课时达标检测(3) 数列中的递推(课件PPT)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教B版2019）

高中数学 选择性必修 第三册 B版 课时达标检测(三) 数列中的递推 课时达标检测(三) 数列中的递推 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 课时达标检测(三) 数列中的递推 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 课时达标检测(三) 数列中的递推 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 课时达标检测(三) 数列中的递推 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 课时达标检测(三) 数列中的递推 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 课时达标检测(三) 数列中的递推 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 课时达标检测(三) 数列中的递推 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 课时达标检测(三) 数列中的递推 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 课时达标检测(三) 数列中的递推 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 课时达标检测(三) 数列中的递推 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 课时达标检测(三) 数列中的递推 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 课时达标检测(三) 数列中的递推 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 课时达标检测(三) 数列中的递推 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 课时达标检测(三) 数列中的递推 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 课时达标检测(三) 数列中的递推 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 课时达标检测(三) 数列中的递推 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 课时达标检测(三) 数列中的递推 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 课时达标检测(三) 数列中的递推 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 课时达标检测(三) 数列中的递推 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第三册 B版 第 * 页 赢在字里行间 　基础达标　 一、单项选择题 1．已知数列{an}满足：a1＝－eq \f(1,4)，an＝1－eq \f(1,an－1)(n≥2)，则a4等于(　　) A．eq \f(4,5) B．eq \f(1,4) C．－eq \f(1,4) D．eq \f(1,5) 解析　由题知a2＝1－eq \f(1,a1)＝5，a3＝1－eq \f(1,a2)＝eq \f(4,5)，a4＝1－eq \f(1,a3)＝－eq \f(1,4)。 答案　C 答案与解析 2．已知数列{an}中，an－1＝man＋1(n>1，n∈N＋)，且a2＝3，a3＝5，则实数m等于(　　) A．eq \f(2,5) B．eq \f(2,3) C．2 D．3 解析　由题意得a2＝ma3＋1，即3＝5m＋1，所以m＝eq \f(2,5)。 答案　A 答案与解析 3．已知a1＝1，an＝an－1＋3(n≥2，n∈N＋)，则数列的通项公式为(　　) A．an＝3n＋1 B．an＝3n C．an＝3n－2 D．an＝3(n－1) 解析　因为an＝an－1＋3(n≥2，n∈N＋)，所以an－an－1＝3。所以a2－a1＝3，a3－a2＝3，a4－a3＝3，…，an－an－1＝3，以上各式两边分别相加，得an－a1＝3(n－1)，所以an＝a1＋3(n－1)＝1＋3(n－1)＝3n－2，a1＝1也符合上式，故选C。 答案　C 答案与解析 4．数列{an}的通项公式为an＝coseq \f(nπ,2)，n∈N＋，其前n项和为Sn，则S2 023＝(　　) A．1 009 B．－1 009 C．－1 D．0 解析　{an}是周期为4的周期数列，a1＝0，a2＝－1，a3＝0，a4＝1，即a1＋…＋a4＝0，故S2 023＝a1+ a2+ a3＝－1，故选C。 答案　C 答案与解析 5．若a1＝1，an＋1＝eq \f(an,3an＋1)(n∈N＋)，则给出的数列{an}的第4项是(　　) A．eq \f(1,16) B．eq \f(1,17) C．eq \f(1,10) D．eq \f(1,25) 解析　a2＝eq \f(a1,3a1＋1)＝eq \f(1,3＋1)＝eq \f(1,4)，a3＝eq \f(a2,3a2＋1)＝eq \f(\f(1,4),\f(3,4)＋1)＝eq \f(1,7)，a4＝eq \f(a3,3a3＋1)＝eq \f(\f(1,7),\f(3,7)＋1)＝eq \f(1,10)。 答案　C 答案与解析 6. 设数列{an}满足a1＋3a2＋32·a3＋…＋3n－1·an＝eq \f(n,3)，n∈N＋，则an为(　　) A．eq \f(n,3) B．eq \f(n－1,3) C．eq \f(1,3n) D．3n 解析　因为a1＋3a2＋32·a3＋…＋3n－1·an＝eq \f(n,3)　①，所以当n≥2时，a1＋3a2＋32·a3＋…＋3n－2·an－1＝eq \f(n－1,3)　②，则由①－②，得3n－1·an＝eq \f(1,3)。所以an＝eq \f(1,3n)(n≥2)。当n＝1时，a1＝eq \f(1,3)符合题意，所以an＝eq \f(1,3n)。故选C。 答案　C 答案与解析 二、多项选择题 7．下列命题中，正确的有(　　) A．已知数列{an}满足an＝eq \f(1,nn＋2)(n∈N＋)，那么eq \f(1,120)是这个数列的第10项，且最大项为第10项 B．数列eq \r(2)，eq \r(5)，2eq \r(2)，eq \r(11)，…的一个通项公式是an＝eq \r(3n－1) C．已知数列{an}满足an＝kn－5，且a8＝11，则a17＝29 D．已知an＋1＝an＋3，则数列{an}是递增数列 解析　对于A，令an＝eq \f(1,nn＋2)＝eq \f(1,120)⇒n＝10，易知最大项为第一项，A错误；对于B，数列eq \r(2)，eq \r(5)，2eq \r(2)，eq \r(11)，…即eq \r(2)，eq \r(5)，eq \r(8)，eq \r(11)，…，即eq \r(3×1－1)，eq \r(3×2－1)，eq \r(3×3－1)，eq \r(3×4－1)，…，所以an＝eq \r(3n－1)，B正确；对于C，an＝kn－5，且a8＝11⇒k＝2⇒an＝2n－5⇒a17＝29，C正确；对于D，由an＋1－an＝3>0，易知D正确。故选BCD。 答案　BCD 答案与解析 8．已知数列{an}，an＝bn＋m(b<0，n∈N＋)，满足a1＝2，a2＝4，则m 与b的值分别为(　　) A．m＝－1 B．m＝3 C．b＝－1 D．b＝3 解析　因为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2＝b＋m，,4＝b2＋m，))所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(b＝－1，,m＝3。))故选BC。 答案　BC 答案与解析 三、填空题 9．已知数列{an}满足anan－1＝an－1＋(－1)n(n≥2，n∈N＋)且a1＝1，则eq \f(a5,a3)＝________。 解析　由a1＝1得a2a1＝a1＋(－1)2，则a2＝2；由a3a2＝a2＋(－1)3，得a3＝eq \f(1,2)；同理得a4＝3，a5＝eq \f(2,3)，故eq \f(a5,a3)＝eq \f(\f(2,3),\f(1,2))＝eq \f(4,3)。 答案　eq \f(4,3) 答案与解析 10．如图，古希腊数学家把数1,3,6,10,15,21，…称为三角形数，三角形数中蕴含一定的规律性，则第2 023个三角形数与第2 022个三角形数的差为________。 解析　归纳可知an－an－1＝n(n≥2，n∈N＋)，所以a2 023－a2 022＝2 023。 答案　2 023 答案与解析 11．已知数列{an}满足a4n－3＝1，a4n－1＝0，a2n＝an，n∈N＋，则a2 024＝________；a2 022＝________。 解析　依题意得a2 024＝a1 012＝a506＝a253＝a4×64－3＝1, a2 022＝a1011＝a4×253－1＝0。 答案　1　0 答案与解析 四、解答题 12．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝pan＋qn，其中p，q均为正数，且a2＝3，a4＝13。 (1)求p，q的值； (2)求an＋3与an的递推关系式。 解　(1)由已知可得a2＝pa1＋q， 即p＋q＝3，a4＝pa3＋3q＝p(pa2＋2q)＋3q＝p2a2＋2pq＋3q， 即3p2＋2pq＋3q＝13， 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(p＋q＝3，,3p2＋2pq＋3q＝13，)) 得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(p＝－4，,q＝7))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(p＝1，,q＝2。)) 因为p，q均为正数，所以p＝1，q＝2。 (2)由(1)知an＋1＝an＋2n， 则an＋2＝an＋1＋2(n＋1)＝(an＋2n)＋2(n＋1)＝an＋4n＋2。 故an＋3＝an＋2＋2(n＋2)＝an＋6n＋6。 13．正项数列{an}的前n项和为Sn满足Seq \o\al(2,n)－(n2＋n－1)·Sn－(n2＋n)＝0。求数列{an}的通项公式。 解　由已知得[Sn－(n2＋n)]·(Sn＋1)＝0， 因为an>0，所以Sn>0，所以Sn＝n2＋n。 因为a1＝S1＝2， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－[(n－1)2＋(n－1)]＝2n，且2×1＝2＝a1， 故an＝2n。 　素养提升　 14．在一个数列中，如果对任意n∈N＋，都有anan＋1an＋2＝k(k为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积。已知数列{an}是等积数列，且a1＝1，a2＝2，公积为8，则a1＋a2＋a3＋…＋a12＝________。 解析　依题意得数列{an}是周期为3的数列，且a1＝1，a2＝2，a3＝4，因此a1＋a2＋a3＋…＋a12＝4(a1＋a2＋a3)＝4×(1＋2＋4)＝28。 答案　28 答案与解析 15．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝eq \f(2an,an＋2)(n∈N＋)，试探究数列{an}的通项公式。 解　解法一：将n＝1,2,3,4依次代入递推公式，得a2＝eq \f(2,3)，a3＝eq \f(2,4)，a4＝eq \f(2,5)。 又因为a1＝eq \f(2,2)，所以可猜想an＝eq \f(2,n＋1)。 应有an＋1＝eq \f(2,n＋2)，将其代入递推关系式验证成立， 所以数列{an}的通项公式为an＝eq \f(2,n＋1)(n∈N＋)。 解法二：因为an＋1＝eq \f(2an,an＋2)， 所以an＋1an＝2an－2an＋1。 两边同除以2an＋1an，得eq \f(1,an＋1)－eq \f(1,an)＝eq \f(1,2)。 所以eq \f(1,a2)－eq \f(1,a1)＝eq \f(1,2)，eq \f(1,a3)－eq \f(1,a2)＝eq \f(1,2)，…，eq \f(1,an)－eq \f(1,an－1)＝eq \f(1,2)，n≥2。 把以上各式累加，得eq \f(1,an)－eq \f(1,a1)＝eq \f(n－1,2)。 又因为a1＝1，所以an＝eq \f(2,n＋1)，n≥2。 当n＝1时，a1＝1＝eq \f(2,1＋1)，满足an＝eq \f(2,n＋1)， 所以数列{an}的通项公式为an＝eq \f(2,n＋1)(n∈N＋)。 $$