专题18 三角函数概念与诱导公式（7大题型）-《2025年高考艺术生数学40天速提100分攻略》

专题18 三角函数概念与诱导公式 【题型归纳目录】 题型一：终边相同的角的集合的表示与区别 题型二：等分角的象限问题 题型三：弧长与扇形面积公式的计算 题型四：三角函数的定义 题型五：象限符号与坐标轴角的三角函数值 题型六：弦切互化求值 题型七：同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用 【高考考情分析】 考点要求 考题统计 复习目标 （1）三角函数基本概念 （2）任意角的三角函数 （3）同角三角函数的基本关系 2023年甲卷第14题，5分 2022年浙江卷第13题，5分 2021年甲卷第8题，5分 （1）了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性． （2）理解同角三角函数的基本关系式，． （3）掌握诱导公式，并会简单应用． 【知识点思维导图】 【知识点梳理】 知识点一：三角函数基本概念 1、角的概念 （1）任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形； ②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角． （2）所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是． （3）象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． （4）象限角的集合表示方法： 2、弧度制 （1）定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0． （2）角度制和弧度制的互化：，，． （3）扇形的弧长公式：，扇形的面积公式：． 3、任意角的三角函数 （1）定义：任意角的终边与单位圆交于点时，则，，． （2）推广：三角函数坐标法定义中，若取点P是角终边上异于顶点的任一点，设点到原点的距离为，则，， 三角函数的性质如下表： 三角函数 定义域 第一象限符号 第二象限符号 第三象限符号 第四象限符号 ＋ ＋ － － ＋ － － ＋ ＋ － ＋ － 记忆口诀：三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 4、三角函数线 如下图，设角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，垂足为M，过A（1，0）作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T． 三角函数线 有向线段MP为正弦线；有向线段OM为余弦线；有向线段AT为正切线 题型一：终边相同的角的集合的表示与区别 【典例1-1】（2020年山东省春季高考数学真题）已知，若，则 . 【典例1-2】下列各角中，与终边相同的角为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】若角的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线上，则角的取值集合是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】与角终边相同的角的集合是（    ） A． B． C． D． 题型二：等分角的象限问题 【典例2-1】若是钝角，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【典例2-2】若是第三象限角，则是（    ） A．第一或第二象限角 B．第一或第三象限角 C．第二或第四象限角 D．第三或第四象限角 【变式2-1】 “为第二象限角”是“是第一象限角”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2-2】已知与210°角的终边关于x轴对称，则是（    ） A．第二或第四象限角 B．第一或第三象限角 C．第三或第四象限角 D．第一或第四象限角 题型三：弧长与扇形面积公式的计算 【典例3-1】（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（    ） A． B． C． D． 【典例3-2】（2025·北京平谷·一模）冰淇淋蛋筒是大家常见的一种食物，有种冰淇淋蛋筒可以看作是由半径为10cm，圆心角为的扇形蛋卷坯卷成的圆锥，假设高出蛋筒部分的奶油和包裹在蛋筒内部的奶油体积相等，则该种冰淇淋中奶油的总体积约为（    ）（忽略蛋筒厚度） A． B． C． D． 【变式3-1】（2025·广东汕头·一模）若圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】《九章算术》是我国古代的数学名著，其中《方田》一章记录了弧田面积的计算问题.如图，某弧田由弧和其所对的弦围成，若弦长度为2，弧所对的圆心角的弧度数为2，则该弧田的面积为（    ）    A． B． C． D． 【变式3-3】（2025·高三·湖南长沙·期末）扇子发源于我国，我国的扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分，历来我国有“制扇王国”之称.现有某工艺厂生产的一款优美的扇环形扇子，如图所示，其扇环面是由画有精美图案的油布构成，扇子对应的扇环外环的弧长为48cm，内环的弧长为16cm，油布径长（外环半径与内环半径之差）为24cm，则该扇子的油布面积大约为（油布与扇子骨架皱折部分忽略不计） A．1024cm2 B．768cm2 C．640cm2 D．512cm2 题型四：三角函数的定义 【典例4-1】（2021年北京市高考数学试题）若点关于轴对称点为，写出的一个取值为 ． 【典例4-2】（2025·高三·广西·开学考试）已知过原点的直线的倾斜角为，若点在直线上，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2025·江西九江·一模）已知角的终边在直线上，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】已知点是角终边上的一点，且，则的值为（   ） A．2 B． C．或2 D．或 【变式4-3】（2025·高三·山西运城·期末）已知角的始边为x轴非负半轴，终边经过点，则（    ） A．3 B． C． D． 题型五：象限符号与坐标轴角的三角函数值 【典例5-1】（2020年山东省春季高考数学真题）已知直线的图像如图所示，则角是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【典例5-2】若，则点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式5-1】设，则“”是“为第二象限角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式5-2】（2025·高三·江苏淮安·开学考试）若为第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 知识点二：同角三角函数基本关系 1、同角三角函数的基本关系 （1）平方关系：． （2）商数关系：； 知识点三：三角函数诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 正弦 余弦 正切 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 【记忆口诀】奇变偶不变，符号看象限，说明：（1）先将诱导三角函数式中的角统一写作；（2）无论有多大，一律视为锐角，判断所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负；（3）当为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可． 题型六：弦切互化求值 【典例6-1】（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【典例6-2】（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）若，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2021年全国新高考I卷数学试题）若，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）若，则 ． 【变式6-3】（2025·湖北武汉·一模）已知，则 ． 【变式6-4】已知，则 ； . 【变式6-5】已知，则 . 题型七：同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用 【典例7-1】（2022年新高考浙江数学高考真题）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例7-2】（2022年新高考浙江数学高考真题）若，则 ， ． 【变式7-1】写出满足的一组和， ， ． 【变式7-2】（1）已知，若、是关于的一元二次方程的两实数根，求的值； （2）已知，且，求及. 【变式7-3】如图所示：角为锐角，设角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，将射线绕坐标原点按逆时针方向旋转后与单位圆交于点.设终边对应的角度为， (1)求的值； (2)求的值. 【强化测试】 1． 的终边在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．用弧度制表示与角的终边相同的角的集合为（    ） A． B． C． D． 3．角的终边在第一象限，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 4．已知角的终边经过点，则是（    ） A．第一或第三象限角 B．第二或第四象限角 C．第一或第二象限角 D．第三或第四象限角 5．如图所示的几何图形，设弧的长度是，弧的长度是，扇环的面积为，扇形的面积为.若，则（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 6．（2025·高三·北京西城·期末）在平面直角坐标系中，角以为始边，点在角的终边上，则（    ） A． B． C． D． 7．（2025·高三·安徽黄山·期末）已知角顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，则它的终边过点若将角的终边绕坐标原点顺时针旋转得到角，则（    ） A． B． C． D． 8． “”是“为第二或第四象限角”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．（2025·贵州安顺·模拟预测）已知，角的终边过点，则（   ） A． B． C．2 D． 10．（2025·甘肃武威·模拟预测）已知，则（   ） A． B． C． D．2 11．若，则（    ） A． B． C． D． 12．（2025·福建厦门·二模）已知，若，则（   ） A． B． C． D． 13．（多选题）（2025·云南大理·模拟预测）已知角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 14．（2025·四川成都·二模）已知角的终边过点，则 . 15．（2025·高三·甘肃武威·期末）已知，则 . 16．（2025·新疆·模拟预测）已知，则 . 17．设，则 ． 18．（2025·高三·广东广州·开学考试）若，是第三象限角，则 . 19．已知函数． (1)化简； (2)若，求的值． 20．（1）已知角的终边经过点，求的值； （2）已知，求的值. 21．已知角的终边经过点，求下列各式的值： (1)； (2). 22．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，且角的终边上一点的坐标是. (1)求及的值； (2)求的值. 23．已知扇形的圆心角是，半径为R，弧长为l． (1)若，求扇形的弧长l； (2)若，求扇形的弧所在的弓形的面积； (3)若扇形的周长是，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题18 三角函数概念与诱导公式 【题型归纳目录】 题型一：终边相同的角的集合的表示与区别 题型二：等分角的象限问题 题型三：弧长与扇形面积公式的计算 题型四：三角函数的定义 题型五：象限符号与坐标轴角的三角函数值 题型六：弦切互化求值 题型七：同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用 【高考考情分析】 考点要求 考题统计 复习目标 （1）三角函数基本概念 （2）任意角的三角函数 （3）同角三角函数的基本关系 2023年甲卷第14题，5分 2022年浙江卷第13题，5分 2021年甲卷第8题，5分 （1）了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性． （2）理解同角三角函数的基本关系式，． （3）掌握诱导公式，并会简单应用． 【知识点思维导图】 【知识点梳理】 知识点一：三角函数基本概念 1、角的概念 （1）任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形； ②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角． （2）所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是． （3）象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． （4）象限角的集合表示方法： 2、弧度制 （1）定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0． （2）角度制和弧度制的互化：，，． （3）扇形的弧长公式：，扇形的面积公式：． 3、任意角的三角函数 （1）定义：任意角的终边与单位圆交于点时，则，，． （2）推广：三角函数坐标法定义中，若取点P是角终边上异于顶点的任一点，设点到原点的距离为，则，， 三角函数的性质如下表： 三角函数 定义域 第一象限符号 第二象限符号 第三象限符号 第四象限符号 ＋ ＋ － － ＋ － － ＋ ＋ － ＋ － 记忆口诀：三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 4、三角函数线 如下图，设角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，垂足为M，过A（1，0）作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T． 三角函数线 有向线段MP为正弦线；有向线段OM为余弦线；有向线段AT为正切线 题型一：终边相同的角的集合的表示与区别 【典例1-1】（2020年山东省春季高考数学真题）已知，若，则 . 【答案】 【解析】因为，， 所以， 故答案为：. 【典例1-2】下列各角中，与终边相同的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为, 所以与的终边相同. 故选：A 【变式1-1】若角的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线上，则角的取值集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在直线上取一点，根据三角函数定义可知，，当为锐角时，易知， 所以终边落在直线上的角的取值集合为， 故选：C 【变式1-2】与角终边相同的角的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】,所以角与角的终边相同,所以与角终边相同的角可写作． 故选：C 题型二：等分角的象限问题 【典例2-1】若是钝角，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】A 【解析】若是钝角可得，因此； 显然此时是第一象限角. 故选：A 【典例2-2】若是第三象限角，则是（    ） A．第一或第二象限角 B．第一或第三象限角 C．第二或第四象限角 D．第三或第四象限角 【答案】C 【解析】由题意可知， 所以， 所以是第二或第四象限角. 故选：C. 【变式2-1】 “为第二象限角”是“是第一象限角”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】由为第二象限角，当，得是第三象限角，不满足充分性， 当时，，不满足必要性， 则“为第二象限角”是“是第一象限角”的既不充分也不必要条件． 故选：D． 【变式2-2】已知与210°角的终边关于x轴对称，则是（    ） A．第二或第四象限角 B．第一或第三象限角 C．第三或第四象限角 D．第一或第四象限角 【答案】B 【解析】由与210°角的终边关于x轴对称，可得， ∴， 取可确定终边在第一或第三象限角. 故选：B． 题型三：弧长与扇形面积公式的计算 【典例3-1】（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，连接， 因为是的中点， 所以， 又，所以三点共线， 即， 又， 所以， 则，故， 所以. 故选：B. 【典例3-2】（2025·北京平谷·一模）冰淇淋蛋筒是大家常见的一种食物，有种冰淇淋蛋筒可以看作是由半径为10cm，圆心角为的扇形蛋卷坯卷成的圆锥，假设高出蛋筒部分的奶油和包裹在蛋筒内部的奶油体积相等，则该种冰淇淋中奶油的总体积约为（    ）（忽略蛋筒厚度） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设圆锥底面面积为， 由题意可知， 所以， 设圆锥得高为，则， 所以圆锥的体积为：， 所以该种冰淇淋中奶油的总体积约为， 故选：D 【变式3-1】（2025·广东汕头·一模）若圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设圆锥的母线长为，底面半径为，高为，则， 由题意可得：，即， 所以， 故， 故选：A 【变式3-2】《九章算术》是我国古代的数学名著，其中《方田》一章记录了弧田面积的计算问题.如图，某弧田由弧和其所对的弦围成，若弦长度为2，弧所对的圆心角的弧度数为2，则该弧田的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】过作，垂足为，易知为中点，， 因为，，所以，， 所以弧的长为， 因为，， 所以弧田的面积. 故选：D 【变式3-3】（2025·高三·湖南长沙·期末）扇子发源于我国，我国的扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分，历来我国有“制扇王国”之称.现有某工艺厂生产的一款优美的扇环形扇子，如图所示，其扇环面是由画有精美图案的油布构成，扇子对应的扇环外环的弧长为48cm，内环的弧长为16cm，油布径长（外环半径与内环半径之差）为24cm，则该扇子的油布面积大约为（油布与扇子骨架皱折部分忽略不计） A．1024cm2 B．768cm2 C．640cm2 D．512cm2 【答案】B 【解析】设扇子对应的扇形的圆心角为，内环的半径为cm，外环的半径为cm， 则，因为扇环外环的弧长为48cm，内环的弧长为16cm， 所以，则，所以该扇子的油布面积为cm2. 故选：B 题型四：三角函数的定义 【典例4-1】（2021年北京市高考数学试题）若点关于轴对称点为，写出的一个取值为 ． 【答案】（满足即可） 【解析】与关于轴对称， 即关于轴对称， ， 则， 当时，可取的一个值为. 故答案为：（满足即可）. 【典例4-2】（2025·高三·广西·开学考试）已知过原点的直线的倾斜角为，若点在直线上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意知，点到原点的距离为， 由三角函数定义可得， 所以. 故选：D. 【变式4-1】（2025·江西九江·一模）已知角的终边在直线上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意，在直线上任取一点（）， 可得， 故选：A． 【变式4-2】已知点是角终边上的一点，且，则的值为（   ） A．2 B． C．或2 D．或 【答案】D 【解析】由三角函数定义可得，解得， 所以的值为或. 故选：D. 【变式4-3】（2025·高三·山西运城·期末）已知角的始边为x轴非负半轴，终边经过点，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【解析】由三角函数的定义可得， 所以. 故选：C. 题型五：象限符号与坐标轴角的三角函数值 【典例5-1】（2020年山东省春季高考数学真题）已知直线的图像如图所示，则角是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】D 【解析】结合图像易知，，， 则角是第四象限角， 故选：D. 【典例5-2】若，则点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解析】因为函数在上单调递增， 所以， 即； 因为， 又因为时，，，， 所以，即. 所以点位于第三象限. 故选：C. 【变式5-1】设，则“”是“为第二象限角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】因为，所以可以是第二象限角或第三象限角， 所以“”是“为第二象限角”的必要不充分条件. 故选：B. 【变式5-2】（2025·高三·江苏淮安·开学考试）若为第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】若为第二象限角，当时，可得在第四象限，此时，，即A错误，B错误； 当时，可得，即D错误； 由为第二象限角可得，所以，即C正确. 故选：C 知识点二：同角三角函数基本关系 1、同角三角函数的基本关系 （1）平方关系：． （2）商数关系：； 知识点三：三角函数诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 正弦 余弦 正切 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 【记忆口诀】奇变偶不变，符号看象限，说明：（1）先将诱导三角函数式中的角统一写作；（2）无论有多大，一律视为锐角，判断所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负；（3）当为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可． 题型六：弦切互化求值 【典例6-1】（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 所以，， 所以， 故选：B. 【典例6-2】（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 ， ，，，解得， ，. 故选：A. 【变式6-1】（2021年全国新高考I卷数学试题）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】将式子进行齐次化处理得： ． 故选：C． 【变式6-2】（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）若，则 ． 【答案】 【解析】因为，则， 又因为，则， 且，解得或（舍去）， 所以. 故答案为：. 【变式6-3】（2025·湖北武汉·一模）已知，则 ． 【答案】/ 【解析】 ， 故答案为：. 【变式6-4】已知，则 ； . 【答案】 【解析】由，解得， 所以 由，可得， 所以，解得， 所以， 故答案为：； 【变式6-5】已知，则 . 【答案】/ 【解析】 . 故答案为： 题型七：同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用 【典例7-1】（2022年新高考浙江数学高考真题）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】因为可得： 当时，，充分性成立； 当时，，必要性不成立； 所以当，是的充分不必要条件. 故选：A. 【典例7-2】（2022年新高考浙江数学高考真题）若，则 ， ． 【答案】 【解析】[方法一]：利用辅助角公式处理 ∵，∴，即， 即，令，， 则，∴，即， ∴ ， 则. 故答案为：；. [方法二]：直接用同角三角函数关系式解方程 ∵，∴，即， 又，将代入得，解得， 则. 故答案为：；. 【变式7-1】写出满足的一组和， ， ． 【答案】 （答案不唯一） 【解析】由可得， 即可得， 不妨取，所以， 又，可取，， 所以. 故答案为：，（答案不唯一，符合题意即可） 【变式7-2】（1）已知，若、是关于的一元二次方程的两实数根，求的值； （2）已知，且，求及. 【解析】（1）由题意可知：，解得：或， 且， 又因为，即， 整理得，解得或(舍去)， 所以. （2）因为，且， 即，可得， 由，可知，， 又因为，且， 可得， 所以 . 故，. 【变式7-3】如图所示：角为锐角，设角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，将射线绕坐标原点按逆时针方向旋转后与单位圆交于点.设终边对应的角度为， (1)求的值； (2)求的值. 【解析】（1）角为锐角，， 则， 所以， ， （2） 【强化测试】 1． 的终边在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】因为，且为第二象限角， 所以的终边在第二象限. 故选：B. 2．用弧度制表示与角的终边相同的角的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】用弧度制可表示为， 所以与角的终边相同的角构成的集合为 故选：D． 3．角的终边在第一象限，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为角的终边在第一象限，所以， 所以，所以为第一象限角或第三象限角， 当为第一象限角时，，故； 当为第三象限角时，，故. 所以的取值集合为. 故选：A. 4．已知角的终边经过点，则是（    ） A．第一或第三象限角 B．第二或第四象限角 C．第一或第二象限角 D．第三或第四象限角 【答案】A 【解析】由题意可知是第二象限角，， 则,则是第一或第三象限角． 故选：A 5．如图所示的几何图形，设弧的长度是，弧的长度是，扇环的面积为，扇形的面积为.若，则（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【解析】设，由，得，即， 所以 故选：D 6．（2025·高三·北京西城·期末）在平面直角坐标系中，角以为始边，点在角的终边上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由条件可知，, 所以，，所以. 故选：A 7．（2025·高三·安徽黄山·期末）已知角顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，则它的终边过点若将角的终边绕坐标原点顺时针旋转得到角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意， 则. 故选：C 8． “”是“为第二或第四象限角”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】因为，而恒成立， 所以只能是且，所以为第二或第四象限角， 因此是为第二或第四象限角的充要条件； 故选：C. 9．（2025·贵州安顺·模拟预测）已知，角的终边过点，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【解析】因为角的终边过点，所以， 所以. 故选：B. 10．（2025·甘肃武威·模拟预测）已知，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【解析】 . 故选：C 11．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， 故选:A． 12．（2025·福建厦门·二模）已知，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵，∴，即， ∴， ∵，∴，∴，故， ∵，∴， ∴. 故选：C. 13．（多选题）（2025·云南大理·模拟预测）已知角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】由角的终边经过点，得点到原点的距离， 对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，D错误. 故选：AC 14．（2025·四川成都·二模）已知角的终边过点，则 . 【答案】10 【解析】由角的终边过点，得， 所以. 故答案为：10 15．（2025·高三·甘肃武威·期末）已知，则 . 【答案】/0.8 【解析】由，则， 交叉相乘可得，解得. 故答案为：. 16．（2025·新疆·模拟预测）已知，则 . 【答案】 【解析】由可得， 故， 故答案为： 17．设，则 ． 【答案】 【解析】因为，， 所以， 所以． 故答案为：. 18．（2025·高三·广东广州·开学考试）若，是第三象限角，则 . 【答案】 【解析】由题意可得， 所以，即， . 故答案为：. 19．已知函数． (1)化简； (2)若，求的值． 【解析】（1） （2）由（1）知， 则， 则， 故． 20．（1）已知角的终边经过点，求的值； （2）已知，求的值. 【解析】（1）已知角的终边经过点，得到. ； （2） . 21．已知角的终边经过点，求下列各式的值： (1)； (2). 【解析】（1）因为角的终边经过点， 所以，， 所以. （2）由题意. 22．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，且角的终边上一点的坐标是. (1)求及的值； (2)求的值. 【解析】（1）因为角的终边上一点的坐标是， 由三角函数的定义可得， ， . （2）原式 . 23．已知扇形的圆心角是，半径为R，弧长为l． (1)若，求扇形的弧长l； (2)若，求扇形的弧所在的弓形的面积； (3)若扇形的周长是，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 【解析】（1）． （2）设弓形面积为．由题知． ． （3）由已知得，， 所以． 所以当时，S取得最大值， 此时． 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$