)且满足一定条件时，常用an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1来求an，我们通常称这种方法为累加法。 (3)当eq \f(an,an－1)＝f(n)且满足一定条件时，常用an＝eq \f(an,an－1)·eq \f(an－1,an－2)·…·eq \f(a3,a2)·eq \f(a2,a1)·a1来求an。我们通常称这种方法为累乘法。 【变式训练】　已知数列{an}满足：a1＝1,2n－1an＝an－1(n∈N＋，n≥2)。求数列{an}的通项公式。 解　an＝eq \f(an,an－1)·eq \f(an－1,an－2)·…·eq \f(a3,a2)·eq \f(a2,a1)·a1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－2·…·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))1·1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))1＋2＋…＋(n－1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))f (nn－1,2) eq \s\up15( ) ，所以an＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))f (nn－1,2) eq \s\up15( ) 。 类型三 由递推公式求若干项 【例3】　若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝eq \f(1＋an,1－an)，n∈N＋，求a2 023。 解　a2＝eq \f(1＋a1,1－a1)＝eq \f(1＋2,1－2)＝－3， a3＝eq \f(1＋a2,1－a2)＝eq \f(1－3,1＋3)＝－eq \f(1,2)， a4＝eq \f(1＋a3,1－a3)＝eq \f(1－\f(1,2),1＋\f(1,2))＝eq \f(1,3)， a5＝eq \f(1＋a4,1－a4)＝eq \f(1＋\f(1,3),1－\f(1,3))＝2＝a1， 所以{an}是周期为4的数列， 所以a2 023＝a4×505＋3＝a3＝－eq \f(1,2)。 递推公式反映的是相邻两项(或几项)之间的关系。要判断一个数列是否具有周期性或求解一个周期数列，主要方法是通过递推公式求出数列的前几项，观察得到规律或由递推公式直接发现规律。 【变式训练】　已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋2＝an＋1－an，n∈N＋，试写出a3，a4，a5，a6，a7，a8，你发现数列{an}具有怎样的规律？你能否求出该数列中的第2023项？ 解　a1＝1，a2＝2，a3＝1，a4＝－1，a5＝－2，a6＝－1，a7＝1，a8＝2，…。 发现：an＋6＝an，数列{an}具有周期性，周期T＝6。 证明如下：因为an＋2＝an＋1－an， 所以an＋3＝an＋2－an＋1＝(an＋1－an)－an＋1＝－an。 所以an＋6＝－an＋3＝－(－an)＝an。 所以数列{an}是周期数列，且T＝6。 所以a2 023＝a337×6＋1＝a1＝1。 类型四 利用数列的前n项和求通项 【例4】　已知数列{an}的前n项和Sn＝n2an，a1＝eq \f(1,2)，求数列{an}的通项公式。 解　因为Sn＝n2an　①， 所以当n≥2时，Sn－1＝(n－1)2an－1　②。 ①－②，得an＝Sn－Sn－1＝n2an－(n－1)2an－1， 整理得(n2－1)an＝(n－1)2an－1， 易知an≠0，则 eq \f(an,an－1)＝eq \f(n－1,n＋1)(n≥2)， 所以an＝a1·eq \f(a2,a1)·eq \f(a3,a2)·…· eq \f(an,an－1)＝eq \f(1,2)×eq \f(1,3)×eq \f(2,4)×eq \f(3,5)×…×eq \f(n－2,n)×eq \f(n－1,n＋1)＝eq \f(1,nn＋1)(n≥2)。 因为a1＝eq \f(1,2)适合an＝eq \f(1,nn＋1)， 所以an＝eq \f(1,nn＋1)。 由Sn求an的一般步骤 (1)已知Sn求an。 利用an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2，))可由数列的前n项和Sn求得数列的通项公式an。解题过程通常分为四步：第一步，令n＝1得a1；第二步，令n≥2得an；第三步，在第二步求得的an的表达式中取n＝1，判断其值是否为a1；第四步，写出数列的通项公式(若第三步中n＝1时，an表达式的值不等于a1，则数列的通项公式一定要分段表示)。 (2)已知Sn与an之间的关系求an。 解决此类问题通常有两种途径：①由关系式消去Sn，建立an与an－1(或an＋1)之间的关系求an；②由关系式消去an，建立Sn与Sn－1之间的关系求Sn，进而求an。 【变式训练】　数列{an}中，a1＋2a2＋…＋nan＝(n＋1)(n＋2)，则数列{an}的通项公式为________。 解析　当n≥2时，由已知等式得a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)·an－1＝ n(n＋1)。把已知等式与上式相减得nan＝(n＋1)(n＋2)－n(n＋1)，故an＝eq \f(2n＋1,n)＝2＋eq \f(2,n)(n≥2)。当n＝1时，a1＝2×3＝6，不满足上式，所以an＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(6，n＝1，,2＋\f(2,n)，n≥2。)) 答案　an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(6，n＝1，,2＋\f(2,n)，n≥2)) 答案与解析 1．已知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＝2，,an＋1＝an＋2，n∈N＋，))则a4的值为(　　) A．4 B．6 C．8 D．10 解析　a2＝a1＋2＝4，a3＝a2＋2＝6，a4＝a3＋2＝8。故选C。 答案　C 答案与解析 2．已知a1＝0，a3＝4，an＋1＝an－t，则t的值为(　　) A．2 B．－2 C．1 D．－1 解析　a2＝a1－t，a3＝a2－t＝a1－2t＝4，t＝－2。故选B。 答案　B 答案与解析 3．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＋1＝0(n∈N＋)，则此数列的通项an等于(　　) A．n2＋1 B．n＋1 C．1－n D．3－n 解析　因为an＋1－an＝－1。所以an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋ (an－an－1)＝2＋(－1)＋(－1)＋…＋(－1)＝2＋(－1)×(n－1)＝3－n。 答案　D 答案与解析 4．数列{xn}中，若x1＝1，xn＋1＝eq \f(1,xn＋1)－1(n∈N＋)，则x2 023＝________。 解析　因为x1＝1，所以x2＝－eq \f(1,2)，所以x3＝1，所以数列{xn}的周期为2，所以x2 023＝x1＝1。 答案　1 答案与解析 5．已知：数列{an}中，a1＝1，an＋1＝eq \f(n,n＋1)an。 (1)写出数列的前5项； (2)猜想数列{an}的通项公式。 解　(1)a1＝1，a2＝eq \f(1,1＋1)×1＝eq \f(1,2)， a3＝eq \f(2,1＋2)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,3)，a4＝eq \f(3,1＋3)×eq \f(1,3)＝eq \f(1,4)， a5＝eq \f(4,1＋4)×eq \f(1,4)＝eq \f(1,5)。 (2)猜想：an＝eq \f(1,n)。 $$