精品解析：山东省临沂第三中学2024-2025学年高二下学期2月底验收考试数学试题

绝密★启用前 2024－2025学年下期高二2月份月底验收考试 数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 已知函数在上可导，若，则（ ） A. 9 B. 12 C. 6 D. 3 2. 已知两条直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 设，，，，且，，则（ ） A B. C. 3 D. 4. 已知甲部门有员工4人，乙部门有员工5人，丙部门有员工6人，现从这三个部门的员工中任选1人参加接待客户的活动，不同的选法种数为（ ） A. 120 B. 15 C. 25 D. 90 5. 已知双曲线的左、右焦点分别为．过向一条渐近线作垂线，垂足为．若，直线的斜率为，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆；某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同，其平面图如图2所示，若由外层椭圆长轴一端点和短轴一端点分别向内层椭圆引切线，，且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 在矩形中，，，将沿着翻折，使点在平面上的投影恰好在直线上，则此时二面角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点在直线上运动，是圆上的动点，是圆上的动点，则的最小值为（ ） A. 13 B. 11 C. 9 D. 8 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若的展开式中第5项与第6项的二项式系数相等，则下列说法正确的是（ ）． A. B. 展开式中各项系数和为 C. 展开式中常数项为 D. 展开式中各二项式系数和为 10. 已知直线过点，则下列说法中正确的是（ ） A. 若直线的斜率为2，则的方程为 B. 若直线在轴上的截距为2，则的方程为 C. 若直线一个方向向量为，则的方程为 D. 若直线与直线平行，则的方程为 11. 双曲线具有以下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得：过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．已知O为坐标原点，分别为双曲线的左、右焦点，过C右支上一点作双曲线的切线交x轴于点，则（ ） A. B. 平面上点最小值为 C. 若经过左焦点的入射光线经过点A，且，则入射光线与反射光线的夹角为 D. 过点作，垂足为H，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则__________. 13. 双曲线的右顶点为A，点M，N均在C上，且关于y轴对称，若直线，的斜率之积为，则C的离心率为______. 14. 已知函数在其定义域内有两个不同极值点．则a的取值范围为___________．（结果用区间表示） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在正项等比数列中，，． （1）求的通项公式； （2）若数列满足：，求数列的最大项． 16. 已知圆的方程为. （1）求取值范围； （2）若直线与圆交于，两点，且，求的值. 17. 在一次招聘会上，两家公司开出的工资标准分别为：公司A：第一年月工资3000元，以后每年的月工资比上一年的月工资增加300元：公司B：第一年月工资3720元，以后每年的月工资在上一年的月工资基础上递增，设某人年初想从这两家公司中选择一家去工作． （1）若此人选择在一家公司连续工作年，第年的月工资是分别为多少？ （2）若此人选择在一家公司连续工作10年，则从哪家公司得到的报酬较多？（）． 18. 如图，在正四棱柱中，，．点，，，分别在棱，，，上，，，． （1）证明：； （2）点在线段上，当时，求平面与平面的夹角的余弦值． 19. 设函数. （1）若是的极值点，求a的值，并求的单调区间； （2）讨论的单调性； （3）若，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 2024－2025学年下期高二2月份月底验收考试 数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 已知函数在上可导，若，则（ ） A. 9 B. 12 C. 6 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】借助导数定义计算即可得. 【详解】由导数定义可知： ， 故. 故选：B. 2. 已知两条直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由两直线平行求出，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】当时，，则， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 3. 设，，，，且，，则（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的平行和垂直的坐标表示，列式计算，可求得向量的坐标，从而可得的坐标，根据向量模的计算公式，即可得答案. 【详解】因为，且， 所以，解得， 所以， 又因为，且， 所以，所以， 所以， 所以， 故选：D. 4. 已知甲部门有员工4人，乙部门有员工5人，丙部门有员工6人，现从这三个部门的员工中任选1人参加接待客户的活动，不同的选法种数为（ ） A. 120 B. 15 C. 25 D. 90 【答案】B 【解析】 【分析】根据分类加法计数原理可得答案. 【详解】根据分类加法计数原理可知，不同的选法种数为. 故选：B. 5. 已知双曲线的左、右焦点分别为．过向一条渐近线作垂线，垂足为．若，直线的斜率为，则双曲线的方程为（ ） A. B. C D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由点到直线的距离公式求出，设，由得到，.再由三角形的面积公式得到，从而得到，则可得到，解出，代入双曲线的方程即可得到答案. 【详解】如图， 因为，不妨设渐近线方程为，即， 所以， 所以. 设,则，所以，所以. 因为,所以，所以，所以， 所以， 因为， 所以， 所以，解得， 所以双曲线的方程为 故选：D 6. 国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆；某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同，其平面图如图2所示，若由外层椭圆长轴一端点和短轴一端点分别向内层椭圆引切线，，且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设内层椭圆方程为，则外层椭圆方程为（），分别列出过和的切线方程，联立切线和内层椭圆，由分别转化出的表达式，结合可求与关系式，齐次化可求离心率. 【详解】解：设内层椭圆方程为（），因为内、外层椭圆离心率相同， 所以外层椭圆方程可设成（）， 设切线方程为，与联立得， ， 由，则， 设切线方程为， 同理可求得， 所以，， 所以，因此. 故选：C. 7. 在矩形中，，，将沿着翻折，使点在平面上的投影恰好在直线上，则此时二面角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图所示，作于，于，求得，，利用向量的夹角公式可求二面角的余弦值. 【详解】如图所示，作于，于. 在中，，， 在中，， ， 同理可得，，， 因为， 所以 ， 又因为， 所以. 因为与夹角即为二面角的大小， 所以二面角的余弦值为. 故选：A. 8. 已知点在直线上运动，是圆上的动点，是圆上的动点，则的最小值为（ ） A. 13 B. 11 C. 9 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆的性质可得，故求的最小值，转化为求的最小值，再根据点关于线对称的性质，数形结合解. 【详解】如图所示， 圆的圆心为，半径为4， 圆的圆心为，半径为1， 可知， 所以， 故求的最小值，转化为求的最小值， 设关于直线的对称点为，设坐标为， 则 ，解得，故， 因为，可得， 当三点共线时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若的展开式中第5项与第6项的二项式系数相等，则下列说法正确的是（ ）． A. B. 展开式中各项系数和为 C. 展开式中常数项为 D. 展开式中各二项式系数和为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据二项式定理以及二项展开式系数的性质，运用赋值法和二项式展开项公式求解. 【详解】因为第5项和第6项是相邻的两项， ，A正确； 令 ，则有 ，B正确； ， ，常数项 ，C正确； 二项式系数之和 ，错误； 故选：ABC. 10. 已知直线过点，则下列说法中正确的是（ ） A. 若直线的斜率为2，则的方程为 B. 若直线在轴上的截距为2，则的方程为 C. 若直线一个方向向量为，则的方程为 D. 若直线与直线平行，则的方程为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据各项描述，应用斜率两点式、点斜式及直线平行求直线方程. 【详解】A：由题设，的方程为，即，错； B：由题设，直线斜率，则，即，对； C：由题设，直线斜率，则，即，对； D：由题设，令直线为，将代入得， 所以的方程为，对. 故选：BCD 11. 双曲线具有以下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得：过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．已知O为坐标原点，分别为双曲线的左、右焦点，过C右支上一点作双曲线的切线交x轴于点，则（ ） A. B. 平面上点的最小值为 C. 若经过左焦点的入射光线经过点A，且，则入射光线与反射光线的夹角为 D. 过点作，垂足为H，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出直线的方程，即可求得，从而利用求解，判断A项；利用双曲线定义将转化为可得解，即可判断B项；求出点的坐标，研究的大小，即可判断C项；根据双曲线的光学性质可推得，点为的中点.进而得出，结合双曲线的定义，即可判断D项. 【详解】解：对于A项，设直线的方程为，， 联立方程组，消去整理得， ， ，即， 又因为，所以上式可化简整理得， 所以， 所以直线的方程为，即， 所以，因为，所以，故A项正确； 对于B项，由双曲线定义得，且， 则， 所以的最小值为.故B项正确； 对于C项，根据双曲线的光学性质可知反射光线所在直线即直线， 因为且，所以， 若，则， 所以直线直线； 同理可知当也可判断直线直线， 所以入射光线与反射光线的夹角为，故C项错误； 对于D项，如图， 为双曲线的切线，由双曲线的光学性质可知，平分， 延长与的延长线交于点. 则垂直平分，即点为的中点. 又是的中点，所以，，故D项正确. 故选：ABD. 【点睛】思路点睛： D项中，结合已知中，给出的双曲线的光学性质，即可推出. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则__________. 【答案】1或2023 【解析】 【分析】由组合知识进行求解. 【详解】由于，故或，其他值不合要求. 故答案为：1或2023 13. 双曲线的右顶点为A，点M，N均在C上，且关于y轴对称，若直线，的斜率之积为，则C的离心率为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据斜率公式即可结合双曲线的方程求解得，进而可求解. 【详解】双曲线的右顶点为，则， 又点，均在上，且关于轴对称， 设，， 又直线，的斜率之积为， 则，即，① 又，即，② 联立①②可得：， 即， 即． 故答案为： 14. 已知函数在其定义域内有两个不同的极值点．则a的取值范围为___________．（结果用区间表示） 【答案】 【解析】 【分析】由有两个不同的极值点可得有两个不等实根，进而函数与图象有两个交点，利用导数求切线斜率，结合图象可得答案. 【详解】解：依题， 因为有两个不同的极值点，所以有两个不等实根． 即函数与图象在上有两个不同交点， 令过原点且与图象相切的直线斜率为k，由图可知，， 设切点为，则， 又，所以，解得， 于是，所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在正项等比数列中，，． （1）求的通项公式； （2）若数列满足：，求数列的最大项． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等比数列通项公式列式求解即可； （2）解，根据数列的单调性求最值即可. 【小问1详解】 设正项等比数列的公比为，， 由题意可得， 因为，所以，解得或（舍去）， 所以等比数列的首项为，公比为，通项公式. 【小问2详解】 由（1）得，所以， 令解得， 所以当时，，即， 又，，， 所以数列的最大项为, 16. 已知圆的方程为. （1）求的取值范围； （2）若直线与圆交于，两点，且，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据圆的一般方程满足即可求解； （2）利用弦长公式求得，进而得到的值. 【小问1详解】 方程为圆的方程， 即， 解得. 【小问2详解】 由（1）可知圆，则圆心，半径， 圆心到直线的距离， 故，则， 解得. 17. 在一次招聘会上，两家公司开出的工资标准分别为：公司A：第一年月工资3000元，以后每年的月工资比上一年的月工资增加300元：公司B：第一年月工资3720元，以后每年的月工资在上一年的月工资基础上递增，设某人年初想从这两家公司中选择一家去工作． （1）若此人选择在一家公司连续工作年，第年月工资是分别为多少？ （2）若此人选择在一家公司连续工作10年，则从哪家公司得到的报酬较多？（）． 【答案】（1）公司：（元）；公司：（元） （2）从公司得到的报酬较多 【解析】 【分析】（1）根据所给条件分布求出在公司、第年的月工资； （2）分别利用等差数列、等比数列求和公式求出总报酬，即可判断 【小问1详解】 选择在公司连续工作年，第一年月工资元，以后每年的月工资比上一年的月工资增加元, 则他第年的月工资是：（元）； 选择在公司连续工作年，第一年月工资元，以后每年的月工资在上一年的月工资基础上递增． 则他第年的月工资（元）． 【小问2详解】 若此人选择在一家公司连续工作10年，则在公司、公司得到的报酬分别为： 公司A： （元）． 公司B：（元）， 因为，故从公司得到的报酬较多. 18. 如图，在正四棱柱中，，．点，，，分别在棱，，，上，，，． （1）证明：； （2）点在线段上，当时，求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，然后求出的坐标，根据坐标即可证明； （2）求出平面与平面的法向量，然后利用夹角公式列方程求解即可． 【小问1详解】 证明：以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图， 则， ， ， ， 又不在同一条直线上，. 【小问2详解】 由已知得，则， 设平面的法向量， 则，令，得， ， 设平面的法向量， 则，令，得， ，， 所以平面与平面的夹角的余弦值为． 19. 设函数. （1）若是的极值点，求a的值，并求的单调区间； （2）讨论的单调性； （3）若，求的取值范围. 【答案】（1）6，单调递增区间为，单调递减区间为 （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先求导，令，检验即得解；代入，分别令，得到单增区间和单减区间； （2）根据二次函数及二次不等式的性质，结合函数定义域，分类讨论即可求解； （3）转化为，分，两种情况讨论即可. 【小问1详解】 ， ，解得， 此时， 令，有或，令，有， 所以是的极值点，满足题意， 所以的单调递增区间是，单调递减区间是. 【小问2详解】 由（1）知， 当即时，恒成立， 所以在上单调递增； 当即时，由得或， 由得， 故的单调递增区间为和，单调递减区间为； 当即时，由得或， 由得， 故的单调递增区间为和，单调递减区间为； 当即时，由得，得， 故的单调递增区间为，单调递减区间为. 综上，当时，在上单调递增，无递减区间， 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为， 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为， 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问3详解】 由题意 当时，令，有，令，有， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以 ，即 当时，不成立. 综上，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $