精品解析：安徽省阜阳市第三中学2023-2024学年高一下学期期末数学模拟（二）数学试题

2023-2024学年安徽省阜阳三中高一（下）期末数学模拟试卷（二） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先解不等式确定集合的元素，再利用集合的并集运算即可求解. 【详解】由，解得，所以， 因为，得，所以， 故. 故选:C． 2. 已知（，为虚数单位），若是实数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数乘法及复数的虚部为0计算即可. 【详解】因为是实数， 所以， 故选：A 3. 已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知可求出，再利用投影向量的计算公式，可得答案. 【详解】由，则， ，则， 则向量在向量上的投影向量为. 故选：B 4. 设，为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】C 【解析】 【分析】利用直线、平面的位置关系进行判断以及通过举反例进行排除. 【详解】对于A，若，，则或，故A错误； 对于B，若，，，则或相交，故B错误； 对于C，利用线面垂直的性质定理以及平行的传递性，可知C正确； 对于D，若，，，当，不一定垂直于， 故D错误. 故选：C. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两角和的余弦可求的关系，结合的值可求前者，故可求的值. 【详解】因为，所以， 而，所以， 故即， 从而，故， 故选：A. 6. 已知，是函数的图象上两个不同的点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可. 【详解】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即， 对于选项AB：可得，即， 根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误； 对于选项D：例如，则， 可得，即，故D错误； 对于选项C：例如，则， 可得，即，故C错误， 故选：B. 7. 一个五面体．已知，且两两之间距离为．，，，则该五面体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】采用补形法将五面体补成一个棱柱，再利用体积公式求解即可. 【详解】如图，用一个完全相同的五面体（顶点与五面体一一对应）与该五面体相嵌， 则形成的新组合体为一个三棱柱， 该三棱柱的直截面（与侧棱垂直的截面）为边长为的等边三角形， 侧棱长为， 故． 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 8. 下面是关于复数（为虚数单位）的命题，其中真命题为（    ） A. 的虚部为 B. 在复平面内对应的点在第二象限 C. 的共轭复数为 D. 若，则的最大值是 【答案】CD 【解析】 【分析】利用复数的四则运算化简复数，利用复数的概念可判断A选项；利用复数的几何意义可判断B选项；利用共轭复数的定义可判断C选项；利用复数模的三角不等式可判断D选项. 【详解】因为，则. 对于A选项，的虚部为，A错； 对于B选项，复数在复平面内对应的点在第三象限，B错； 对于C选项，的共轭复数为，C对； 对于D选项，因为，， 由复数模的三角不等式可得， 当且仅当时，等号成立，即的最大值是，D对. 故选：CD. 9. 已知甲罐中有四个相同的小球，标号为1，2，3，4；乙罐中有五个相同的小球，标号为1，2，3，5，6，现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件A=“抽取的两个小球标号之和大于5”，事件B=“抽取的两个小球标号之积大于8”，则（ ） A. 事件A与事件B的样本点数分别为12，8 B. 事件A，B间的关系为 C. 事件发生的概率为 D. 事件发生的概率为 【答案】CD 【解析】 【分析】计算出所有结果数，分别列举出事件A、B的结果情况，即可判断选项A、B；根据古典概型的概率计算公式即可判断选项C、D. 【详解】解：由题用表示甲罐、乙罐中取小球标号的情况， 则所有的情况有：，， ，，共20种， 其中满足事件A的结果有：，，， ，共11种， 其中满足事件B的结果有：，， ，共8种，故选项A错误； 因为事件B的结果均在事件A中包含，故，故选项B错误； 因为，所以的结果数有11种， 所以，故选项C正确； 因为，所以的结果数有8种， 故，故选项D正确. 故选：CD 10. 如图，在棱长为1的正方体中，Q是棱上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 不存在点Q，使得 B. 存在点Q，使得 C. 对于任意点Q，Q到的距离的取值范围为 D. 对于任意点Q，都是钝角三角形 【答案】ABC 【解析】 【分析】证明直线与是异面直线判断A，当与重合时，可判断BD，设（），计算出的面积的最大值和最小值后从而可得Q到的距离的最小值和最大值，从而判断C． 【详解】由平面，平面，，平面，∴直线与是异面直线，A正确； 平面，平面，则，又，与是平面内两相交直线，所以平面，又平面，所以，即当与重合时，，B正确，此时是直角三角形，D错； 设（），，，， ， ， 所以， ， 所以时，，或1时，，所以的最大值是，最小值是， 记到的距离为，，因此的最大值是，的最小值是，C正确． 故选：ABC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 11. 若函数，则不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】分和两种情况，结合指、对数函数的单调性运算求解. 【详解】因为，则有： 当时，可得，解得； 当时，可得，则，解得； 综上所述：不等式的解集为. 故答案为：. 12. 已知函数的部分图像如图所示，且关于的不等式的解集为，，则正偶数a的最小值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】利用点代入与单调性求得，再利用点代入与周期求得，从而求得的解析式，进而解不等式，依次讨论与即可得解. 【详解】由题意得，所以， 而，，所以， 而，故，所以， 又过点，所以，即， 所以，则， 又，即，又，则，所以， 则，又，所以，则， 所以， 由，得， 所以，解得， 当时，在区间内不存在正偶数， 当时，在区间内存在1个正偶数4，所以正偶数a的最小值为． 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键在于利用五点法求得的解析式，从而解关于的不等式，从而得解. 13. 在边长为1的正方形ABCD中，点E为线段CD上靠近C的三等分点，，则__________，F为线段BE上的动点，G为AF中点，则的最小值为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由向量对应线段的位置及数量关系用表示出，即可得参数值，令，，根据已知得并应用向量数量积的运算律求最值. 【详解】由题设，则， 所以， ， 令，，则 ， 所以 ， 当时，的最小值为. 故答案为：， 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 14. 已知函数的最小正周期为． （1）求的值，并写出的对称轴方程； （2）在中角的对边分别是满足，求函数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角函数的恒等变换化简函数，再根据周期求出的值,利用整体法即可求解对称轴. （2）把已知的等式变形并利用正弦定理可得，故，故，根据正弦函数的定义域和值域求出的取值范围． 【小问1详解】 ． ，． 故 令，解得， 故对称轴方程为： 【小问2详解】 由得， ． ，，,． ，， ， 15. 已知函数，． （1）求的最大值及取最大值时的值； （2）设实数，求方程存在8个不等的实数根时的取值范围． 【答案】（1）当，，时， （2） 【解析】 【分析】（1）去掉绝对值，化为分段函数，求出每一段上的最大值；（2）令，问题转化为在上存在两个相异的实根，进而列出不等式组，求出的取值范围. 【小问1详解】 ∵， ∴当时， ∴当时， ． 故当时， ． 【小问2详解】 令，则，使方程存在8个不等的实数根，则方程在上存在两个相异的实根， 令，则，解得：． 故所求的的取值范围是． 16. 如图，在三棱柱中，平面为正三角形，侧面是边长为2的正方形，为的中点. （1）求证：平面平面； （2）取的中点，连接，求二面角的余弦值. 【答案】（1） 证明：为正三角形，为的中点，， 平面平面， 平面， 又平面平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）通过证明，可得平面，又结合平面，可得相应结论； （2）由题结合几何知识可得为二面角的平面角，后由勾股定理可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 为正三角形，， 平面平面， ， 故， 又为的中点，， 为二面角的平面角， 侧面是边长为2的正方形，， 为边长为2的正三角形，， 在直角三角形中，， ， 二面角的余弦值为. 17. 阜阳三中举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，高一年级学生参加了这次竞赛，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计将成绩进行整理后，分为五组（，，，，），其中第4组，第1组，第2组的频数依次成等比数列，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： （1）若根据这次成绩，年级准备淘汰80%的同学，仅留20%的同学进入下一轮竞赛请问晋级分数线划为多少合理？ （2）李老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的95和85两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差． （3）从样本数据在，两个小组内的同学中，用分层抽样的方法抽取6名同学，再从这6名同学中随机选出2人，求选出的两人恰好来自于同一小组的概率． 【答案】（1）78分 （2）平均数90，方差 （3） 【解析】 【分析】（1）利用百分位数的定义求解； （2）利用平均数和方差的定义求解； （3）利用古典概型的概率公式求解． 【小问1详解】 由题意知，第4组，第1组，第2组的小长方形的高也成等比数列， 所以， 解得， 又， 解得， 所以，， 成绩落在内的频率为：， 落在内的频率为：， 设第80百分位数为， 则， 解得， 所以晋级分数线划为78分合理； 【小问2详解】 因为， 所以， 所以， 所以， 剔除其中的95和85两个分数，设剩余8个数为， 平均数与标准差分别为，， 则剩余8个分数的平均数：， 方差：； 【小问3详解】 由图可知，按分层抽样法，两层应分别抽取2人和4人．分别记为，和，，，， 则所有的抽样有：，共15个样本点， “抽到的两位同学来自于同一小组”， 则，共7个样本点， 所以． 18. 设函数的定义域为，且区间，对任意且，记，.若，则称在上具有性质；若，则称在上具有性质；若，则称在上具有性质；若，则称在上具有性质. （1）记：①充分而不必要条件； ②必要而不充分条件； ③充要条件； ④既不充分也不必要条件 则在上具有性质是在上单调递增的_____（填正确选项的序号）； 在上具有性质是在上单调递增的_____（填正确选项的序号）； 在上具有性质是在上单调递增的_____（填正确选项的序号）； （2）若在满足性质，求实数的取值范围； （3）若函数在区间上恰满足性质､性质､性质､性质中的一个，直接写出实数的最小值. 【答案】（1）②；①；③ （2） （3）1 【解析】 【分析】（1）结合函数的单调性、充分、必要条件的知识确定正确答案. （2）根据性质，利用分离常数法，结合不等式的性质求得的取值范围. （3）将问题转化为恒成立，对的范围进行分类讨论，由此求得的最小值. 【小问1详解】 由于，所以. 对于性质，当时，无法判断的符号，故无法判断单调性； 当在上单调递增时，， 所以在上具有性质是在上单调递增的必要而不充分条件. 对于性质，当时，，所以在上单调递增； 当在上单调递增时，，的符号无法判断， 所以在上具有性质是在上单调递增的充分而不必要条件. 对于性质，若，则，所以在上单调递增； 当在上单调递增时，，， 所以在上具有性质是在上单调递增的充要条件. 【小问2详解】 对于任意的，且， 有， 由于在满足性质，即， 所以，所以， 因为，所以，所以， 由于任意的，且，所以， 所以， 所以实数的取值范围是. 【小问3详解】 实数的最小值为1. 理由如下： 因为在上恰满足性质､性质､性质､性质中的一个， 所以对任意且，若满足性质A，， 若满足性质，则，若满足性质C、D，则， 性质B、C、D同时满足，所以仅满足性质A，此时， 有恒成立. 因为的定义域为，所以. 当时，， 所以，从而，不合题意； 当时，， 所以，从而， 要使恒成立，只需使，即恒成立， 若，则，使，这与矛盾， 当时，，恒成立， 所以的最小值为1. 【点睛】对于新定义问题的求解，关键点在于“转化”，将新定义的问题，不熟悉的问题，转化为学过的知识、熟悉的问题来进行求解.求解函数问题，首先要研究函数的定义域，这个步骤必不可少. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年安徽省阜阳三中高一（下）期末数学模拟试卷（二） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知（，为虚数单位），若是实数，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 设，为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，是函数的图象上两个不同的点，则（ ） A. B. C. D. 7. 一个五面体．已知，且两两之间距离为．，，，则该五面体的体积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 8. 下面是关于复数（为虚数单位）的命题，其中真命题为（    ） A. 的虚部为 B. 在复平面内对应的点在第二象限 C. 的共轭复数为 D. 若，则的最大值是 9. 已知甲罐中有四个相同的小球，标号为1，2，3，4；乙罐中有五个相同的小球，标号为1，2，3，5，6，现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件A=“抽取的两个小球标号之和大于5”，事件B=“抽取的两个小球标号之积大于8”，则（ ） A. 事件A与事件B的样本点数分别为12，8 B. 事件A，B间的关系为 C. 事件发生的概率为 D. 事件发生的概率为 10. 如图，在棱长为1的正方体中，Q是棱上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 不存在点Q，使得 B. 存在点Q，使得 C. 对于任意点Q，Q到的距离的取值范围为 D. 对于任意点Q，都是钝角三角形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 11. 若函数，则不等式的解集为__________. 12. 已知函数的部分图像如图所示，且关于的不等式的解集为，，则正偶数a的最小值为______． 13. 在边长为1的正方形ABCD中，点E为线段CD上靠近C的三等分点，，则__________，F为线段BE上的动点，G为AF中点，则的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 14. 已知函数的最小正周期为． （1）求的值，并写出的对称轴方程； （2）在中角的对边分别是满足，求函数的取值范围． 15. 已知函数，． （1）求的最大值及取最大值时的值； （2）设实数，求方程存在8个不等的实数根时的取值范围． 16. 如图，在三棱柱中，平面为正三角形，侧面是边长为2的正方形，为的中点. （1）求证：平面平面； （2）取的中点，连接，求二面角的余弦值. 17. 阜阳三中举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，高一年级学生参加了这次竞赛，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计将成绩进行整理后，分为五组（，，，，），其中第4组，第1组，第2组的频数依次成等比数列，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： （1）若根据这次成绩，年级准备淘汰80%的同学，仅留20%的同学进入下一轮竞赛请问晋级分数线划为多少合理？ （2）李老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的95和85两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差． （3）从样本数据在，两个小组内的同学中，用分层抽样的方法抽取6名同学，再从这6名同学中随机选出2人，求选出的两人恰好来自于同一小组的概率． 18. 设函数的定义域为，且区间，对任意且，记，.若，则称在上具有性质；若，则称在上具有性质；若，则称在上具有性质；若，则称在上具有性质. （1）记：①充分而不必要条件； ②必要而不充分条件； ③充要条件； ④既不充分也不必要条件 则在上具有性质是在上单调递增的_____（填正确选项的序号）； 在上具有性质是在上单调递增的_____（填正确选项的序号）； 在上具有性质是在上单调递增的_____（填正确选项的序号）； （2）若在满足性质，求实数的取值范围； （3）若函数在区间上恰满足性质､性质､性质､性质中的一个，直接写出实数的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $