精品解析：河南省平顶山市鲁山县2024-2025学年上学期八年级期末考试数学试卷

河南省平顶山市鲁山县2024-2025学年上学期八年级期末考试数学试卷 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，试题卷共4页，三个大题．满分120分，考试时间100分钟． 2．试题卷上不要答题，请用0．5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上，答在试题卷上的答案无效． 3．答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列根式中的最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 下列四个命题（1）对顶角相等 （2）同位角相等 （3）等角的余角相等 （4）凡是直角都相等，其中真命题的个数是（ ） A. 1个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4个 3. 已知 的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断 是直角三角形的是（ ） A. B. ，， C. D. 4. 在平面直角坐标系中，点P在第二象限，若点P到x轴的距离为7，到y轴的距离为3，则点P的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 期中考试后，班里有两位同学议论他们所在小组同学的数学成绩，小明说：“我们组成绩是86分的同学最多”，小英说：“我们组的7位同学成绩排在最中间的恰好也是86分”．上面两位同学的话能反映出的统计量分别是( ) A. 众数和平均数 B. 平均数和中位数 C. 众数和方差 D. 众数和中位数 6. 我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子、现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清酒、醑酒各几斗？如果设清酒 斗，醑酒 斗，那么可列方程组为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，下列条件，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正比函数的图象与一次函数的图象相交于点 ，则方程组的解是（ ） A. B. C. D. 9. 某校足球训练队开展体能测试，训练队共20人，小亮没有参加本次集体测试．老师对余下19人的测试成绩进行了统计分析，19人的平均分为90分，方差．后来小亮进行了补测，成绩恰为90分，该训练队20人的测试成绩与该队19人的测试成绩相比，下列说法正确的是（ ） A. 平均分和方差都不变 B. 平均分不变，方差变大 C. 平均分不变，方差变小 D. 平均分和方差都改变 10. 人工智能的发展使得智能机器人送餐成为时尚．如图，某餐厅的机器人小数和小文从厨房门口出发，准备给相距的客人送餐，小数比小文先出发，且速度保持不变，小文出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设小数行走的时间为，小数和小文行走的路程分别为，，，与 之间的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ） A. 小数比小文先出发15秒 B. 小文提速后的速度为 C. D. 从小数出发至送餐结束，小文和小数最远相距 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. ________． 12. 若要举反例来说明命题“如果，那么”是假命题，则可取 ______（写出一种即可）． 13. 在平面直角坐标系中，将直线向下平移1个单位长度，得到直线，则______． 14. 某公司欲招聘员工，对候选人进行三项测试：语言、创新、综合知识，并把测试得分按比例确定测试总分，已知某候选人三项得分分别为88，72，52，则这位候选人的招聘得分为_____分． 15. 如图所示，数学拓展课上，小聪将直角三角形纸片 沿向下折叠，点A落在点处，当时， _______度． 三、解答题（共8题，75分） 16. 解答题 （1） （2）解方程组： 17. 小龙在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过如图勘测，得到如下记录：①测得水平距离 的长为12米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为13米；③小龙牵线放风筝的手到地面的距离长为1.5米． （1）求风筝到地面的距离线段的长； （2）如果小龙想要风筝沿方向再上升4米， 和的长度不变，则他应该再放出_____米线． 18. 已知五个点坐标分别为：，，，，． （1）如图，在直角坐标系中，描出这五个点，并依次连接点 ， ， ， ， ， ； （2）问题（1）中你得到的图形有什么特点？ （3）将问题（1）中五个点的纵坐标保持不变，横坐标分别乘，将所得的五个点用线段依次连接起来（成封闭图形），得到的新图形与原来图形有怎样的位置关系？ 19. 某中学开展“青春筑梦，强国有我”演讲比赛活动，八（1）班、八（2）班根据初赛成绩各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩（满分为100分）如图所示．根据图中数据解决下列问题： （1）根据图示求出表中的a、b、c的值． 平均数 中位数 众数 八（1）班 a 85 c 八（2）班 85 b 100 ______， ______， ______． （2）请你帮助评委老师分别计算出两班复赛成绩的方差和； （3）根据（1）、（2）中的计算结果，你认为哪个班级的复赛成绩较好？ 20. 如图，，平分 与相交于F， ．求证：． 21. 如图，直线与直线相交于一点，其坐标为，直线过点， （1）求直线的解析式； （2）求直线，与 轴围成的三角形的面积． 22. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某4S店用120万元购进A，B两种新能源汽车进行销售，这两种汽车的进价和售价如下表所示，全部销售后可获毛利润16万元．[毛利润 （售价进价） 销售量] A B 进价/（万元/辆） 15 12 售价/（万元/辆） 16.5 14 （1）该4S店购进A，B两种新能源汽车各多少辆？ （2）由于销售状况特别好，该4S店决定再用240万元同时购进A，B两种新能源汽车（240万元资金刚好用完且两种汽车均购买），有哪几种购买方案？ 23. 小明对一副直角三角板在平行线间的位置进行研究，已知． （1）如图①，小明将含角的直角三角板 中的点A落在直线上，若，则的度数为______； （2）如图②，小明将含 角的直角三角板中的点D，F分别落在直线上，若平分，则是否平分？请说明理由． （3）小明将三角板 与三角板按如图③所示方式摆放，点B与点F重合，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省平顶山市鲁山县2024-2025学年上学期八年级期末考试数学试卷 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，试题卷共4页，三个大题．满分120分，考试时间100分钟． 2．试题卷上不要答题，请用0．5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上，答在试题卷上的答案无效． 3．答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列根式中的最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的定义：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式；逐个进行判断即可． 【详解】解：A．符合最简二次根式的定义，因此是最简二次根式，所以选项A符合题意； B．，因此选项B不符合题意； C．，因此选项C不符合题意； D．，因此选项D不符合题意； 故选：A． 2. 下列四个命题（1）对顶角相等 （2）同位角相等 （3）等角的余角相等 （4）凡是直角都相等，其中真命题的个数是（ ） A. 1个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】分别根据对顶角、同位角、余角和直角的定义分析判断即可． 【详解】解：（1）对顶角相等，是真命题； （2）只有在两直线平行时，同位角才相等，假命题， （3）等角的余角相等，是真命题， （4）直角都等于90°，是真命题， 真命题有3个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假，关键是要熟悉课本中的性质定理． 3. 已知的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. ，， C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理逆定理以及三角形内角和定理对各项逐一判断即可. 【详解】解：A选项：设，则：，， ， 解得：， 此三角形不是直角三角形；故A选项符合题意； B选项：， 此三角形是直角三角形；故B选项不符合题意； C选项：，且， ， ， 此三角形是直角三角形；故C选项不符合题意； C选项：由得：， 此三角形是直角三角形；故D选项不符合题意； 故选A. 【点睛】本题考查直角三角形的判定，如果有边长，则可利用勾股定理的逆定理进行判定；如果有角度相关条件，则利用有一个角是的三角形是直角三角形进行判定. 4. 在平面直角坐标系中，点P在第二象限，若点P到x轴的距离为7，到y轴的距离为3，则点P的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查点到坐标轴的距离、点所在的象限，根据点到x轴的距离为，到y轴的距离为，结合点所在的象限求解即可． 【详解】解：设点P坐标， ∵点P到x轴的距离为7，到y轴的距离为3， ∴，， ∴，， ∵点P在第二象限， ∴ ， ， ∴点P坐标为， 故选：A． 5. 期中考试后，班里有两位同学议论他们所在小组同学的数学成绩，小明说：“我们组成绩是86分的同学最多”，小英说：“我们组的7位同学成绩排在最中间的恰好也是86分”．上面两位同学的话能反映出的统计量分别是( ) A. 众数和平均数 B. 平均数和中位数 C. 众数和方差 D. 众数和中位数 【答案】D 【解析】 【分析】根据众数和中位数的概念可得出结论. 【详解】一组数据中出现次数最多的数值是众数；将数据从小到大排列，当项数为奇数时中间的数为中位数，当项数为偶数时中间两个数的平均数为中位数；由题可知，小明所说的是多数人的分数，是众数，小英所说的为排在中间人的分数，是中位数. 故选为D. 【点睛】本题考查众数和中位数的定义，熟记定义是解题的关键. 6. 我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子、现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清酒、醑酒各几斗？如果设清酒 斗，醑酒 斗，那么可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组和数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 根据“现在拿30斗谷子，共换了5斗酒”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】如果设清酒 斗，醑酒 斗，由题可知，． 故选：A． 7. 如图，下列条件，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定定理，解题的关键是正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．根据平行线的判定定理，对各项逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，根据同旁内角互补，两直线平行可判定，此选项不符合题意； B、，根据同位角相等，两直线平行可判定，不能判定，故此选项符合题意； C、，根据内错角相等，两直线平行可判定，故此选项不符合题意； D、，根据同位角相等，两直线平行可判定，故此选项不符合题意； 故选：B． 8. 如图，正比函数的图象与一次函数的图象相交于点 ，则方程组的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的交点，方程组的解与一次函数交点的关系，熟练掌握关系是解题的关键．根据正比函数的图象与一次函数的图象相交于点 ，得，于是得到点，根据交点的意义，得到方程组的解． 【详解】解：由正比函数的图象与一次函数的图象相交于点 ，且 点横坐标为，得， 于是得到点， ∴方程组的解为， 故选：B． 9. 某校足球训练队开展体能测试，训练队共20人，小亮没有参加本次集体测试．老师对余下19人的测试成绩进行了统计分析，19人的平均分为90分，方差．后来小亮进行了补测，成绩恰为90分，该训练队20人的测试成绩与该队19人的测试成绩相比，下列说法正确的是（ ） A. 平均分和方差都不变 B. 平均分不变，方差变大 C. 平均分不变，方差变小 D. 平均分和方差都改变 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了方差的定义，算术平均数．根据平均数，方差的定义计算即可． 【详解】解：小亮的成绩和其他19人的平均数相同，都是90分， 训练队20人的测试成绩的平均分为90分不变， 根据方差的计算公式， ， ， 可得方差变小了， 故选：C． 10. 人工智能的发展使得智能机器人送餐成为时尚．如图，某餐厅的机器人小数和小文从厨房门口出发，准备给相距的客人送餐，小数比小文先出发，且速度保持不变，小文出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设小数行走的时间为，小数和小文行走的路程分别为，，，与 之间的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ） A. 小数比小文先出发15秒 B. 小文提速后的速度为 C. D. 从小数出发至送餐结束，小文和小数最远相距 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，从函数图像获取信息．根据图像信息求出运动速度进而判断选项A，B，C；分别求得以及各段的函数解析式，结合函数图像即可判断D选项． 【详解】解：结合图像可知，小数比小文早出发15秒，故选项A正确，不符合题意； ∵当秒时，，当秒时，厘米， 故小文提速前的速度是厘米/秒， ∵小文发一段时间后速度提高为原来的2倍， ∴小文提速后速度为30厘米/秒，故选项B正确，不符合题意； 故提速后小文行走所用时间为：秒， ∴秒， ∴， ∴小数的速度为厘米/秒 ∴秒，故选项C错误，符合题意； 设段对应的函数表达式为 ， 将点代入，可得， 可得 ， ∴可有， 当时，小数和小文之间距离最大值为厘米； 当时，设， 将，代入， 可得，解得， ∴此阶段有， ∴小数和小文之间距离， 当时，取最大值，最大值为厘米； 设 段对应的函数表达式为， 将，代入， 可得，解得， ∴此阶段有， 当时，小数和小文之间距离， 当时，取最大值，最大值为厘米； 当时，小数和小文之间距离最大值为厘米． 综上所述，从聪聪出发直至送餐结束，聪聪和慧慧之间距离的最大值为150厘米，故选项D正确，不符合题意． 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. ________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了无理数大小比较和化简绝对值， 根据绝对值的定义，一个数的绝对值是非负的．由于，因此，故其绝对值为其相反数． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为． 12. 若要举反例来说明命题“如果，那么”是假命题，则可取 ______（写出一种即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了命题的定义，深刻理解命题的定义是解题的关键．必须牢记：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”的形式．判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 找出一个 满足，但不满足即可． 【详解】解：要说明“如果，那么”是假命题，可以举一个反例为， 因为时，， 故答案为：（答案不唯一）． 13. 在平面直角坐标系中，将直线向下平移1个单位长度，得到直线，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与几何变换．根据“上加下减，左加右减”的规律进行解答即可． 【详解】解：将直线向下平移1个单位长度得， ∵， ∴，解得， 故答案为：2． 14. 某公司欲招聘员工，对候选人进行三项测试：语言、创新、综合知识，并把测试得分按比例确定测试总分，已知某候选人三项得分分别为88，72，52，则这位候选人的招聘得分为_____分． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了加权平均数的计算，熟练掌握加权平均数的计算公式是解题的关键．根据候选人三项得分分别为88，72，52，再按比例列式计算即可． 【详解】解：这位候选人的招聘得分为： （分）， 故答案为：． 15. 如图所示，数学拓展课上，小聪将直角三角形纸片 沿向下折叠，点A落在点处，当时， _______度． 【答案】70 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质以及三角形内角和定理．先根据已知条件求出的度数，然后根据折叠可知：∠AED＝∠A′ED＝45°，再利用平行线的性质求出，最后利用三角形内角和求出即可． 【详解】解：由折叠可知：， ∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：70． 三、解答题（共8题，75分） 16. 解答题 （1） （2）解方程组： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的运算及二元一次方程组的解法，熟练掌握二次根式的运算及二元一次方程组的解法是解题的关键． （1）先根据二次根式的性质化简，然后运用二次根式的混合运算法则计算即可求解； （2）根据加减消元法可以解答即可． 【小问1详解】 ， ， 【小问2详解】 ①+② ①+②得： 解得： ①－②得：， 解得：， 故方程组的解为： 17. 小龙在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过如图勘测，得到如下记录：①测得水平距离 的长为12米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为13米；③小龙牵线放风筝的手到地面的距离长为1.5米． （1）求风筝到地面的距离线段的长； （2）如果小龙想要风筝沿方向再上升4米， 和的长度不变，则他应该再放出_____米线． 【答案】（1）6.5 （2）2 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用． （1）先用勾股定理求，再求即可； （2）先求上升4米后的的长度，再用勾股定理求线长，最后求差即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 风筝沿方向再上升4米 他应该再放出线长为（米）． 故答案为：2． 18. 已知五个点坐标分别为：，，，，． （1）如图，在直角坐标系中，描出这五个点，并依次连接点 ， ， ， ， ， ； （2）问题（1）中你得到的图形有什么特点？ （3）将问题（1）中五个点的纵坐标保持不变，横坐标分别乘，将所得的五个点用线段依次连接起来（成封闭图形），得到的新图形与原来图形有怎样的位置关系？ 【答案】（1）见解析 （2）该图形是轴对称图形，对称轴是x轴 （3）图见解析，得到的新图形与原来图形关于y轴对称 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，轴对称图形的特征． （1）根据题意画出图形即可； （2）根据图形的特征，即可得出结论； （3）先得出新图形各个点的坐标，再画出图形，观察图形，即可得出结论． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：由图可知，该图形是轴对称图形，对称轴是x轴； 【小问3详解】 解：∵，，，，． ∴横坐标分别乘后对应点的坐标分别为：， 画出图形如图所示： 由图可知，得到的新图形与原来图形关于y轴对称． 19. 某中学开展“青春筑梦，强国有我”演讲比赛活动，八（1）班、八（2）班根据初赛成绩各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩（满分为100分）如图所示．根据图中数据解决下列问题： （1）根据图示求出表中的a、b、c的值． 平均数 中位数 众数 八（1）班 a 85 c 八（2）班 85 b 100 ______， ______， ______． （2）请你帮助评委老师分别计算出两班复赛成绩的方差和； （3）根据（1）、（2）中的计算结果，你认为哪个班级的复赛成绩较好？ 【答案】（1），， （2） （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平均数，中位数，众数，方差，条形统计图等知识点，正确记忆相关知识点是解题关键． （1）根据平均数、中位数和众数的定义求解即可； （2）根据方差的定义求解即可； （3）根据平均数、中位数、方差的意义求解即可． 【小问1详解】 解：八（1）班成绩的平均数为：（分），众数（分）， 八（2）班成绩重新排列为：70，75，80，100，100，则八（2）班中位数为： （分）， 综上所述：，，； 【小问2详解】 解：八（1）班复赛成绩的方差， ， ； 【小问3详解】 解：八（1）班、八（2）班的平均数相同，但八（1）班的方差小，八（2）班的众数大， 故从众数看，八（2）班的成绩好；从方差看，八（1）班的成绩均衡． 20. 如图，，平分 与相交于F， ．求证：． 【答案】 证明：∵平分 ∴ ， ∵， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴． 【解析】 【分析】本题考查角平分线的定义以及平行线的性质定理和判定定理．关键是根据平行线的性质以及角平分线的定义解答．根据平分 得 ，根据， ，推出 ，即可求证； 【详解】略 21. 如图，直线与直线相交于一点，其坐标为，直线过点， （1）求直线的解析式； （2）求直线，与 轴围成的三角形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，待定系数法求函数的解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求得； （2）求得两直线与 轴的交点，然后根据三角形面积公式求得即可． 【小问1详解】 解：设直线的解析式为 ， 直线过点，， ，解得， 直线的解析式为； 【小问2详解】 解：由直线可知直线与 轴的交点为，，由直线可知直线与 轴的交点为， 直线，与 轴围成的三角形的面积是：． 22. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某4S店用120万元购进A，B两种新能源汽车进行销售，这两种汽车的进价和售价如下表所示，全部销售后可获毛利润16万元．[毛利润 （售价进价） 销售量] A B 进价/（万元/辆） 15 12 售价/（万元/辆） 16.5 14 （1）该4S店购进A，B两种新能源汽车各多少辆？ （2）由于销售状况特别好，该4S店决定再用240万元同时购进A，B两种新能源汽车（240万元资金刚好用完且两种汽车均购买），有哪几种购买方案？ 【答案】（1）购进A型号的汽车4辆，B型号的汽车每5辆 （2）共有三种购买方案：购买A型号的汽车12辆，B种型号的汽车5辆；购买A型号的汽车8辆，B种型号的汽车10辆；购买A型号的汽车4辆，B种型号的汽车15辆 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程（组）． （1）设购买A型号的汽车a辆，B种型号的汽车b辆，根据题意列二元一次方程组，即可求解； （2）设购买A型号的汽车m辆，B种型号的汽车n辆，根据总价为240万元列出二元一次方程，进而分析得出购买方案． 【小问1详解】 解：设A种型号的汽车每辆进价为a万元，B种型号的汽车每辆进价为b万元， 由题意可得， 解得， 答：购进A型号的汽车4辆，B型号的汽车每5辆； 【小问2详解】 解：设购买A型号的汽车m辆，B种型号的汽车n辆， 由题意可得， ∴， ∵ ， ，m和n均为整数， ∴或或． 答：共有三种购买方案：购买A型号的汽车12辆，B种型号的汽车5辆；购买A型号的汽车8辆，B种型号的汽车10辆；购买A型号的汽车4辆，B种型号的汽车15辆． 23. 小明对一副直角三角板在平行线间的位置进行研究，已知． （1）如图①，小明将含角的直角三角板 中的点A落在直线上，若，则的度数为______； （2）如图②，小明将含 角的直角三角板中的点D，F分别落在直线上，若平分，则是否平分？请说明理由． （3）小明将三角板 与三角板按如图③所示方式摆放，点B与点F重合，求的度数． 【答案】（1） （2）平分，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了三角板中角度计算问题、平行线的性质、角平分线性质、三角形内角和定理： （1）先根据角度求出角度和，然后根据两直线平行，内错角相等即可得到结果； （2）先根据角平分线的性质得到，再根据两直线平行，内错角相等，可得到，即可求得； （3）先作辅助线，根据三角尺得到角度，根据两直线平行，同旁内角互补可得到，再根据三角形内角和可求得结果； 准确找到各个角度是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴ 故答案为： ； 【小问2详解】 解：平分，理由如下： ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即平分； 【小问3详解】 解：延长交 于点G，如图所示： ， 由题可得： ，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $