第2章 导数及其应用 测评卷(课件PPT)-【赢在微点·轻松课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（北师大版2019）

高中数学 选择性必修 第二册 第二章测评卷 (时间：120分钟　满分：150分)　 第二章测评卷 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 第 * 页 赢在字里行间 第二章测评卷 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 第 * 页 赢在字里行间 第二章测评卷 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 第 * 页 赢在字里行间 第二章测评卷 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 第 * 页 赢在字里行间 第二章测评卷 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 第 * 页 赢在字里行间 第二章测评卷 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 第 * 页 赢在字里行间 第二章测评卷 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 第 * 页 赢在字里行间 第二章测评卷 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 第 * 页 赢在字里行间 第二章测评卷 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 第 * 页 赢在字里行间 第二章测评卷 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 第 * 页 赢在字里行间 第二章测评卷 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 第 * 页 赢在字里行间 第二章测评卷 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 第 * 页 赢在字里行间 第二章测评卷 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 第 * 页 赢在字里行间 第二章测评卷 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 第 * 页 赢在字里行间 第二章测评卷 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 第 * 页 赢在字里行间 第二章测评卷 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 第 * 页 赢在字里行间 第二章测评卷 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 第 * 页 赢在字里行间 第二章测评卷 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 第 * 页 赢在字里行间 第二章测评卷 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 第 * 页 赢在字里行间 第二章测评卷 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 第 * 页 赢在字里行间 第二章测评卷 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 第 * 页 赢在字里行间 第二章测评卷 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 第 * 页 赢在字里行间 第二章测评卷 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 第 * 页 赢在字里行间 第二章测评卷 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 第 * 页 赢在字里行间 第二章测评卷 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 第 * 页 赢在字里行间 第二章测评卷 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 第 * 页 赢在字里行间 第二章测评卷 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 第 * 页 赢在字里行间 第二章测评卷 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 第 * 页 赢在字里行间 第二章测评卷 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 第 * 页 赢在字里行间 第二章测评卷 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 第 * 页 赢在字里行间 第二章测评卷 轻松课堂 高中数学 选择性必修 第二册 第 * 页 赢在字里行间 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 1.已知函数f(x)=13-8x+x2,且f'(x0)=4,则x0的值为 (　　) A.0 B.3 C.3 D.6 解析　f'(x)=2x-8，由f'(x0)=4，得2x0-8=4，解得x0=3。故选C。 答案　C 答案与解析 2.曲线y=x2在点处的切线方程为 (　　) A.2x+2y+1=0 B.2x+2y-1=0 C.2x-2y-1=0 D.2x-2y-3=0 解析　因为y'=x，所以k=y'|x=1=1，所以曲线y=x2在点处的切线方程为y-=x-1。即2x-2y-1=0。故选C。 答案　C 答案与解析 3.已知某物体运动的路程s与时间t的关系为s=t3+ln t,则该物体在t=4时的速度为 (　　) A. B. C. D. 解析　s'(t)=t2+，则该物体在t=4时的速度为s'(4)=42+=。故选D。 答案　D 答案与解析 4.函数f(x)=x2-ln 2x的单调递减区间是 (　　) A. B. C., D., 解析　f(x)的定义域为(0，+∞)。因为f'(x)=2x-=，所以f'(x)≤0等价于解得0<x≤。故选A。 答案　A 答案与解析 5.函数f(x)=x3+ax2+3x-9在x=-3时取得极值,则a等于 (　　) A.2 B.3 C.4 D.5 解析　f'(x)=3x2+2ax+3。因为f(x)在x=-3时取得极值，即f'(-3)=0，所以27-6a+3=0，所以a=5。故选D。 答案　D 答案与解析 6.函数f(x)=xsin x+cos x+1(x∈[0,π])的最大值为 (　　) A.+1 B.2 C.1 D.0 解析　因为f'(x)=xcos x，所以当x∈时，f'(x)>0，f(x)单调递增;当x∈时，f'(x)<0，f(x)单调递减，所以f(x)max=f=+1。故选A。 答案　A 答案与解析 7.设函数f(x)在R上可导,∀x∈R,都有f(x)+f(-x)=x2成立,且f(2)=2,∀x∈(0,+∞),都有f'(x)>x成立,则>的解集为 (　　) A.(-2,0)∪(0,2) B.(-∞,-2)∪(2,+∞) C.(-2,0)∪(2,+∞) D.(-∞,-2)∪(0,2) 解析　令g(x)=f(x)-x2，则g'(x)=f'(x)-x。因为g(-x)+g(x)=f(-x)-x2+f(x)-x2=0，所以函数g(x)为奇函数。因为当x∈(0，+∞)时，g'(x)>0恒成立，所以函数g(x)在(0，+∞)上单调递增，所以函数g(x)在(-∞，0)上也单调递增，即g(x)在(-∞，0)和(0，+∞)上单调递增，因为>，所以f(x)-x2>0，即g(x)>0。因为f(2)=2，所以g(2)=f(2)-×22=0，则g(-2)=0，所以当x∈(2，+∞)或x∈(-2，0)时，g(x)>0，故>的解集为(-2，0)∪(2，+∞)。故选C。 答案　C 答案与解析 8.若函数f(x)=x3-1+x2+2bx在区间[-3,1]上不单调,则f(x)在R上的极小值为 (　　) A.2b- B.b- C.0 D.b2-b3 解析　由题意，得f'(x)=(x-b)(x-2)。因为f(x)在区间[-3，1]上不单调，所以-3<b<1。由f'(x)>0，得x>2或x<b;由f'(x)<0，得b<x<2，所以f(x)的极小值为f(2)=2b-。故选A。 答案　A 答案与解析 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。 9.下列求导运算正确的是 (　　) A.'=1+ B.(log2x)'= C.(5x)'= D.(x2cos x)'=2xcos x-x2sin x 解析　A中，'=1-，A错误;B中，(log2x)'=，B正确;C中，(5x)'=5xln 5，C错误;D中，(x2cos x)'=(x2)'cos x+x2(cos x)'=2xcos x-x2sin x，D正确。故选BD。 答案　BD 答案与解析 10.如图是函数y=f(x)的导函数的图象,则下列说法错误的是 (　　) A.(-1,3)为函数y=f(x)的单调递增区间 B.(0,5)为函数y=f(x)的单调递减区间 C.函数y=f(x)在x=0时取得极大值 D.函数y=f(x)在x=5时取得极小值 解析　由题图，可知当x<-1或3<x<5时，f'(x)<0，当x>5或-1<x<3时，f'(x)>0，所以函数y=f(x)的单调递减区间为(-∞，-1)，(3，5)，单调递增区间为(-1，3)，(5，+∞)，所以函数y=f(x)在x=-1，x=5时取得极小值，在x=3时取得极大值，故选项BC说法错误。 答案　BC 答案与解析 11.若实数m的取值使函数f(x)在定义域上有两个极值点,则称函数f(x)具有“凹凸趋向性”,已知f'(x)是函数f(x)的导数,且f'(x)=-2ln x,当函数f(x)具有“凹凸趋向性”时,m的取值范围的子集有 (　　) A.(-,+∞) B.(-,0) C.(-∞,-) D.(-,-) 解析　依题意得f'(x)=-2ln x=(x>0)，若函数f(x)具有“凹凸趋向性”，则m=2xln x在(0，+∞)上有2个不同的实数根，令g(x)=2xln x，则g'(x)=2(1+ln x)，令g'(x)>0，解得x>;令g'(x)<0，解得0<x<，所以g(x)在(0，)上单调递减，在(，+∞)上单调递增，故g(x)的最小值是g()=-，当x→0时，g(x)→0，故-<m<0。故选BD。 答案　BD 答案与解析 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 12.函数y=+2ln x的单调递减区间为　　　　。  解析　函数y=+2ln x的定义域为(0，+∞)，且y'=-。由⇒⇒0<x<，所以函数y=+2ln x的单调递减区间为。 答案　 答案与解析 13.已知a为实数,f(x)=(x2-4)(x-a),若f'(-1)=0,则函数f(x)在[-2,2]上的最大值为　　　　,最小值为　　　　。  解析　由原式，得f(x)=x3-ax2-4x+4a，f'(x)=3x2-2ax-4。由f'(-1)=0，得a=，此时f(x)=x3-x2-4x+2，f'(x)=3x2-x-4。令f'(x)=0，得x=-1或x=。因为f(-1)=，f()=-，f(-2)=f(2)=0，所以函数f(x)在[-2，2]上的最大值为，最小值为-。 答案　　- 答案与解析 14.已知奇函数f(x)的导函数为f'(x)=5+cos x,x∈(-1,1),若f(1-t)+f(1-t2)<0,则实数t的取值范围为　　　　。  解析　因为x∈(-1，1)时，f'(x)=5+cos x>0，所以f(x)在(-1，1)上单调递增。又f(x)是奇函数，由f(1-t)+f(1-t2)<0，得f(1-t)<-f(1-t2)=f(t2-1)，所以解得1<t<，所以实数t的取值范围为(1，)。 答案　(1，) 答案与解析 四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分)已知曲线y=x3+x-2在点P0处的切线l1平行于直线4x-y-1=0,且点P0在第三象限。 (1)求P0的坐标; (2)若直线l⊥l1,且l也过切点P0,求直线l的方程。 解　(1)由y=x3+x-2，得y'=3x2+1，由已知，得3x2+1=4，解得x=±1。 当x=1时，y=0;当x=-1时，y=-4。 又因为点P0在第三象限，所以切点P0的坐标为(-1，-4)。 (2)因为直线l⊥l1，l1的斜率为4，所以直线l的斜率为-。 因为l过切点P0，点P0的坐标为(-1，-4)，所以直线l的方程为y+4=-(x+1)，即x+4y+17=0。 16.(本小题满分15分)设函数f(x)=a(x-5)2+6ln x,其中a∈R,f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6)。 (1)求a的值; (2)求函数f(x)的单调区间与极值。 解　(1)因为f(x)=a(x-5)2+6ln x(x>0)，所以f'(x)=2a(x-5)+(x>0)。 令x=1，得f(1)=16a，f'(1)=6-8a， 所以f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y-16a=(6-8a)(x-1)。 因为切线与y轴相交于点(0，6)， 所以6-16a=8a-6，所以a=。 (2)由(1)，知f(x)=(x-5)2+6ln x(x>0)，f'(x)=(x-5)+=(x>0)。 令f'(x)=0，得x=2或x=3。 当0<x<2或x>3时，f'(x)>0，f(x)在区间(0，2)，(3，+∞)上单调递增; 当2<x<3时，f'(x)<0，f(x)在区间(2，3)上单调递减。 所以f(x)的单调递增区间为(0，2)，(3，+∞)，单调递减区间为(2，3)。 故f(x)在x=2时取得极大值f(2)=+6ln 2，在x=3时取得极小值f(3)=2+6ln 3。 17.(本小题满分15分)在①f(x)在x=1时取得极小值2,②f(x)在x=-1时取得极大值6,③f(x)的极大值为6,极小值为2,这三个条件中任选一个填在下面的横线上,并解答。 已知函数f(x)=x3-3ax+b(a>0),且　　　　,求f(x)的单调区间。  注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分。 解　选条件①。 易知f'(x)=3x2-3a，由得 所以f(x)=x3-3x+4，f'(x)=3x2-3，令f'(x)>0，得x<-1或x>1，令f'(x)<0，得-1<x<1。 所以f(x)的单调递减区间为(-1，1)，单调递增区间为(-∞，-1)和(1，+∞)。 选条件②。 易知f'(x)=3x2-3a，由得 所以f(x)=x3-3x+4，f'(x)=3x2-3，令f'(x)>0，得x<-1或x>1，令f'(x)<0，得-1<x<1。 所以f(x)的单调递减区间为(-1，1)，单调递增区间为(-∞，-1)和(1，+∞)。 选条件③。 易知f'(x)=3x2-3a，令f'(x)=3x2-3a=0，得x=±， 则f(x)，f'(x)随x的变化情况如表所示。 x (-∞，-) - (-) (，+∞) f'(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ 6 ↘ 2 ↗ 所以解得所以f(x)=x3-3x+4，f'(x)=3x2-3，令f'(x)>0得x<-1或x>1，令f'(x)<0得-1<x<1。 所以f(x)的单调递减区间为(-1，1)，单调递增区间为(-∞，-1)和(1，+∞)。 18.(本小题满分17分)已知函数f(x)=x2-(a+2)x+2aln x(a∈R)。 (1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=2x+b,求a+2b的值; (2)若a>0,讨论函数f(x)的单调性; (3)设函数g(x)=-(a+2)x,若至少存在一个x0∈[e,4],使得f(x0)>g(x0)成立,求实数a的取值范围。 解　(1)f(x)的定义域为(0，+∞)，f'(x)=x-(a+2)+。 由题意，得f(1)=-(a+2)=2+b，f'(1)=1-(a+2)+2a=2， 解得a=3，b=-，所以a+2b=-10。 (2)f'(x)==。 当a=2时，f'(x)≥0，所以f(x)在(0，+∞)上单调递增; 当0<a<2时，由f'(x)>0，得0<x<a或x>2，由f'(x)<0，得a<x<2， 所以f(x)在(0，a)和(2，+∞)上单调递增，在(a，2)上单调递减。 当a>2时，由f'(x)>0，得0<x<2或x>a，由f'(x)<0，得2<x<a， 所以f(x)在(0，2)和(a，+∞)上单调递增，在(2，a)上单调递减。 综上所述，当a=2时，f(x)在(0，+∞)上单调递增; 当0<a<2时，f(x)在(0，a)和(2，+∞)上单调递增，在(a，2)上单调递减; 当a>2时，f(x)在(0，2)和(a，+∞)上单调递增，在(2，a)上单调递减。 (3)若至少存在一个x0∈[e，4]，使得f(x0)>g(x0)成立，则当x∈[e，4]时，x2+2aln x>0有解。 因为当x∈[e，4]时，1≤ln x≤2ln 2，所以a>-有解， 令h(x)=-，x∈[e，4]，则a>h(x)min。 因为h'(x)=-=-<0， 所以h(x)在[e，4]上单调递减，所以h(x)min=h(4)=-，所以a>-， 所以实数a的取值范围是(-，+∞)。 19.(本小题满分17分)已知函数f(x)=ln x-,曲线y=f(x)在点(,f())处的切线平行于直线y=10x+1。 (1)求函数f(x)的单调区间; (2)设直线l为函数g(x)=ln x的图象在点A(x0,ln x0)处的切线,求:在区间(1,+∞)上是否存在x0,使得直线l与曲线h(x)=ex也相切?若存在,求出满足条件的x0的个数;若不存在,请说明理由。 解　(1)因为函数f(x)=ln x-(x>0，且x≠1)， 所以f'(x)=。 因为曲线y=f(x)在点，f处的切线平行于直线y=10x+1， 所以f'=2+8a=10，所以a=1， 所以f'(x)=。 因为x>0且x≠1，所以f'(x)>0， 所以函数f(x)的单调递增区间为(0，1)和(1，+∞)，无单调递减区间。 (2)在区间(1，+∞)上存在唯一一个满足条件的x0。 因为g(x)=ln x，所以g'(x)=， 所以切线l的方程为y-ln x0=(x-x0)。 即y=x+ln x0-1。① 设直线l与曲线h(x)=ex相切于点(x1，)。 因为h'(x)=ex，所以=，所以x1=-ln x0， 所以直线l的方程也可以写成y-=(x+ln x0)， 即y=x+。② 由①②得ln x0-1=，所以ln x0=。 下面证在区间(1，+∞)上存在唯一一个满足条件的x0。 由(1)可知，f(x)=ln x-在区间(1，+∞)上单调递增， 又f(e)=-<0，f(e2)=>0， 结合零点存在性定理，知方程f(x)=0在区间(1，+∞)上有唯一的实数根，故满足条件的x0只有一个。 $$