精品解析： 江苏省如皋中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题

江苏省如皋中学2024-2025学年度第二学期综合练习 高一数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分、在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平面向量的加减运算的坐标表示可得结果. 【详解】易知. 故选：D 2. 若函数，则可以化简为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用辅助角公式求出答案. 【详解】，C正确； 其他选项不满足要求. 故选：C 3. 在中，为边上的中线，为的中点.则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理，结合平面向量线性运算的性质进行求解即可. 【详解】因为为边上的中线，所以， 又因为为的中点，所以 ， 故选：A. 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两角和（差）的余弦公式得到方程组，求出、，再根据同角三角函数的基本关系计算可得. 【详解】因为，， 所以，解得， 所以. 故选：A. 5. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用同角基本关系式求出，利用，结合和差角公式可解. 【详解】由，则， 又，， 而 . 故选：D 6. 在中，，，则的形状为（ ） A. 等腰直角三角形 B. 三边均不相等的三角形 C. 等边三角形 D. 等腰（非直角）三角形 【答案】A 【解析】 【分析】由数量积的运算律得到，即可得到，再由数量积的定义求出，即可判断. 【详解】因为，即，即， 所以，即，则， 又表示与同向的单位向量，表示与同向的单位向量， 所以，又，所以， 所以， 所以是等腰直角三角形． 故选：A 7. 已知α，β为锐角，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用同角的三角函数关系求得，进而利用两角各的余弦公式求得，可求的值. 【详解】∵为锐角，， ∴， ∴． 又，∴. 故选：B． 8. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用和角的正弦公式将展开，再用商数关系弦化切即可求解. 【详解】因为， 将式子的左右两侧同时除以，可得 ， 即. 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中；有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. （多选）关于平面向量，，，下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 若，则与的夹角为钝角 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】运用向量的数量积定义，运算律,夹角概念逐个计算验证即可. 【详解】 A √ 根据向量的运算律可知，A正确 B × 表示与向量共线的向量，表示与向量共线的向量，则与不一定相等 C × 当两个非零向量与的方向相反时，，此时与的夹角为，不是钝角 D √ 若与中至少有一个零向量，则，此时与共线； 若与均为非零向量，设与的夹角为，则，可得． 又，所以或，即与共线，反之也成立． 综上， 故选：AD. 10. 下列各式中，计算结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据三角恒等变换，化简求值. 详解】A. ，故A正确； B. ，故B错误； C. ，故C正确； D. ，故D正确. 故选：ACD 11. 已知向量，，，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 设函数，则的最大值为2 C. 的最大值为 D. 若，且在上的投影向量为，则与的夹角为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据判断A，由数量积的坐标表示及辅助角公式判断B，根据向量模的坐标表示及辅助角公式判断C，根据投影向量的定义及夹角公式判断D. 【详解】对于A：若，则，所以，故A正确； 对于B：， 所以当，即时取得最大值，最大值为，故B正确； 对于C：因为， 所以， 所以当时取得最大值，最大值为，故C错误； 对于D：在上的投影向量为，所以， 所以， 又，所以，此时，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. ，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用两角和的正切公式可求得结果. 【详解】由已知条件可得 . 故答案为：. 13. 已知，则的面积为______． 【答案】5 【解析】 【分析】利用平面向量的数量积得到，进而确定三角形的底和高，再利用三角形面积公式求解面积即可. 【详解】因，所以， 故，由向量的模长公式得，， 且设的面积为，则. 故答案为：5 14. 如图，在平面四边形中，，，，且，则___________，若是线段上的一个动点，则的取值范围是___________. 【答案】 ①. 4 ②. 【解析】 【分析】根据题意求出，，再根据平面向量数量积定义可得；设，将和化为、、表示，利用定义求出关于的二次函数，根据二次函数知识可求得结果. 【详解】因为，，所以为正三角形，所以，， 因为，所以， 因为，所以，所以. 因为是线段上的一个动点，所以可设， 所以 ， 因为，所以时，取得最小值，当时，取得最大值， 所以的取值范围是. 故答案为：4； 【点睛】关键点点睛：将和化为、、表示，利用定义求出是解题关键. 四、本题共5小题，共77分．在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，，且． （1）若向量与互相垂直，求的值． （2）若向量与互相平行，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知得，根据向量数量积的运算律及已知条件代入求解即可． （2）根据向量平行及平面向量基本定理列式求解. 【小问1详解】 ，， ，，即，得， 若向量与互相垂直，则， 即得， ，解得或. 【小问2详解】 由，所以，所以不共线， 由向量与互相平行， 可知存在实数，使得， ，解得， 当时，；当时，. 或. 16. 已知，，，. （1）求； （2）求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先由同角三角函数关系求出、，再由两角差的正弦公式计算可得； （2）首先求出，再根据及两角差的正弦公式计算可得. 【小问1详解】 因为，即， 解得或， 又，所以， 则； 【小问2详解】 因为，，所以， 又，所以， 所以 . 17 化简与证明： （1）． （2）． 【答案】（1） （2）证明见详解 【解析】 【分析】（1）将变成，利用两角和差的正弦公式化简得解； （2）利用两角和与差的余弦公式，平方关系从左向右证化简证明. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 左边 . 左边右边，得证. 18. 电视塔是县城的标志性建筑，我校高一年级数学兴趣小组去测量电视塔AB的高度，该兴趣小组同学在电视塔底B的正东方向上选取两个测量点C与D，记，（左图），测得米，，． （1）请据此算出电视塔AB的高度； （2）为庆祝即将到来的五一劳动节，县政府决定在电视塔上A到E处安装彩灯烘托节日气氛．已知米，市民在电视塔底B的正东方向上的F处欣赏彩灯（图右），请问当BF为多少米时，欣赏彩灯的视角最大? 【答案】（1）150米 （2）米 【解析】 【分析】（1）分别在和中，利用正切函数表示出，然后根据题意列方程可求出； （2）由图可知，设米，给两边取正切化简，结合基本不等式可求得其最大值. 【小问1详解】 在中，，得 在中，，得 因为， 所以，解得米． 答：电视塔的高度大约是150米． 【小问2详解】 由图可知，设米，则 当且仅当，即时等号成立． 显然且在单调递增，即最大时最大． 答：当为米时，欣赏彩灯的视角最大． 19. 对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数. （1）设函数，试求函数的相伴特征向量的坐标； （2）记向量的相伴函数为. （I）当且时，求的值； （II）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）（I） （II） 【解析】 【分析】（1）利用两角差的正弦公式及两角和的余弦公式化简函数解析式，再结合函数的相伴特征向量的定义即可求解； （2）（I）根据题意先求得函数的解析式，结合已知条件求得的值，进而求得的值，通过配角的方法并结合两角差的正弦公式即可求解； （II）通过诱导公式化简原式，通过分类讨论的正负，通过参变分离法转化为最值问题即可求解. 【小问1详解】 ， ∴由题可知：函数的相伴特征向量的坐标. 【小问2详解】 由题可知：向量的相伴函数. （I），，即. ，，. ； （II）当时，不等式可化为，即恒成立. ，. 当，即时，，恒成立，. ，，； 当，即时，，，不等式恒成立； 当，即时，，恒成立，. ，，. 综上，实数的取值范围为.. 【点睛】恒成立问题多参变分离后转化为最值问题，通过分类讨论等方法快速求出参数范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 江苏省如皋中学2024-2025学年度第二学期综合练习 高一数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分、在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若函数，则可以化简为（ ） A. B. C. D. 3. 在中，为边上的中线，为的中点.则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，则（ ） A B. C. D. 5. 已知，且，则（ ） A B. C. D. 6. 在中，，，则的形状为（ ） A. 等腰直角三角形 B. 三边均不相等的三角形 C. 等边三角形 D. 等腰（非直角）三角形 7. 已知α，β为锐角，，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中；有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. （多选）关于平面向量，，，下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 若，则与的夹角为钝角 D. 10. 下列各式中，计算结果为的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知向量，，，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 设函数，则最大值为2 C. 的最大值为 D. 若，且在上的投影向量为，则与的夹角为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. ，，则__________． 13. 已知，则的面积为______． 14. 如图，在平面四边形中，，，，且，则___________，若是线段上的一个动点，则的取值范围是___________. 四、本题共5小题，共77分．在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，，且． （1）若向量与互相垂直，求的值． （2）若向量与互相平行，求的值． 16. 已知，，，. （1）求； （2）求. 17. 化简与证明： （1）． （2）． 18. 电视塔是县城标志性建筑，我校高一年级数学兴趣小组去测量电视塔AB的高度，该兴趣小组同学在电视塔底B的正东方向上选取两个测量点C与D，记，（左图），测得米，，． （1）请据此算出电视塔AB的高度； （2）为庆祝即将到来五一劳动节，县政府决定在电视塔上A到E处安装彩灯烘托节日气氛．已知米，市民在电视塔底B的正东方向上的F处欣赏彩灯（图右），请问当BF为多少米时，欣赏彩灯的视角最大? 19. 对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数. （1）设函数，试求函数的相伴特征向量的坐标； （2）记向量的相伴函数为. （I）当且时，求的值； （II）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$