精品解析：上海市进才中学2024-2025学年高三下学期3月练习数学试题

进才中学高三数学练习试卷 2025.03 一、填空题 1. 不等式的解集是________. 【答案】 【解析】 【分析】原不等式即为或，分别解出，再求交集即可． 【详解】不等式10 即为0， 即为或， 即有x∈∅或x4， 则解集为． 故答案为． 【点睛】本题考查分式不等式的解法，考查转化为一次不等式组求解，考查运算能力，属于基础题． 2. 在的二项展开式中，第四项与第六项的系数相等，则________． 【答案】8 【解析】 【分析】由二项式展开项通项公式及第四项与第六项的系数相等建立方程求解即可 【详解】由二项式展开项通项公式可得第项为 ∵第四项与第六项的系数相等，∴，∴． 故答案为：8 3. 若样本数据x1，x2，…,x10的标准差为8，则数据2x1-1，2x2-1，…，2x10-1的标准差为______． 【答案】16 【解析】 【详解】因为样本数据的标准差为，，即，数据的方差为，则对应的标准差为，故答案为. 4. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，角的终边与圆心在原点的单位圆（半径为1的圆）交于第二象限内的点，则＝____．（用数值表示） 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：由已知得， 从而由三角函数的定义可知， 从而＝． 故答案为． 考点：1．三角函数的定义；2．二倍角公式． 5. 双曲线()的焦点为、，且为该双曲线上一点，若，，则该双曲线的离心率为 _______. 【答案】## 【解析】 【分析】先根据双曲线的定义求，再根据的关系求，再利用求双曲线的离心率. 【详解】根据双曲线的定义可得：，所以. 又，所以. 所以双曲线的离心率为：. 故答案为： 6. 在斜三棱柱中，连接、与，记三棱锥的体积大小为，三棱柱的体积大小为，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，设斜三棱柱的高为，，可得，得解. 【详解】设斜三棱柱的高为，， 则，， ，则. 故答案为：. 7. 设数列的前项和为，若，（），则的通项公式为________ 【答案】 【解析】 【分析】由与的关系，结合等比数列的定义，即可得出通项公式. 【详解】当时，，即 当时， ，即 即当时，数列为等比数列，所以 当时，，不满足 故答案为： 【点睛】本题主要考查了由求的通项公式，属于中档题. 8. 已知不等式的解集为，则的值为______. 【答案】4 【解析】 【分析】作出函数的图象，知，因此根据和分类讨论． 【详解】，作出函数的图象，如图， ，若，则不等式的解集是两段区域，不合题意， 所以，此时恒成立， 又因为不等式的解集为， 所以，， ，由得或4， 若，由，解得或，不合题意， 所以，此时， 所以． 故答案为：4． 【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，考查二次函数性质，分类讨论思想．解题关键是掌握二次函数的性质，利用二次函数的最小值得出，从而，由先求得，再求得． 9. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“—”和阴爻“——”，下图就是一重卦，在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有2个阳爻的概率是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据独立重复试验概率计算公式求得正确答案. 【详解】该重卦恰有2个阳爻的概率是. 故答案为： 10. 设函数，为坐标原点，为函数图像上横坐标为的点，向量与向量的夹角为，则满足：的最大整数的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】由题意得，进而得的坐标，求出，代入解出所满足的条件，判断出符合条件的最大整数的值. 【详解】由题意得，， 又向量与向量的夹角为， ∴， 又， ∴， ∴，∴， 令，2，3，4，分别代入验证知，可取的最大值为3， 故答案为：3. 【点睛】本题考查了由向量求夹角，数列的求和，不等式，解题的关键是认真审题得出的表达式，熟练掌握数列求和的技巧也是解题的关键，属于中档题. 11. 如图所示，是一处观景台，、分别为观景区域的边界，未教星工程队计划修建与两条道路.已知与的距离为1 km，且，为了便于工程队测量观景台的观景效果，现给出如下假设：假设1：观景台的观景范围为四边形；假设2：观景台、道路与均处于同一平面内，其中；假设3：，.当四边形的面积为最大值时，则________.(结果精确至0.01) 【答案】 【解析】 【分析】先设角表示相关长度，求出面积表达式，利用三角恒等变换及导数求最值及相应角度. 【详解】设，则，由题意知， 则， 如图，连接. 在中，，则，； 在中，同理可得，； 故四边形的面积 ，. 令，，即. 由，则， 令，则，即， 解得， 由， 故不妨设，且， 当，即时， ，即，在单调递增； 当，即时， ，即，在单调递减； 故，即当时取到最大值. 由，可得， 则 . 此时， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解决此题的关键在于结合整体换元求解导数零点，进而研究三角函数单调性并求解最值. 12. 在平面直角坐标系中，将函数的图像绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图像，则称函数为“函数”.若函数为“函数”，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】由“函数”的定义可知若函数为“函数”，则直线与的图像至多只有一个交点，从而可得至多只有一根，即函数在定义域上单调，求导，分情况讨论函数的单调性可得参数范围. 【详解】由“函数”的定义可知若函数为“函数”，则直线与的图像至多只有一个交点， 即，即只有一根， 令，则在上单调， 则， 当时，则，在上单调，满足要求； 当时，设，则， 即函数在上单调递减，在上单调递增， 即， 由函数在上单调，则，解得，与矛盾，不成立； 当时，设，则， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 即， 由函数在上单调，则，解得， 又，即； 综上所述，， 故答案为：. 二、选择题 13. “”是“”的 A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】解方程，得出的值，然后根据集合的包含关系可判断出“”是“”的必要非充分条件关系. 【详解】解方程，得， 因此，“”是“”的必要非充分条件. 故选B. 【点睛】本题考查必要不充分条件的判断，一般转化为两集合的包含关系来进行判断，也可以根据两条件的逻辑性关系进行判断，考查推理能力，属于基础题. 14. 在等比数列中，，若集合，则集合A中元素的个数为（ ） A. 2012 B. 2013 C. 4022 D. 4023 【答案】D 【解析】 【分析】确定等比数列的通项公式,研究数列的单调性，进而分析的正负，得到的单调性，进而利用等比数列的性质研究得结论. 【详解】等比数列的通项公式为： 已知 ，所以： 因此，公比  为：. ，,此时  单调递增，且 ,. 记， 当时，；当时，；当时，. 因此：. 所以， 在以前单调递减，在以后单调递增，在时相等，取得最小值. 即 对于和，有，从而和的和为0. 这种对称性使得前2011项的和与从2013到4023项的和相互抵消， 即. 时，，满足条件；时，和变为正数，不满足条件. 因此，集合中元素的个数为4023， 故选：D. 15. 若复数z在复平面中的对应点都在一个过原点的圆上，则的对应点均在（ ） A. 一条直线上 B. 一个圆上 C. 一条抛物线上 D. 一支双曲线上 【答案】A 【解析】 【分析】设，求出对应点的坐标，根据点在已知圆上，代入圆的方程变形可得. 【详解】设，圆心为，则半径， 则圆的方程为，即， 依题意有，变形得， 因为， 所以的对应点坐标为，显然在直线上. 故选：A 16. 在平面直角坐标系中，当不是原点时，定义的“伴随点”为；当是原点时，定义的“伴随点”为它自身；平面曲线上所有点的“伴随点”构成的曲线定义为曲线的“伴随曲线”，则下列命题： ①若点的“伴随点”是点，则点的“伴随点”是点； ②圆心在原点的单位圆的“伴随曲线”是它自身； ③若曲线关于轴对称，则其“伴随曲线”关于轴对称； ④一条直线的“伴随曲线”是一条直线. 真命题的序号是______. A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④ 【答案】B 【解析】 【分析】对①，由定义求得的“伴随点”，化简即可判断；对②，任取单位圆上一点，则为单位圆上的点，的轨迹为单位圆；对③，任取曲线关于轴对称的两点，判断其伴随点是否关于y轴对称；对④，任取不过原点的直线上的三点，验证其对应的伴随点不在一条线上. 【详解】对①，设点，则，则的 “伴随点”为，即，不为点A，①错； 对②，任取单位圆上一点，则为单位圆上的点，的轨迹为单位圆，②对； 对③，任取曲线关于轴对称的两点，则伴随点为，关于y轴对称，③对； 对④，不妨取直线上的三个点，对应的伴随点为， 由，故对应的伴随点不在一条线上，故一条直线的“伴随曲线”不一定是一条直线，④错. 故选：B 三、解答题 17. 在平面四边形ABCD中，，，. （1）求将四边形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积； （2）若平面ABCD，且，求二面角的平面角的大小. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）画出几何体的直观图，利用已知条件，求解几何体的体积即可． （2）建立直角坐标系，利用利用空间向量法求解即可 【小问1详解】 梯形， 将四边形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是： 由一个底面半径为1，高为2的圆柱，挖掉一个底面半径为1，高为1的圆锥，所形成的几何体，如图： 其中，，所求体积. 【小问2详解】 分别以BA、BC、BP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系. 依题意，、、、， 所以、、， 设平面APD的法向量，平面BPD的法向量， 则,, 则，，取，， 设、所成角为，则，结合实际图形， 所求二面角的平面角为. 18. 已知，. （1）若函数的最小正周期为，求的值； （2）当时，设.若函数和在上有相同的最大值，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，结合正弦型函数的周期公式可求得正数的值； （2）当时，求出函数在区间上的最大值，可知，当时，函数在内取得最大值，可得出，然后对整数的取值进行分类讨论，可得出关于实数的不等式组，求解后结合，即得实数的取值范围. 【小问1详解】 ， 因为且函数的最小正周期为，故. 【小问2详解】 当时，. 若时，， 当时，函数取得最大值，即. 而函数与存在相同的最大值， 故当时，函数在内取得最大值， 因此可得， ①当时，可得，则有，解得； ②当时，可得，则有，解得. 当时，，此时，， 当时，，此时，. 综上所述，的取值范围为. 19. 为了检查一批零件的质量是否合格，检查员计划从中依次随机抽取零件检查：第次检查抽取号零件，测量其尺寸(单位：厘米).检查员共进行了100次检查，整理并计算得到如下数据：，，. （1）这批零件共有1000个.若在抽查过程中，质量合格的零件共有60个，估计这批零件中质量合格的零件数量； （2）若变量与存在线性关系，记，求回归系数的值； （3）在抽出的100个零件中，检查员计划从中随机抽出20个零件进行进一步检查，记抽出的20个零件中有对相邻序号的零件，求的数学期望. 示例零件序号为“1、2、4、5”与“1、2、3、5”时均恰有2对相邻序号的零件. 参考公式：（1）线性回归方程：，其中，. （2）期望的线性性质：，其中是若干随机变量. 【答案】（1）600个 （2） （3）个 【解析】 【分析】（1）利用样本质量合格的频率估计总体的概率，求总体中质量合格的零件数量. （2）根据给出的公式可求的值. （3）根据期望的线性性质求解. 【小问1详解】 因为在这100个零件中，合格的零件为60个， 故质量合格的零件所占样本比例为. 而在这1000个零件中，质量合格的零件数为：(个). 【小问2详解】 由可得，， 又因为，， 因此可得：. 代入数据可得：. 【小问3详解】 用表示抽查的结果，若第个零件与第个零件被选中，则记； 若结果是其余情况，则记，. 由线性期望的性质可得： (个). 20. 在平面直角坐标系中，已知椭圆:的右顶点为，点、分别是轴负半轴、轴正半轴上的动点. （1）若是的左焦点，且，求的值； （2）设，上存在轴上方一点.若，求的坐标； （3）设，过的直线与交于、两点(、两点不重合)，与轴交于且的纵坐标，记与到直线的距离分别为、.若存在直线，满足成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据计算求参； （2）设点的坐标结合两角和正切，应用点在椭圆上计算； （3）设直线方程再联立得出韦达定理，再结合点到直线距离分类讨论计算求出参数范围. 【小问1详解】 因为与的左焦点重合，故，因此. 又因为，而， 所以，解得：(负舍). 【小问2详解】 因为，又因为， 而， 代入解得. 若在第一象限，则，故在第二象限. 设，而， 整理可得. 代入椭圆方程，可得：. 所以解得(增根舍去)，所以. 因此. 【小问3详解】 由题意可知：直线的解析式为， 设直线的解析式为()，且、. 联立， 可得，. 根据韦达定理，，. 因为、两点均在直线的左侧，故. 又因为，，因此， 代入化简可得方程. 设，又因为，故. ① 若 ，此时直线与存在两个交点. 若存在，使得， 而，故， 可得，故，因此. ② 若，而此时在的外部，，故. 若存在，使得， 而， 故，可得，故. 综上所述，的取值范围为. 【点睛】方法点睛：设直线方程再联立方程组，得出故，最后分类讨论分 和两种情况计算求参. 21. 设定义域为的函数，对于，定义 （1）设，求； （2）设，是否存在，使得是一段闭区间？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由； （3）函数的定义域是，函数值恒正，其导函数为；当时，．若对任意，均有，求证：“函数是上的严格增函数”当且仅当“”． 【答案】（1）； （2）存在，； （3）证明：假设，若， 则，因此矛盾， 故， ①先证充分性： 引理：对任意，当满足时，， 已知，． 假设， 设，任取，，则， 因为函数是严格增函数， 所以，即， 所以， 由此， 因此考虑构造， 当， 则， 而， 所以函数是严格减函数，，故矛盾， 即， 下面证明函数在上为严格增函数： 任取，若，， 联立上式可得． 而，，又因为是严格减函数， 则．由于，， 所以，故． 同理，可证函数在上为严格增函数，且， 故函数在上为严格增函数，因此充分性得证． ②再证必要性： 因为函数是上的严格增函数且， 当时，； 当时，， 因此， 因此必要性得证． 综上，函数是上的严格增函数”当且仅当“. 【解析】 【分析】（1）根据定义求解即可； （2）由题意可得，令，当时，利用导数确定函数的单调性及极值，再根据定义求解即可；当时，可得是函数的极小值点，再根据定义求解即可； （3）根据充要条件的定义证明即可. 【小问1详解】 由题设， 由化简得， 解得， 故． 【小问2详解】 因为， 代入定义得：， 构造函数， 故， 令， 当时，， 所以存在，；所以当、时，， 进一步，列表可得： 0 0 0 0 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 由此是函数的极大值点， 故当时，是一段闭区间， 因此， 特别地，当时，，，， 故仍是一段闭区间， 故； 当时，， 故当且仅当时，． 同理，是函数的极小值点，且取得最小值， 当时，是一段闭区间，由此得， 综上所述，存在满足条件的，且； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 进才中学高三数学练习试卷 2025.03 一、填空题 1. 不等式的解集是________. 2. 在的二项展开式中，第四项与第六项的系数相等，则________． 3. 若样本数据x1，x2，…,x10的标准差为8，则数据2x1-1，2x2-1，…，2x10-1的标准差为______． 4. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，角的终边与圆心在原点的单位圆（半径为1的圆）交于第二象限内的点，则＝____．（用数值表示） 5. 双曲线()的焦点为、，且为该双曲线上一点，若，，则该双曲线的离心率为 _______. 6. 在斜三棱柱中，连接、与，记三棱锥的体积大小为，三棱柱的体积大小为，则________. 7. 设数列的前项和为，若，（），则的通项公式为________ 8. 已知不等式的解集为，则的值为______. 9. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“—”和阴爻“——”，下图就是一重卦，在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有2个阳爻的概率是________. 10. 设函数，为坐标原点，为函数图像上横坐标为的点，向量与向量的夹角为，则满足：的最大整数的值为______． 11. 如图所示，是一处观景台，、分别为观景区域的边界，未教星工程队计划修建与两条道路.已知与的距离为1 km，且，为了便于工程队测量观景台的观景效果，现给出如下假设：假设1：观景台的观景范围为四边形；假设2：观景台、道路与均处于同一平面内，其中；假设3：，.当四边形的面积为最大值时，则________.(结果精确至0.01) 12. 在平面直角坐标系中，将函数的图像绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图像，则称函数为“函数”.若函数为“函数”，则实数的取值范围是________. 二、选择题 13. “”是“”的 A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 14. 在等比数列中，，若集合，则集合A中元素的个数为（ ） A. 2012 B. 2013 C. 4022 D. 4023 15. 若复数z在复平面中的对应点都在一个过原点的圆上，则的对应点均在（ ） A. 一条直线上 B. 一个圆上 C. 一条抛物线上 D. 一支双曲线上 16. 在平面直角坐标系中，当不是原点时，定义的“伴随点”为；当是原点时，定义的“伴随点”为它自身；平面曲线上所有点的“伴随点”构成的曲线定义为曲线的“伴随曲线”，则下列命题： ①若点的“伴随点”是点，则点的“伴随点”是点； ②圆心在原点的单位圆的“伴随曲线”是它自身； ③若曲线关于轴对称，则其“伴随曲线”关于轴对称； ④一条直线的“伴随曲线”是一条直线. 真命题的序号是______. A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④ 三、解答题 17. 在平面四边形ABCD中，，，. （1）求将四边形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积； （2）若平面ABCD，且，求二面角的平面角的大小. 18. 已知，. （1）若函数的最小正周期为，求的值； （2）当时，设.若函数和在上有相同的最大值，求的取值范围. 19. 为了检查一批零件的质量是否合格，检查员计划从中依次随机抽取零件检查：第次检查抽取号零件，测量其尺寸(单位：厘米).检查员共进行了100次检查，整理并计算得到如下数据：，，. （1）这批零件共有1000个.若在抽查过程中，质量合格的零件共有60个，估计这批零件中质量合格的零件数量； （2）若变量与存在线性关系，记，求回归系数的值； （3）在抽出的100个零件中，检查员计划从中随机抽出20个零件进行进一步检查，记抽出的20个零件中有对相邻序号的零件，求的数学期望. 示例零件序号为“1、2、4、5”与“1、2、3、5”时均恰有2对相邻序号的零件. 参考公式：（1）线性回归方程：，其中，. （2）期望的线性性质：，其中是若干随机变量. 20. 在平面直角坐标系中，已知椭圆:的右顶点为，点、分别是轴负半轴、轴正半轴上的动点. （1）若是的左焦点，且，求的值； （2）设，上存在轴上方一点.若，求的坐标； （3）设，过的直线与交于、两点(、两点不重合)，与轴交于且的纵坐标，记与到直线的距离分别为、.若存在直线，满足成立，求的取值范围. 21. 设定义域为的函数，对于，定义 （1）设，求； （2）设，是否存在，使得是一段闭区间？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由； （3）函数的定义域是，函数值恒正，其导函数为；当时，．若对任意，均有，求证：“函数是上的严格增函数”当且仅当“”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $