第8章 认识概率（思维导图+知识梳理+7大考点讲练+优选真题难度分层练 共58题）-2024-2025学年苏科版数学八年级下册章节培优复习知识讲练

2024-2025学年苏科版数学八年级下册章节培优复习知识讲练 第8章 认识概率 （思维导图+知识梳理+7大考点讲练+优选真题难度分层练 共58题） 目 录 讲义编写说明 2 思维导图指引 2 知识梳理精讲 2 知识点梳理01：确定事件与随机事件 2 知识点梳理02：频率与概率 3 重点知识考点讲练 3 考向一：确定事件与随机事件 3 考点讲练01：事件的分类 3 考向二：可能性的大小 4 考点讲练02：判断事件发生的可能性的大小 4 考点讲练03：改变条件使事件发生的可能性相同 5 考向三：频率与概率 6 考点讲练04：关于频率与概率关系说法的正误 6 考点讲练05：求某事件的频率 7 考点讲练06：由频率估计概率 9 考点讲练07：用频率估计概率的综合应用 11 优选真题难度分层练 13 基础夯实真题练 13 培优拔尖真题练 17 同学你好，本套讲义针对学校课本内容设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，知识梳理精讲，重点难点考点讲练，精选真题难度分层练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 知识点梳理01：确定事件与随机事件 1.不可能事件 在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这样的事情是不可能事件． 2.必然事件 在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定会发生，这样的事情是必然事件．必然事件和不可能事件都是确定事件. 3.随机事件 在一定条件下，很多事情我们事先无法确定它会不会发生，这样的事情是随机事件. 【易错点剖析】 （1）一般地，要知道事件发生的可能性大小首先要确定事件是什么类型. （2）必然发生的事件发生的可能性最大，不可能发生的事件发生的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的大小可能不同. 知识点梳理02：频率与概率 1.概率 随机事件发生的可能性有大有小.一个事件发生的可能性大小的数值，称为这个事件的概率(probability).如果用字母A表示一个事件，那么P(A)表示事件A发生的概率. 事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，即，其中P(必然事件)=1，P(不可能事件)=0，0＜P(随机事件) ＜1. 所以有：P(不可能事件)＜P(随机事件)＜P(必然事件). 一个随机事件发生的概率是由这个随机事件自身决定的，并且是客观存在的.概率是随机事件自身的属性，它反映这个随机事件发生的可能性大小. 2.频率 通常，在多次重复实验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且随着试验次数增多，摆动的幅度会减小，这个性质称为频率的稳定性. 一般地，在一定条件下大量重复进行同一试验时，随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动.在实际生活中，人们常把试验次数很大时，事件发生的频率作为其概率的估计值. 【易错点剖析】 ①概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值； ②频率和概率在试验中可以非常接近，但不一定相等； ③概率是事件在大量重复实验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复实验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的. 考向一：确定事件与随机事件 考点讲练01：事件的分类 【典例精讲1】（24-25九年级上·江苏南通·期末）事件A：我市某射击运动员射击三次，刚好都射中靶心，事件B：连续掷四次一角硬币，每次都是正面朝上则（    ） A．事件A和事件B都是必然事件 B．事件A是随机事件，事件B是不可能事件 C．事件A是必然事件，事件B是随机事件 D．事件A和事件B都是随机事件 【变式训练1】（24-25九年级上·全国·课后作业）将下列事件对应的序号，正确填入题后横线上． ①守株待兔；②水中捞月；③连续抛掷同一枚硬币2次都是正面朝上；④任意画一个三角形，其内角和为；⑤若，则；⑥从1，3，5中任选一个数，这个数是奇数． (1)其中是必然事件的有______； (2)其中是随机事件的有______； (3)其中是确定事件的有______． 【变式训练2】（23-24九年级上·全国·单元测试）某小组有名男生，名女生，从这名学生中随机派名学生去做社会调查，分别求下列条件中的值或取值范围． (1)“派去的名学生中至少有名女生”是必然事件； (2)“派去的名学生中至少有名男生”是必然事件． 【变式训练3】（23-24七年级下·陕西西安·期末）有两个事件，事件：人中至少有人性别相同；事件：抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面点数为的倍数．下列说法正确的是（    ） A．事件都是随机事件 B．事件都是必然事件 C．事件是随机事件，事件是必然事件 D．事件是必然事件，事件是随机事件 考向二：可能性的大小 考点讲练02：判断事件发生的可能性的大小 【典例精讲2】（2024九年级上·全国·专题练习）一个正方体的六个面分别涂上红、黄、绿三种颜色，任意挪一次，黄色朝上的次数最多，红色和绿色朝上的次数一样多，可能有 个面涂了黄色． 【变式训练1】（2024·湖北武汉·模拟预测）小武在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．有以下两种说法：①摸出的小球标号都小于4是必然事件；②摸一次球，摸出标号分别为1，2，3，4的小球虽然是随机的，但可能性不一样．则（　　） A．只有说法①正确 B．只有说法①错误 C．说法①②都正确 D．说法①②都错误 【变式训练2】（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）在一种扑克牌游戏中，玩家可以利用“牌值”来预估还没有发出的牌的点数大小，“牌值”的计算方式为：没有发牌时，“牌值”为0；发出的牌点数为2至9时，表示发出点数小的牌，则“牌值”加1；发出的牌点数为10、J、Q、K、A、大王、小王时，表示发出点数大的牌，则“牌值”减1．若一副完整的扑克牌已发出34张，且此时的“牌值”为10，则随机发出的下一张牌的可能性判断正确的是（   ） A．点数小的牌可能性大 B．点数大的牌可能性大 C．两者可能性一样大 D．无法判断 【变式训练3】（22-23八年级下·江苏南京·期中）八年级（1）班有40位同学，他们的学号是，随机抽取一名学生参加座谈会，下列事件：①抽到的学号为奇数；②抽到的学号是个位数；③抽到的学号不小于35．其中，发生可能性最小的事件为 （填序号）． 考点讲练03：改变条件使事件发生的可能性相同 【典例精讲3】（17-18八年级下·江苏盐城·期中）一只不透明的袋子中装有1个白球，2个黄球和3个红球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀，从中任意摸出1个球， (1)会出现哪些可能的结果？ (2)事先能确定摸出的一定是红球吗？ (3)你认为摸到哪种颜色的球的概率最大？ (4)怎样改变袋子中白球、黄球、红球的个数，使摸到这些颜色的球的概率相等？ 【变式训练1】（21-22九年级上·江苏镇江·期末）一只不透明的袋子中装有2个白球和3个红球，现在向袋中再放入n个白球，袋中的这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，若要使摸到白球比摸到红球的可能性大，则n的最小值等于 ． 【变式训练2】（20-21八年级下·江苏常州·期中）一只不透明的袋子中有个红球、个绿球和个白球，这些球除颜色外都相同，将球搅匀，从中任意摸出个球． （1）会出现哪些可能的结果？ （2）能够事先确定摸到的一定是红球吗？ （3）你认为摸到哪种颜色的球的可能性最大？哪种颜色的球的可能性最小？ （4）怎样改变袋子中红球、绿球、白球的个数，使摸到这三种颜色的球的概率相同？ 【变式训练3】（22-23九年级上·广东·单元测试）盒中装有红球、黄球共100个，每个球除颜色以外都相同，每次从盒中摸一个球，摸三次，请你设计下面几种情况的摸球方案． (1)摸到红球是不可能的； (2)摸到红球是必然的； (3)摸到红球情况有三种：很可能，可能，不太可能． 考向三：频率与概率 考点讲练04：关于频率与概率关系说法的正误 【典例精讲4】（22-23九年级上·广东潮州·期末）下列说法正确的是（    ）． A．不可能事件发生的概率为1 B．随机事件发生的概率为 C．概率很小的事件不可能发生 D．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 【变式训练1】（18-19九年级上·全国·单元测试）小颖和小红两位同学在学习“概率”时，做掷骰子（质地均匀的正方体）实验． （1）他们在一次实验中共做了次试验，试验的结果如下： 朝上的点数 出现的次数 ①填空：此次实验中“点朝上”的频率为________； ②小红说：“根据实验，出现点朝上的概率最小．”她的说法正确吗？为什么？ （2）小颖和小红在实验中如果各掷一枚骰子，那么两枚骰子朝上的点数之和为多少时的概率最大？试用列表或画树状图的方法加以说明，并求出其最大概率． 【变式训练2】（2018·北京平谷·一模）农科院新培育出A、B两种新麦种，为了了解它们的发芽情况，在推广前做了五次发芽实验，每次随机各自取相同种子数，在相同的培育环境中分别实验，实验情况记录如下： 种子数量 100 200 500 1000 2000 A 出芽种子数 96 165 491 984 1965 发芽率 0.96 0.83 0.98 0.98 0.98 B 出芽种子数 96 192 486 977 1946 发芽率 0.96 0.96 0.97 0.98 0.97 下面有三个推断： ①当实验种子数量为100时，两种种子的发芽率均为0.96，所以他们发芽的概率一样； ②随着实验种子数量的增加，A种子出芽率在0.98附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计A种子出芽的概率是0.98； ③在同样的地质环境下播种，A种子的出芽率可能会高于B种子．其中合理的是 （只填序号）． 【变式训练3】（21-22八年级下·江苏无锡·期中）下列说法中不正确的是（     ） A．抛掷一枚硬币，硬币落地时正面朝上是随机事件 B．把4个球放入三个抽屉中，其中一个抽屉中至少有2个球是必然事件 C．任意打开七年级下册数学教科书，正好是97页是确定事件 D．在相同条件下，只要试验的次数足够多，频率就可以作为概率的估计值 考点讲练05：求某事件的频率 【典例精讲5】（23-24八年级下·江苏盐城·期中）在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共个，这些球除颜色外都相同，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到黑球的次数 摸到黑球的频率 (1)表中 ； (2)请估计：当很大时，摸到黑球的频率将会接近 （精确到）； (3)估计袋子中有白球 个； (4)若学习小组通过试验结果，想使得这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为，则可在袋子中增加相同的白球 个． 【变式训练1】（23-24八年级上·四川宜宾·期末）八年级2班有50名学生参加学校篮球社团、羽毛球社团和扎染社团，其中参加篮球社团与参加羽毛球社团的频数之和为35，则八年级2班学生参加扎染社团的频率是 ． 【变式训练2】（21-22九年级上·陕西榆林·阶段练习）一个不透明的布袋中装有除颜色外均相同的7个黑球、5个白球和若干个红球．每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，不断重复这一过程，共摸了200次球，发现有80次摸到红球，估计袋中红球的个数． 【变式训练3】（21-22八年级下·江苏扬州·期末）在一个不透明的袋子里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共50个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 1000 2000 3000 5000 8000 10000 摸到黑球的次数m 650 1180 1890 3100 4820 6013 摸到黑球的频率 0.65 0.59 0.63 0.62 0.6025 0.6013 (1)请估计：当n很大时，摸到黑球的频率将会接近　 　（精确到0.1）； (2)试估计袋子中有黑球　 　个； (3)若学习小组通过试验结果，想使得在这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为50%，则可以在袋子中增加相同的白球　 　个或减少黑球　 　个． 考点讲练06：由频率估计概率 【典例精讲6】（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）沈阳市林业局积极响应习总书记“绿水青山就是金山银山”的号召，特地考察一种花卉移植的成活率，对本市这种花卉移植成活的情况进行了调查统计，并绘制了如图所示的统计图． 请你根据统计图提供的信息，回答下列问题： (1)这种花卉成活的频率稳定在______附近，估计成活概率为______（精确到0.1）． (2)该林业局已经移植这种花卉20000棵． ①估计这批花卉成活的棵数； ②根据市政规划共需要成活270000棵这种花卉，估计还需要移植多少棵？ 【变式训练1】（22-23九年级上·湖南湘西·期末）某水果公司以2元/kg的成本价新进柑橘．如果公司希望这些柑橘能够获得利润5000元，那么在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，每千克定价大约 元（精确到角）比较合适．为解决此问题，销售人员首先从所有柑橘中随机抽取若干柑橘，进行“柑橘损坏率”统计，结果如下： 柑橘总质量n/kg 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 损坏柑橘质量m/kg 5.50 10.50 15.15 19.42 24.25 30.93 35.32 39.24 44.57 51.54 频率（三位小数） 0.110 0.105 【变式训练2】（23-24七年级下·山东烟台·期中）某批彩色弹力球的质量检验结果如下表： 抽取的彩色弹力球数 500 1000 1500 2000 2500 优等品频数 471 946 1426 1898 2370 优等品频率 0.942 0.946 0.951 0.949 0.948 (1)这批彩色弹力球“优等品”概率的估计值大约是_____________；（精确到0.01） (2)从这批彩色弹力球中选择5个黄球、13个黑球、22个红球，它们除了颜色外都相同，将它们放入一个不透明的袋子中，求从袋子中摸出一个球是黄球的概率； (3)现从第（2）问所说的袋子中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球搅拌均匀，使从袋子中摸出一个黄球的概率为，求取出了多少个黑球？ 【变式训练3】（23-24九年级上·山西长治·期末）某大型连锁超市以17元/斤的价格购进草莓1万斤，在运输、储存过程中部分草莓损坏，超市管理员从所有的草莓中随机抽取了若干进行“草莓损坏率”统计，并把获得的数据记录如表： 草莓总质量n/斤 20 50 100 200 500 损坏草莓质量m/斤 3.12 7.7 15.2 29.8 75 草莓损坏的频率 0.156 0.154 0.152 0.149 0.150 超市管理员希望卖出草莓（损坏的草莓不能出售）可以获得利润42500元，那么就需要利用草莓损坏的概率（精确到0.01）估算草莓的售价．根据表中数据可以估计，草莓每斤的售价应该定为（   ） A．25元 B．22元 C．21.25元 D．21.5元 考点讲练07：用频率估计概率的综合应用 【典例精讲7】（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）某课外学习小组做摸球试验：一只不透明的袋子中装有若干个红球和白球，这些球除颜色外都相同．将这个袋中的球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得如下数据： 摸球个数 200 300 400 500 1000 1600 2000 摸到白球的个数 116 192 232 _______ 590 968 1202 摸到白球的频率 0.580 0.640 0.580 0.596 0.590 0.605 _______ (1)填写表中的空格； (2)当摸球次数很大时，摸到白球的概率的估计值是____（精确到0.01）； (3)若袋中有红球2个，请估计袋中白球的个数． 【变式训练1】（22-23八年级下·江苏连云港·期中）下面是某校生物兴趣小组在相同的实验条件下，对某植物种子发芽率进行研究时所得到的数据： 试验的种子数n 500 1000 1500 2000 3000 4000 发芽的粒数m 471 946 1898 2853 3812 发芽频率 0.942 0.946 0.950 0.949 0.953 (1)上表中的______，______； (2)任取一粒这种植物种子，它能发芽的概率的估计值是______（精确到0.01）； (3)若该校劳动基地需要这种植物幼苗9500棵，试估算需要准备多少粒种子进行发芽培育． 【变式训练2】（20-21八年级下·江苏扬州·期末）在一个不透明的袋子里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共50个，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 摸到黑球的次数m 65 118 189 310 482 602 摸到黑球的频率 0.65 0.59 0.63 0.62 0.603 0.602 （1）请估计：当n很大时，摸到黑球的频率将会接近 （精确到0.1）； （2）试估计袋子中有黑球 个； （3）若学习小组通过实验结果，想使得在这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为  50%，则可以在袋子中增加相同的白球 个或减少黑球 个 【变式训练3】（20-21八年级·全国·假期作业）某班“红领巾义卖”活动中设立了一个可以自由转动的转盘．规定：顾客购物20元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是此次活动中的一组统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 300 400 500 1000 落在“书画作品”区域的次数m 60 122 180 298 a 604 落在“书画作品”区域的频率 0.6 0.61 0.6 b 0.59 0.604 （1）完成上述表格：______；______； （2）请估计当n很大时，频率将会接近______，假如你去转动该转盘一次，你获得“书画作品”的概率约是______；（结果全部精确到0.1） （3）如果要使获得“手工作品”的可能性大于获得“书画作品”的可能性，则表示“手工作品”区域的扇形的圆心角至少还要增加多少度？ 基础夯实真题练 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，电路图上有A，B，C，D 4个开关、1个电源和1个小灯泡．在所有的元件和线路都正常的前提下，下列操作中，使“小灯泡发光”这个事件是随机事件的是（   ） A．只闭合1个开关 B．只闭合2个开关 C．只闭合3个开关 D．闭合4个开关 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，一个可以自由转动的转盘被平均分成8个区域，每个区域分别标注数1，2，3，4，5，6，7，8．任意转动转盘一次，当转盘停止转动时，对于下列事件，发生可能性最大的事件是（   ） A．指针落在标有5的区域 B．指针落在标有10的区域 C．指针落在标有奇数的区域 D．指针落在标有能被3整除的数的区域 3．（2025八年级下·全国·专题练习）下列事件是必然事件的是（ ） A．是有理数 B．367人中至少有两人的生日在同一天 C．车辆随机到达一个路口遇到红灯 D．投掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 4．（2025八年级下·全国·专题练习）下列事件中，属于不确定事件的是（   ）． A．宇航员在月球上所受的重力比在地球上小 B．打开电视机，屏幕显示正好在科教频道 C．一个负数的绝对值是非负数 D．潜水员深潜海底捞到月亮 5．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）一个盒子中有 a 个红球和 b 个黄球，每个球除了颜色外都相同． 若从盒子中摸到红球的可能性小于摸到黄球的可能性，则a与b的大小关系是 ． 6．（2025八年级下·全国·专题练习）我校体育社团为了解同学们对足球、篮球、排球三种球类运动爱好情况，随机调查了名学生．每位学生选且只能选择其中一项最喜欢的球类运动，根据调查结果，他们绘制成下列两幅不完整的统计图． 如果这名学生中有人选择足球，那么在我校学生中随机调查一名学生．对于这三种球类运动，这名学生最喜欢篮球运动的可能性大小为 ．（不用列式，直接填空） 7．（2025八年级下·全国·专题练习）某报纸曾经报道：“发生车祸以上都是由酒后驾驶引起的，尤其是重伤者更是如此．”这说明酒后驾驶出车祸的可能性 ．（填“较大”或“较小”） 8．（23-24八年级下·山东青岛·期中）从一个不透明的口袋中有8个红球和2个白球，从袋子中任意摸出n个球，其中摸到红球是一个必然事件，则n的最小值是 ． 9．（2023·广西南宁·模拟预测）某种树苗移植的成活情况记录如下： 移植数量（棵） 20 40 100 200 400 1000 移植成活的数量（棵） 15 33 78 158 321 801 移植成活的频率 0.750 0.825 0.780 0.790 0.801 0.801 估计该树苗移植成活的概率为 （结果精确到0.01）． 10．（23-24八年级下·江苏泰州·期中）从一副扑克牌中任意抽取张：这张牌是“”；这张牌是“红心”；这张牌是“黑色的”，将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列为 ． 11．（2025七年级下·全国·专题练习）请将下列事件发生的可能性标在下图中的大致位置上． (1)4张相同的小标签分别标有数字1，2，3，4，从中任意抽取1张，抽到标有数字0的小标签，记为事件A； (2)三段长度分别为的线段能构成三角形，记为事件B． 12．（24-25七年级下·全国·课后作业）某商家举行有奖销售活动，抽奖活动设置了翻奖牌，翻奖牌的正面、背面如下图所示．若只能在9个数字中选择1个数字翻奖牌，请解决下列问题： (1)以下奖品中，得到的可能性最小的是_______（填选项）； A．平板        B．手机        C．球拍        D．水壶 (2)请你设计下图的翻奖牌背面剩余的奖品，奖品包含手机、球拍、水壶，使得抽到水壶的可能性抽到球拍的可能性抽到手机的可能性． 13．（23-24七年级下·全国·单元测试）把一副扑克牌中的13张红桃牌正面朝下，洗匀后，从中任意抽取1张．下列事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？估计这些事件发生的可能性的大小，并把这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列． （1）抽到的牌的点数是8； （2）抽到的牌的点数小于6； （3）抽到的牌是黑桃； （4）抽到的牌是红桃． 14．（23-24七年级下·全国·单元测试）盒中装有红球、黄球和白球，共个，每个球除颜色外都相同，每次摸个球，然后放回；摇匀后，再摸第次、第次． (1)小颖同学摸球次，没有摸到红球，便断定“摸到红球”是不可能的，这种说法正确吗？ (2)小亮同学摸球次，摸到白球次，红球次，黄球次，这说明什么问题？ (3)小明同学没有去摸球，就认为摸到红球、黄球、白球的可能性大小是一样的．这样认为对吗？ 15．（2025八年级下·全国·专题练习）下列事件哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？ ①经过有交通信号灯的十字路口，遇见红灯； ②若a，b都是实数，则； ③在一个标准大气压下，气温低于时，水会结冰； ④抛一枚硬币，落地后正面朝上； ⑤下暴雨同时打雷； ⑥在只装有红球的布袋中，随意摸出1只球是白球． 培优拔尖真题练 16．（24-25八年级上·北京房山·期末）下列事件为必然事件的是（   ） A．某著名射击运动员射击一次，命中靶心 B．班级里有同年同月同日出生的同学 C．从装满红球的袋子中随机摸出一个球，是白球 D．长度为、、的三条线段可以组成一个直角三角形 17．（2022·江苏无锡·二模）下列说法正确的是(  ) A．任意抛掷一枚质地均匀的硬币10次，则“5次正面朝上”是必然事件 B．某市天气预报明天的降水概率为90%，则“明天下雨”是确定事件 C．小丽买一张体育彩票中“一等奖”是随机事件 D．若a是实数，则“|a|≥0”是不可能事件 18．（21-22九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）下列事件中，属于必然事件的是（　　） A．2021年2月18日是我国二十四节气中的“雨水”节气，这一天会下雨 B．某班级11名学生中，至少有两名同学的生日在同一个月份 C．通常加热到100°C时，水沸腾 D．任意购买一张电影票，座位号是3的倍数 19．（20-21七年级下·浙江·期中）微信运动和腾讯公益推出了一个爱心公益活动：一天中走路步数达到10000及以上可通过微信运动和腾讯基金会向公益活动捐款，如果步数在10000及以上，每步可捐0.0002元．例如小明某天的步数为13000，则可捐2.6元；若一天步数为8000，则无捐赠资格．已知甲、乙、丙三人通过步数共捐赠了6.8元，且甲的步数＜乙的步数＜丙的步数，则下列说法不正确的是（    ）． A．甲可能走了10000步 B．丙可能走了21000步 C．乙可能走了17000步 D．甲、乙、丙三人可能共走了53000步 20．（20-21九年级上·广西南宁·期末）如图1所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法:用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（小球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了图2所示的折线统计图，由此可估计不规则图案的面积大约是（    ） A． B． C． D． 21．（19-20九年级·北京·阶段练习）某鱼塘里养了条鲤鱼、若干条草鱼和条罗非鱼，该鱼塘主通过多次捕捞试验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在左右，若该鱼塘主随机在鱼塘捕捞一条鱼，则捞到鲤鱼的概率约为 ． 22．（18-19八年级下·江苏南京·期末）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共50只，这些球除颜色外其余完全相同．小颖做摸球实验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中．不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1 000 3 000 摸到白球的次数m 65 124 178 302 481 620 1845 摸到白球的频率 0.65 0.62 0.593 0.604 0.601 0.620 0.615 请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 ；（精确到0.1） 23．（2019·贵州·中考真题）从一个不透明的口袋中随机摸出一球，再放回袋中，不断重复上述过程，一共摸了次，其中有次摸到黑球，已知口袋中仅有黑球个和白球若干个，这些球除颜色外，其他都一样，由此估计口袋中有 个白球． 24．（2023七年级下·全国·专题练习）用一副扑克牌中的张设计一个翻牌游戏，要求同时满足以下三个条件； （1）翻出“黑桃”和“梅花”的可能性相同； （2）翻出“方块”的可能性比翻出“梅花”的可能性小； （3）翻出黑颜色的牌的可能性比翻出红颜色牌的可能性小； 解：我设计的方案如下： “红桃” 张，“黑桃” 张，“方块” 张，“梅花” 张 25．（2019·湖南长沙·中考真题）在一个不透明的袋子中有若干个小球，这些球除颜色外无其他差别，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球试验，然后把它重新放回袋中并摇匀，不断重复上述过程．以下是利用计算机模拟的摸球试验统计表： 摸球实验次数 100 1000 5000 10000 50000 100000 “摸出黑球”的次数 36 387 2019 4009 19970 40008 “摸出黑球”的频率 （结果保留小数点后三位） 0.360 0.387 0.404 0.401 0.399 0.400 根据试验所得数据，估计“摸出黑球”的概率是 （结果保留小数点后一位）． 26．（23-24九年级上·陕西榆林·阶段练习）在一个不透明的箱子里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回箱子中，重复该操作．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 (1)上表中的_____，_____； (2)“摸到白球”的概率的估计值是_____；（精确到） (3)如果箱子中一共有个球，除了白球外，估计还有多少个其他颜色的球？ 27．（2019·重庆渝中·一模）如图，地面上有一个不规则的封闭图形ABCD，为求得它的面积，小明在此封闭图形内画出一个半径为2米的圆后，在附近闭上眼睛向封闭图形内掷小石子（可把小石子近似地看成点），记录如下： 掷小石子落在不规则图形内的总次数 50 150 300 … 小石子落在圆内（含圆上）的次数m 20 59 123 … 小石子落在圆外的阴影部分（含外缘）的次数n 29 91 176 … （1）当投掷的次数很大时，则m：n的值越来越接近　 　（结果精确到0.1） （2）若以小石子所落的有效区域为总数（即m+n），则随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在　 　附近（结果精确到0.1）； （3）请你利用（2）中所得频率的值，估计整个封闭图形ABCD的面积是多少平方米？（结果保留π） 28．（19-20九年级下·福建漳州·阶段练习）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶以每瓶2元的价格当天全部降价处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天本地最高气温有关．为了制定今年六月份的订购计划，计划部对去年六月份每天的最高气温x(℃)及当天售出（不含降价处理）的酸奶瓶数），等数据统计如下： x（℃) 15≤x<20 20≤x<25 25≤x<30 30≤x≤35 天数 6 10 11 3 y（瓶） 270 330 360 420 以最高气温位于各范围的频率代替最高气温位于该范围的概率． (1)试估计今年六月份每天售出（不含降价处理）的酸奶瓶数不高于360瓶的概率； (2)根据供货方的要求，今年这种酸奶每天的进货量必须为100的整数倍．问今年六月份这种酸奶一天的进货量为多少时，平均每天销售这种酸奶的利润最大？ 29．（2010·山东威海·中考真题）2010年5月1日，第41届世博会在上海举办，世博知识在校园迅速传播．小明同学就本班学生对世博知识的了解程度进行了一次调查统计，下图是他采集数据后绘制的两幅不完整的统计图（A：不了解，B：一般了解，C：了解较多，D：熟悉）．请你根据图中提供的信息解答以下问题： （1）求该班共有多少名学生； （2）在条形统计图中，将表示“一般了解”的部分补充完整； （3）在扇形统计图中，计算出“了解较多”部分所对应的圆心角的度数； （4）从该班中任选一人，其对世博知识的了解程度为“熟悉”的概率是多少？ 30．（23-24七年级下·河南郑州·期末）同学们要善于用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯． (1)观察发现 为了解某种小麦的发芽率，小明团队进行了试验，他们在相同条件下进行发芽试验，结果如下表： 试验的麦粒数n 100 200 500 1000 2000 5000 发芽的麦粒数m 94 191 473 954 1906 4748 发芽的频率m ①当试验的麦粒数位时， 发芽的频率为， 是小麦发芽的概率吗？（   ） A．是             B．不是 ②当任取一粒麦粒，估计它能发芽的概率是 (结果精确到) (2)探究迁移 七一班的学习小组在草地的外围画了一个长5米，宽4米的长方形，在不远处向长方形内掷石子，将石子落点进行了记录． 记录结果如下： 项目名称 组别 一组 二组 三组 四组 石子落在草地内的次数 112 92 177 121 石子落在草地外长方形内的次数 28 24 43 33 石子落在长方形外的次数 10 24 32 28 同学们将四个小组的数据收集并整理，他们认为用概率的相关知识就能算出草地的面积大约是多少平方米，请你帮他们写出计算过程．(结果保留整数) (3)拓展应用 如图，学校操场旁的地面上铺满了正方形的地砖， 现在向这一地面上抛掷半径为的圆碟，圆碟与地砖间的缝隙相交的概率是 ．(直接写出答案) 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年苏科版数学八年级下册章节培优复习知识讲练 第8章 认识概率 （思维导图+知识梳理+7大考点讲练+优选真题难度分层练 共58题） 目 录 讲义编写说明 2 思维导图指引 2 知识梳理精讲 2 知识点梳理01：确定事件与随机事件 2 知识点梳理02：频率与概率 3 重点知识考点讲练 3 考向一：确定事件与随机事件 3 考点讲练01：事件的分类 3 考向二：可能性的大小 5 考点讲练02：判断事件发生的可能性的大小 5 考点讲练03：改变条件使事件发生的可能性相同 8 考向三：频率与概率 10 考点讲练04：关于频率与概率关系说法的正误 10 考点讲练05：求某事件的频率 13 考点讲练06：由频率估计概率 16 考点讲练07：用频率估计概率的综合应用 20 优选真题难度分层练 24 基础夯实真题练 24 培优拔尖真题练 33 同学你好，本套讲义针对学校课本内容设定制作，贴合书本内容。讲义包含导图指引，知识梳理精讲，重点难点考点讲练，精选真题难度分层练！题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 知识点梳理01：确定事件与随机事件 1.不可能事件 在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这样的事情是不可能事件． 2.必然事件 在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定会发生，这样的事情是必然事件．必然事件和不可能事件都是确定事件. 3.随机事件 在一定条件下，很多事情我们事先无法确定它会不会发生，这样的事情是随机事件. 【易错点剖析】 （1）一般地，要知道事件发生的可能性大小首先要确定事件是什么类型. （2）必然发生的事件发生的可能性最大，不可能发生的事件发生的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的大小可能不同. 知识点梳理02：频率与概率 1.概率 随机事件发生的可能性有大有小.一个事件发生的可能性大小的数值，称为这个事件的概率(probability).如果用字母A表示一个事件，那么P(A)表示事件A发生的概率. 事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，即，其中P(必然事件)=1，P(不可能事件)=0，0＜P(随机事件) ＜1. 所以有：P(不可能事件)＜P(随机事件)＜P(必然事件). 一个随机事件发生的概率是由这个随机事件自身决定的，并且是客观存在的.概率是随机事件自身的属性，它反映这个随机事件发生的可能性大小. 2.频率 通常，在多次重复实验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且随着试验次数增多，摆动的幅度会减小，这个性质称为频率的稳定性. 一般地，在一定条件下大量重复进行同一试验时，随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动.在实际生活中，人们常把试验次数很大时，事件发生的频率作为其概率的估计值. 【易错点剖析】 ①概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值； ②频率和概率在试验中可以非常接近，但不一定相等； ③概率是事件在大量重复实验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复实验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的. 考向一：确定事件与随机事件 考点讲练01：事件的分类 【典例精讲1】（24-25九年级上·江苏南通·期末）事件A：我市某射击运动员射击三次，刚好都射中靶心，事件B：连续掷四次一角硬币，每次都是正面朝上则（    ） A．事件A和事件B都是必然事件 B．事件A是随机事件，事件B是不可能事件 C．事件A是必然事件，事件B是随机事件 D．事件A和事件B都是随机事件 【答案】D 【思路点拨】本题考查了必然事件“必然事件发生的可能性为1”与随机事件“在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件”，熟练掌握定义是解题关键．根据必然事件和随机事件的定义求解即可得． 【规范解答】解：我市某射击运动员射击三次，刚好都射中靶心，是随机事件， 连续掷四次一角硬币，每次都是正面朝上，是随机事件， 所以事件和事件都是随机事件， 故选：D． 【变式训练1】（24-25九年级上·全国·课后作业）将下列事件对应的序号，正确填入题后横线上． ①守株待兔；②水中捞月；③连续抛掷同一枚硬币2次都是正面朝上；④任意画一个三角形，其内角和为；⑤若，则；⑥从1，3，5中任选一个数，这个数是奇数． (1)其中是必然事件的有______； (2)其中是随机事件的有______； (3)其中是确定事件的有______． 【答案】(1)④⑥ (2)①③⑤ (3)②④⑥ 【思路点拨】本题考查确定事件和随机事件的概念．熟练应用确定事件和随机事件的概念进行判断是解题的关键．根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行判断即可． 【规范解答】（1）解：是必然事件的有：④任意画一个三角形，其内角和为；⑥从1，3，5中任选一个数，这个数是奇数； 故答案为：④⑥； （2）解：是随机事件的有：①守株待兔；③连续抛掷同一枚硬币2次都是正面朝上；⑤若，则； 故答案为：①③⑤； （3）解：是确定事件的有②水中捞月；④任意画一个三角形，其内角和为；⑥从1，3，5中任选一个数，这个数是奇数； 故答案为：②④⑥． 【变式训练2】（23-24九年级上·全国·单元测试）某小组有名男生，名女生，从这名学生中随机派名学生去做社会调查，分别求下列条件中的值或取值范围． (1)“派去的名学生中至少有名女生”是必然事件； (2)“派去的名学生中至少有名男生”是必然事件． 【答案】(1)或或； (2)或． 【思路点拨】（）根据派出的学生人数必须比男生总人数至少多名，才必然会至少有名女生即可求解； （）根据派出的学生人数必须比女生总人数至少多名，才必然会至少有名男生即可求解； 本题考查了必然事件，掌握必然事件的定义是解题的关键． 【规范解答】（1）解：派出的学生人数必须比男生总人数至少多名，才必然会至少有名女生， ∴或或； （2）解：派出的学生人数必须比女生总人数至少多名，才必然会至少有名男生， ∴或． 【变式训练3】（23-24七年级下·陕西西安·期末）有两个事件，事件：人中至少有人性别相同；事件：抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面点数为的倍数．下列说法正确的是（    ） A．事件都是随机事件 B．事件都是必然事件 C．事件是随机事件，事件是必然事件 D．事件是必然事件，事件是随机事件 【答案】D 【思路点拨】本题考查了事件的分类，根据事件发生的可能性大小判断，解题的关键是正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【规范解答】事件：人中至少有人性别相同是必然事件， 事件：抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面点数为的倍数是随机事件， ∴事件是必然事件，事件是随机事件， 故选：． 考向二：可能性的大小 考点讲练02：判断事件发生的可能性的大小 【典例精讲2】（2024九年级上·全国·专题练习）一个正方体的六个面分别涂上红、黄、绿三种颜色，任意挪一次，黄色朝上的次数最多，红色和绿色朝上的次数一样多，可能有 个面涂了黄色． 【答案】4 【思路点拨】本题考查可能性，可能性的大小与数量的多少有关，要黄色朝上的次数最多，所以涂黄色面最多；红色和绿色朝上的次数一样多，所以涂红色和绿色的面一样多，据此解答即可． 【规范解答】解：一个正方体的六个面分别涂上红、黄、绿三种颜色，任意抛一次，黄色朝上的次数最多，红色和绿色朝上的次数一样多． 如果每种颜色朝上的数量都一样多，则红、黄、绿各涂2个面， 但现在黄色朝上的次数最多，而红色和绿色朝上的次数要一样多， 因此只能是红色、绿色各1个面，黄色涂4个面． 故答案为：4． 【变式训练1】（2024·湖北武汉·模拟预测）小武在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．有以下两种说法：①摸出的小球标号都小于4是必然事件；②摸一次球，摸出标号分别为1，2，3，4的小球虽然是随机的，但可能性不一样．则（　　） A．只有说法①正确 B．只有说法①错误 C．说法①②都正确 D．说法①②都错误 【答案】D 【思路点拨】本题考查的是可能性的大小及随机事件，根据可能性大小的定义解答即可，熟知随机事件与必然事件的定义是解题的关键． 【规范解答】解：∵四个小球分别标号为1，2，3，4， 摸出的小球标号都小于4是不可能事件，故①错误； ∵每个标号只有一个小球， ∴摸一次球，摸出标号分别为1，2，3，4的小球是随机的，可能性一样，故②错误， 故选：D． 【变式训练2】（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）在一种扑克牌游戏中，玩家可以利用“牌值”来预估还没有发出的牌的点数大小，“牌值”的计算方式为：没有发牌时，“牌值”为0；发出的牌点数为2至9时，表示发出点数小的牌，则“牌值”加1；发出的牌点数为10、J、Q、K、A、大王、小王时，表示发出点数大的牌，则“牌值”减1．若一副完整的扑克牌已发出34张，且此时的“牌值”为10，则随机发出的下一张牌的可能性判断正确的是（   ） A．点数小的牌可能性大 B．点数大的牌可能性大 C．两者可能性一样大 D．无法判断 【答案】C 【思路点拨】本题考查了二元一次方程的应用、求事件的概率，列方程求得已发出的34张牌中点数小的张数为张，点数大的张数为张，从而得出剩余的张牌中点数大的张数为张，点数小的张数为，分别求出概率比较即可得出答案． 【规范解答】解：设一副完整的扑克牌已发出的34张牌中点数小的张数为张，点数大的张数为张， 则， 解得：， ∴已发出的34张牌中点数小的张数为张，点数大的张数为张， ∴剩余的张牌中点数大的张数为张，点数小的张数为， ∵剩下的牌中每一张牌被发出的机会皆相等， ∴下一张发出的牌是点数大的牌的几率是，下一张发出的牌是点数小的牌的几率是， ∴两者可能性一样大， 故选：C． 【变式训练3】（22-23八年级下·江苏南京·期中）八年级（1）班有40位同学，他们的学号是，随机抽取一名学生参加座谈会，下列事件：①抽到的学号为奇数；②抽到的学号是个位数；③抽到的学号不小于35．其中，发生可能性最小的事件为 （填序号）． 【答案】③ 【思路点拨】分别求出三个事件的可能性，再比较大小即可得到答案． 【规范解答】解：①抽到的学号是奇数的可能性为； ②抽到的学号是个位数的可能性为； ③抽到的学号不小于35的可能性为， ， 发生可能性最小的事件为为③， 故答案为：③． 【考点评析】本题主要考查了基本可能性的计算及比较可能性大小，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比． 考点讲练03：改变条件使事件发生的可能性相同 【典例精讲3】（17-18八年级下·江苏盐城·期中）一只不透明的袋子中装有1个白球，2个黄球和3个红球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀，从中任意摸出1个球， (1)会出现哪些可能的结果？ (2)事先能确定摸出的一定是红球吗？ (3)你认为摸到哪种颜色的球的概率最大？ (4)怎样改变袋子中白球、黄球、红球的个数，使摸到这些颜色的球的概率相等？ 【答案】(1)白、黄、红三种 (2)不能 (3)红球 (4)袋子中白球、黄球、红球的个数相同 【思路点拨】（1）根据事情发生的可能性，注意判断即可； （2）根据红球的多少判断，只能确定出现的可能性较大； （3）根据红球的数量多，抽出的可能性就大； （4）根据概率相等就是出现的可能性一样大，可让数量相等即可． 【规范解答】（1）解：会出现：白、黄、红三种 （2）解：不能确定摸出的球一定是红球； （3）解由于红球数量最多，所以红球出现的概率最大； （4）解：袋子中白球、黄球、红球的个数相同时，三者的概率相等． 【考点评析】此题主要考查了事件发生的可能性，关键是根据事件发生的可能大小和概率判断即可，比较简单的中考常考题． 【变式训练1】（21-22九年级上·江苏镇江·期末）一只不透明的袋子中装有2个白球和3个红球，现在向袋中再放入n个白球，袋中的这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，若要使摸到白球比摸到红球的可能性大，则n的最小值等于 ． 【答案】2 【思路点拨】使得不透明的袋子中白球比红球的个数多1即可求解． 【规范解答】解：∵要使摸到白球比摸到红球的可能性大， ∴n的最小值等于3+1-2=2． 故答案为：2． 【考点评析】本题考查了可能性的大小，本题可以通过比较白球和红球的个数求解． 【变式训练2】（20-21八年级下·江苏常州·期中）一只不透明的袋子中有个红球、个绿球和个白球，这些球除颜色外都相同，将球搅匀，从中任意摸出个球． （1）会出现哪些可能的结果？ （2）能够事先确定摸到的一定是红球吗？ （3）你认为摸到哪种颜色的球的可能性最大？哪种颜色的球的可能性最小？ （4）怎样改变袋子中红球、绿球、白球的个数，使摸到这三种颜色的球的概率相同？ 【答案】（1）从中任意摸出个球可能是红球，也可能是绿球或白球；（2）不能事先确定摸到的一定是红球；（3）摸到白球的可能性最大，摸到红球的可能性最小；（4）只要袋子中红球、绿球和白球的数量相等即可． 【思路点拨】（1）根据事情发生的可能性，即可进行判断； （2）根据红球的多少判断，只能确定有可能出现； （3）根据白球的数量最多，摸出的可能性就最大，红球的数量最少，摸出的可能性就最小； （4）根据概率相等就是出现的可能性一样大，可让数量相等即可． 【规范解答】解：（1）从中任意摸出1个球可能是红球，也可能是绿球或白球； （2）不能事先确定摸到的一定是红球； （3）摸到白球的可能性最大，摸到红球的可能性最小； （4）只要袋子中红球、绿球和白球的数量相等即可． 【考点评析】此题主要考查了事件发生的可能性，关键是根据事件发生的可能大小和概率判断即可，比较简单的中考常考题． 【变式训练3】（22-23九年级上·广东·单元测试）盒中装有红球、黄球共100个，每个球除颜色以外都相同，每次从盒中摸一个球，摸三次，请你设计下面几种情况的摸球方案． (1)摸到红球是不可能的； (2)摸到红球是必然的； (3)摸到红球情况有三种：很可能，可能，不太可能． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【思路点拨】（1）不放红球即可． （2）都放红球即可． （3）根据可能性的程度确定红球比例即可． 【规范解答】（1）解：盒中只有100个黄球，摸出1个红球； （2）解：盒中只有100个红球，摸出1个红球； （3）解：盒中有99个红球、1个黄球，摸到红球； 盒中有50个红球，50个黄球，摸出1个红球； 盒中有99个黄球，1个红球，摸出1个红球（答案不唯一）． 【考点评析】本题主要考查随机事件概率的运算方法，能够通过概率大小确定红球个数是解题关键． 考向三：频率与概率 考点讲练04：关于频率与概率关系说法的正误 【典例精讲4】（22-23九年级上·广东潮州·期末）下列说法正确的是（    ）． A．不可能事件发生的概率为1 B．随机事件发生的概率为 C．概率很小的事件不可能发生 D．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 【答案】D 【思路点拨】利用概率的意义、随机事件的判定等知识分别判断，即可确定正确的选项． 【规范解答】解：A.不可能事件发生的概率为0，故该选项错误，不符合题意； B.随机事件发生的概率大于0，小于1，，故该选项错误，不符合题意； C.概率很小的事件也可能发生，故该选项错误，不符合题意； D.随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【考点评析】本题考查了利用频率估计概率、随机事件、概率的意义等知识，解题的关键是了解大量重复试验中，事件发生的频率可以估计概率． 【变式训练1】（18-19九年级上·全国·单元测试）小颖和小红两位同学在学习“概率”时，做掷骰子（质地均匀的正方体）实验． （1）他们在一次实验中共做了次试验，试验的结果如下： 朝上的点数 出现的次数 ①填空：此次实验中“点朝上”的频率为________； ②小红说：“根据实验，出现点朝上的概率最小．”她的说法正确吗？为什么？ （2）小颖和小红在实验中如果各掷一枚骰子，那么两枚骰子朝上的点数之和为多少时的概率最大？试用列表或画树状图的方法加以说明，并求出其最大概率． 【答案】（1）①；②小红的说法不正确，理由详见解析；（2）． 【思路点拨】（1）用出现3的次数除总次数即可得解； （2）小红的说法不正确，利用频率估计概率实验次数必须比较多，重复实验，频率才慢慢接近概率，而她的实验次数太少，没有代表性； （3）根据题意画树状图，然后用概率公式求得出现次数最多的情况概率即可. 【规范解答】解：（1）①∵实验中“点朝上”的次数有次，总数为， ∴此次实验中“点朝上”的频率为； ②小红的说法不正确， ∵利用频率估计概率实验次数必须比较多，重复实验，频率才慢慢接近概率，而她的实验次数太少，没有代表性， ∴小红的说法不正确； （2）两枚骰子朝上的点数之和可能情况： ， ， ， ， ， ， ∴和为的有种， 和为的有种， 和为的有种， 和为的有种， 和为的有种， 和为的有种， 和为的有种， 和为的有种， 和为的有种， 和为的有种， 和为的有种， 两枚骰子朝上的点数之和为时的概率最大， 则最大概率为：． 【考点评析】本题主要考查频率与概率，用列表法或画树状图求概率，解此题的关键在于熟练掌握其知识点. 【变式训练2】（2018·北京平谷·一模）农科院新培育出A、B两种新麦种，为了了解它们的发芽情况，在推广前做了五次发芽实验，每次随机各自取相同种子数，在相同的培育环境中分别实验，实验情况记录如下： 种子数量 100 200 500 1000 2000 A 出芽种子数 96 165 491 984 1965 发芽率 0.96 0.83 0.98 0.98 0.98 B 出芽种子数 96 192 486 977 1946 发芽率 0.96 0.96 0.97 0.98 0.97 下面有三个推断： ①当实验种子数量为100时，两种种子的发芽率均为0.96，所以他们发芽的概率一样； ②随着实验种子数量的增加，A种子出芽率在0.98附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计A种子出芽的概率是0.98； ③在同样的地质环境下播种，A种子的出芽率可能会高于B种子．其中合理的是 （只填序号）． 【答案】②③ 【规范解答】分析： 根据随机事件发生的“频率”与“概率”的关系进行分析解答即可. 详解： （1）由表中的数据可知，当实验种子数量为100时，两种种子的发芽率虽然都是96%，但结合后续实验数据可知，此时的发芽率并不稳定，故不能确定两种种子发芽的概率就是96%，所以①中的说法不合理； （2）由表中数据可知，随着实验次数的增加，A种种子发芽的频率逐渐稳定在98%左右，故可以估计A种种子发芽的概率是98%，所以②中的说法是合理的； （3）由表中数据可知，随着实验次数的增加，A种种子发芽的频率逐渐稳定在98%左右，而B种种子发芽的频率稳定在97%左右，故可以估计在相同条件下，A种种子发芽率大于B种种子发芽率，所以③中的说法是合理的. 故答案为：②③. 点睛：理解“随机事件发生的频率与概率之间的关系”是正确解答本题的关键. 【变式训练3】（21-22八年级下·江苏无锡·期中）下列说法中不正确的是（     ） A．抛掷一枚硬币，硬币落地时正面朝上是随机事件 B．把4个球放入三个抽屉中，其中一个抽屉中至少有2个球是必然事件 C．任意打开七年级下册数学教科书，正好是97页是确定事件 D．在相同条件下，只要试验的次数足够多，频率就可以作为概率的估计值 【答案】C 【规范解答】试题分析：任意打开七年级下册数学教科书，正好是97页是随机事件. 考点：（1）、随机事件的定义；（2）、必然事件的定义 考点讲练05：求某事件的频率 【典例精讲5】（23-24八年级下·江苏盐城·期中）在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共个，这些球除颜色外都相同，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到黑球的次数 摸到黑球的频率 (1)表中 ； (2)请估计：当很大时，摸到黑球的频率将会接近 （精确到）； (3)估计袋子中有白球 个； (4)若学习小组通过试验结果，想使得这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为，则可在袋子中增加相同的白球 个． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路点拨】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （1）摸到黑球的频率为，故为． （2）大量重复实验中事件的频率可以估计概率，当很大时，观察摸到黑球的频率，其数值将会接近． （3）摸到黑球的频率约为，故摸到白球的频率约为，则估计袋子中有白球（个）． （4）当想使得这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为时，即黑球个数等于白球个数，故可在袋子中增加相同的白球数：（个）， 【规范解答】（1）解：， 故答案为：． （2）当很大时，观察摸到黑球的频率，其数值将会接近， 故答案为：． （3）摸到黑球的频率约为， 故摸到白球的频率约为， 则估计袋子中有白球（个）， 故答案为：． （4）当想使得这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为时， 即黑球个数等于白球个数， 故可在袋子中增加相同的白球数：（个）， 此时黑白球均为个，摸到黑白球的可能性大小均为． 故答案为：． 【变式训练1】（23-24八年级上·四川宜宾·期末）八年级2班有50名学生参加学校篮球社团、羽毛球社团和扎染社团，其中参加篮球社团与参加羽毛球社团的频数之和为35，则八年级2班学生参加扎染社团的频率是 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了有理数的混合运算的应用、频率的概念等知识点，根据题意列出代数式即可解答． 先求出参加扎染社团的学生数，然后除以全班总人数即可解答． 【规范解答】解：参加扎染社团的学生数为：， 八年级2班学生参加扎染社团的频率是． 故答案为． 【变式训练2】（21-22九年级上·陕西榆林·阶段练习）一个不透明的布袋中装有除颜色外均相同的7个黑球、5个白球和若干个红球．每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，不断重复这一过程，共摸了200次球，发现有80次摸到红球，估计袋中红球的个数． 【答案】8个 【思路点拨】摸到红球的频率，求得摸到黑球和白球的频率为，计算总球数，从而求得红球个数． 【规范解答】解：由题意可得，摸到黑球和白球的频率之和为：， ∴总的球数为， ∴估计袋中红球的个数为：（个）． 【考点评析】本题考查随机实验中，频率的定义和计算；理解频率的定义是解题的关键． 【变式训练3】（21-22八年级下·江苏扬州·期末）在一个不透明的袋子里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共50个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 1000 2000 3000 5000 8000 10000 摸到黑球的次数m 650 1180 1890 3100 4820 6013 摸到黑球的频率 0.65 0.59 0.63 0.62 0.6025 0.6013 (1)请估计：当n很大时，摸到黑球的频率将会接近　 　（精确到0.1）； (2)试估计袋子中有黑球　 　个； (3)若学习小组通过试验结果，想使得在这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为50%，则可以在袋子中增加相同的白球　 　个或减少黑球　 　个． 【答案】(1)0.6 (2)30 (3)10，10 【思路点拨】（1）观察摸到黑球的频率后观察表格即可得到； （2）大量重复实验中事件的频率可以估计概率，然后用球的总数乘以黑球的概率即可求得黑球的个数； （3）使得黑球和白球的数量相等即可． 【规范解答】（1）观察表格得：当n很大时，摸到黑球的频率将会接近0.6， 故答案为：0.6； （2）黑球的个数为50×0.6=30个， 故答案为：30； （3）想使得在这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为50%，则可以使得黑球和白球的个数相同， 即：在袋子中增加相同的白球10个或减少黑球10个， 故答案为：10，10． 【考点评析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 考点讲练06：由频率估计概率 【典例精讲6】（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）沈阳市林业局积极响应习总书记“绿水青山就是金山银山”的号召，特地考察一种花卉移植的成活率，对本市这种花卉移植成活的情况进行了调查统计，并绘制了如图所示的统计图． 请你根据统计图提供的信息，回答下列问题： (1)这种花卉成活的频率稳定在______附近，估计成活概率为______（精确到0.1）． (2)该林业局已经移植这种花卉20000棵． ①估计这批花卉成活的棵数； ②根据市政规划共需要成活270000棵这种花卉，估计还需要移植多少棵？ 【答案】(1)0.9，0.9 (2)①估计这批花卉成活18000棵：②估计还需要移植280000棵 【思路点拨】本题考查了用频率估计概率，已知概率求数量，理解概率的意义是解答本题的关键． （1）根据统计图可得频率，根据频率与概率的关系可得概率； （2）①用20000乘以成活的概率即可； ②用移植的总棵数减去已经移植的棵数． 【规范解答】（1）解：由图可知，这种花卉成活率稳定在0.9附近，估计成活概率为0.9． 故答案为：0.9； （2）解：①估计这批花卉成活的棵数为： （棵）； ②估计还需要移植：（棵）． 【变式训练1】（22-23九年级上·湖南湘西·期末）某水果公司以2元/kg的成本价新进柑橘．如果公司希望这些柑橘能够获得利润5000元，那么在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，每千克定价大约 元（精确到角）比较合适．为解决此问题，销售人员首先从所有柑橘中随机抽取若干柑橘，进行“柑橘损坏率”统计，结果如下： 柑橘总质量n/kg 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 损坏柑橘质量m/kg 5.50 10.50 15.15 19.42 24.25 30.93 35.32 39.24 44.57 51.54 频率（三位小数） 0.110 0.105 【答案】2.8 【思路点拨】本题考查了利用频率估计概率及一元一次方程的应用，用到的知识点为：频率所求情况数与总情况数之比．得到售价的等量关系是解决问题的关键．根据概率计算出完好柑橘的质量为千克，设每千克柑橘的销售价为元，然后根据“售价进价利润”列方程解答． 【规范解答】根据估计的概率可以知道，在10000千克柑橘中完好柑橘的质量为千克． 设每千克柑橘的销售价为元，则应有， 解得． 所以出售柑橘时每千克大约定价为2.8元可获利润5000元． 故答案为：2.8 【变式训练2】（23-24七年级下·山东烟台·期中）某批彩色弹力球的质量检验结果如下表： 抽取的彩色弹力球数 500 1000 1500 2000 2500 优等品频数 471 946 1426 1898 2370 优等品频率 0.942 0.946 0.951 0.949 0.948 (1)这批彩色弹力球“优等品”概率的估计值大约是_____________；（精确到0.01） (2)从这批彩色弹力球中选择5个黄球、13个黑球、22个红球，它们除了颜色外都相同，将它们放入一个不透明的袋子中，求从袋子中摸出一个球是黄球的概率； (3)现从第（2）问所说的袋子中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球搅拌均匀，使从袋子中摸出一个黄球的概率为，求取出了多少个黑球？ 【答案】(1)0.95 (2) (3)取出了5个黑球 【思路点拨】本题考查频数分布表、用频率估计概率，根据概率公式求概率，一元一次方程的应用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）利用表格用频率估计概率即可解答； （2）根据概率公式计算即可； （3）设取出个黑球，则放入个黄球，构建方程即可解决问题； 【规范解答】（1）解：随着抽取彩色弹力球数量的增加，抽到优等品的频率在0.95附近， 所以估计这批彩色弹力球“优等品”的概率是0.95， 故答案为：0.95； （2）从袋子中摸出一个球，所有可能的结果有40种，因为除了颜色外都相同，所以每种结果出现的可能性相等，其中摸到黄球的结果有5种， ； （3）设取出个黑球，则放入个黄球， 由题意得：， 解得． 答：取出了5个黑球． 【变式训练3】（23-24九年级上·山西长治·期末）某大型连锁超市以17元/斤的价格购进草莓1万斤，在运输、储存过程中部分草莓损坏，超市管理员从所有的草莓中随机抽取了若干进行“草莓损坏率”统计，并把获得的数据记录如表： 草莓总质量n/斤 20 50 100 200 500 损坏草莓质量m/斤 3.12 7.7 15.2 29.8 75 草莓损坏的频率 0.156 0.154 0.152 0.149 0.150 超市管理员希望卖出草莓（损坏的草莓不能出售）可以获得利润42500元，那么就需要利用草莓损坏的概率（精确到0.01）估算草莓的售价．根据表中数据可以估计，草莓每斤的售价应该定为（   ） A．25元 B．22元 C．21.25元 D．21.5元 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查用频率估计概率和一元一次方程的应用，先由草莓的损坏率得出完好率，再设每斤草莓的售价为x元，根据“利润=售价-进价”列出一元一次方程，求出x的值即可． 【规范解答】解：由表格中的数据可得草莓的损坏率为， 则完好率为：， 设每斤草莓的售价为x元，根据题意得， ， 解得，， 即每斤草莓的售价为25元， 故选：A． 考点讲练07：用频率估计概率的综合应用 【典例精讲7】（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）某课外学习小组做摸球试验：一只不透明的袋子中装有若干个红球和白球，这些球除颜色外都相同．将这个袋中的球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得如下数据： 摸球个数 200 300 400 500 1000 1600 2000 摸到白球的个数 116 192 232 _______ 590 968 1202 摸到白球的频率 0.580 0.640 0.580 0.596 0.590 0.605 _______ (1)填写表中的空格； (2)当摸球次数很大时，摸到白球的概率的估计值是____（精确到0.01）； (3)若袋中有红球2个，请估计袋中白球的个数． 【答案】(1)298；0.601 (2)0.60 (3)3个 【思路点拨】本题考查了利用频率估计概率： （1）根据摸到白球的个数等于摸球个数乘以摸到白球的频率，摸到白球的频率等于摸到白球的个数除以摸球个数计算即可； （2）根据频率估计概率计算； （3）由概率的估计值可计算白球的个数． 【规范解答】（1）解：，， 故答案为：298；0.601； （2）解：当摸球次数很大时，摸到白球的概率的估计值是：0.60； 故答案为：0.60． （3）解：摸到白球的概率的估计值是0.60， 摸到红球的概率的估计值是0.40， 袋中有红球2个， 球的个数共有：（个）， 袋中白球的个数为（个）． 【变式训练1】（22-23八年级下·江苏连云港·期中）下面是某校生物兴趣小组在相同的实验条件下，对某植物种子发芽率进行研究时所得到的数据： 试验的种子数n 500 1000 1500 2000 3000 4000 发芽的粒数m 471 946 1898 2853 3812 发芽频率 0.942 0.946 0.950 0.949 0.953 (1)上表中的______，______； (2)任取一粒这种植物种子，它能发芽的概率的估计值是______（精确到0.01）； (3)若该校劳动基地需要这种植物幼苗9500棵，试估算需要准备多少粒种子进行发芽培育． 【答案】(1)，0.951 (2) (3) 【思路点拨】（1）根据发芽频率，代入对应的数值即可； （2）根据概率是大量重复试验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率； （3）根据（2）中的概率，可以用发芽棵树=幼苗棵树×概率可得出结论． 【规范解答】（1）解：依题意，， 解得：，， 故答案为：，． （2）概率是大量重复试验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率； ∴这种种子在此条件下发芽的概率约为． （3）若该学校劳动基地需要这种植物幼苗棵，需要准备（粒）种子进行发芽培育． 【考点评析】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比． 【变式训练2】（20-21八年级下·江苏扬州·期末）在一个不透明的袋子里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共50个，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 摸到黑球的次数m 65 118 189 310 482 602 摸到黑球的频率 0.65 0.59 0.63 0.62 0.603 0.602 （1）请估计：当n很大时，摸到黑球的频率将会接近 （精确到0.1）； （2）试估计袋子中有黑球 个； （3）若学习小组通过实验结果，想使得在这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为  50%，则可以在袋子中增加相同的白球 个或减少黑球 个 【答案】（1）0.6；（2）；（3）10；10． 【思路点拨】（1）观察表格中摸到黑球的频率可得结果； （2）用总数乘以黑球的频率即可得到结果； （3）根据摸到黑球的可能性大小为50%，则黑球和白球相同，据此计算即可． 【规范解答】解：（1）观察表格得：当n很大时， 摸到黑球的频率将会接近0.6， 故答案为：0.6； （2）黑球有：个， 故答案为：； （3）原来白球的数量为：50-30=20， 摸到黑球的可能性大小为50%，则黑球和白球相同， ∴若保持黑球数量不变，则白球数量：20+10=30， 若保持白球的数量不变，则黑球数为：30-10=20， ∴要使摸到黑球的可能性大小为50%， 则需要增加相同的白球10个，或减少黑球10个， 故答案为：10；10． 【考点评析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【变式训练3】（20-21八年级·全国·假期作业）某班“红领巾义卖”活动中设立了一个可以自由转动的转盘．规定：顾客购物20元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是此次活动中的一组统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 300 400 500 1000 落在“书画作品”区域的次数m 60 122 180 298 a 604 落在“书画作品”区域的频率 0.6 0.61 0.6 b 0.59 0.604 （1）完成上述表格：______；______； （2）请估计当n很大时，频率将会接近______，假如你去转动该转盘一次，你获得“书画作品”的概率约是______；（结果全部精确到0.1） （3）如果要使获得“手工作品”的可能性大于获得“书画作品”的可能性，则表示“手工作品”区域的扇形的圆心角至少还要增加多少度？ 【答案】（1）295；0.745；（2）0.6，0.6；（3）至少还要增加36度． 【思路点拨】（1）根据表格中的数据，利用频率=频数总数即可求得a和b的值； （2）根据表格中的数据可以估计频率是多少，再利用频率估计概率即可得； （3）先根据获得“书画作品”的概率可得获得“手工作品”的概率，再乘以可得“手工作品”区域的扇形圆心角度数，然后与进行比较即可得． 【规范解答】（1）由题意得：，， 故答案为：295，0.745； （2）由表格中的数据得：当n很大时，频率将会接近0.6， 假如你去转动该转盘一次，你获得“书画作品”的概率约是0.6， 故答案为：0.6，0.6； （3）由（2）可知，获得“书画作品”的概率约是0.6， 则获得“手工作品”的概率为， “手工作品”区域的扇形圆心角度数为， 因此，， 答：表示“手工作品”区域的扇形的圆心角至少还要增加36度． 【点评】本题考查了利用频率估计概率、扇形统计图、可能性大小，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答本题． 基础夯实真题练 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，电路图上有A，B，C，D 4个开关、1个电源和1个小灯泡．在所有的元件和线路都正常的前提下，下列操作中，使“小灯泡发光”这个事件是随机事件的是（   ） A．只闭合1个开关 B．只闭合2个开关 C．只闭合3个开关 D．闭合4个开关 【答案】B 【思路点拨】本题考查事件的分类，根据一定条件下，可能发生，也可能不发生的事件为随机事件，进行判断即可． 【规范解答】解：A、只闭合1个开关，“小灯泡发光”是不可能事件，不符合题意； B、只闭合2个开关，当闭合或闭合时，“小灯泡发光”，当闭合时，小灯泡不发光，故“小灯泡发光”是随机事件，符合题意； C、只闭合3个开关，“小灯泡发光”是必然事件，不符合题意； D、闭合4个开关，“小灯泡发光”是必然事件，不符合题意； 故选B． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，一个可以自由转动的转盘被平均分成8个区域，每个区域分别标注数1，2，3，4，5，6，7，8．任意转动转盘一次，当转盘停止转动时，对于下列事件，发生可能性最大的事件是（   ） A．指针落在标有5的区域 B．指针落在标有10的区域 C．指针落在标有奇数的区域 D．指针落在标有能被3整除的数的区域 【答案】C 【思路点拨】此题考查了可能性大小，根据每个选项占的区域个数从而确定正确的选项即可． 【规范解答】解：∵一共被平均分成8个区域， 其中5有1个区域，10没有区域，奇数有4个区域，被3整除的数的区域有3和6，共2个， ∴发生可能性最大的事件是指针落在标有奇数的区域． 故选：C． 3．（2025八年级下·全国·专题练习）下列事件是必然事件的是（ ） A．是有理数 B．367人中至少有两人的生日在同一天 C．车辆随机到达一个路口遇到红灯 D．投掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 【答案】B 【思路点拨】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断． 【规范解答】解：A、是有理数，是不可能事件，不符合题意； B、一年最多366天，故最少会有人的生日会与其他人重复，故367人中至少有两人的生日在同一天是必然事件，符合题意； C、车辆随机到达一个路口遇到红灯，是随机事件，不符合题意； D、掷一枚质地均匀的硬币正面朝上，是随机事件，不符合题意． 故选：B． 4．（2025八年级下·全国·专题练习）下列事件中，属于不确定事件的是（   ）． A．宇航员在月球上所受的重力比在地球上小 B．打开电视机，屏幕显示正好在科教频道 C．一个负数的绝对值是非负数 D．潜水员深潜海底捞到月亮 【答案】B 【思路点拨】本题考查的是随机事件，根据事件发生的可能性大小判断，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【规范解答】解：A、宇航员在月球上所受的重力比在地球上小，是确定事件，不符合题意； B打开电视机，屏幕显示正好在科教频道，是不确定事件，符合题意； C、一个负数的绝对值是非负数，是确定事件，不符合题意； D、潜水员深潜海底捞到月亮，是确定事件，不符合题意； 故选：B． 5．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）一个盒子中有 a 个红球和 b 个黄球，每个球除了颜色外都相同． 若从盒子中摸到红球的可能性小于摸到黄球的可能性，则a与b的大小关系是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了概率公式，明确概率的意义是解题的关键． 由于从盒子中摸到红球的可能性小于摸到黄球的可能性，则盒子里面红球的个数小于黄球的个数，据此即可解答． 【规范解答】解：∵从盒子中摸到红球的可能性小于摸到黄球的可能性， ∴盒子里面红球的个数小于黄球的个数， ∴． 故答案为：． 6．（2025八年级下·全国·专题练习）我校体育社团为了解同学们对足球、篮球、排球三种球类运动爱好情况，随机调查了名学生．每位学生选且只能选择其中一项最喜欢的球类运动，根据调查结果，他们绘制成下列两幅不完整的统计图． 如果这名学生中有人选择足球，那么在我校学生中随机调查一名学生．对于这三种球类运动，这名学生最喜欢篮球运动的可能性大小为 ．（不用列式，直接填空） 【答案】 【思路点拨】本题考查统计图的综合，可能性的大小，熟练掌握利用条形统计图和扇形统计图中的数据进行数据的推理是解题的关键．先利用有人选择足球，其中男生选择足球的有人，求出女生有人选择足球，再利用女生选择足球的人数占女生总人数的百分比为，求出女生总人数，再求出女生选篮球的人数和男生总人数，最后利用选篮球的总人数除以总人数即可求出这名学生最喜欢篮球运动的可能性大小． 【规范解答】解：∵名学生中有人选择足球，男生选择足球的有人， ∴女生中有（人）选择足球， ∵女生选择足球的人数占女生总人数的百分比为， ∴女生有（人）， ∴女生选篮球的有（人）， ∵男生有（人）， ∴男生选篮球的有（人）， ∴这名学生最喜欢篮球运动的可能性大小， 故答案为：． 7．（2025八年级下·全国·专题练习）某报纸曾经报道：“发生车祸以上都是由酒后驾驶引起的，尤其是重伤者更是如此．”这说明酒后驾驶出车祸的可能性 ．（填“较大”或“较小”） 【答案】较大 【思路点拨】此题考查了可能性的大小，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．根据可能性的大小即可得出答案． 【规范解答】解：根据报道：“发生车祸以上都是由酒后驾驶引起的，尤其是重伤者更是如此．”这说明酒后驾驶出车祸的可能性较大． 故答案为：较大． 8．（23-24八年级下·山东青岛·期中）从一个不透明的口袋中有8个红球和2个白球，从袋子中任意摸出n个球，其中摸到红球是一个必然事件，则n的最小值是 ． 【答案】3 【思路点拨】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【规范解答】从袋子中任意摸出1个或2个球，其中摸到红球是随机事件， 当时，摸到红球是必然事件， 则n的最小值是3， 故答案为：3． 9．（2023·广西南宁·模拟预测）某种树苗移植的成活情况记录如下： 移植数量（棵） 20 40 100 200 400 1000 移植成活的数量（棵） 15 33 78 158 321 801 移植成活的频率 0.750 0.825 0.780 0.790 0.801 0.801 估计该树苗移植成活的概率为 （结果精确到0.01）． 【答案】0.80 【思路点拨】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．利用频率估计概率求解即可． 【规范解答】解：由表知，估计该树苗移植成活的概率为0.80， 故答案为：0.80． 10．（23-24八年级下·江苏泰州·期中）从一副扑克牌中任意抽取张：这张牌是“”；这张牌是“红心”；这张牌是“黑色的”，将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了事件发生的可能性的大小，分别求出一副扑克牌中“”、“红心”、“黑色的”牌的数量，根据牌数多的事件发生的可能性大即可求解，求出一副扑克牌中“”、“红心”、“黑色的”牌的数量是解题的关键． 【规范解答】解：一副扑克牌共有张，其中“”牌有张，“红心”有张，“黑色的”牌有张，牌数多的事件发生的可能性大，所以将这些事件按发生的可能性从小到大的顺序排列为， 故答案为：． 11．（2025七年级下·全国·专题练习）请将下列事件发生的可能性标在下图中的大致位置上． (1)4张相同的小标签分别标有数字1，2，3，4，从中任意抽取1张，抽到标有数字0的小标签，记为事件A； (2)三段长度分别为的线段能构成三角形，记为事件B． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【思路点拨】本题主要考查了事件发生的可能性，熟练掌握相关知识是解题关键．事件根据发生的可能性可以分为三类：不可能事件、随机事件、必然事件．不可能事件是指不可能发生的事件，其概率为0；必然事件是指必然发生的事件，其概率是1；随机事件是指可能发生也可能不发生的事件，其发生的概率等于事件可能出现的次数与所有可能出现的次数的比值． （1）4张相同的小标签分别标有数字1，2，3，4，从中任意抽取1张，抽到标有数字0的小标签为不可能事件，据此即可获得答案； （2）根据三角形三边关系，可知三段长度分别为的线段能构成三角形，即可获得答案． 【规范解答】（1）解：4张相同的小标签分别标有数字1，2，3，4，从中任意抽取1张， 抽到标有数字0的小标签为不可能事件，即发生的可能性为0， 故事件A发生的可能性标在下图中的大致位置上，如下图所示： （2）解：三段长度分别为的线段， ∵， ∴三线段能构成三角形，即发生的可能性为1， 故事件B发生的可能性标在上图中的大致位置上，如图所示． 12．（24-25七年级下·全国·课后作业）某商家举行有奖销售活动，抽奖活动设置了翻奖牌，翻奖牌的正面、背面如下图所示．若只能在9个数字中选择1个数字翻奖牌，请解决下列问题： (1)以下奖品中，得到的可能性最小的是_______（填选项）； A．平板        B．手机        C．球拍        D．水壶 (2)请你设计下图的翻奖牌背面剩余的奖品，奖品包含手机、球拍、水壶，使得抽到水壶的可能性抽到球拍的可能性抽到手机的可能性． 【答案】(1)B (2)见解析 【思路点拨】本题主要考查可能性的大小． （1）根据图中的信息可以得到抽到四种奖品各自的可能性大小，再进行比较即可得出结论； （2）根据出现次数越多可能性越大求解． 【规范解答】（1）解：∵抽到“水壶”的可能性，抽到“球拍”的可能性，抽到“手机”的可能性，抽到“平板”的可能性，， ∴抽到“手机”的可能性最小， 故答案为：B； （2）解：设计六张牌中有三张写着水壶，有两张写着球拍，有一张写着手机，如图所示： 13．（23-24七年级下·全国·单元测试）把一副扑克牌中的13张红桃牌正面朝下，洗匀后，从中任意抽取1张．下列事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？估计这些事件发生的可能性的大小，并把这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列． （1）抽到的牌的点数是8； （2）抽到的牌的点数小于6； （3）抽到的牌是黑桃； （4）抽到的牌是红桃． 【答案】（1）发生的可能性，随机事件 （2）发生的可能性，随机事件 （3）不可能事件，发生的可能性为0 （4）必然事件，发生的可能性为1 按发生的可能性从小到大的顺序排列为：（3）（1）（2）（4） 【思路点拨】此题主要考查了可能性大小以及事件的名称，正确求出各事件发生的可能性是解题关键．利用必然事件、不可能事件、随机事件的定义分析，再分别求出发生的可能性． 【规范解答】解：（1）抽到的牌的点数是8，是随机事件，发生的可能性为； （2）抽到的牌的点数小于6，是随机事件，发生的可能性为； （3）抽到的牌是黑桃，是不可能事件，发生的可能性为0； （4）抽到的牌是红桃，是必然事件，发生的可能性为1； 则按发生的可能性从小到大的顺序排列为：（3）（1）（2）（4）． 14．（23-24七年级下·全国·单元测试）盒中装有红球、黄球和白球，共个，每个球除颜色外都相同，每次摸个球，然后放回；摇匀后，再摸第次、第次． (1)小颖同学摸球次，没有摸到红球，便断定“摸到红球”是不可能的，这种说法正确吗？ (2)小亮同学摸球次，摸到白球次，红球次，黄球次，这说明什么问题？ (3)小明同学没有去摸球，就认为摸到红球、黄球、白球的可能性大小是一样的．这样认为对吗？ 【答案】(1)这种说法不正确，理由见解析； (2)说明盒中装有红球、黄球和白球，共个，每个球除颜色外都相同，每次摸个球，摸到球的颜色是白、红、黄三种颜色中的一种是随机事件； (3)不对，理由见解析． 【思路点拨】本题考查了随机事件可能性，正确理解随机事件事件发生的可能性是解题的关键． （1）根据事件发生的可能性进行判断即可； （2）根据事件发生的可能性进行判断即可； （3）根据事件发生的可能性进行判断即可； 【规范解答】（1）解：小颖同学摸球次，没有摸到红球，便断定“摸到红球”是不可能的，这种判断不正确，因为此事件是随机事件，不能因为事件发生的可能性小就认为它是不可能事件； （2）解：小亮同学摸球次，摸到白球次，红球次，黄球次，这说明盒中装有红球、黄球和白球，共个，每个球除颜色外都相同，每次摸个球，摸到球的颜色是白、红、黄三种颜色中的一种是随机事件； （3）解：小明同学没有去摸球，就认为摸到红球、黄球、白球的可能性大小是一样的，这种说法不对，因为红球数、黄球数及白球数不相等时，他们的可能性就不一样． 15．（2025八年级下·全国·专题练习）下列事件哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？ ①经过有交通信号灯的十字路口，遇见红灯； ②若a，b都是实数，则； ③在一个标准大气压下，气温低于时，水会结冰； ④抛一枚硬币，落地后正面朝上； ⑤下暴雨同时打雷； ⑥在只装有红球的布袋中，随意摸出1只球是白球． 【答案】必然事件：②③．不可能事件：⑥．随机事件：①④⑤ 【思路点拨】本题主要考查必然事件，不可能事件和随机事件，熟练掌握必然事件，不可能事件和随机事件的定义是解题的关键．根据必然事件即一定会发生，不可能事件一定不可能发生，和随机事件可能发生可能不发生即可得到答案． 【规范解答】解：经过有交通信号灯的十字路口，遇见红灯，可能发生也可能不发生，是随机事件； 若a，b都是实数，则，一定发生，是必然事件； 一个标准大气压下，气温低于时，水会结冰，一定发生，是必然事件； 抛一枚硬币，落地后正面朝上，可能发生也可能不发生，是随机事件； 下暴雨同时打雷，可能发生也可能不发生，是随机事件； 在只装有红球的布袋中，随意摸出1只球是白球，一定不可能发生，是不可能事件． 故必然事件：②③．不可能事件：⑥．随机事件：①④⑤． 培优拔尖真题练 16．（24-25八年级上·北京房山·期末）下列事件为必然事件的是（   ） A．某著名射击运动员射击一次，命中靶心 B．班级里有同年同月同日出生的同学 C．从装满红球的袋子中随机摸出一个球，是白球 D．长度为、、的三条线段可以组成一个直角三角形 【答案】D 【思路点拨】根据随机事件、必然事件、不可能事件的定义结合具体的情景逐项进行判断即可． 本题考查必然事件、随机事件、不可能事件，理解必然事件、随机事件、不可能事件的意义是正确判断的前提． 【规范解答】解：A．某著名射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，不符合题意； B．班级里有同年同月同日出生的同学，是随机事件，不符合题意； C．从装满红球的袋子中随机摸出一个球，是白球，是不可能事件，不符合题意； D．∵， ∴三条线段可以组成一个直角三角形，是必然事件，符合题意． 故选D． 17．（2022·江苏无锡·二模）下列说法正确的是(  ) A．任意抛掷一枚质地均匀的硬币10次，则“5次正面朝上”是必然事件 B．某市天气预报明天的降水概率为90%，则“明天下雨”是确定事件 C．小丽买一张体育彩票中“一等奖”是随机事件 D．若a是实数，则“|a|≥0”是不可能事件 【答案】C 【思路点拨】根据必然事件、确定事件、随机事件、不可能事件的定义逐一分析即可． 【规范解答】解：A． 任意抛掷一枚质地均匀的硬币10次，则“5次正面朝上”是随机事件，故本选项错误； B．降水概率为90%，则“明天下雨”是随机事件，故本选项错误； C．小丽买一张体育彩票，则中“一等奖”是随机事件，故本选项正确； D． a是实数，则“|a|≥0”是必然事件，故本选项错误． 故选C． 【考点评析】此题考查的是必然事件、确定事件、随机事件、不可能事件的判断，掌握必然事件、确定事件、随机事件、不可能事件的定义是解此题的关键． 18．（21-22九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）下列事件中，属于必然事件的是（　　） A．2021年2月18日是我国二十四节气中的“雨水”节气，这一天会下雨 B．某班级11名学生中，至少有两名同学的生日在同一个月份 C．通常加热到100°C时，水沸腾 D．任意购买一张电影票，座位号是3的倍数 【答案】C 【思路点拨】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可． 【规范解答】解：A、是随机事件，故A不符合题意； B、是随机事件，故B不符合题意； C、是必然事件，故C符合题意； D、是随机事件，故D不符合题意；； 故选：C． 【考点评析】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 19．（20-21七年级下·浙江·期中）微信运动和腾讯公益推出了一个爱心公益活动：一天中走路步数达到10000及以上可通过微信运动和腾讯基金会向公益活动捐款，如果步数在10000及以上，每步可捐0.0002元．例如小明某天的步数为13000，则可捐2.6元；若一天步数为8000，则无捐赠资格．已知甲、乙、丙三人通过步数共捐赠了6.8元，且甲的步数＜乙的步数＜丙的步数，则下列说法不正确的是（    ）． A．甲可能走了10000步 B．丙可能走了21000步 C．乙可能走了17000步 D．甲、乙、丙三人可能共走了53000步 【答案】C 【思路点拨】甲乙丙三人某天通过步数共捐赠了6.8元，可得三人走路的步数的最小值，依据甲的步数＜乙的步数＜丙的步数，即可得到甲走路步数必定小于平均数，而丙走路步数必定大于平均数，进而得到结论． 【规范解答】解：6.8÷0.0002=34000步， ∴平均每人走路34000÷3≈11333步， ∵甲的步数＜乙的步数＜丙的步数， ∴甲走路步数必定小于平均数，而丙走路步数必定大于平均数， ∴甲可能走了10000步，丙可能走了21000步，故A、B选项正确，不合题意； 若乙走了17000步，则乙和丙的步数之和大于34000步，故C选项错误，符合题意； 若丙走路34000步，而甲乙两人走路步数都小于10000步，则甲、乙、丙可能共走了53000步，故D选项正确，不合题意； 故选：C． 【考点评析】本题主要考查了随机事件，事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的． 20．（20-21九年级上·广西南宁·期末）如图1所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法:用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（小球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了图2所示的折线统计图，由此可估计不规则图案的面积大约是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】根据折线统计图知，当实验的次数逐渐增加时，样本的频率稳定在0.35，因此用频率估计概率，再根据几何概率知，不规则图案的面积与矩形面积的比为0.35，即可求得不规则图案的面积． 【规范解答】p由折线统计图知，随着实验次数的增加，小球落在不规则图案上的频率稳定在0.35，于是把0.35作为概率． 设不规则图案的面积为xcm2，则有 解得：x=14 即不规则图案的面积为14cm2． 故选：B． 【考点评析】本题考查了几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，关键在于读懂折线统计图的含义，随着实验次数的增加，频率稳定于0.35附近，由此得实验的频率，并把它作为概率．这对学生知识的灵活应用提出了更高的要求． 21．（19-20九年级·北京·阶段练习）某鱼塘里养了条鲤鱼、若干条草鱼和条罗非鱼，该鱼塘主通过多次捕捞试验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在左右，若该鱼塘主随机在鱼塘捕捞一条鱼，则捞到鲤鱼的概率约为 ． 【答案】 【思路点拨】根据捕捞到草鱼的频率可以估计出放入鱼塘中鱼的总数量，从而可以得到捞到鲤鱼的概率． 【规范解答】解：∵捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右， 设草鱼的条数为x，可得： ； 解得：x=2400， 经检验：x=2400是原方程的解且符合实际意义 ∴由题意可得，捞到鲤鱼的概率为 ， 故答案为：. 【考点评析】本题考查了应用频率估计的概率应用，解题的关键是明确题意，由草鱼的数量和出现的频率可以计算出鱼的数量． 22．（18-19八年级下·江苏南京·期末）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共50只，这些球除颜色外其余完全相同．小颖做摸球实验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中．不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1 000 3 000 摸到白球的次数m 65 124 178 302 481 620 1845 摸到白球的频率 0.65 0.62 0.593 0.604 0.601 0.620 0.615 请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 ；（精确到0.1） 【答案】0.60 【思路点拨】计算出平均值即可解答 【规范解答】解：由表可知，当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.60； 故答案为0.60； 【考点评析】此题考查利用频率估计概率，解题关键在于求出平均值 23．（2019·贵州·中考真题）从一个不透明的口袋中随机摸出一球，再放回袋中，不断重复上述过程，一共摸了次，其中有次摸到黑球，已知口袋中仅有黑球个和白球若干个，这些球除颜色外，其他都一样，由此估计口袋中有 个白球． 【答案】20. 【思路点拨】先由频率=频数÷数据总数计算出频率，再由题意列出方程求解即可． 【规范解答】解：摸了次，其中有次摸到黑球，则摸到黑球的频率是， 设口袋中大约有个白球，则， 解得． 故答案为． 【考点评析】本题考查了利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．关键是得到关于黑球的概率的等量关系． 24．（2023七年级下·全国·专题练习）用一副扑克牌中的张设计一个翻牌游戏，要求同时满足以下三个条件； （1）翻出“黑桃”和“梅花”的可能性相同； （2）翻出“方块”的可能性比翻出“梅花”的可能性小； （3）翻出黑颜色的牌的可能性比翻出红颜色牌的可能性小； 解：我设计的方案如下： “红桃” 张，“黑桃” 张，“方块” 张，“梅花” 张 【答案】 【思路点拨】根据各种花色的扑克牌被翻到的可能性的大小，推断出各种花色的扑克牌的张数，再根据总张数为张，每一种都是整数，进而得出答案． 【规范解答】解：一共有张扑克牌， 满足（1），说明“黑桃”和“梅花”的张数相同， 满足（2）说明“方块”的张数比“梅花”的少， 满足（3）说明黑颜色的牌（黑桃、梅花）的张数比红颜色牌（红桃、方块）的张数要少， 因此黑色的牌要少于张，黑色的两种牌张数相同， 于是：①黑色的为张，可以得到“黑桃”和“梅花”各张，“方块”张，剩下的为“红桃”张． ∴“红桃”张，“黑桃”张，“方块”张，“梅花”张， ②黑色的为张，可以得到“黑桃”和“梅花”各张，“方块”张，剩下的为“红桃”张． ∴“红桃”张，“黑桃”张，“方块”张，“梅花”张， ③黑色的为张，可以得到“黑桃”和“梅花”各张，“方块”张，剩下的为“红桃”张． ∴“红桃”张，“黑桃”张，“方块”张，“梅花”张， 因此可能为：，，，或，，，或8，，，（不唯一）， 故答案为：；；；． 【考点评析】本题考查等可能事件发生的概率，理解可能性的大小是正确解答的关键． 25．（2019·湖南长沙·中考真题）在一个不透明的袋子中有若干个小球，这些球除颜色外无其他差别，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球试验，然后把它重新放回袋中并摇匀，不断重复上述过程．以下是利用计算机模拟的摸球试验统计表： 摸球实验次数 100 1000 5000 10000 50000 100000 “摸出黑球”的次数 36 387 2019 4009 19970 40008 “摸出黑球”的频率 （结果保留小数点后三位） 0.360 0.387 0.404 0.401 0.399 0.400 根据试验所得数据，估计“摸出黑球”的概率是 （结果保留小数点后一位）． 【答案】0.4 【思路点拨】大量重复试验下摸球的频率可以估计摸球的概率，据此求解. 【规范解答】观察表格发现随着摸球次数的增多频率逐渐稳定在0.4附近， 故摸到白球的频率估计值为0.4； 故答案为0.4． 【考点评析】本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中某个事件发生的频率能估计概率． 26．（23-24九年级上·陕西榆林·阶段练习）在一个不透明的箱子里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回箱子中，重复该操作．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 (1)上表中的_____，_____； (2)“摸到白球”的概率的估计值是_____；（精确到） (3)如果箱子中一共有个球，除了白球外，估计还有多少个其他颜色的球？ 【答案】(1)； (2) (3)个 【思路点拨】（1）利用频率＝频数÷样本容量直接求解即可； （2）根据统计数据，当很大时，摸到白球的频率接近； （3）根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为，然后利用概率公式计算出白球的个数，即可得到其它颜色的球的个数． 【规范解答】（1）解：， ， 故答案为：；； （2）“摸到白球”的概率的估计值是， 故答案为：； （3）（个）， ∴除白球外，还有大约个其它颜色的小球． 【考点评析】本题考查利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．解题的关键是掌握利用频率估计概率的意义． 27．（2019·重庆渝中·一模）如图，地面上有一个不规则的封闭图形ABCD，为求得它的面积，小明在此封闭图形内画出一个半径为2米的圆后，在附近闭上眼睛向封闭图形内掷小石子（可把小石子近似地看成点），记录如下： 掷小石子落在不规则图形内的总次数 50 150 300 … 小石子落在圆内（含圆上）的次数m 20 59 123 … 小石子落在圆外的阴影部分（含外缘）的次数n 29 91 176 … （1）当投掷的次数很大时，则m：n的值越来越接近　 　（结果精确到0.1） （2）若以小石子所落的有效区域为总数（即m+n），则随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在　 　附近（结果精确到0.1）； （3）请你利用（2）中所得频率的值，估计整个封闭图形ABCD的面积是多少平方米？（结果保留π） 【答案】（1）0.7；（2）0.4；（3）10π. 【思路点拨】（1）根据提供的m和n的值，计算m：n后即可确定二者的比值逐渐接近的值； （2）大量试验时，频率可估计概率； （3）利用概率，求出圆的面积比上总面积的值，计算出阴影部分面积． 【规范解答】解：（1）20÷29≈0.69； 59÷91≈0.65； 123÷176≈0.70， … 当投掷的次数很大时，则m：n的值越来越接近0.7； （2）20÷50=0.4； 59÷150≈0.39； 123÷300≈0.41 ∴随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在0.4， （3）设封闭图形ABCD的面积为a，根据题意得：， 解得：a=10π， ∴整个封闭图形ABCD的面积为10π平方米. 【考点评析】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比． 28．（19-20九年级下·福建漳州·阶段练习）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶以每瓶2元的价格当天全部降价处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天本地最高气温有关．为了制定今年六月份的订购计划，计划部对去年六月份每天的最高气温x(℃)及当天售出（不含降价处理）的酸奶瓶数），等数据统计如下： x（℃) 15≤x<20 20≤x<25 25≤x<30 30≤x≤35 天数 6 10 11 3 y（瓶） 270 330 360 420 以最高气温位于各范围的频率代替最高气温位于该范围的概率． (1)试估计今年六月份每天售出（不含降价处理）的酸奶瓶数不高于360瓶的概率； (2)根据供货方的要求，今年这种酸奶每天的进货量必须为100的整数倍．问今年六月份这种酸奶一天的进货量为多少时，平均每天销售这种酸奶的利润最大？ 【答案】（1）0.9；（2）瓶 【思路点拨】（1）根据题意中表格数据即可得，今年六月份每天售出（不含降价处理）的酸奶瓶数不高于360瓶的概率； （2）根据题意可得，该超市当天售出一瓶酸奶可获利2元，降价处理一瓶亏2元，设今年六月销售这种酸奶每天的进货量为n瓶，平均每天的利润为W元，再分别计算当n为100的整数倍时W的值，进而可得n=300时，W的值达到最大，即今年六月份这种酸奶一天的进货量为300瓶时，平均每天销售这种酸奶的利润最大． 【规范解答】解：（1）依题意可知， 今年六月份每月售出（不含降价处理）的酸奶瓶数不高于瓶的概率为； （2）根据题意可知： 该超市当天售出一瓶酸奶可获利元，降级处理一瓶亏元， 设今年六月销售这种酸奶每天的进货量为瓶，平均每天的利润为元，则： 当时， ， 当时， ， 当时， ， 当时， ， 当时，与时比较， 六月增订的部分，亏本售出的比正常售出的多， 所以其每天的平均利润比时平均每天利润少． 综上所述：时，的值达到最大． 即今年六月份这种酸奶一年的进货量为瓶时，平均每天销售这种酸奶的利润最大． 【考点评析】本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是掌握用频率估计概率． 29．（2010·山东威海·中考真题）2010年5月1日，第41届世博会在上海举办，世博知识在校园迅速传播．小明同学就本班学生对世博知识的了解程度进行了一次调查统计，下图是他采集数据后绘制的两幅不完整的统计图（A：不了解，B：一般了解，C：了解较多，D：熟悉）．请你根据图中提供的信息解答以下问题： （1）求该班共有多少名学生； （2）在条形统计图中，将表示“一般了解”的部分补充完整； （3）在扇形统计图中，计算出“了解较多”部分所对应的圆心角的度数； （4）从该班中任选一人，其对世博知识的了解程度为“熟悉”的概率是多少？ 【答案】（1）50（2）15（3）144°（4） 【思路点拨】（1）根据A是5人，占总体的10%，即可求得总人数； （2）根据总人数和B所占的百分比是30%求解，然后补充图形； （3）首先计算C所占的百分比，再进一步求得其所对的圆心角的度数； （4）只需用D的人数除以总人数，求得所占的比例即可． 【规范解答】解：（1）5÷10％=50（人） （2） 50×30％=15（人） （3）360°×=144° （4）． 考点：数据分析（统计图，概率） 30．（23-24七年级下·河南郑州·期末）同学们要善于用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯． (1)观察发现 为了解某种小麦的发芽率，小明团队进行了试验，他们在相同条件下进行发芽试验，结果如下表： 试验的麦粒数n 100 200 500 1000 2000 5000 发芽的麦粒数m 94 191 473 954 1906 4748 发芽的频率m ①当试验的麦粒数位时， 发芽的频率为， 是小麦发芽的概率吗？（   ） A．是             B．不是 ②当任取一粒麦粒，估计它能发芽的概率是 (结果精确到) (2)探究迁移 七一班的学习小组在草地的外围画了一个长5米，宽4米的长方形，在不远处向长方形内掷石子，将石子落点进行了记录． 记录结果如下： 项目名称 组别 一组 二组 三组 四组 石子落在草地内的次数 112 92 177 121 石子落在草地外长方形内的次数 28 24 43 33 石子落在长方形外的次数 10 24 32 28 同学们将四个小组的数据收集并整理，他们认为用概率的相关知识就能算出草地的面积大约是多少平方米，请你帮他们写出计算过程．(结果保留整数) (3)拓展应用 如图，学校操场旁的地面上铺满了正方形的地砖， 现在向这一地面上抛掷半径为的圆碟，圆碟与地砖间的缝隙相交的概率是 ．(直接写出答案) 【答案】(1)①不是② (2)草地的大体面积为16平方米 (3) 【思路点拨】此题考查了频率估计概率，据此进行解答即可． （1）①当试验的麦粒数位时， 发芽的频率为，只是一次试验的频率，不能代表概率，据此进行解答即可；②表格看，经过多次大量重复试验，频率稳定在左右，即可得到答案； （2）分别求出四个组石子落在草地内的次数占石子落在=长方形内的次数比，即可估计石子落在草地内的概率，再用长方形面积乘以概率即可； （3）利用几何概率进行解答即可． 【规范解答】（1）①解：当试验的麦粒数位时， 发芽的频率为，只是一次试验的频率，不能代表概率，即不是小麦发芽的概率， 故选：B ②从表格看，经过多次大量重复试验，频率稳定在左右， ∴当任取一粒麦粒，估计它能发芽的概率是， （2）解： 分别求出四个组石子落在草地内的次数占石子落在=长方形内的次数比如下： 一组： 二组： 三组： 四组： ∴估计石子落在草地内的概率约为0.8， ∴草地的大体面积为：（平方米）， 答：草地的大体面积为平方米． （3）解：∵圆碟的圆心如果在正方形的地砖的中心部位的范围外，则与地砖间隙相交， ∴圆碟与地砖间的间隙相交的概率大约是． 故答案为： 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$