第9章 中心对称图形—平行四边形（思维导图+知识梳理+29大考点讲练+优选真题难度分层练 共78题）-2024-2025学年苏科版数学八年级下册章节培优复习知识讲练

2024-2025学年苏科版数学八年级下册章节培优复习知识讲练 第9章 中心对称图形—平行四边形 （思维导图+知识梳理+29大考点讲练+优选真题难度分层练 共78题） 目 录 讲义编写说明 2 思维导图指引 3 知识梳理精讲 4 知识点梳理01：旋转的概念和性质 4 知识点梳理02：中心对称与中心对称图形 4 知识点梳理03：平行四边形 4 知识点梳理04：矩形 5 知识点梳理05：菱形 5 知识点梳理06：正方形 5 重点知识考点讲连 6 考向一：图形的旋转 6 考点讲练01根据旋转的性质求解 6 考点讲练02 根据旋转的性质说明线段和角相等 11 考点讲练03 求绕原点旋转一定的角度的点的坐标 15 考点讲练04 坐标与旋转规律问题 19 考点讲练05 线段问题（旋转综合题） 20 考向二：中心对称与中心对称图形 25 考点讲练06 角度问题（旋转综合题） 25 考点讲练07 中心对称图形规律问题 29 考点讲练08 根据中心对称的性质求面积、长度、角度 31 考点讲练09 按图形的变换要求画出一个图形 34 考向三：平行四边形 37 考点讲练10 利用平行四边形的判定与性质求解 37 考点讲练11 利用平行四边形的判定与性质证明 40 考点讲练12 平行四边形的判定与性质的应用 42 考向四：矩形、菱形、正方形 45 考点讲练13 根据矩形的性质与判定求角度 45 考点讲练14 根据矩形的性质与判定求线段长 47 考点讲练15 根据矩形的性质与判定求面积 51 考点讲练16 根据菱形的性质与判定求角度 56 考点讲练17 根据菱形的性质与判定求线段长 60 考点讲练18 根据菱形的性质与判定求面积 63 考点讲练19 求正方形重叠部分的面积 66 考点讲练20 根据正方形的性质与判定求角度 69 考点讲练21 根据正方形的性质与判定求线段长 73 考点讲练22 根据正方形的性质与判定求面积 77 考点讲练23 根据正方形的性质与判定证明 79 考点讲练24 （特殊）平行四边形的动点问题 83 考点讲练25 四边形中的线段最值问题 88 考点讲练26 四边形其他综合问题 93 考向五 三角形的中位线 98 考点讲练27 与三角形中位线有关的求解问题 98 考点讲练28 与三角形中位线有关的证明 100 考点讲练29 与三角形中位线有关的实际应用 103 优选真题难度分层练 107 基础夯实真题练 107 培优拔尖真题练 119 同学你好，本套讲义针对学校课本内容设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，知识梳理精讲，重点难点考点讲练，精选真题难度分层练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 知识点梳理01：旋转的概念和性质 将图形绕一个定点转动一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转. 一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心距离相等，两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等. 知识点梳理02：中心对称与中心对称图形 一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这点对称，也称这两个图形成中心对称.这个点叫做对称中心． 成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分. 把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 知识点梳理03：平行四边形 1．定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 2．性质：（1）对边平行且相等； （2）对角相等；邻角互补； （3）对角线互相平分； （4）中心对称图形. 3．面积： 4．判定：边：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形； （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形； （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 角：（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形； （5）两组邻角分别互补的四边形是平行四边形． 边与角：（6）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形； 对角线：（7）对角线互相平分的四边形是平行四边形. 【易错点剖析】平行线的性质： （1）平行线间的距离都相等； （2）等底等高的平行四边形面积相等. 知识点梳理04：矩形 1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2．性质：（1）具有平行四边形的所有性质； （2）四个角都是直角； （3）对角线互相平分且相等； （4）中心对称图形，轴对称图形. 3．面积： ４．判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形. （2）对角线相等的平行四边形是矩形. （3）有三个角是直角的四边形是矩形. 知识要点：由矩形得直角三角形的性质： （1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； （2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半． 知识点梳理05：菱形 1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 2．性质：（1）具有平行四边形的一切性质； （2）四条边相等； （3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角； （4）中心对称图形，轴对称图形. 3．面积： 4．判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形； （2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形； （3）四边相等的四边形是菱形. 知识点梳理06：正方形 1. 定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 2．性质：（1）对边平行； （2）四个角都是直角； （3）四条边都相等； （4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角； （5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形； （6）中心对称图形，轴对称图形. 3．面积：边长×边长＝×对角线×对角线 4．判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形； （2）一组邻边相等的矩形是正方形； （3）对角线相等的菱形是正方形； （4）对角线互相垂直的矩形是正方形； （5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形； （6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形. 考向一：图形的旋转 考点讲练01根据旋转的性质求解 【典例精讲】（18-19八年级上·山东济南·期末）如图，点O是等边内的一点，，将绕点C顺时针旋转得到，连接、． (1)求的度数； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题主要考查的是旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理的有关知识，熟练掌握和运用旋转的性质是解决本题的关键． （1）根据旋转的性质可得：，，即可证得是等边三角形，即可求解； （2）由旋转的性质得，，，由为等边三角形，得，可证得是直角三角形，再利用勾股定理即可求解． 【规范解答】（1）解：由旋转的性质得：，， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ； （2）解：由旋转的性质得，，， ， ， 为等边三角形， ， 在直角中，． 【变式训练】（22-23七年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，，，点为射线上一动点，连接，将绕点逆时针旋转，E点旋转至点F． (1)如图1，过F点作交于点，求证：； (2)如图2，连接交于D点，若，求证：是的2倍； (3)E是射线上一点，直线交直线于D点，若，则　　　． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或 【思路点拨】（1）由，可得，再结合旋转的性质，通过即可证明全等； （2）过F点作交AC于H点，根据（1）中结论可得，即可证明，可得，设，，则，分别用含a的式子表示和，即可解题； （3）当点E在线段上时，过点F作于G点，设，，则，由（1）知，求得，，，由（2）知，求得，；当点E在线段的延长线上时，过点F作于G点，设，，则，由（1）知，，，，由（2）知，，即可． 【规范解答】（1）证明：证明：如图1， 由旋转的性质得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ； （2）证明：过F点作交于H点，如图，    则， 由（1）知， ∵， ， 在和中， ， ， ， ， 设，，则 ， ， ， 即是的2倍； （3）证明：当点E在线段上时，过点F作于G点，如图， ∵， ∴设，， ∴， 由（1）知， ∴，， ∴， 由（2）知， ∴， ∴， ∴； 当点E在线段的延长线上时，过点F作于G点，如图4， ∵， ∴设，， ∴， 由（1）知， ∴，， ∴， 由（2）知， ∴， ∴， ∴； 综上，的值是或， 故答案为：或． 【考点评析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，比例线段的性质，需要掌握全等三角形的判定，全等三角形对应边相等的性质，通过已知条件证明三角形全等是解题的关键． 考点讲练02 根据旋转的性质说明线段和角相等 【典例精讲】（22-23八年级上·福建泉州·期末）如图1，等腰和等腰中，，将绕点A旋转，连接，利用所学知识解决下列问题： (1)若，求证：； (2)连接，当点D在线段上时： ①如图2，若，则的度数为　　，线段与之间的数量关系是　　； ②如图3，若，为中边上的高，求出的度数以及线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①，；②，理由见解析 【思路点拨】（1）利用证明即可得证； （2）①利用证明得出，，然后证明是等边三角形即可求解； ②利用证明得出，然后利用等腰三角形的性质求解即可． 【规范解答】（1）证明： ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴； （2）解：①∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：，； ②，理由如下： ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． ∵，，为中边上的高， ∴点M是的中点， ∴，即， 又，， ∴． 【考点评析】本题是结合了旋转的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的性质与判定等知识的综合问题，熟练掌握知识点，由简入难，层层推进是解答关键． 【变式训练】（23-24八年级上·吉林长春·期中）【探究】如图①，在中，，点A、D在直线m上，将边绕着点A顺时针旋转得到，过点C作直线m于点E．求证：． 【应用】（1）在【探究】的条件下，若，则BD与CE的和为________； （2）将一个主视图是五边形ABCDE的零件按图②放置在水平桌面m上，，分别过点A、C、E作于点F，于点G，于点H，经测得，，，，，则五边形ABCDE的面积为________．    【答案】探究：见解析；应用：（1）6；（2） 【思路点拨】本题考查了旋转的性质，余角的性质，全等三角形的判定及性质； 探究：由旋转得，，由同角的余角相等得，由即可求证； 应用：（1）解：由全等三角形的性质得，，即可求解； （2）由可判定，由全等三角形的性质得，，同理可证，由全等三角形的性质得，，由，即可求解． 掌握判定方法及性质，能用“割补法”表示出所求面积是解题的关键． 【规范解答】探究： 证明：由旋转得：， ， ， 直线m，， ， ， ， 在和中 ， （）； 应用： （1）解：， ， ， ， ， ； 故答案：； （2）解：，， ， ， ， ， ， 在和中， ， （）， ， ， 同理可证， ， ， ， ， （）． 故答案：． 考点讲练03 求绕原点旋转一定的角度的点的坐标 【典例精讲】（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）如图，的顶点坐标分别为，，． (1)画出关于点的中心对称图形； (2)画出绕原点逆时针旋转的，直接写出点的坐标为__________； (3)若内一点绕原点逆时针旋转的对应点为，则的坐标为__________．（用含m，n的式子表示） 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【思路点拨】本题考查了作图−−中心对称与旋转变换，根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形，熟记旋转的性质是解题的关键． （1）根据关于原点对称的点的坐标特征得到的坐标，然后描点即可； （2）利用网格特点和旋转的性质画出的对应点，然后顺次连接，从而得到点的坐标； （3）利用绕原点逆时针旋转的对应点的规律写出Q的坐标． 【规范解答】（1）解：即为所求； （2）即为所求； ； （3）若内一点绕原点逆时针旋转的对应点为， 则的坐标为． 【变式训练】（22-23九年级上·天津红桥·期末）在平面直角坐标系中，点，点，把绕原点逆时针旋转，得，其中，点，分别为点A，旋转后的对应点，记旋转角为． (1)如图，当时，求点的坐标； (2)当轴时，求点D的坐标（直接写出结果即可）． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 【思路点拨】（1）如图，过点作于．解直角三角形求出，即可． （2）分两种情形：在轴上方时，设交轴于，过点作轴于．求出，即可．当在轴下方时，同法可得． 【规范解答】（1）解：如图，过点作于． ， ， ， ， ． （2）解：如图，在轴上方时，设交轴于，过点作轴于． 轴， ， ，， ， ∵， ， ， ， 当在轴下方时，同法可得． 综上所述，满足条件的点的坐标为或． 【考点评析】本题属于坐标与图形变化旋转，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 考点讲练04 坐标与旋转规律问题 【典例精讲】（22-23八年级上·江苏苏州·期中）如图，在直角坐标系中，已知点、．对连续作旋转变换，依次得到、、、…，则的直角顶点的横坐标为 ．    【答案】 【思路点拨】先利用勾股定理求得的长，再找到图形变换规律为：每连续3次旋转后与原来的状态一样，然后求得的横坐标，进而得到答案． 【规范解答】解：∵、， ∴， ∴， ∴的周长， 由题意得，每连续旋转3次后与原来的状态一样，且连续旋转3次直角顶点对应的横坐标增加12． ∵， ∴的直角顶点的是原点O经过674个循环组得到， ∴的直角顶点的横坐标， ∴的直角顶点坐标为． 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查图形的变换规律，勾股定理，解此题的关键在于准确理解题意找到题中图形的变化规律． 【变式训练】（2023·四川广安·二模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，分别在轴，轴上，且．将正方形绕原点顺时针旋转，并放大为原来的倍，使，得到正方形，再将正方形绕原点顺时针旋转，并放大为原来的倍，使，得到正方形，以此规律继续进行下去，得到正方形，则点的坐标为 ．    【答案】 【思路点拨】先求出，再按规律进行求解，找出次循环一周坐标变化规律即可求解． 【规范解答】解：∵四边形是正方形，， ， ， ，，，， 由题意得：每4次循环一周， ， 点与在同一个象限内， 点． 故答案为：． 【考点评析】本题考查了正方形的性质，点的坐标循环规律探究问题，找出循环规律是解题的关键． 考点讲练05 线段问题（旋转综合题） 【典例精讲】（2023九年级下·四川凉山·专题练习）在中，，，根据题意完成下列问题： (1)如图①，点为内的点，连接，，，将绕着点按逆时针方向旋转后得．连接，，若，，，求证：． (2)如图②，若点是中斜边上的点（点不与点、重合），试求、、的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 【思路点拨】（1）根据勾股定理的逆定理得到，根据旋转的性质得到，，求得，根据全等三角形的性质得到，求得，根据平行线的判定定理得到； （2）根据旋转的性质得到，，求得，根据全等三角形的性质得到，，根据勾股定理得到结论． 【规范解答】（1）证明：∵，，， ∴， ∴， ∵将绕着点按逆时针方向旋转后得， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：， 理由：将绕着点逆时针旋转得到，连接，， 则，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【考点评析】本题考查旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理，正确地作出辅助线是解题的关键． 【变式训练】．（20-21八年级下·陕西铜川·期末）旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转解决问题．如图①，在四边形ABCD中，，，，，． 【问题提出】 (1)如图②，在图①的基础上连接BD，由于，所以可将绕点D顺时针方向旋转60°，得到，则的形状是_______； 【尝试解决】 (2)在（1）的条件下，求四边形ABCD的面积； 【类比应用】 (3)如图③，等边的边长为2，是顶角的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的角，角的两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，求的周长． 【答案】(1)等边三角形 (2) (3) 【思路点拨】（1）由旋转的性质得出BD＝DB′，∠BDB′＝60°，所以△BDB′是等边三角形； （2）求出等边三角形的边长为3，求出三角形BDB′的面积即可； （3）将△BDM绕点D顺时针方向旋转120°，得到△DCP，则△BDM≌△CDP，得出MD＝PD，∠MBD＝∠DCP，∠MDB＝∠PDC，证明△NMD≌△NPD，证得△AMN的周长＝AB+AC＝4． 【规范解答】（1）解：∵将△DCB绕点D顺时针方向旋转60°，得到△DAB′， ∴BD＝B′D，∠BDB′＝60°， ∴△BDB′是等边三角形； 故答案为：等边三角形； （2）解：由（1）知，△BCD≌△B′AD， ∴四边形ABCD的面积＝等边三角形BDB′的面积， ∵BC＝AB′＝1， ∴BB′＝AB+AB′＝2+1＝3， ∴S四边形ABCD＝S△BDB′＝； （3）解：将△BDM绕点D顺时针方向旋转120°，得到△DCP， ∴△BDM≌△CDP， ∴MD＝PD，CP＝BM，∠MBD＝∠DCP，∠MDB＝∠PDC， ∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°， ∴BD＝CD，∠DBC＝∠DCB＝30°， 又∵△ABC等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°， ∴∠MBD＝∠ABC+∠DBC＝90°， 同理可得∠NCD＝90°， ∴∠PCD＝∠NCD＝∠MBD＝90°， ∴∠DCN+∠DCP＝180°， ∴N，C，P三点共线， ∵∠MDN＝60°， ∴∠MDB+∠NDC＝∠PDC+∠NDC＝∠BDC﹣∠MDN＝60°， 即∠MDN＝∠PDN＝60°， ∴△NMD≌△NPD（SAS）， ∴MN＝PN＝NC+CP＝NC+BM， ∴△AMN的周长＝AM+AN+MN＝AM+AN+NC+BM＝AB+AC＝2+2＝4． 故△AMN的周长为4． 【考点评析】本题是四边形综合题，考查了图形的旋转变换，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，类比思想等．熟练掌握旋转的性质是解决问题的关键． 考向二：中心对称与中心对称图形 考点讲练06 角度问题（旋转综合题） 【典例精讲】（20-21八年级下·江苏·期中）在中，，，将绕点A按顺时针方向旋转得到，旋转角为α，点B的对应点为点D，点C的对应点为点E．    (1)如图,当时，连接、，并延长交于点F，则 ; (2)当时，请画出图形并求出的长； (3)在旋转过程中，过点D作垂直于直线，垂足为点G，连接．当，且线段与线段无公共点时，请猜想四边形的形状并说明理由． 【答案】(1) (2)作图见解析， (3)四边形为菱形，理由见解析 【思路点拨】（1）证明是等边三角形，得到点B、E在的中垂线上，进而求解； （2）依据题意画图，如图1，证明，得到，，即可求解； （3）证明，，则四边形为平行四边形，而，从而可得出结论． 【规范解答】（1）解：∵绕点A按顺时针方向旋转得到， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴点B、E在的中垂线上， ∴是的中垂线， ∵点F在的延长线上， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵，是等边三角形，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：依据题意画图如图1，过点E作于点G，过点C作于点H，    ∵，， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵，, 则； （3）解：如图，    ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，且， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形． 【考点评析】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定、旋转的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质和等边三角形的判定与性质、垂直平分线的判定与性质，熟练运用相关性质是解题的关键． 【变式训练】（21-22八年级上·山东济宁·阶段练习）如图，已知点P是等边三角形ABC内一点，且，， (1)在图中画出将绕点B逆时针旋转后得到的． (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】（1）根据要求作出图形即可； （2）证明是等边三角形，利用勾股定理的逆定理证明即可． 【规范解答】（1） （1）如图，即为所求； （2） ∵， ∴，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∴． 【考点评析】本题主要考查的是全等三角形的性质、等边三角形的判定、勾股定理的逆定理的应用，证得为等边三角形、为直角三角形是解题的关键． 考点讲练07 中心对称图形规律问题 【典例精讲】（23-24八年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，是边长为2的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，如此作下去，则（n是正整数）的顶点的坐标是（ ， ） 【答案】 / 【思路点拨】作轴于点C，先根据1是边长为2的等边三角形，可得的坐标为，B1的坐标为；分别求出点、、的坐标各是多少，最后总结出An的坐标的规律，求出的坐标是多少即可． 【规范解答】解：如图，作轴于点C， ∵是边长为2的等边三角形， ∴，， ∴， ∴的坐标为，的坐标为， ∵与关于点成中心对称， ∴点与点关于点成中心对称， ∵，， ∴点的坐标是， ∵与关于点成中心对称， ∴点与点关于点成中心对称， ∵，， ∴点的坐标是， ∵与关于点成中心对称， ∴点与点关于点成中心对称， ∵，， ∴点的坐标是， …， ∵，，，，…， ∴的横坐标是，的横坐标是， ∵当n为奇数时，的纵坐标是，当n为偶数时，的纵坐标是， ∴顶点的纵坐标是， ∴顶点的坐标是． 故答案为：，． 【考点评析】此题考查了坐标与图形变化-中心对称，等边三角形的性质，含30度角的等腰三角形的性质，以及勾股定理等知识，解答此题的关键是分别判断出的横坐标、纵坐标各是多少． 【变式训练】（2020·贵州黔东南·中考真题）以▱ABCD对角线的交点O为原点，平行于BC边的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若A点坐标为（﹣2，1），则C点坐标为 ． 【答案】（2，﹣1） 【思路点拨】根据平行四边形是中心对称图形，再根据▱ABCD对角线的交点O为原点和点A的坐标，即可得到点C的坐标． 【规范解答】解：∵▱ABCD对角线的交点O为原点，A点坐标为（﹣2，1）， ∴点C的坐标为（2，﹣1）， 故答案为：（2，﹣1）． 【考点评析】此题考查中心对称图形的顶点在坐标系中的表示． 考点讲练08 根据中心对称的性质求面积、长度、角度 【典例精讲】（23-24八年级下·山东枣庄·期中）【问题探究】 （1）如何用一条直线将一个中心对称图形分成面积相等的两部分？我们知道圆和长方形都是中心对称图形，由图①可总结规律：一个中心对称图形，______的直线将它分成面积相等的两部分． （2）图②是一个由正方形和圆构成的“组合图形”，用一条直线将图②的阴影部分分成面积相等的两部分．（不写画图过程，保留画图痕迹） 【总结规律】 （3）由两个中心对称图形组合成的图形，______的直线将它分成面积相等的两部分． 【拓展应用】 （4）如图③是一块农田的平面图，要分给两户村民种植（分成面积相等的两部分），请你帮助他们用一条直线分开．（不写画图过程，保留画图痕迹） 【答案】（1）经过对称中心；（2）见解析；（3）经过两个中心对称图形的对称中心；（4）见解析 【思路点拨】本题考查作图中心对称设计图案，中心对称图形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据中心对称图形的性质解答即可； （2）连接，交于点，作直线即可； （3）根据（2）总结规律即可； （4）把几何图形分割成两个矩形，分别作出两个矩形的对称中心，，作直线即可． 【规范解答】解：（1）一个中心对称图形，经过对称中心的直线将它分成面积相等的两部分． 故答案为：经过对称中心； （2）如图，直线即为所求； （3）由两个中心对称图形组合成的图形，经过两个中心对称图形的对称中心的直线将它分成面积相等的两部分． 故答案为：经过两个中心对称图形的对称中心； （4）如图，直线即为所求． ． 【变式训练】（21-22八年级下·河南焦作·期中）平面直角坐标系中，的位置如图所示（三角形的三个顶点均在格点上）．      (1)请在图中画出将绕点O逆时针旋转得到（点A，B，C的对应点分别为）； (2)请在图中画出关于原点O成中心对称的图形（点A，B，C的对应点分别为）； (3)若，则的度数为 　 　，的长为 　 　． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)64度， 【思路点拨】（1）将绕原点O逆时针旋转得，根据点绕原点O，旋转，横坐标变为纵坐标，纵坐标变为横坐标，即可画出 （2）根据中心对称的特点，横纵坐标符号相反，绝对值相同，即可画出 （3）根据中心对称图形的边角分别对应相等即可得出答案． 【规范解答】（1）如图，即为所求．    （2）如图，即为所求． （3）∵与关于原点O成中心对称， ∴． 故答案为：；． 【考点评析】本题考查图形与坐标，图形旋转变化性质，中心对称图形性质，解题的关键是熟知运用相关性质． 考点讲练09 按图形的变换要求画出一个图形 【典例精讲】（21-22八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，平面直角坐标系中， 三个顶点的坐标分别为． (1)平移到，其中点A的对应点的坐标为，请在图中画出； (2)以点O为旋转中心，将按顺时针方向旋转得，请在图中画出； (3)与关于某点成中心对称，请直接写出该点的坐标为____________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)（－3，1） 【思路点拨】（1）利用点和点的坐标特征得到平移的方向和距离，然后利用此规律得到、的坐标，然后顺次连接即可； （2）根据关于原点对称点的性质分别得到、、的坐标，然后顺次连接即可； （3）如图，连接、、，则、、都经过点，故可知点为对称中心，再根据坐标系写出坐标即可． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，可知与关于点成中心对称， 故答案为：（－3，1）． 【考点评析】本题考查了作图—平移变换和旋转变换，中心对称，利用条件准确得到对应点的位置是解题的关键． 【变式训练】（16-17八年级下·江苏无锡·期中）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）． （1）若△ABC和△A1B1C1关于原点O成中心对称图形，画出△A1B1C1； （2）将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB2C2； （3）在x轴上存在一点P，满足点P到点B1与点C1距离之和最小，请直接写出P B1+P C1的最小值为　 　． 【答案】（1）画图见解析；（2）画图见解析；（3） 【思路点拨】（1）根据关于原点中心对称的点的坐标特征，分别描出点A、B、C的对应点A1、B1、C1，即可得到△A1B1C1； （2）利用网格特点，根据旋转的性质画出点A、B旋转后的对应点A2、B2，即可得到△A2B2C； （3）作C1（或B1）点关于x轴的对称点，根据勾股定理即可求解． 【规范解答】解：（1）（2）如图所示 （3）如图， 作C1点关于x轴的对称点C4 在RtΔC4DB1中，C4B1= 故答案为：． 考向三：平行四边形 考点讲练10 利用平行四边形的判定与性质求解 【典例精讲】（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在平行四边形中，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上以每秒的速度从点出发，在之间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止运动，同时点也停止运动．设运动时间为，其中，开始运动以后，当 时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】 【思路点拨】本题考查平行四边形的判定与性质、一元一次方程的几何应用，根据平行四边形的性质得到，可得当，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，故分情况讨论列方程求解即可． 【规范解答】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，即， ∵以，，，为顶点的四边形是平行四边形， ∴， ∵点到达点时停止运动，同时点也停止运动， ∴，点从点到点的运动时间为， ①当时，，，，， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去） ②当时，，，， ∴， 解得：， ③当时，，，， ∴， 解得：，（点，重合，舍去） 综上所述：当时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形， 故答案为： 【变式训练】（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，． (1)若动点P从原点O出发，以每秒3个单位长度沿着x轴正方向运动，动点Q从点B 出发，以每秒1个单位长度向点C运动，当点Q到达点C处时，两点都停止运动．设运动时间为t（秒）．若以A、B、P、Q四个点为顶点的四边形是平行四边形，求此时t的值； (2)点M在x轴上，平面内是否存在点N，当以A、C、M、N为顶点的四边形是菱形时，请直接写出所有满足条件的点N的坐标． 【答案】(1)或2时，以，，，为顶点的四边形为平行四边形； (2)点的坐标为或或或． 【思路点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）分两种情况，由平行四边形的性质可得出答案； （2）分不同情况画出图形，由菱形的性质可得出答案． 【规范解答】（1）解：若点在点的左侧，四边形为平行四边形，， 由题意得， 解得， 若点在点的右侧，四边形为平行四边形，， ， 解得， 综上：或2时，以，，，为顶点的四边形为平行四边形； （2）解：点的坐标为或或或． 理由如下： 点，， ，， ， 如图，以为边，四边形是菱形， ， ； 如图，以为边，四边形是菱形， ，， ； 如图，以为边，四边形是菱形， ，， ； 如图，以为对角线，四边形是菱形， 设， ， ， ， ， ， ； 综上所述，以、、、为顶点的四边形是菱形时，点的坐标为或或或． 考点讲练11 利用平行四边形的判定与性质证明 【典例精讲】（23-24八年级上·吉林·期末）如图，在中，，于点，延长到点，使．过点作交的延长线于点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解答本题的关键． （1）证，得，再由平行四边形的判定即可得出结论； （2）由平行四边形的性质得，再由等腰三角形的性质得，则，进而由勾股定理得，然后利用勾股定理求出的长即可． 【规范解答】（1）证明：， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：如图， 由（1）可知，四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【变式训练】（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知：如图，四边形是平行四边形，点E，A，C，F在同一直线上，，连接、． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)证明见解析； (2)四边形是平行四边形．证明见解析． 【思路点拨】本题考查了平行四边形性质和判定，全等三角形性质和判定，平行线性质和判定，解题的关键在于熟练运用相关知识． （1）利用平行四边形性质得到，，即可证明； （2）利用全等三角形性质得到，进而得到，即可证明四边形是平行四边形． 【规范解答】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ． （2）证明：， ，， ， 四边形是平行四边形． 考点讲练12 平行四边形的判定与性质的应用 【典例精讲】（22-23八年级下·四川成都·期末）如图，在中，点E，F在对角线上，且连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】（1）根据平行四边形的对边相等可得，对边平行可得，再根据两直线平行，内错角相等可得，然后利用“边角边”证明，故可得出结论； （2）根据平行四边形的性质得，然后根据等腰三角形的性质即可解决问题． 此题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解题的关键是得出，再由全等三角形的性质得出结论． 【规范解答】（1）证明：在中， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴． 【变式训练】（2022·浙江金华·一模）如图1是某一遮阳蓬支架从闭合到完全展开的一个过程，当遮阳蓬支架完全闭合时，支架的若干支杆可看作共线．图2是遮阳蓬支架完全展开时的一个示意图，支杆固定在垂直于地面的墙壁上，支杆与水平地面平行，且G，F，B三点共线，在支架展开过程中四边形始终是平行四边形． (1)若遮阳蓬完全展开时，长2米，在与水平地面呈的太阳光照射下，在地面的影子有______米（影子完全落在地面） (2)长支杆与短支杆的长度比（即与的长度比）是______． 【答案】(1)2 (2) 【思路点拨】（1）过C作与水平地面呈的直线交的延长线于K，分别过K、E作，，可得四边形是平行四边形，然后根据平行四边形的性质求得的长即可； （2）由题意可知：支杆的竖直长度都一样，且竖直的支点为长支杆的中点，即G为的中点、B为的中点，然后说明的长度为长支杆的一半即可． 【规范解答】（1）解：过C作与水平地面呈的直线交的延长线于K，分别过K、E作，， ∴四边形是平行四边形， ∴，即在地面上影子的长为2米； 故答案为：2； （2）解：由题意可知：支杆的竖直长度都一样，且竖直的支点为长支杆的中点，即G为的中点、B为的中点， 当遮阳棚完全闭合后，每根杆的长度都一样，即的长度为长支杆的一半， ∵为长支杆的长度，为短支杆的长度．∴． 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、折叠的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键． 考向四：矩形、菱形、正方形 考点讲练13 根据矩形的性质与判定求角度 【典例精讲】（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在中，，P是内一点，点D，E，F分别是点P关于直线的对称点，给出下面三个结论：①；②；③．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 【答案】B 【思路点拨】本题考查了轴对称的性质，连接，根据轴对称的性质得分别为的垂直平分线，再根据垂直平分线的性质得，，，即可判断①③，根据，可得四边形为矩形，即可判断②． 【规范解答】解：如图，连接，设与交于点，与交于点， ∵点D，E，F分别是点P关于直线的对称点， ∴分别为的垂直平分线， ∴， ∴，故①正确； ∵分别为的垂直平分线， ∴四边形为矩形， ∴，故②正确； ∵为的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 同理得 ∵， ∴，故③错误； ∴正确的结论是①②， 故选：B． 【变式训练】（23-24八年级下·江苏南通·期末）如图，，为上一点．小明利用直尺和圆规完成了以下作图：连接，分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于，两点，作直线，交于点，连接并延长交于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，在上取一点，使，连接．若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)的度数为． 【思路点拨】（1）由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，则可得，证明 可得结合平行四边形的判定可得结论． （2）由题意可得四边形为矩形，则进而可得则 则． 本题考查作图-基本作图、平行四边形的判定、矩形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定、矩形的判定与性质是解答本题的关键． 【规范解答】（1）证明：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵， ∴平行四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 考点讲练14 根据矩形的性质与判定求线段长 【典例精讲】（21-22八年级下·江苏连云港·期中）在矩形中，，，E、F是对角线上的两个动点，分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中． (1)若G，H分别是，中点，则四边形一定是怎样的四边形（E、F相遇时除外）？______（不用说明理由） (2)在（1）条件下，若四边形为矩形，求t的值； (3)在（1）条件下，若G向D点运动，H向B点运动，且与点E，F以相同的速度同时出发，若四边形为菱形，求t的值． 【答案】(1)四边形是平行四边形 (2)四边形为矩形时或 (3)当时，四边形为菱形 【思路点拨】（1）利用三角形全等可得 则 即可证明； （2）分为两种情况，一种是四边形为矩形，另一种是为矩形，利用即可求解； （3）根据菱形对角线平分且垂直可证明四边形为菱形，再利用勾股定理即可求解. 【规范解答】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下： 由题意得： ∵四边形是矩形， ， ， ∵分别是中点， ， ， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形； （2）如图1，连接， 由（1）得，，， ∴四边形是矩形， ∴， ①如图1，当四边形是矩形时， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图2，当四边形是矩形时， ∵，， ∴， ∴； 综上，四边形为矩形时或； （3）如图3，M和N分别是和的中点，连接，，，与交于O， ∵四边形为菱形， ∴，，， ∴，， ∴四边形为菱形， ∴， 设，则， 由勾股定理可得：， 即：， 解得：， ∴，即， ∴当时，四边形为菱形． 【考点评析】本题考查矩形的判定与性质，菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识点，解题的关键是熟记特殊四边形的判定与性质，在解题中灵活运用. 【变式训练】（18-19九年级上·全国·期末）如图，直角三角形中，，，，点D是上的一个动点，过点D作于E点，于F点，连接，则线段长的最小值为 ． 【答案】2.4 【思路点拨】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，连接，利用勾股定理列式求出，判断出四边形是矩形，根据矩形的对角线相等可得，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解：如图，连接． ∵，，， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， 由垂线段最短，可得当时，最短，即线段的值最小， 此时，， 即， 解得， ∴线段长的最小值为． 故答案为：． 考点讲练15 根据矩形的性质与判定求面积 【典例精讲】（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）【探究与应用】 我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现有很多结论．如图，在平行四边形中，，将沿直线翻折至，连接，与相交于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)求证：； (3)如图，与相交于点，若，，，求的面积； (4)如果，，当是直角三角形时，请直接写出的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)； (4)或或． 【思路点拨】（）由折叠性质可知：则，由平行四边形的性质可得，通过平行线的性质和等腰三角形的判定即可求证； （）由折叠性质可知：则，由平行四边形的性质可得，通过等腰三角形的性质得，从而求证； （）先证明四边形是矩形，得，，，设，则，再由勾股定理求出，最后利用三角形面积公式即可求解； （）分当时，当时，当三种情况分析即可； 本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，矩形的判定与性质和勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】（1）由折叠性质可知：， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）由折叠性质可知：， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）∵平行四边形中，， ∴四边形是矩形， ∴，，， 由（）得， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ∴，解得：，即， ∴， （4）如图，当时， 由折叠性质可知：， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴ ∴四边形是正方形， ∴， ∴； 如图，当时，延长交于点，在上截取，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在中，， 同（）理可证， ∴； 如图，当， 同理可证四边形是正方形， ∴； 综上可知：或或． 【变式训练】（23-24八年级下·河北衡水·期中）如图，已知平行四边形，，交于点O，延长至点H，使，连接，过点H作，过点B作． (1)求证：； (2)当平行四边形是______形时，四边形是矩形； (3)在（2）的条件下，若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)菱 (3)48 【思路点拨】本题考查了平行四边形的判定及性质，矩形的判定及性质，菱形的判定及性质，勾股定理等； （1）由平行四边形的性质得，，由平行四边形的判定方法得四边形是平行四边形，由平行四边形的性质得，，由平行四边形的判定方法得四边形是平行四边形，由平行四边形的性质得，即可求证； （2）由菱形的性质得，可得，由矩形的判定方法即可判定； （3）由平行四边形的性质得，， 由勾股定定理得，即可求解； 掌握特殊四边形的判定方法及性质是解题的关键． 【规范解答】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ； （2）解：四边形是菱形， ， 由（1）得：， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形； 故答案：菱； （3）解：四边形是平行四边形， A为的中点， ， ， 四边形是矩形， ， 在中， ， 四边形的面积为： ． 考点讲练16 根据菱形的性质与判定求角度 【典例精讲】（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，矩形中，的垂直平分线分别交、于E、F，垂足为O，连接、． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若cm，cm，动点P从D出发沿折线运动至B停止，同时点Q从E出发沿折线运动至E停止，设P、Q的运动路程分别为a、b（单位：，），当以E、F、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求a与b满足的数量关系式． 【答案】(1)四边形为菱形，理由见解析 (2)或 【思路点拨】（1）根据矩形和垂直平分线的性质，证明，进而得到，再根据对角线互相垂直平分，即可判断四边形的形状； （2）设菱形的边长cm，利用勾股定理，得出，进而得出，发根两种情况讨论，利用平行四边形的性质分别求解即可． 【规范解答】（1）解：四边形为菱形，理由如下： 四边形是矩形， ， ，， 垂直平分，垂足为O， ，， 在和中， ， ， ， 又，， 四边形为菱形； （2）解：设菱形的边长cm，则cm， 在中，cm， 由勾股定理得：， 解得：， cm， 四边形是菱形， ， ， ， 如图，当Q在上，P在上，四边形是平行四边形，， ，， ， ； 如图，当Q在上，P在上，四边形是平行四边形，， ，， ， ； 综上所述，a与b满足的数量关系式是或． 【考点评析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的性质，利用分类讨论的思想解决问题是关键． 【变式训练】（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）在中，的平分线交线段于点，交线段的延长线于点，以、为邻边作，若，则 ．    【答案】 【思路点拨】本题考查了菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，延长、交于H，连接，求证平行四边形为菱形，得出，为全等的等边三角形，证明，即可得出答案． 【规范解答】解：延长、交于H，连接，   ，， 四边形为平行四边形， ，平分， ，，， 为等腰三角形， ， 平行四边形为菱形， ，且均为等边三角形， ，， ， ， 为等腰三角形， 又四边形为平行四边形， ，，， ， 在与中， ， ， ， ． 故答案为：． 考点讲练17 根据菱形的性质与判定求线段长 【典例精讲】（2022九年级上·吉林长春·学业考试）如图，点E、点F分别是矩形边、上一点，沿对折，点B的对应点恰好落在点D上．若，，则长是（   ） A．6 B．8 C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查矩形与折叠问题，菱形的判定及性质，勾股定理等知识点，连接，，根据矩形与折叠的性质，先证明四边形是菱形，结合勾股定理求得，再利用等面积法求解即可． 【规范解答】解：连接，， 在矩形中，，，，， ∴， 由折叠可知，，，，，， ∵， ∴，则， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 设，则， 在中，，即：， 解得：，即， ∵菱形的面积， ∴， 故选：D． 【变式训练】（23-24八年级下·江苏镇江·阶段练习）已知，矩形中，，，的垂直平分线分别交、于点E、F，垂足为O．    (1)如图1，连接、．求的长； (2)如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿和各边匀速运动一周．即点P自停止，点Q自停止．在运动过程中， ①已知点P的速度为每秒，点Q的速度为每秒，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值． ②若点P、Q的运动路程分别为a、b（单位：，），已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求a与b满足的数量关系式． 【答案】(1) (2)①以A、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，秒；② 【思路点拨】（1）先证明四边形为平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形作出判定；根据勾股定理即可求得的长； （2）分情况讨论可知，当点在上、点在上时，才能构成平行四边形，根据平行四边形的性质列出方程求解即可； 分三种情况讨论可知与满足的数量关系式． 【规范解答】（1）解：四边形是矩形， ∴，， ，， 垂直平分，垂足为， ， ， ， 四边形为平行四边形， 又， 四边形为菱形， 设菱形的边长，则， 在中，， 由勾股定理得， 解得， ． （2）解：根据解析（1）可知，四边形为菱形， ∴，， 显然当点在上时，点在上，此时A、、、四点不可能构成平行四边形； 同理点在上时，点在或上或在，在时不能构成平行四边形； 因此只有当点在上、点在上时，才能构成平行四边形，   以A、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，， 点的速度为每秒，点的速度为每秒，运动时间为秒， ，，即， ， 解得， 以A、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，秒． 由题意得，四边形是平行四边形时，点、在互相平行的对应边上． 分三种情况： 如图，当点在上、点在上时，，即，得； 如图，当点在上、点在上时，，即，得； 如图，当点在上、点在上时，，即，得． 综上所述，与满足的数量关系式是．    【考点评析】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质，注意分类思想的应用． 考点讲练18 根据菱形的性质与判定求面积 【典例精讲】（23-24八年级下·河南周口·期中）【操作发现】如图①，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，使重合的部分构成一个四边形．转动其中一张纸条，发现四边形总是平行四边形．其判定的依据是____________________． 【探究提升】取两张短边长度相等的平行四边形纸条和（，），其中，，将它们按图②放置，落在边上，，与边分别交于点M，N．求证：是菱形． 【结论应用】保持图②中的平行四边形纸条不动，将平行四边形纸条沿或平移，且始终在边上，当时，延长，交于点P，得到图③．若四边形的周长为40，且与之间的距离为8，则四边形的面积为____________．    【答案】【操作发现】两组对边分别平行的四边形是平行四边形；【探究提升】见解析；【结论应用】 【思路点拨】本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． （操作发现），根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形解答即可； （探究提升），证明四边形是平行四边形，利用邻边相等的平行四边形是菱形即可证明结论成立； （结论应用），证明四边形是菱形，求得其边长为10，作于Q，利用菱形的面积公式进行求解即可． 【规范解答】解：（操作发现），∵两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起， ∴，， ∴四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）， 故答案为：两组对边分别平行的四边形是平行四边形； （探究提升），∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴平行四边形是菱形； （结论应用），∵平行四边形纸条沿或平移， ∴，， ∴四边形、、是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∵四边形是菱形， ∴四边形是菱形， ∵四边形的周长为40， ∴， 作于Q，    ∴与之间的距离为8， ∴， ∴四边形的面积为． 故答案为：80． 【变式训练】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图在直角△ABC中，，点D是中点，连接，点E为的中点，过点A作交线段的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出与面积相等的三角形（不包含）． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【思路点拨】此题考查的是全等三角形的判定及性质、菱形的判定及性质、直角三角形的性质和三角形的面积： （1）首先由E是的中点，，证明，即可得，即可； （2）证明四边形是菱形，根据平行线之间的距离处处相等、等高模型和菱形的性质即可解决问题． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， ∵点D是中点，点E为的中点， ∴， 在和中， ∵， ∴； ∴． ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，D是的中点， ∴， ∴四边形是菱形； ∵，且的边上的高，即的边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴的边上的高等于的边上的高， ∵， ∴， 综上：与面积相等的三角形有：． 考点讲练19 求正方形重叠部分的面积 【典例精讲】（2020·浙江·中考真题）用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖的面积为a，小正方形地砖的面积为b，依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形ABCD．则正方形ABCD的面积为 （用含a，b的代数式表示）． 【答案】 【思路点拨】如图，连接AE、AF，先证明△GAE≌△HAF，由此可证得，进而同理可得，根据正方形ABCD的面积等于四个相同四边形的面积之和及小正方形的面积即可求得答案． 【规范解答】解：如图，连接AE、AF， ∵点A为大正方形的中心， ∴AE=AF，∠EAF=90°， ∴∠AEF=∠AFE=45°， ∵∠GEF=90°， ∴∠AEG=∠GEF－∠AEF=45°， ∴∠AEG=∠AFE， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠DAB=∠EAF=90°， ∴∠GAE=∠HAF， 在△GAE与△HAF 中， ∴△GAE≌△HAF（ASA）， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴同理可得：， 即， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了正方形的性质和全等三角形的判定及性质，熟练掌握正方形的性质并能作出正确的辅助线是解决本题的关键． 【变式训练】（15-16九年级上·山东青岛·阶段练习）将n个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A1，A2，…，An分别是正方形对角线的交点，则n个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为（　　） A．cm2 B．cm2 C． cm2 D．（）ncm2 【答案】B 【思路点拨】根据题意可得，阴影部分的面积是正方形的面积的，已知两个正方形可得到一个阴影部分，则n个这样的正方形重叠部分即为n-1阴影部分的和． 【规范解答】由题意可得阴影部分面积等于正方形面积的，即是， 5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为×4， n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为×（n-1）=cm2． 故选：B． 【考点评析】考查了正方形的性质，解决本题的关键是得到n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和的计算方法，难点是求得一个阴影部分的面积． 考点讲练20 根据正方形的性质与判定求角度 【典例精讲】（22-23八年级下·江苏无锡·阶段练习）阅读下列材料： 我们定义：若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，则称这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形． 如正方形就是和谐四边形． 结合阅读材料，完成下列问题： (1)下列哪个四边形一定是和谐四边形（       ） A．平行四边形；B．矩形；C．菱形；D．等腰梯形 (2)如图：等腰中，．若点C为平面上一点，为凸四边形的和谐线，且， 求出的度数．    【答案】(1)C (2)或或 【思路点拨】（1）由和谐四边形的定义，即可得到菱形是和谐四边形； （2）首先根据题意画出图形，然后由是四边形的和谐线，可以得出是等腰三角形，从图1，图2，图3三种情况运用等边三角形的性质，正方形的性质和直角三角形性质，即可求出的度数． 【规范解答】（1）解：根据和谐四边形定义，平行四边形，矩形，等腰梯形的对角线不能把四边形分成两个等腰三角形，菱形的一条对角线能把四边形分成两个等腰三角形够． 故选C． （2）解：∵是四边形的和谐线，且， ∴是等腰三角形， ∵在等腰中，， ∴， ①如图1，当时，    ∴， ∴是正三角形， ∴； ②如图2，当时，    ∴． ∵， ∴四边形是正方形， ∴； ③如图3，当时，过点C作于E，过点B作于F， ∵， ∴． ∵， ∴四边形是矩形， ∴． ∵， ∴， 取中点G，连接， ∴， ∴是等边三角形， ∴，    ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或或． 【考点评析】此题主要考查了等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质、矩形的性质与判定、正方形的性质与判定以及菱形的性质，此题难度较大，解题的关键是掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用． 【变式训练】（21-22九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知：是的角平分线，点在边上，，过点作，交于点，连接． (1)如图1，求证：四边形是菱形； (2)如图2，当时，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中度数为的度数2倍的角． 【答案】(1)见解析 (2)度数为的度数2倍的角有：,，， 【思路点拨】（1）直接由得出，得出，．再由证明，得出．由得出，从而，根据等角对等边得出，从而，由菱形的判定可知四边形是菱形； （2）如图2，利用正方形的性质可得，求得，再求得，然后利用三角形的外角性质求得，即可求解． 【规范解答】（1）证明：在和中， ， ∴； ∴， 同理， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：由（1）知四边形是菱形， 又∵， ∴四边形是正方形． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 由三角形的外角性质得：， ∴度数为的度数2倍的角有：,，，． 【考点评析】本题主要考查了全等三角形、菱形的判定，正方形的性质，三角形的外角性质等知识．关键是由得出． 考点讲练21 根据正方形的性质与判定求线段长 【典例精讲】（2024·甘肃平凉·二模）【问题探究】 如图，在中，点O是上的任意一点（不与点A、C重合），过点O平行于的直线l分别与，的外角的平分线交于点E、F，连接，． （1）求证：； （2）如图2，点O是的中点，判断与的数量关系，与的位置关系，并说明理由； 【问题拓展】 （3）在（2）的条件下，若，，，求四边形的周长． 【答案】（1）见解析；（2），，理由见解析；（3）16 【思路点拨】（1）根据角平分线的定义和平行线的性质可得，由等腰三角形的判定可得，同理可证，进而可证； （2）先证四边形是平行四边形，进而可证四边形是矩形，即可得到答案； （3）由勾股定理可得，再证四边形是正方形，根据勾股定理可得正方形边长，进而可求四边形周长； 【规范解答】（1）证明：平分， ， ， ， ， ， 同理， ； （2）解：，， 理由：是的中点， ， ， 四边形是平行四边形， 平分，平分， ， 四边形是矩形， ，； （3）解：，，， ， ，， ， 由（2）知四边形是矩形， 四边形是正方形， ， ， 四边形的周长； 【考点评析】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，正方形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上性质． 【变式训练】（23-24八年级下·山东滨州·期中）如图，已知四边形是平行四边形，点和点，连结并延长交y轴于点D． (1)求直线的函数解析式； (2)若点P从点C出发以2个单位/秒沿x轴向左运动，同时点Q从点O出发以1个单位/秒沿x轴向右运动，过点P，Q分别作x轴垂线交直线和直线分别于点E，F，猜想四边形的形状（点P，Q重合除外），并证明你的结论； (3)在（2）的条件下，当点P运动多少秒时，四边形是正方形? （直接写出结果） 【答案】(1)直线的解析式为 (2)四边形是矩形，证明见解析 (3)点P运动 秒或3秒时, 四边形是正方形 【思路点拨】本题考查了一次函数与几何综合问题，涉及了待定系数法求解析式、平行四边形，矩形，正方形的判定及其性质等知识点， （1）设直线的解析式为,将点和点代入即可求解； （2）由题意可得直线的解析式为，，进而可得 据此即可求解； （3）由（2）可得：，当时，四边形是正方形，据此即可求解； 【规范解答】（1）解：设直线的解析式为, ∵ 点和点, ∴ 解得： ∴ 直线的解析式为 （2）解：如图, ∵点A的坐标为 ∴直线的解析式为. ∵点Q从点O出发以1个单位/秒沿轴向右运动， ∴, ∴  . ∵点P从点C出发以2个单位/秒沿轴向左运动， ∴, ∴. 由(1)知, 直线的解析式为 ∴ ∴ ∴. ∵轴, 轴, ∴ ∵, ∴四边形是平行四边形. ∵, ∴四边形是矩形. （3）解：由（2）可得： ∵四边形是矩形. ∴当时，四边形是正方形 即： 解得：或 考点讲练22 根据正方形的性质与判定求面积 【典例精讲】（22-23八年级下·江苏泰州·期末）如图，已知平行四边形中，对角线交点O，E是延长线上的点，且是等边三角形． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)80 【思路点拨】（1）根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”证明即可； （2）根据条件证明菱形是正方形，即可求出． 本题考查了菱形的判定与性质、正方形的判定与性质、等边三角形的性质等知识，熟练掌握等边三角形的性质、证明四边形是菱形与正方形是解题的关键． 【规范解答】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，即， ∴四边形是菱形． （2）解：∵是等边三角形， ∴， 由（1）知，，， ∴，是直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴ ∴菱形是正方形， ∴四边形的面积． 【变式训练】（22-23八年级下·河南郑州·期末）小慧同学在参加学校剪纸社团的时候，剩下了一些四边形的纸片，爱思考的她想计算一下这张纸片的面积，通过测量她发现，，，，，．她发现如果将纸片沿着裁剪，拼到的左侧正好可以拼成一个等腰直角三角形（），通过证明和计算，她得到了这张纸片的面积．    同桌小智经过思考，过点A作的垂线，然后沿着裁剪，将拼接到的左侧，这样就拼出了两个等腰直角三角形（和），通过证明和计算，他也得到了这张纸片的面积．    你知道他们都是如何解决这个问题的吗？请你从两名同学的作法中任选一个，给出证明，并求出四边形的面积． 【答案】，见解析 【思路点拨】小慧的作法：通过裁剪，拼接，得到，进而得到，进而得到为等腰直角三角形，得到四边形的面积等于的面积，进行求解即可；小智的作法：通过裁剪，拼接，得到，推出四边形为正方形，四边形的面积等于四边形的面积，进行求解即可． 【规范解答】解：四边形的面积为；理由如下： 小慧的作法：由题意，得：， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴三点共线， ∴为等腰直角三角形， ∴四边形的面积； 小智的作法：由题意，得：，， ∴， 同上法可得：，， ∴，三点共线， ∵， ∴四边形为正方形， ∵， ∴， ∴四边形的面积等于四边形的面积． 【考点评析】本题考查割补法求面积，重点考查两了全等三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的性质，是解题的关键． 考点讲练23 根据正方形的性质与判定证明 【典例精讲】（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，在中，，过点C的直线，为边上一点，过点作，交直线于，垂足为，连接． (1)求证：； (2)当D在中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； (3)若D为中点，则当的大小满足什么条件时，四边形是正方形？说明你的理由． 【答案】(1)见解析 (2)菱形，见解析 (3)当时，四边形是正方形，理由见解析 【思路点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、正方形的判定、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意得出，结合证明四边形是平行四边形即可得出结论； （2）先证明四边形是平行四边形，结合即可得出四边形是菱形； （3）当时，求出，结合菱形的性质求出，即可得解． 【规范解答】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）解：四边形是菱形，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，在中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （3）解：当时，四边形是正方形，理由如下： ∵，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． 【变式训练】（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）在中，，以斜边为边向上作正方形，若正方形的对角线交于点（如图（1））． (1)求证：平分． (2)试猜想线段与，之间的数量关系，并证明你的结论． (3)如图（2），过点作交延长线于，过点作，分别交延长线和延长线于，．求证：四边形为正方形． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3)见解析 【思路点拨】（1）延长至点，使，连接，证明，得到，．再证明是等腰直角三角形，求得，据此即可证明平分； （2）利用勾股定理即可得到结论； （3）证明，以及，，，即可证明四边形为正方形． 【规范解答】（1）证明：如图，延长至点，使，连接． ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，即平分； （2）解：． 证明如下：由（1）知，是等腰直角三角形， ∴，即， ∴； （3）证明：∵四边形是正方形， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 在与中， ∴． 同理可得，，， ∴，即． 又∵， ∴四边形为正方形． 【考点评析】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、角平分线定义等知识；解题的关键是熟练掌握正方形的判定和性质，作辅助线构建全等三角形． 考点讲练24 （特殊）平行四边形的动点问题 【典例精讲】（23-24八年级下·江苏无锡·期中）在四边形中，，，，，，P，Q同时沿着四边形的边逆时针运动，点P从点D出发，以的速度运动，点Q从点B出发，以的速度运动，设运动时间为t秒． (1)______； (2)若点Q运动到点C时就停止，点P也随之停止运动，用含t的代数式表示四边形的面积； (3)若其中一个动点回到其出发点时，另一个动点也随之停止运动，则当_____时，以点P、Q与点A、B、C、D中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形． 【答案】(1)20 (2)或 (3)当或或或时，以点、与点、、、中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形 【思路点拨】（1）过点D作交于点E，证出四边形为矩形，得出，，根据勾股定理即可求出． （2）若点Q运动到点C时就停止，点P也随之停止运动，分为当点P在上运动，即时，运用求解，和当点P在上运动，即时，运用即可求解； （3）分为①当时，②当时，③当时，④当时，分别画图求解即可计算； 【规范解答】（1）解：过点D作交于点E， ∵，， ∴， 则四边形为矩形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：20． （2）若点Q运动到点C时就停止，点P也随之停止运动， 如图1，当点P在上运动，即时， 则， ； 如图2，当点P在上运动，即时， 则， ； 综上，或； （3）如图，①当时，， 此时，四边形是平行四边形； ②当时，， 此时，四边形为平行四边形； ③当时，四边形是平行四边形， ， 此时； ④当时，， 此时，四边形为平行四边形； 综上所述，当或或或时，以点、与点、、、中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形． 【考点评析】此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质，矩形的性质和判定，勾股定理等知识；本题综合性强，解本题的关键是分类讨论的思想解决问题，是一道中考常考题． 【变式训练】（20-21八年级下·河北石家庄·期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形为矩形，，．点E是的中点，动点M在线段上以每秒2个单位长度的速度由点A向点B运动（到点B时停止）．设动点M的运动时间为t秒． (1)当t为何值时，四边形是平行四边形？ (2)若四边形是平行四边形，请判断四边形的形状，并说明理由； (3)在线段上是否存在一点N，使得以O，E，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)6.5秒 (2)四边形是矩形，理由见解析 (3)线段存在一点，使得以，，，为顶点的四边形是菱形，t的值为12.5秒或6秒 【思路点拨】（1）根据点C坐标可得，根据中点定义可得，根据矩形的性质可得，，根据平行四边形的性质可得，即可得出的长，根据点M的速度即可得答案； （2）如图，由（1）可得，可证明四边形是平行四边形，由可得四边形是矩形； （3）当点M在点N右侧时，根据菱形的性质可得，利用勾股定理可求出的长，进而可得出的长，根据点M的速度可求出t值；当点M在点N左侧时，则，利用勾股定理可求出的长，根据点M的速度即求得出t值，综上即可得答案． 【规范解答】（1）解：如图，∵四边形为矩形，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵动点的速度为每秒个单位长度， ∴（秒）． （2）解：如图，四边形是矩形； 理由如下：由（1）可知， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． （3）解：如图，点M在点N右侧时， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（秒）， 如图，点M在点N左侧时， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴（秒）， 综上所述：线段存在一点，使得以，，，为顶点的四边形是菱形，t的值为12.5秒或6秒． 【考点评析】本题考查坐标与图形性质、矩形的判定与性质、菱形的性质及勾股定理，熟练掌握相关性质及判定定理并灵活运用分类讨论的思想是解题关键． 考点讲练25 四边形中的线段最值问题 【典例精讲】（22-23八年级下·江苏无锡·期中）已知：如图，在矩形中，．在上取一点E，，点F是边上的一个动点，以为一边作菱形，使点N落在边上，点M落在矩形内或其边上．若的面积为S．    (1)当四边形是正方形时，求x的值； (2)当四边形是菱形时，求S与x的函数关系式； (3)当_____________时，的面积S最大；当_____________时，的面积S最小； (4)在的面积S由最大变为最小的过程中，请直接写出点M运动的路线长：_____________． 【答案】(1) (2) (3)①，② (4) 【思路点拨】本题考查四边形综合题、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、三角形的面积、一次函数的应用等知识； （1）只要证明即可解决问题； （2）如图，连接，作于，想办法证明，可得，由此即可解决问题； （3）①如图3中，当点与重合时，的值最小，的面积最大，在中，．②如图4中，当点在上时，的值最大，的面积最小； （4）如图3中，在的面积由最大变为最小的过程中，点的运动轨迹是平行的线段，点运动的路线长的长． 【规范解答】（1）四边形是正方形， ，， ，， ， ∴， ， ．， ， ． 故答案为：． （2）如图，连接，作于，则，，   四边形是菱形， ，， ， 矩形中，， ， ，即， ， ， ，， ． 与的函数关系式； （3）①如图3中，当点与重合时，的值最小，的面积最大，    在中，， 的最大值． ②如图4中，当点在上时，的值最大，的面积最小， 此时易证， ， ， ； 故答案为：①，②． （4）如图3中，在的面积由最大变为最小的过程中，点的运动轨迹是平行的线段， 即点运动的路线长的长， 故答案为：． 【变式训练】（23-24八年级下·山东济南·期中）如图，一次函数的图象分别与x轴和y轴相交于A、C两点，且与正比例函数的图象交于点． (1)求m，n的值； (2)当时，直接写出自变量x的取值范围； (3)在y轴上找一点P，使的值最小，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3) 【思路点拨】（1）先把点代入求得，再把点代入求n得值即可； （2）根据图象求解即可； （3）作点A关于y轴的对称点，连接，交y轴于点P，此时，的值最小，利用待定系数法全等直线的解析式，令，求得y的值即可． 【规范解答】（1）解：把点代入得，， ∴， 把点代入得，， 解得； （2）解：由图可得，当时，； （3）解：如图，过点A作关于y轴的对称点，连接，交y轴于点P， 把代入得，， 解得， ∴， 由对称的性质可得， ，， ∴， ∴当点A、P、B三点共线时，的值最小， 设直线的解析式为， 把、代入得， ， 解得， ∴直线的表达式为， 把代入得，， ∴． 【考点评析】本题考查用待定系数法求一次函数解析式、最值问题、轴对称的性质、一次函数与一元一次不等式及一次函数的图象，利用待定系数法求一次函数解析式是解题的关键． 考点讲练26 四边形其他综合问题 【典例精讲】（22-23八年级下·江苏苏州·阶段练习）阅读理解：我们定义：①把四边形的任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形．例如，平行四边形，梯形等都是凸四边形．②有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”． （1） 如图 1 ，已知四边形是“等对角四边形”， ，，． 求的度数 ． 问题解决： （2） 如图 2 ，在中，，为斜边边上的中线， 过点作交于点，证明： 四边形是“等对角四边形” ． 拓展应用： （3） 如图 3 ，已知在“等对角四边形” 中，，，，，求对角线的长 ． 【答案】（1）  （2）证明见解析  （3） 【思路点拨】此题是四边形综合题， 主要考查了新定义“等对角四边形”的理解和应用， 矩形的判定和性质， 勾股定理， 正确作出辅助线是解本题的关键 ． （1） 利用“等对角四边形”的定义借助四边形的内角和定理即可得出结论； （2） 先判断出，进而判断出，最后判断出，即可得出结论； （3） 先构造直角三角形求出和，最后用勾股定理即可得出结论 ． 【规范解答】解： （1）四边形是“等对角四边形“，， ， ， ， ， 根据四边形内角和定理得，； （2） 在中，为斜边的中线， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 四边形是“等对角四边形”； （3） 如图 3 ，过点作于，于， ，， ， ， 根据勾股定理得，， ， ，，， ， 四边形是矩形， ，， 在中，， ， ， ， ， ， 在中，． 【变式训练】（23-24八年级下·江苏南通·期中）四边形为正方形，为对角线上一点，连接，过点作，交射线于点，以，为邻边作矩形，连接． (1)如图，当点在线段上时， ①求证：矩形是正方形； ②若，，求正方形的边长． (2)当线段与正方形的某条边的夹角是时，请直接写出的度数． 【答案】(1)①见解析；②正方形的边长为 (2)或 【思路点拨】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质和判定，矩形的性质，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质等，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）①过点作于点，过点作于点，根据正方形的性质和矩形的性质易证，进一步可得，即可得证； ②过点作于点，易证，可得，根据已知条件可得的长，进一步可得的长； （2）分情况讨论：当，当时，根据正方形的性质以及三角形的内角和定理即可求出的度数． 【规范解答】（1）①证明：如图，作于，于，得矩形， ， 点是正方形对角线上的点， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形是矩形， 矩形是正方形； ②解：正方形和正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ． ， ， 连接， ， ． 正方形的边长为； （2）解：分情况讨论： 当， ， ， ， ， ； 当时，如图所示： ， ， ， ， ， 综上，或． 考向五 三角形的中位线 考点讲练27 与三角形中位线有关的求解问题 【典例精讲】（21-22八年级下·山东聊城·期末）如图，中，，，，，，则的值为（   ） A．6 B． C．7 D．8 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，延长交于，可证得，得到，可证得是的中位线，从而得出的值，进一步可得出结果． 【规范解答】解：如图，延长交于， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ∴是的中位线， ， ， 故选：C． 【变式训练】（2024八年级下·江苏无锡·竞赛）19世纪，匈牙利数学家鲍耶证明了下述定理：任意给定两个面积相等的多边形，它们互相之间都可以通过剪拼得到．追述历史，我们发现他证明这个定理时就是运用化归的方法，从简单的问题作为起点、作为阶梯从而获得了成功．三角形和四边形是最简单的多边形，如图1，任意三角形沿着中位线剪一刀，可以拼成一个与原面积相等的平行四边形，仿照图示的方法，解答下列问题： (1)如图2，对任意三角形，能否最多剪两刀，将它剪拼成一个与原三角形面积相等的矩形，画出分割线与拼图； (2)如图3，对任意四边形，能否最多剪两刀，将它剪拼成一个与原四边形面积相等的平行四边形，画出分割线与拼图． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】（1）对于任意，取、的中点、，过点作，由三角形中位线定理可得，则有；以和为分割线，再拼成四边形，则有，利用矩形的判定即可得出是矩形； （2）对于任意四边形，依次取、、、的中点、、、，利用三角形的中位线定理可得，，可得是平行四边形，进而得到和相互平分；以和为分割线，得到4个小四边形，再拼成四边形，则有，，利用平行四边形的判定即可得出是平行四边形． 【规范解答】（1）解：对于任意，取、的中点、，过点作， 以和为分割线，再拼成矩形，如图即为所求： （2）解：对于任意四边形，依次取、、、的中点、、、， 以和为分割线，得到4个小四边形，再拼成平行四边形，如图即为所求： 【考点评析】本题主要考查了全等三角形拼平行四边形问题，三角形的中位线定理，矩形的判定，平行四边形的判定等知识点，理解题意，仿照图示的方法剪拼图形是解题的关键． 考点讲练28 与三角形中位线有关的证明 【典例精讲】（23-24八年级下·江苏扬州·期中）如图，已知的中线、相交于点，、分别为、的中点． (1)求证：和互相平分； (2)若，，，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)16 【思路点拨】本题考查了三角形的中位线定理、平行四边形的判定与性质、勾股定理、完全平方公式，熟练掌握三角形的中位线定理是解题关键． （1）先根据三角形的中位线定理可得，，，，再证出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得证； （2）先求出，再利用勾股定理可得，然后利用完全平方公式变形求值可得的值，最后利用三角形的面积公式计算即可得． 【规范解答】（1）证明：如图，连接， ∵是的中线，点是的中点， ∴，， 同理可得：，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴和互相平分． （2）解：由（1）已证：和互相平分， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为． 【变式训练】（23-24八年级下·江苏泰州·期末）如图，、分别是不等边三角形（即的边、的中点．是平面上的一动点，连接、，、分别是、的中点，顺次连接点、、、．                               (1)如图，当点在内时，求证：四边形是平行四边形； (2)若四边形是菱形，点所在位置应满足什么条件？并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)点的位置满足两个要求：，且点不在射线、射线上．理由见解析 【思路点拨】此题主要考查了中点四边形的判定以及三角形的中位线的性质和平行四边形以及菱形的判定等知识，熟练掌握相关的定理是解题关键． （1）首先利用三角形中位线的性质得出，，同理，，，即可得出，即可得出四边形是平行四边形； （2）利用（1）中所求，只要邻边再相等即可得出答案． 【规范解答】（1）证明：、分别是边、的中点． ∴，． 同理，，． ∴，． 四边形是平行四边形； （2）解：点的位置满足两个要求：，且点不在射线、射线上． 理由：由（1）得出四边形是平行四边形， 点的位置满足两个要求：，且点不在射线、射线上时， 可得，， ， 平行四边形是菱形． 考点讲练29 与三角形中位线有关的实际应用 【典例精讲】（2024·广西南宁·一模）应用与探究 【情境呈现】 在一次数学兴趣小组活动中，小明同学将一大一小两个三角板按照如图1所示的方式摆放，其中，，．他把三角板固定好后，将三角板从图1所示的位置开始绕点按顺时针方向旋转，每秒转动，设转动时间为秒．    【问题应用】（1）请直接写出图1中线段的值； （2）如图2，在三角板旋转的过程中，连接，当四边形是矩形时，求值； 【问题探究】（3）如图3，在三角板旋转的过程中，取的中点，连接，是否存在最大值？若存在，请求出的最大值，并直接写出此时的值：若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在，最大值为，此时的值为． 【思路点拨】本题考查了旋转的性质，三角形的中位线定理，三角形的三边关系，掌握相关性质是解题的关键． （1）由，，得到，即可求解； （2）当四边形是矩形时，，求出旋转角，即可求解； （3）取中点，连接，当三点共线时，最大值，可求出最大值为，此时的值为． 【规范解答】解：（1）∵，， ∴， ∵， ∴； （2）如图：    当四边形是矩形时， ∴， ∵， ∴旋转角， ∴（秒）， ∴的值为； （3）取中点，连接，如图：    ∵是中点， ∴中位线， 在中，， ∴， ∴ ， ∵是斜边上中线， ∴， 当不在同一直线上时， ， 当在线段上时， ， ， ∴三点共线时，最大值， 此时，如图，   ，， ∴， ∵， ∴， ∴旋转角为， ∴（秒）， 综上，存在最大值为，此时的值为． 【变式训练】（22-23八年级下·河南三门峡·期末）（1）回归课本 请用文字语言表述三角形的中位线定理：________________． （2）回顾证法 证明三角形中位线定理的方法很多，但多数都要通过添加辅助线构图完成．下面是其中一种辅助线的添加方法．请结合图2，补全求证及证明过程． 已知：在中，点分别是的中点． 求证：________________． 证明：过点作，与的延长线交于点． （3）实践应用 如图3，点和点被池塘隔开，在外选一点，连接，分别取的中点，测得的长度为9米，则两点间的距离为________________．    【答案】（1）三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半；（2），；详见解析；（3）18米 【思路点拨】（1）根据三角形的中位线定理直接阐述即可； （2）过点作，与的延长线交于点，证明，再证四边形是平行四边形，即可证明结论； （3）直接利用三角形中位线定理求解即可． 【规范解答】解：（1）三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 故答案为：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半； （2）求证：，． 证明：∵点分别是的中点， ∴，， 过点作，与的延长线交于点． ∴， 在和中， ． ，． ，． 四边形是平行四边形， ，， 又， ，． 故答案为：，； （3）∵点分别是的中点，米， ∴，即：米 故答案为：18米． 【考点评析】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题． 基础夯实真题练 1．（15-16九年级上·四川德阳·阶段练习）如图，在Rt中，，，将绕点C顺时针旋转至使得点恰好落在上，则旋转角度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了旋转变换的性质及其应用问题；如图，证明；求出，得到，即可解决问题． 【规范解答】解：由题意得：， ∴； ∵， ∴， ∴， 故选：B． 2．（24-25九年级上·广东揭阳·期中）如图，菱形的对角线，相交于点，过点A作于点，若，，则的长为（　　） A．14 B． C．15 D． 【答案】D 【思路点拨】由菱形的性质得出，得出菱形的面积54，勾股定理算出，最后结合等面积法列式计算，即可作答．本题主要考查了菱形的性质、勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 【规范解答】解：四边形是菱形， ，，， ， ， 在中， ∵ ， ∴， 故选：D． 3．（23-24八年级下·江苏镇江·期中）下列命题中是假命题的是（   ） A．对角线互相垂直平分的平行四边形是正方形 B．一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形 C．两组对角分别相等的四边形是平行四边形 D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形 【答案】A 【思路点拨】本题考查了平行四边形以及特殊平行四边形的判定定理，掌握相关定理内容是解题关键． 【规范解答】解：对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形，故A是假命题； 一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形，故B是真命题； 两组对角分别相等的四边形是平行四边形，故C是真命题； 对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故D是真命题； 故选：A ． 4．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，将边长为3的正方形纸片沿折叠，点C落在边上的点G处，点D与点H重合，与交于点P，取的中点Q，连接，则的周长最小值是 ．    【答案】 【思路点拨】连接，取的中点M，连接，根据折叠的性质，要求的周长的最小值，只需求的最小值，当M、P、B三点共线时，最小，勾股定理求出，即可求解． 【规范解答】解：连接，取的中点M，连接， 由折叠可知， 在中，P是的中点， ∴ ， ∵Q是的中点， ∴， ∴的周长， ∵， ∴的周长， 当M、P、B三点共线时，最小， ， ∴的周长的最小值为， 故答案为：，    【考点评析】本题考查了正方形与折叠，还考查了最短路径问题，解题关键是根据折叠和直角三角形的性质得出线段相等，把三角形的周长转化为两点之间，线段最短问题． 5．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，是正方形的一条对角线，是上一点，是延长线上一点，连接，，．若，，则的长为 ． 【答案】 【思路点拨】连接，先证明，得出，从而得出，根据三角形的内角和定理得出，则有为等腰直角三角形，最后根据勾股定理求出结果即可． 【规范解答】解：连接，如图所示， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 【考点评析】本题主要考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角形内角和定理，掌握知识点的应用及正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 6．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在长方形ABCD中，，一发光电子开始置于AB边上的点P处，并设定此时为发光电子第一次与长方形的边碰撞，将发光电子沿着PR方向发射，碰撞到长方形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于45°，当发光电子与长方形的边碰撞2025次后，它与AB边的碰撞次数是 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了矩形的性质，点的坐标的规律，熟练掌握并灵活运用是解题的关键． 根据反射角与入射角的定义，可以在格点中作出图形，可以发现，在经过6次反射后，发光电子回到起始的位置，即可求解． 【规范解答】解：如图： 根据图形可得，从点P开始，发光电子与长方形的边，每碰撞6次为一个循环组，且每次循环发光电子与边碰撞2次， ∵， ∴发光电子与边的碰撞次数是． 故答案为． 7．（22-23八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，直线l于点A，，点B是直线l上一动点，以为边向上作等边，连接，则的最小值为 ． 【答案】/ 【思路点拨】以为边作等边三角形，连接，过点作于点，证明，由全等三角形的性质得出，，由含度角的直角三角形的性质，可得出答案． 【规范解答】解：如图，以为边作等边三角形，连接，过点作于点，   和为等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ， ，， ， 是直线上的动点， 在直线上运动， 的最小值为， ， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 8．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)将绕点逆时针旋转，画出旋转后的； (2)画出与关于原点O成中心对称的； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题考查了坐标与图形，画旋转图形，画中心对称图形，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据旋转的性质，找到对应点，然后连接成三角形即可求解； （2）根据中心对称的性质，找到对应点，然后连接成三角形即可求解． 【规范解答】（1）解：如图所示，即为所求， （2）解：如图所示，即为所求， 9．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，已知，点A是射线上一点，，动点P从点A出发，以的速度沿水平向左运动，与此同时，动点Q从点O出发，也以的速度沿竖直向上运动，连接，以为斜边向上作等腰直角三角形，设运动时间为，其中． (1)当与全等时，求t的值； (2)四边形的面积为　　． 【答案】(1)的值为 (2) 【思路点拨】（1）根据题意得，，根据三角形全等的判定方法，只有当为等腰直角三角形时，与全等，所以，即，然后解方程即可； （2）利用得到，，则可判断四边形为正方形，所以，即，于是可求出，然后利用四边形的面积进行计算． 本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质与判定，正方形的性质与判定：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．也考查了等腰直角三角形． 【规范解答】（1）解：根据题意得，， 为等腰直角三角形， 而为公共边， 当为等腰直角三角形时，与全等， ， 即，解得， 即的值为； （2）解：过点作于，于，如图， 为等腰直角三角形， ，， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ，过点作于，于， ∴四边形为矩形， ∵， 四边形为正方形， ， ， 即， ， 四边形的面积． 故答案为． 10．（23-24八年级下·江苏镇江·期中）矩形纸片中，，，点在边上，点在边上，将纸片沿折叠，使顶点落在平面内点处． (1)若折痕的端点与点重合，如图1． ①当时，则 ； ②当点恰好在线段上，求的长； (2)若点恰好落在边上，如图2，当时，求的长； (3)如图3，若，是以为腰的等腰三角形，则的长为 ． 【答案】(1)①；② (2) (3)或 【思路点拨】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的性质、勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握这些性质是解题的关键． （1）①由折叠性质和可求出度数； ②由折叠和勾股定理可求出，设，再利用中利用勾股定理列出式子，求解即可； （2）过点作，为垂足，设，在中利用勾股定理列出式子，求解即可； （3）分两种情况进行讨论：当时和当时，分别讨论求解即可． 【规范解答】（1）解：①由翻折得， ∵，， ∴， 故答案为：； ②如图，由折叠知，，， 在中，， 设，则，， 则， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，， 即， 解得：， 即； （2）解：如图，过点作，为垂足， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 设，则，， 在中，， 即， 解得：， 即； （3）解：①当时，如图， 设，则，， 在中，， 即， 解得：， 即； ②当时，如图，过点作于点， ∴， 设，则，， ∴， 由翻折知， ∵， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 即， 解得：， 即； 故答案为：或． 培优拔尖真题练 11．（22-23八年级下·四川成都·期中）如图，将绕点A逆时针旋转一定角度，得到．若，且的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查旋转的性质、三角形的内角和定理等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 根据旋转的旋转，可知，，由三角形内角和定理，求得的度数，最后计算，即可解题． 【规范解答】将绕点A逆时针旋转一定角度，得到， ， ， ． 故选：D． 12．（9-10八年级下·山西·期末）如图，已知矩形沿着直线折叠，使点落在处，交于，，，则的长为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了矩形与折叠，全等三角形的判定与性质，勾股定理，由矩形性质得，，再根据折叠的性质得，，证明，设，则，然后在直角三角形中根据勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解：∵四边形是矩形， ∴，， 由折叠的性质可得：，， 在与中， ， ∴， ∴， 设，则， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， 故选：． 13．（18-19八年级下·福建莆田·期中）如图，在菱形中，，的垂直平分线交对角线于点，为垂足，连接，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质．连接，根据菱形的对角线平分一组对角求出，，四条边都相等可得，再根据菱形的邻角互补求出，然后根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，根据等边对等角求出，从而求出，再利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得． 【规范解答】解：如图，连接， 在菱形中，，，， ， 是线段的垂直平分线， ，， ， 在和中，， ， ， 故选：D． 14．（2024八年级下·江苏无锡·竞赛）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形的对角线交于点，顶点A在x轴正半轴运动，顶点D在y轴正半轴运动，顶点B、C都在第一象限，则x的取值范围为 ．    【答案】 【思路点拨】本题考查了正方形的性质与判定、全等三角形的性质与判定、直角三角形斜边上的中线性质、最短路径问题，熟练掌握以上知识点，学会添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．过点作轴交于点，作轴于点，连接，分析可知当、重合时，点到轴的距离最小，此时的值为最小值；当、不重合时，取的中点，连接、，利用正方形的性质和全等三角形的判定可得，进而得到四边形是正方形，利用直角三角形斜边上的中线性质可得，结合两点之间线段最短性质可得，则有，解不等式即可得出x的取值范围． 【规范解答】解：过点作轴交于点，作轴于点，连接， 当、重合时，点到轴的距离最小，此时；    当、不重合时，取的中点，连接、，   正方形， ，， 轴，轴， ， 又， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 四边形是正方形， 是等腰直角三角形， ， 的中点为，， ，， 由两点之间线段最短性质得，，即， ， 解得：； 综上所述，x的取值范围为． 故答案为：． 15．（2020·河南南阳·一模）如图，在矩形中，，点E为的中点，点F为射线上一点，连接，若将沿直线折叠后，点A恰好落到上的点G处，则a的值为 ． 【答案】4或1 【思路点拨】本题主要考查了矩形的折叠．熟练掌握矩形性质，折叠性质，全等三角形的判定和性质，分类讨论，是解此题的关键． 连接CE，由矩形性质可得，，，由中点和翻折性质知， ，，可得，结合，得到，得到，由勾股定理可得，当点F在线段上时，，，得到，得到；当点F在延长线上时，，，得到，得到． 【规范解答】解：如图，连接， ∵四边形为矩形， ∴，， ∵E为中点， ∴， 由翻折知， ， ∴， ∵点G在上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 当点F在线段上时，， ∴， ∴， ∴； 当点F在延长线上时，， ∴， ∴， ∴． ∴a的值为：4或1． 故答案为：4或1． 16．（22-23八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，O为坐标原点，，．D为中点，E为边上一点，以为边作正方形与交于点M，连接．若B，F，D三点共线，则的长为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查的是一次函数的应用、正方形性质应用及全等三角形的判定与性质，先求出直线表达式，通过，设，代入表达式求出点F、G坐标，再求出直线表达式及直线表达式，联立组成方程组求出交点M坐标即可求出结论． 【规范解答】解：连接，则点F在上， ，，D为中点， ， 设直线表达式为， 则， 解得：， 直线表达式为， 作于点P，作于点Q， 四边形为正方形， ， ， ， ， ， 同理，， ， 设， 则， ， 把代入， 则， 解得：， ， 设直线表达式为， 则， 解得：， 直线表达式为， 设直线表达式为， 则， 解得：， 直线表达式为， 联立：， 解得：， ， ， 故答案为：． 17．（22-23八年级下·江苏苏州·期中）如图所示，是线段上的两点，，，，点是线段上的一动点，分别以为边在的同一侧作两个等边三角形，连接并取中点为，连结，在点从点出发运动到点的过程中，线段扫过的区域面积为 ． 【答案】 【思路点拨】延长交于H，连接，可证出四边形是平行四边形，P为中点，也是的中点，从而点P的运动轨迹为线段，得到扫过的图形为梯形，求出其面积即可解决． 【规范解答】解：延长交于H，连接， ∵都是等边三角形， ∴， ∴，是等边三角形， ∴四边形是平行四边形，， ∵P是的中点， ∴点G、P、H三点共线，且P为的中点， 取的中点M、N点，连接，则为的中位线，为的中位线， ∴，， ∴三点共线， ∴点在线段上移动， ∴扫过的图形为梯形， ∵， ∴， ∴， 过H作于Q，取的中点，连接，则：，，， ∴，在线段上，为梯形的高线， ∴， ∴； 故答案为：． 【考点评析】本题考查等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，三角形的中位线定理等知识点，解题的关键是确定点的运动轨迹． 18．（22-23八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图1，在中，，，的顶点与点A重合，两边分别与，重合． (1)求的度数； (2)如图2，将绕点A按逆时针方向旋转，两边分别与平行四边形的两边，相交于点E，F． ①试探究，的数量关系，并证明你的结论； ②连结，在旋转过程中，的周长是否发生改变？如果没有变化，请说明理由；如果有变化，请求出周长的最小值． 【答案】(1) (2)①，证明见解析；② 【思路点拨】（1）由已知得四边形是菱形，得，根据，即得，故； （2）①数量关系是：，理由是：由四边形是菱形，可得和是等边三角形，即得，，即可证明，从而，故； ②的周长发生改变，理由是：由，，可得，是等边三角形，即有，当最小时，周长的最小，即最小时，周长的最小，此时，在中，可得，即，周长的最小值为． 【规范解答】（1）∵中，， ∴四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵的顶点与点A重合，两边分别与，重合， ∴； （2）①，证明如下： ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴和是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； ②的周长发生改变，理由如下： 如图，连接， 由①知：，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵的的周长， ∴的周长发生改变， 当最小时，周长最小，即最小时，的周长最小， 此时， 在中，，， ∴，， ∴， ∴周长的最小值为． 【考点评析】本题考查菱形的性质及应用，涉及等边三角形性质及判定、全等三角形性质及判定、三角形周长最小值、勾股定理等知识，解题的关键是证明． 19．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）问题情境：活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动，如图1，已知中，，将从图1的位置开始绕点逆时针旋转，得到（点，分别是点，的对应点），旋转角为，设线段与相交于点，线段分别交，于点， 特例分析：（1）如图2，当旋转到时，旋转角的度数为 ； 探究规律：（2）如图3，在绕点逆时针旋转过程中，“求真”小组的同学发现线段始终等于线段，请你证明这一结论． 拓展延伸：（3）当是等腰三角形时，求旋转角的度数． 【答案】（1）；（2）见详解；（3）或 【思路点拨】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形外角的性质等；掌握判定方法及性质，能根据等腰三角形的顶点不同进行分类讨论是解题的关键． （1）由等腰三角形的性质得和，即可求解； （2）由等腰三角形的性质及旋转的性质得，，由可判定，即可得证； （3）①当时，由旋转的性质得，由，即可求解； ②当时，同理可求解；③当时，同理可求解． 【规范解答】（1）解：如图， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）证明：， ， 由旋转得：， ，， ， 在和中， ， ， ； （3）解：①如图，当时， 由旋转得：， ， ， ， ， ； ②如图，当时， 由①得：， ， ， ， ； ③如图，当时， 由①得：， ， ， ， ， 不合题意，舍去； 综上所述：旋转角的度数为或． 20．（22-23八年级下·江苏苏州·期中）综合与实践，【问题情境】：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形中，是的中点，，与正方形的外角的平分线交于点．试猜想与的数量关系，并加以证明； (1)【思考尝试】同学们发现，取的中点，连接可以解决这个问题．请在图1中补全图形，并解答老师提出的问题． (2)【实践探究】数学第一小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形中，为上一动点（点，不重合），是等腰直角三角形，，连接，可以求出大小，请你思考并解答这个问题． (3)【拓展迁移】数学第二小组深入研究第一小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形中，为边上一动点（点，不重合），是等腰直角三角形，，连接，已知的最小值为，那么在点的移动过程中，请你求出周长的最小值为_______． 【答案】(1)图见解析，，理由见解析 (2)，过程见解析 (3) 【思路点拨】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，轴对称﹣最短路线问题，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识． （1）取的中点F，连接，利用同角的余角相等说明，再根据证明，得； （2）在上取，连接，由（1）同理可得，则，再说明是等腰直角三角形即可得出答案； （3）作，交的延长线于G，与交于O，则是等腰直角三角形，可知点D与G关于对称，则的最小值为的长，利用勾股定理求出，进而得出答案． 【规范解答】（1）解：（1）， 理由如下：如图，取的中点F，连接， 、E分别为、的中点， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）； 如图，在上取，连接， 由（1）同理可得， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ； （3）作，交的延长线于G，与交于O， 由（2）知，， ∴点在射线上运动，， ∴时，最小，此时为等腰直角三角形， ∴， ∵， 是等腰直角三角形， ∴， 点D与G关于对称， 的最小值为的长， ， ， 由勾股定理得， 周长的最小值为． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年苏科版数学八年级下册章节培优复习知识讲练 第9章 中心对称图形—平行四边形 （思维导图+知识梳理+29大考点讲练+优选真题难度分层练 共78题） 目 录 讲义编写说明 2 思维导图指引 3 知识梳理精讲 4 知识点梳理01：旋转的概念和性质 4 知识点梳理02：中心对称与中心对称图形 4 知识点梳理03：平行四边形 4 知识点梳理04：矩形 5 知识点梳理05：菱形 5 知识点梳理06：正方形 5 重点知识考点讲连 6 考向一：图形的旋转 6 考点讲练01根据旋转的性质求解 6 考点讲练02 根据旋转的性质说明线段和角相等 7 考点讲练03 求绕原点旋转一定的角度的点的坐标 8 考点讲练04 坐标与旋转规律问题 9 考点讲练05 线段问题（旋转综合题） 10 考向二：中心对称与中心对称图形 12 考点讲练06 角度问题（旋转综合题） 12 考点讲练07 中心对称图形规律问题 13 考点讲练08 根据中心对称的性质求面积、长度、角度 14 考点讲练09 按图形的变换要求画出一个图形 15 考向三：平行四边形 16 考点讲练10 利用平行四边形的判定与性质求解 16 考点讲练11 利用平行四边形的判定与性质证明 17 考点讲练12 平行四边形的判定与性质的应用 18 考向四：矩形、菱形、正方形 19 考点讲练13 根据矩形的性质与判定求角度 19 考点讲练14 根据矩形的性质与判定求线段长 20 考点讲练15 根据矩形的性质与判定求面积 21 考点讲练16 根据菱形的性质与判定求角度 22 考点讲练17 根据菱形的性质与判定求线段长 23 考点讲练18 根据菱形的性质与判定求面积 25 考点讲练19 求正方形重叠部分的面积 26 考点讲练20 根据正方形的性质与判定求角度 27 考点讲练21 根据正方形的性质与判定求线段长 28 考点讲练22 根据正方形的性质与判定求面积 29 考点讲练23 根据正方形的性质与判定证明 31 考点讲练24 （特殊）平行四边形的动点问题 32 考点讲练25 四边形中的线段最值问题 33 考点讲练26 四边形其他综合问题 35 考向五 三角形的中位线 37 考点讲练27 与三角形中位线有关的求解问题 37 考点讲练28 与三角形中位线有关的证明 38 考点讲练29 与三角形中位线有关的实际应用 39 优选真题难度分层练 41 基础夯实真题练 41 培优拔尖真题练 45 同学你好，本套讲义针对学校课本内容设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，知识梳理精讲，重点难点考点讲练，精选真题难度分层练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 知识点梳理01：旋转的概念和性质 将图形绕一个定点转动一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转. 一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心距离相等，两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等. 知识点梳理02：中心对称与中心对称图形 一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这点对称，也称这两个图形成中心对称.这个点叫做对称中心． 成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分. 把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 知识点梳理03：平行四边形 1．定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 2．性质：（1）对边平行且相等； （2）对角相等；邻角互补； （3）对角线互相平分； （4）中心对称图形. 3．面积： 4．判定：边：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形； （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形； （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 角：（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形； （5）两组邻角分别互补的四边形是平行四边形． 边与角：（6）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形； 对角线：（7）对角线互相平分的四边形是平行四边形. 【易错点剖析】平行线的性质： （1）平行线间的距离都相等； （2）等底等高的平行四边形面积相等. 知识点梳理04：矩形 1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2．性质：（1）具有平行四边形的所有性质； （2）四个角都是直角； （3）对角线互相平分且相等； （4）中心对称图形，轴对称图形. 3．面积： ４．判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形. （2）对角线相等的平行四边形是矩形. （3）有三个角是直角的四边形是矩形. 知识要点：由矩形得直角三角形的性质： （1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； （2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半． 知识点梳理05：菱形 1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 2．性质：（1）具有平行四边形的一切性质； （2）四条边相等； （3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角； （4）中心对称图形，轴对称图形. 3．面积： 4．判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形； （2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形； （3）四边相等的四边形是菱形. 知识点梳理06：正方形 1. 定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 2．性质：（1）对边平行； （2）四个角都是直角； （3）四条边都相等； （4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角； （5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形； （6）中心对称图形，轴对称图形. 3．面积：边长×边长＝×对角线×对角线 4．判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形； （2）一组邻边相等的矩形是正方形； （3）对角线相等的菱形是正方形； （4）对角线互相垂直的矩形是正方形； （5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形； （6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形. 考向一：图形的旋转 考点讲练01根据旋转的性质求解 【典例精讲】（18-19八年级上·山东济南·期末）如图，点O是等边内的一点，，将绕点C顺时针旋转得到，连接、． (1)求的度数； (2)若，，求的长． 【变式训练】（22-23七年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，，，点为射线上一动点，连接，将绕点逆时针旋转，E点旋转至点F． (1)如图1，过F点作交于点，求证：； (2)如图2，连接交于D点，若，求证：是的2倍； (3)E是射线上一点，直线交直线于D点，若，则　　　． 考点讲练02 根据旋转的性质说明线段和角相等 【典例精讲】（22-23八年级上·福建泉州·期末）如图1，等腰和等腰中，，将绕点A旋转，连接，利用所学知识解决下列问题： (1)若，求证：； (2)连接，当点D在线段上时： ①如图2，若，则的度数为　　，线段与之间的数量关系是　　； ②如图3，若，为中边上的高，求出的度数以及线段之间的数量关系，并说明理由． 【变式训练】（23-24八年级上·吉林长春·期中）【探究】如图①，在中，，点A、D在直线m上，将边绕着点A顺时针旋转得到，过点C作直线m于点E．求证：． 【应用】（1）在【探究】的条件下，若，则BD与CE的和为________； （2）将一个主视图是五边形ABCDE的零件按图②放置在水平桌面m上，，分别过点A、C、E作于点F，于点G，于点H，经测得，，，，，则五边形ABCDE的面积为________．    考点讲练03 求绕原点旋转一定的角度的点的坐标 【典例精讲】（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）如图，的顶点坐标分别为，，． (1)画出关于点的中心对称图形； (2)画出绕原点逆时针旋转的，直接写出点的坐标为__________； (3)若内一点绕原点逆时针旋转的对应点为，则的坐标为__________．（用含m，n的式子表示） 【变式训练】（22-23九年级上·天津红桥·期末）在平面直角坐标系中，点，点，把绕原点逆时针旋转，得，其中，点，分别为点A，旋转后的对应点，记旋转角为． (1)如图，当时，求点的坐标； (2)当轴时，求点D的坐标（直接写出结果即可）． 考点讲练04 坐标与旋转规律问题 【典例精讲】（22-23八年级上·江苏苏州·期中）如图，在直角坐标系中，已知点、．对连续作旋转变换，依次得到、、、…，则的直角顶点的横坐标为 ．    【变式训练】（2023·四川广安·二模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，分别在轴，轴上，且．将正方形绕原点顺时针旋转，并放大为原来的倍，使，得到正方形，再将正方形绕原点顺时针旋转，并放大为原来的倍，使，得到正方形，以此规律继续进行下去，得到正方形，则点的坐标为 ．    考点讲练05 线段问题（旋转综合题） 【典例精讲】（2023九年级下·四川凉山·专题练习）在中，，，根据题意完成下列问题： (1)如图①，点为内的点，连接，，，将绕着点按逆时针方向旋转后得．连接，，若，，，求证：． (2)如图②，若点是中斜边上的点（点不与点、重合），试求、、的数量关系，并说明理由． 【变式训练】．（20-21八年级下·陕西铜川·期末）旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转解决问题．如图①，在四边形ABCD中，，，，，． 【问题提出】 (1)如图②，在图①的基础上连接BD，由于，所以可将绕点D顺时针方向旋转60°，得到，则的形状是_______； 【尝试解决】 (2)在（1）的条件下，求四边形ABCD的面积； 【类比应用】 (3) 如图③，等边的边长为2，是顶角的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的角，角的两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，求的周长． 考向二：中心对称与中心对称图形 考点讲练06 角度问题（旋转综合题） 【典例精讲】（20-21八年级下·江苏·期中）在中，，，将绕点A按顺时针方向旋转得到，旋转角为α，点B的对应点为点D，点C的对应点为点E．    (1)如图,当时，连接、，并延长交于点F，则 ; (2)当时，请画出图形并求出的长； (3)在旋转过程中，过点D作垂直于直线，垂足为点G，连接．当，且线段与线段无公共点时，请猜想四边形的形状并说明理由． 【变式训练】（21-22八年级上·山东济宁·阶段练习）如图，已知点P是等边三角形ABC内一点，且，， (1)在图中画出将绕点B逆时针旋转后得到的． (2)求的度数． 考点讲练07 中心对称图形规律问题 【典例精讲】（23-24八年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，是边长为2的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，如此作下去，则（n是正整数）的顶点的坐标是（ ， ） 【变式训练】（2020·贵州黔东南·中考真题）以▱ABCD对角线的交点O为原点，平行于BC边的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若A点坐标为（﹣2，1），则C点坐标为 ． 考点讲练08 根据中心对称的性质求面积、长度、角度 【典例精讲】（23-24八年级下·山东枣庄·期中）【问题探究】 （1）如何用一条直线将一个中心对称图形分成面积相等的两部分？我们知道圆和长方形都是中心对称图形，由图①可总结规律：一个中心对称图形，______的直线将它分成面积相等的两部分． （2）图②是一个由正方形和圆构成的“组合图形”，用一条直线将图②的阴影部分分成面积相等的两部分．（不写画图过程，保留画图痕迹） 【总结规律】 （3）由两个中心对称图形组合成的图形，______的直线将它分成面积相等的两部分． 【拓展应用】 （4）如图③是一块农田的平面图，要分给两户村民种植（分成面积相等的两部分），请你帮助他们用一条直线分开．（不写画图过程，保留画图痕迹） 【变式训练】（21-22八年级下·河南焦作·期中）平面直角坐标系中，的位置如图所示（三角形的三个顶点均在格点上）．      (1)请在图中画出将绕点O逆时针旋转得到（点A，B，C的对应点分别为）； (2)请在图中画出关于原点O成中心对称的图形（点A，B，C的对应点分别为）； (3)若，则的度数为 　 　，的长为 　 　． 考点讲练09 按图形的变换要求画出一个图形 【典例精讲】（21-22八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，平面直角坐标系中， 三个顶点的坐标分别为． (1)平移到，其中点A的对应点的坐标为，请在图中画出； (2)以点O为旋转中心，将按顺时针方向旋转得，请在图中画出； (3)与关于某点成中心对称，请直接写出该点的坐标为____________． 【变式训练】（16-17八年级下·江苏无锡·期中）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）． （1）若△ABC和△A1B1C1关于原点O成中心对称图形，画出△A1B1C1； （2）将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB2C2； （3）在x轴上存在一点P，满足点P到点B1与点C1距离之和最小，请直接写出P B1+P C1的最小值为　 　． 考向三：平行四边形 考点讲练10 利用平行四边形的判定与性质求解 【典例精讲】（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在平行四边形中，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上以每秒的速度从点出发，在之间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止运动，同时点也停止运动．设运动时间为，其中，开始运动以后，当 时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形． 【变式训练】（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，． (1)若动点P从原点O出发，以每秒3个单位长度沿着x轴正方向运动，动点Q从点B 出发，以每秒1个单位长度向点C运动，当点Q到达点C处时，两点都停止运动．设运动时间为t（秒）．若以A、B、P、Q四个点为顶点的四边形是平行四边形，求此时t的值； (2)点M在x轴上，平面内是否存在点N，当以A、C、M、N为顶点的四边形是菱形时，请直接写出所有满足条件的点N的坐标． 考点讲练11 利用平行四边形的判定与性质证明 【典例精讲】（23-24八年级上·吉林·期末）如图，在中，，于点，延长到点，使．过点作交的延长线于点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 【变式训练】（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知：如图，四边形是平行四边形，点E，A，C，F在同一直线上，，连接、． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 考点讲练12 平行四边形的判定与性质的应用 【典例精讲】（22-23八年级下·四川成都·期末）如图，在中，点E，F在对角线上，且连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若求的度数． 【变式训练】（2022·浙江金华·一模）如图1是某一遮阳蓬支架从闭合到完全展开的一个过程，当遮阳蓬支架完全闭合时，支架的若干支杆可看作共线．图2是遮阳蓬支架完全展开时的一个示意图，支杆固定在垂直于地面的墙壁上，支杆与水平地面平行，且G，F，B三点共线，在支架展开过程中四边形始终是平行四边形． (1)若遮阳蓬完全展开时，长2米，在与水平地面呈的太阳光照射下，在地面的影子有______米（影子完全落在地面） (2)长支杆与短支杆的长度比（即与的长度比）是______． 考向四：矩形、菱形、正方形 考点讲练13 根据矩形的性质与判定求角度 【典例精讲】（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在中，，P是内一点，点D，E，F分别是点P关于直线的对称点，给出下面三个结论：①；②；③．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 【变式训练】（23-24八年级下·江苏南通·期末）如图，，为上一点．小明利用直尺和圆规完成了以下作图：连接，分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于，两点，作直线，交于点，连接并延长交于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，在上取一点，使，连接．若，求的度数． 考点讲练14 根据矩形的性质与判定求线段长 【典例精讲】（21-22八年级下·江苏连云港·期中）在矩形中，，，E、F是对角线上的两个动点，分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中． (1)若G，H分别是，中点，则四边形一定是怎样的四边形（E、F相遇时除外）？______（不用说明理由） (2)在（1）条件下，若四边形为矩形，求t的值； (3)在（1）条件下，若G向D点运动，H向B点运动，且与点E，F以相同的速度同时出发，若四边形为菱形，求t的值． 【变式训练】（18-19九年级上·全国·期末）如图，直角三角形中，，，，点D是上的一个动点，过点D作于E点，于F点，连接，则线段长的最小值为 ． 考点讲练15 根据矩形的性质与判定求面积 【典例精讲】（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）【探究与应用】 我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现有很多结论．如图，在平行四边形中，，将沿直线翻折至，连接，与相交于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)求证：； (3)如图，与相交于点，若，，，求的面积； (4)如果，，当是直角三角形时，请直接写出的长． 【变式训练】（23-24八年级下·河北衡水·期中）如图，已知平行四边形，，交于点O，延长至点H，使，连接，过点H作，过点B作． (1)求证：； (2)当平行四边形是______形时，四边形是矩形； (3)在（2）的条件下，若，，求四边形的面积． 考点讲练16 根据菱形的性质与判定求角度 【典例精讲】（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，矩形中，的垂直平分线分别交、于E、F，垂足为O，连接、． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若cm，cm，动点P从D出发沿折线运动至B停止，同时点Q从E出发沿折线运动至E停止，设P、Q的运动路程分别为a、b（单位：，），当以E、F、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求a与b满足的数量关系式． 【变式训练】（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）在中，的平分线交线段于点，交线段的延长线于点，以、为邻边作，若，则 ．    考点讲练17 根据菱形的性质与判定求线段长 【典例精讲】（2022九年级上·吉林长春·学业考试）如图，点E、点F分别是矩形边、上一点，沿对折，点B的对应点恰好落在点D上．若，，则长是（   ） A．6 B．8 C． D． 【变式训练】（23-24八年级下·江苏镇江·阶段练习）已知，矩形中，，，的垂直平分线分别交、于点E、F，垂足为O．    (1)如图1，连接、．求的长； (2)如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿和各边匀速运动一周．即点P自停止，点Q自停止．在运动过程中， ①已知点P的速度为每秒，点Q的速度为每秒，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值． ②若点P、Q的运动路程分别为a、b（单位：，），已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求a与b满足的数量关系式． 考点讲练18 根据菱形的性质与判定求面积 【典例精讲】（23-24八年级下·河南周口·期中）【操作发现】如图①，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，使重合的部分构成一个四边形．转动其中一张纸条，发现四边形总是平行四边形．其判定的依据是____________________． 【探究提升】取两张短边长度相等的平行四边形纸条和（，），其中，，将它们按图②放置，落在边上，，与边分别交于点M，N．求证：是菱形． 【结论应用】保持图②中的平行四边形纸条不动，将平行四边形纸条沿或平移，且始终在边上，当时，延长，交于点P，得到图③．若四边形的周长为40，且与之间的距离为8，则四边形的面积为____________．    【变式训练】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图在直角△ABC中，，点D是中点，连接，点E为的中点，过点A作交线段的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出与面积相等的三角形（不包含）． 考点讲练19 求正方形重叠部分的面积 【典例精讲】（2020·浙江·中考真题）用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖的面积为a，小正方形地砖的面积为b，依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形ABCD．则正方形ABCD的面积为 （用含a，b的代数式表示）． 【变式训练】（15-16九年级上·山东青岛·阶段练习）将n个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A1，A2，…，An分别是正方形对角线的交点，则n个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为（　　） A．cm2 B．cm2 C． cm2 D．（）ncm2 考点讲练20 根据正方形的性质与判定求角度 【典例精讲】（22-23八年级下·江苏无锡·阶段练习）阅读下列材料： 我们定义：若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，则称这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形． 如正方形就是和谐四边形． 结合阅读材料，完成下列问题： (1)下列哪个四边形一定是和谐四边形（       ） A．平行四边形；B．矩形；C．菱形；D．等腰梯形 (2)如图：等腰中，．若点C为平面上一点，为凸四边形的和谐线，且， 求出的度数．    【变式训练】（21-22九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知：是的角平分线，点在边上，，过点作，交于点，连接． (1)如图1，求证：四边形是菱形； (2)如图2，当时，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中度数为的度数2倍的角． 考点讲练21 根据正方形的性质与判定求线段长 【典例精讲】（2024·甘肃平凉·二模）【问题探究】 如图，在中，点O是上的任意一点（不与点A、C重合），过点O平行于的直线l分别与，的外角的平分线交于点E、F，连接，． （1）求证：； （2）如图2，点O是的中点，判断与的数量关系，与的位置关系，并说明理由； 【问题拓展】 （3） 在（2）的条件下，若，，，求四边形的周长． 【变式训练】（23-24八年级下·山东滨州·期中）如图，已知四边形是平行四边形，点和点，连结并延长交y轴于点D． (1)求直线的函数解析式； (2)若点P从点C出发以2个单位/秒沿x轴向左运动，同时点Q从点O出发以1个单位/秒沿x轴向右运动，过点P，Q分别作x轴垂线交直线和直线分别于点E，F，猜想四边形的形状（点P，Q重合除外），并证明你的结论； (3)在（2）的条件下，当点P运动多少秒时，四边形是正方形? （直接写出结果） 考点讲练22 根据正方形的性质与判定求面积 【典例精讲】（22-23八年级下·江苏泰州·期末）如图，已知平行四边形中，对角线交点O，E是延长线上的点，且是等边三角形． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求四边形的面积． 【变式训练】（22-23八年级下·河南郑州·期末）小慧同学在参加学校剪纸社团的时候，剩下了一些四边形的纸片，爱思考的她想计算一下这张纸片的面积，通过测量她发现，，，，，．她发现如果将纸片沿着裁剪，拼到的左侧正好可以拼成一个等腰直角三角形（），通过证明和计算，她得到了这张纸片的面积．    同桌小智经过思考，过点A作的垂线，然后沿着裁剪，将拼接到的左侧，这样就拼出了两个等腰直角三角形（和），通过证明和计算，他也得到了这张纸片的面积．    你知道他们都是如何解决这个问题的吗？请你从两名同学的作法中任选一个，给出证明，并求出四边形的面积． 考点讲练23 根据正方形的性质与判定证明 【典例精讲】（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，在中，，过点C的直线，为边上一点，过点作，交直线于，垂足为，连接． (1)求证：； (2)当D在中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； (3)若D为中点，则当的大小满足什么条件时，四边形是正方形？说明你的理由． 【变式训练】（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）在中，，以斜边为边向上作正方形，若正方形的对角线交于点（如图（1））． (1)求证：平分． (2)试猜想线段与，之间的数量关系，并证明你的结论． (3)如图（2），过点作交延长线于，过点作，分别交延长线和延长线于，．求证：四边形为正方形． 考点讲练24 （特殊）平行四边形的动点问题 【典例精讲】（23-24八年级下·江苏无锡·期中）在四边形中，，，，，，P，Q同时沿着四边形的边逆时针运动，点P从点D出发，以的速度运动，点Q从点B出发，以的速度运动，设运动时间为t秒． (1)______； (2)若点Q运动到点C时就停止，点P也随之停止运动，用含t的代数式表示四边形的面积； (3)若其中一个动点回到其出发点时，另一个动点也随之停止运动，则当_____时，以点P、Q与点A、B、C、D中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形． 【变式训练】（20-21八年级下·河北石家庄·期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形为矩形，，．点E是的中点，动点M在线段上以每秒2个单位长度的速度由点A向点B运动（到点B时停止）．设动点M的运动时间为t秒． (1)当t为何值时，四边形是平行四边形？ (2)若四边形是平行四边形，请判断四边形的形状，并说明理由； (3)在线段上是否存在一点N，使得以O，E，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 考点讲练25 四边形中的线段最值问题 【典例精讲】（22-23八年级下·江苏无锡·期中）已知：如图，在矩形中，．在上取一点E，，点F是边上的一个动点，以为一边作菱形，使点N落在边上，点M落在矩形内或其边上．若的面积为S．    (1)当四边形是正方形时，求x的值； (2)当四边形是菱形时，求S与x的函数关系式； (3)当_____________时，的面积S最大；当_____________时，的面积S最小； (4)在的面积S由最大变为最小的过程中，请直接写出点M运动的路线长：_____________． 【变式训练】（23-24八年级下·山东济南·期中）如图，一次函数的图象分别与x轴和y轴相交于A、C两点，且与正比例函数的图象交于点． (1)求m，n的值； (2)当时，直接写出自变量x的取值范围； (3)在y轴上找一点P，使的值最小，求点P的坐标． 考点讲练26 四边形其他综合问题 【典例精讲】（22-23八年级下·江苏苏州·阶段练习）阅读理解：我们定义：①把四边形的任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形．例如，平行四边形，梯形等都是凸四边形．②有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”． （1） 如图 1 ，已知四边形是“等对角四边形”， ，，． 求的度数 ． 问题解决： （2） 如图 2 ，在中，，为斜边边上的中线， 过点作交于点，证明： 四边形是“等对角四边形” ． 拓展应用： （3） 如图 3 ，已知在“等对角四边形” 中，，，，，求对角线的长 ． 【变式训练】（23-24八年级下·江苏南通·期中）四边形为正方形，为对角线上一点，连接，过点作，交射线于点，以，为邻边作矩形，连接． (1)如图，当点在线段上时， ①求证：矩形是正方形； ②若，，求正方形的边长． (2) 当线段与正方形的某条边的夹角是时，请直接写出的度数． 考向五 三角形的中位线 考点讲练27 与三角形中位线有关的求解问题 【典例精讲】（21-22八年级下·山东聊城·期末）如图，中，，，，，，则的值为（   ） A．6 B． C．7 D．8 【变式训练】（2024八年级下·江苏无锡·竞赛）19世纪，匈牙利数学家鲍耶证明了下述定理：任意给定两个面积相等的多边形，它们互相之间都可以通过剪拼得到．追述历史，我们发现他证明这个定理时就是运用化归的方法，从简单的问题作为起点、作为阶梯从而获得了成功．三角形和四边形是最简单的多边形，如图1，任意三角形沿着中位线剪一刀，可以拼成一个与原面积相等的平行四边形，仿照图示的方法，解答下列问题： (1)如图2，对任意三角形，能否最多剪两刀，将它剪拼成一个与原三角形面积相等的矩形，画出分割线与拼图； (2)如图3，对任意四边形，能否最多剪两刀，将它剪拼成一个与原四边形面积相等的平行四边形，画出分割线与拼图． 考点讲练28 与三角形中位线有关的证明 【典例精讲】（23-24八年级下·江苏扬州·期中）如图，已知的中线、相交于点，、分别为、的中点． (1)求证：和互相平分； (2)若，，，求的面积． 【变式训练】（23-24八年级下·江苏泰州·期末）如图，、分别是不等边三角形（即的边、的中点．是平面上的一动点，连接、，、分别是、的中点，顺次连接点、、、．                               (1)如图，当点在内时，求证：四边形是平行四边形； (2)若四边形是菱形，点所在位置应满足什么条件？并说明理由． 考点讲练29 与三角形中位线有关的实际应用 【典例精讲】（2024·广西南宁·一模）应用与探究 【情境呈现】 在一次数学兴趣小组活动中，小明同学将一大一小两个三角板按照如图1所示的方式摆放，其中，，．他把三角板固定好后，将三角板从图1所示的位置开始绕点按顺时针方向旋转，每秒转动，设转动时间为秒．    【问题应用】（1）请直接写出图1中线段的值； （2）如图2，在三角板旋转的过程中，连接，当四边形是矩形时，求值； 【问题探究】（3）如图3，在三角板旋转的过程中，取的中点，连接，是否存在最大值？若存在，请求出的最大值，并直接写出此时的值：若不存在，请说明理由． 【变式训练】（22-23八年级下·河南三门峡·期末）（1）回归课本 请用文字语言表述三角形的中位线定理：________________． （2）回顾证法 证明三角形中位线定理的方法很多，但多数都要通过添加辅助线构图完成．下面是其中一种辅助线的添加方法．请结合图2，补全求证及证明过程． 已知：在中，点分别是的中点． 求证：________________． 证明：过点作，与的延长线交于点． （3）实践应用 如图3，点和点被池塘隔开，在外选一点，连接，分别取的中点，测得的长度为9米，则两点间的距离为________________．    基础夯实真题练 1．（15-16九年级上·四川德阳·阶段练习）如图，在Rt中，，，将绕点C顺时针旋转至使得点恰好落在上，则旋转角度为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·广东揭阳·期中）如图，菱形的对角线，相交于点，过点A作于点，若，，则的长为（　　） A．14 B． C．15 D． 3．（23-24八年级下·江苏镇江·期中）下列命题中是假命题的是（   ） A．对角线互相垂直平分的平行四边形是正方形 B．一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形 C．两组对角分别相等的四边形是平行四边形 D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形 4．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，将边长为3的正方形纸片沿折叠，点C落在边上的点G处，点D与点H重合，与交于点P，取的中点Q，连接，则的周长最小值是 ．    5．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，是正方形的一条对角线，是上一点，是延长线上一点，连接，，．若，，则的长为 ． 6．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在长方形ABCD中，，一发光电子开始置于AB边上的点P处，并设定此时为发光电子第一次与长方形的边碰撞，将发光电子沿着PR方向发射，碰撞到长方形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于45°，当发光电子与长方形的边碰撞2025次后，它与AB边的碰撞次数是 ． 7．（22-23八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，直线l于点A，，点B是直线l上一动点，以为边向上作等边，连接，则的最小值为 ． 8．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)将绕点逆时针旋转，画出旋转后的； (2)画出与关于原点O成中心对称的； 9．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，已知，点A是射线上一点，，动点P从点A出发，以的速度沿水平向左运动，与此同时，动点Q从点O出发，也以的速度沿竖直向上运动，连接，以为斜边向上作等腰直角三角形，设运动时间为，其中． (1)当与全等时，求t的值； (2)四边形的面积为　　． 10．（23-24八年级下·江苏镇江·期中）矩形纸片中，，，点在边上，点在边上，将纸片沿折叠，使顶点落在平面内点处． (1)若折痕的端点与点重合，如图1． ①当时，则 ； ②当点恰好在线段上，求的长； (2)若点恰好落在边上，如图2，当时，求的长； (3)如图3，若，是以为腰的等腰三角形，则的长为 ． 培优拔尖真题练 11．（22-23八年级下·四川成都·期中）如图，将绕点A逆时针旋转一定角度，得到．若，且的度数为（   ） A． B． C． D． 12．（9-10八年级下·山西·期末）如图，已知矩形沿着直线折叠，使点落在处，交于，，，则的长为（  ） A． B． C． D． 13．（18-19八年级下·福建莆田·期中）如图，在菱形中，，的垂直平分线交对角线于点，为垂足，连接，则等于（    ） A． B． C． D． 14．（2024八年级下·江苏无锡·竞赛）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形的对角线交于点，顶点A在x轴正半轴运动，顶点D在y轴正半轴运动，顶点B、C都在第一象限，则x的取值范围为 ．    15．（2020·河南南阳·一模）如图，在矩形中，，点E为的中点，点F为射线上一点，连接，若将沿直线折叠后，点A恰好落到上的点G处，则a的值为 ． 16．（22-23八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，O为坐标原点，，．D为中点，E为边上一点，以为边作正方形与交于点M，连接．若B，F，D三点共线，则的长为 ． 17．（22-23八年级下·江苏苏州·期中）如图所示，是线段上的两点，，，，点是线段上的一动点，分别以为边在的同一侧作两个等边三角形，连接并取中点为，连结，在点从点出发运动到点的过程中，线段扫过的区域面积为 ． 18．（22-23八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图1，在中，，，的顶点与点A重合，两边分别与，重合． (1)求的度数； (2)如图2，将绕点A按逆时针方向旋转，两边分别与平行四边形的两边，相交于点E，F． ①试探究，的数量关系，并证明你的结论； ②连结，在旋转过程中，的周长是否发生改变？如果没有变化，请说明理由；如果有变化，请求出周长的最小值． 19．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）问题情境：活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动，如图1，已知中，，将从图1的位置开始绕点逆时针旋转，得到（点，分别是点，的对应点），旋转角为，设线段与相交于点，线段分别交，于点， 特例分析：（1）如图2，当旋转到时，旋转角的度数为 ； 探究规律：（2）如图3，在绕点逆时针旋转过程中，“求真”小组的同学发现线段始终等于线段，请你证明这一结论． 拓展延伸：（3）当是等腰三角形时，求旋转角的度数． 20．（22-23八年级下·江苏苏州·期中）综合与实践，【问题情境】：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形中，是的中点，，与正方形的外角的平分线交于点．试猜想与的数量关系，并加以证明； (1)【思考尝试】同学们发现，取的中点，连接可以解决这个问题．请在图1中补全图形，并解答老师提出的问题． (2)【实践探究】数学第一小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形中，为上一动点（点，不重合），是等腰直角三角形，，连接，可以求出大小，请你思考并解答这个问题． (3)【拓展迁移】数学第二小组深入研究第一小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形中，为边上一动点（点，不重合），是等腰直角三角形，，连接，已知的最小值为，那么在点的移动过程中，请你求出周长的最小值为_______． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$