第十九章 一次函数（B卷培优卷单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记•巧练（广州专用，人教版）

第19章 一次函数（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．（本题3分）已知是关于的正比例函数，则的值为（    ） A．1 B．-1 C． D．0 2．（本题3分）下列函数中，是的一次函数的有（     ） ①；②；③；④；⑤． A．个 B．个 C．个 D．个 3．（本题3分）函数y=中，自变量x的取值范围是（  ） A．x≥0 B．x>1 C．x>0且x≠1 D．x≥0且x≠1 4．（本题3分）已知点(-5,y1),(3,y2)都在直线y=-8x+7上,则y1,y2的大小关系是 (　　) A．y1>y2 B．y1=y2 C．y1<y2 D．无法比较 5．（本题3分）对于函数 ，下列说法不正确的是（ ） A．其图象经过点（0，0） B．其图象经过点（﹣1， ） C．其图象经过第二、四象限 D．y随x的增大而增大 6．（本题3分）如图，观察图像，可以得出不等式组的解集是（　　） A． B． C．0＜x＜2 D． 7．（本题3分）下列图象中，可以表示一次函数与正比例函数（k，b为常数，且）的图象的是（    ） A．B．C． D． 8．（本题3分）若直线与的交点在第三象限，则的取值范围是（　　） A． B． C．或 D． 9．（本题3分）某校八年级同学到距学校6千米的郊外秋游，一部分同学步行，另一部分同学骑自行车，沿相同路线前往，如图，L1L2分别表示步行和骑车的同学前往目的地所走的路程y（千米）与所用时间x（分钟）之间的函数关系，则以下判断错误的是（     ） A．骑车的同学比步行的同学晚出发30分钟 B．骑车的同学和步行的同学同时到达目的地 C．骑车的同学从出发到追上步行的同学用了20分钟 D．步行的速度是6千米/小时. 10．（本题3分）直线y＝x＋4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C，D分别为线段AB，OB的中点，点P为OA上一动点，PC＋PD值最小时点P的坐标为（   ） A． (-3，0) B．(-6，0) C．(-，0) D．(-，0) 2、 填空题：共6题，每题3分，共18分。 11．（本题3分）某一次函数的图象经过点（-1，2），且经过第一、二、三象限，请你写出一个符合上述条件的函数关系式 . 12．（本题3分）如图，已知函数和的图象交于点P，关于的方程组的解是 ． 13．（本题3分）一次函数y＝kx＋b的图象经过点A(0，4)且与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则这个一次函数的解析式为 ． 14．（本题3分）把直线向上平移个单位后，与直线的交点在第二象限，则的取值范围是 ． 15．（本题3分）将七个边长为1的正方形按如图方式摆放在平面直角坐标系中，经过点的一条直线将这七个正方形分成面积相等的两部分，则该直线对应的函数表达式为 ． 16．（本题3分）设表示x，y两个数中的最大值．例如“”．则关于x的函数的最小值为 ． 三、解答题：共9题，共72分，其中第17~18题每小题4分，第19~20题每小题6分，第21题8分，第22~23题每小题10分，第24~25题每小题12分。 17．（本题4分）已知y+3与x+2成正比例，且当x=3时，y=7； （1）求出y与x之间的函数关系式； （2）当x=﹣1时，求y的值； 18．（本题4分）已知函数y＝（2m+1）x+m﹣3． （1）若函数图象经过原点，求m的值； （2）若这个函数是一次函数，且y随着x的增大而减小，求m的取值范围． 19．（本题6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+b与双曲线y＝相交于A，B两点， 已知A（2，5）．求： （1）b和k的值； （2）△OAB的面积． 20．（本题6分）某医药研究生开发了一种新药，在实验药效时发现，如果成人按规剂量服用，那么服用药后2h时血液中含药量最高，达每毫升6ug，接着逐步衰减，10h时血液中含药量每毫升3ug，每毫升血液中含药量y（ug）随时间x（h）的变化如图所示，当成人按规定剂量服药后. （1）分别求出x≤2和x>2时，y与x之间的函数关系式； （2）如果每毫升血液含药量为4ug或4ug以上时在治疗疾病时是有效的，那么这个有效时间是多长？每天至少吃几次药疗效最好？ 21．（本题8分）【问题背景】我国传统的计重工具—秤的应用，方便了人们的生活，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物物体的质量（如图①）．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为（厘米）时，秤钩所挂物重为（千克），则是的一次函数． 【记录数据】表中为若干次称重时，某数学兴趣小组所记录的一些数据． /厘米 0 1 2 4 7 11 12 /千克 0.5 0.75 1.00 1.50 2.75 3.25 3.50 探索发现（1）在上表的数据中，发现有一对数据记录错误．在图②中，通过描点的方法，观察判断哪一对数据是错误的？ （2）求出与之间的函数关系式； 【结论应用】当秤钩所挂物重是5.5千克时，秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为多少？ 22．（本题10分）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴正半轴交于点，的面积为16；直线与直线交于点． (1)求直线的解析式； (2)求的长； (3)若直线上有一点，满足，请直接写出点的坐标． 23．（本题10分）如图，直线与轴、轴分别交于点和点是上的一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的点处．求： (1)求、两点坐标； (2)求坐标； (3)在轴上找一点，使得以点、、为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出所有点的坐标． 24．（本题12分）当今时代，科技的发展日新月异，扫地机器人受到越来越多的消费者青睐，市场需求不断增长．某公司旗下扫地机器人配件销售部门，当前负责销售、两种配件．已知购进50件配件和125件配件需支出成本20000元；购进40件配件和40件配件需支出成本12400元． (1)求、两种配件的进货单价； (2)若该配件销售部门计划购进、两种配件共400件，配件进货件数不低于配件件数的3倍．据市场销售分析，配件提价16%销售，配件的售价是进价的．怎样安排、两种配件的进货数量，才能让本次销售的利润达到最大？最大利润是多少？ 25．（本题12分）【探索发现】如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于点．过作于点，则，我们称这种全等模型为“k型全等”．（不需要证明） 【迁移应用】已知：直线的图像与轴、轴分别交于、两点． (1)如图2，当时，在第一象限构造等腰直角，． ①直接写出_____，_____； ②点的坐标_____； (2)如图3，当的取值变化，点随之在轴负半轴上运动时，在轴左侧过点作，并且，连接，问的面积是否发生变化？若不变，求出面积；若变，请说明理由； (3)【拓展应用】如图4，若，是直线上的动点，点在轴上的坐标为，动点坐标为，当是以为斜边的等腰直角三角形时，点的坐标是_____（直接写出答案即可）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第19章 一次函数（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．（本题3分）已知是关于的正比例函数，则的值为（    ） A．1 B．-1 C． D．0 【答案】B 【分析】根据正比例函数的定义，指数为1，系数不为0，据此求解即可． 【详解】解：∵是关于的正比例函数， ∴且， 解得m=-1， 故选：B． 【点睛】本题考查了正比例函数的定义，一般地，两个变量x，y之间的关系式可以表示成形如y=kx（k为常数，且k≠0）的函数，那么y就叫做x的正比例函数． 2．（本题3分）下列函数中，是的一次函数的有（     ） ①；②；③；④；⑤． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数，一般地，形如（，是常数）的函数是一次函数，根据一次函数的定义即可判断求解，掌握一次函数的定义是解题的关键． 【详解】解：是的一次函数的有：①，④，共个， 故选：． 3．（本题3分）函数y=中，自变量x的取值范围是（  ） A．x≥0 B．x>1 C．x>0且x≠1 D．x≥0且x≠1 【答案】D 【详解】由题意得： ，解得：x≥0且x≠1， 故选D. 4．（本题3分）已知点(-5,y1),(3,y2)都在直线y=-8x+7上,则y1,y2的大小关系是 (　　) A．y1>y2 B．y1=y2 C．y1<y2 D．无法比较 【答案】A 【分析】由一次函数的一次项系数为-8，小于0，由此得出该函数在其定义域内为减函数，再根据两点横坐标的关系即可得出结论. 【详解】∵一次函数y=-8x+7中k=-8＜0， ∴此一次函数y随x的增大而减少． ∵-5＜-3， ∴y1＞y2． 故选：A 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的单调性，解题的关键是找出该函数为减函数．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据一次项系数的符号得出该函数的单调性是解题的关键． 5．（本题3分）对于函数 ，下列说法不正确的是（ ） A．其图象经过点（0，0） B．其图象经过点（﹣1， ） C．其图象经过第二、四象限 D．y随x的增大而增大 【答案】D 【详解】解：对于，当x=0时，y=0，∴图象经过原点（0，0），故A正确； 当x=－1时，y=，∴图象经过原点（－1，），故B正确； ∵k=＜0，∴图象经过第二、四象限，故C正确； ∵k=＜0，∴y随x增大而减小，故D错误． 故选D． 6．（本题3分）如图，观察图像，可以得出不等式组的解集是（　　） A． B． C．0＜x＜2 D． 【答案】D 【分析】根据函数图像可得直线，与轴的交点坐标分别为，结合函数图像即可求解． 【详解】解：∵直线，与轴的交点坐标分别为， ∴不等式组，即的解集为． 故选D． 【点睛】本题考查了根据函数图像解一元一次不等式组，数形结合是解题的关键． 7．（本题3分）下列图象中，可以表示一次函数与正比例函数（k，b为常数，且）的图象的是（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正比例函数的图象、一次函数的图象，根据正比例函数的性质和一次函数的图象，可以得到的正负和、的正负，然后即可判断哪个选项符合题意． 【详解】A、由一次函数的图象可知，，由正比例函数的图象可知，故选项A可能，符合题意； B、由一次函数的图象可知，，由正比例函数的图象可知，故选项B不可能，不符合题意； C、由一次函数的图象可知，，由正比例函数的图象可知，故选项C不可能，不符合题意； D、由一次函数的图象可知，，由正比例函数的图象可知，故选项D不可能，不符合题意； 故选：A． 8．（本题3分）若直线与的交点在第三象限，则的取值范围是（　　） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数图象的交点问题．联立两函数解析式可求出两直线的交点坐标，再根据两直线的交点在第三象限，可求出的取值范围． 【详解】解：联立得：， 解得：， ∴两直线的交点坐标为， ∵两直线的交点在第三象限， ∴，解得：． 故选：A 9．（本题3分）某校八年级同学到距学校6千米的郊外秋游，一部分同学步行，另一部分同学骑自行车，沿相同路线前往，如图，L1L2分别表示步行和骑车的同学前往目的地所走的路程y（千米）与所用时间x（分钟）之间的函数关系，则以下判断错误的是（     ） A．骑车的同学比步行的同学晚出发30分钟 B．骑车的同学和步行的同学同时到达目的地 C．骑车的同学从出发到追上步行的同学用了20分钟 D．步行的速度是6千米/小时. 【答案】B 【详解】A. 由图知，骑车的同学比步行的同学晚出发30分钟，故A正确； B. 由图知，骑车的同学比步行的同学先到达目的地，故B不正确； C. 由图知， 骑车的同学从出发到追上步行的同学用了20分钟，故C正确； D. 由图知，步行的速度是6千米/小时，故D正确； 故选B 10．（本题3分）直线y＝x＋4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C，D分别为线段AB，OB的中点，点P为OA上一动点，PC＋PD值最小时点P的坐标为（   ） A．(-3，0) B．(-6，0) C．(-，0) D．(-，0) 【答案】D 【分析】根据一次函数解析式求出点、的坐标，再由中点坐标公式求出点、的坐标，根据对称的性质找出点关于轴的对称点的坐标，结合点、的坐标求出直线的解析式，令即可求出的值，从而得出点的坐标． 【详解】解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时值最小，如图所示． 令中，则， 点的坐标为； 令中，则，解得：， 点的坐标为． 点、分别为线段、的中点， 点，点． 点和点关于轴对称， 点的坐标为． 设直线的解析式为， 直线过点，， 有，解得：， 直线的解析式为． 令中，则，解得：， 点的坐标为，． 故选：D． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及轴对称中最短路径问题，解题的关键是找出点的位置． 2、 填空题：共6题，每题3分，共18分。 11．（本题3分）某一次函数的图象经过点（-1，2），且经过第一、二、三象限，请你写出一个符合上述条件的函数关系式 . 【答案】y=x+3 【详解】∵直线经过第一、第二、三象限， ∴令k=1， 设函数解析式为y=x+b， 将（-1，2）代入解析式得，2=-1+b， b=3， ∴函数解析式为y=x+3， 故答案为：y=x+3．答案不唯一． 12．（本题3分）如图，已知函数和的图象交于点P，关于的方程组的解是 ． 【答案】 【分析】根据函数与方程组的关系结合交点坐标即可求得方程组的解． 【详解】解：∵一次函数y=ax+b（a≠0）和y=kx（k≠0）的图象交于点P（-4，-2）， ∴二元一次方程组的解是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象与二元一次方程组的关系，函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解． 13．（本题3分）一次函数y＝kx＋b的图象经过点A(0，4)且与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则这个一次函数的解析式为 ． 【答案】y＝4x＋4或y＝－4x＋4 【详解】∵一次函数y＝kx＋b的图象经过点A(0，4)，∴b＝4， 设图象与x轴交于点B，设B(a，0)， ∵三角形的面积为2，∴×|a|×b＝2，∴a＝±1， ∴点B的坐标是(1，0)或(－1，0)，∴k＋b＝0或－k＋b＝0，∴k＝－4或4， ∴这个一次函数的解析式为y＝4x＋4或y＝－4x＋4， 故答案为y＝4x＋4或y＝－4x＋4. 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法、求出直线与x轴的交点坐标是解答此题的关键． 14．（本题3分）把直线向上平移个单位后，与直线的交点在第二象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】 本题考查了一次函数图象与几何变换、两直线的交点坐标，解不等式组，直角坐标系，熟练掌握求两直线交点坐标的方法和直角坐标系中第二象限的点的横坐标小于、纵坐标大于是解题的关键．直线向上平移个单位后可得：，求出直线与直线的交点，再由此点在第二象限可得出的取值范围． 【详解】 解：直线向上平移个单位后可得：， 联立两直线解析式得：， 解得：， 即直线与直线的交点坐标为， ∵交点在第二象限， ∴， 解得：． 故答案为：． 15．（本题3分）将七个边长为1的正方形按如图方式摆放在平面直角坐标系中，经过点的一条直线将这七个正方形分成面积相等的两部分，则该直线对应的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的几何应用，过点P作轴于A，设直线与x轴交于B，由题意可得，据此求出点B的坐标，再利用待定系数法即可求解，求出点B的坐标是解题的关键． 【详解】如图，过点P作轴于A，设直线与x轴交于B 由题意可得，， ， ， ， ， 设直线解析式为：过点得 解得： 故直线解析式为： 故答案为： 16．（本题3分）设表示x，y两个数中的最大值．例如“”．则关于x的函数的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查一次函数的性质，根据题意正确画出图形并灵活运用数形结合是解答本题的关键．根据题意画出画在同一个坐标系中，再利用数形结合确定图形即可确定最小值． 【详解】解：如图：将画在同一个坐标系中， 令， 解得：， 则两条直线交点为， 当时，函数，最小值为； 当时，函数，最小值为； 综上，关于x的函数的最小值为， 故答案为：． 三、解答题：共9题，共72分，其中第17~18题每小题4分，第19~20题每小题6分，第21题8分，第22~23题每小题10分，第24~25题每小题12分。 17．（本题4分）已知y+3与x+2成正比例，且当x=3时，y=7； （1）求出y与x之间的函数关系式； （2）当x=﹣1时，求y的值； 【答案】（1）y=2x+1；（2）y=−1. 【分析】（1）设y+3=k（x+2）（k≠0）．把x、y的值代入该解析式，列出关于k的方程，通过解方程可以求得k的值； （2）把x=-1代入（1）中的函数关系式，可以求得相应的y值． 【详解】(1)设y+3=k(x+2)(k≠0). ∵当x=3时，y=7， ∴7+3=k(3+2)， 解得，k=2. ∴y+3=2x+4 ∴y与x之间的函数关系式是y=2x+1； (2)由(1)知，y=2x+1. 所以，当x=−1时，y=2×(−1)+1=−1，即y=−1. 【点睛】此题考查待定系数法求一次函数解析式，解题关键在于把已知值代入解析式进行计算. 18．（本题4分）已知函数y＝（2m+1）x+m﹣3． （1）若函数图象经过原点，求m的值； （2）若这个函数是一次函数，且y随着x的增大而减小，求m的取值范围． 【答案】(1)3；（2）m＜ 【分析】（1）由y=(2m+1)x+m-3经过原点，得m-3=0； （2）若这个函数是一次函数,且y随着x的增大而减小,则2m+1＜0. 【详解】解:(1)∵y=(2m+1)x+m-3经过原点 ∴m-3=0 ∴m=3 (2) 这个函数是正比例函数,且y随着x的增大而减小. ∴2m+1＜0 ∴m＜ 【点睛】本题考核知识点：一次函数的定义. 解题关键点：理解一次函数的定义. 19．（本题6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+b与双曲线y＝相交于A，B两点， 已知A（2，5）．求： （1）b和k的值； （2）△OAB的面积． 【答案】（1）b=3，k=10；（2）S△AOB=． 【详解】（1）由直线y=x+b与双曲线y=相交于A、B两点，A（2，5），即可得到结论； （2）过A作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，根据y=x+3，y=，得到（-5，-2），C（-3，0）．求出OC=3，然后根据三角形的面积公式即可得到结论. 解：（）把代入．∴∴． 把代入，∴， ∴． （）∵，． ∴时，， ∴，．∴． 又∵， ∴ ． 20．（本题6分）某医药研究生开发了一种新药，在实验药效时发现，如果成人按规剂量服用，那么服用药后2h时血液中含药量最高，达每毫升6ug，接着逐步衰减，10h时血液中含药量每毫升3ug，每毫升血液中含药量y（ug）随时间x（h）的变化如图所示，当成人按规定剂量服药后. （1）分别求出x≤2和x>2时，y与x之间的函数关系式； （2）如果每毫升血液含药量为4ug或4ug以上时在治疗疾病时是有效的，那么这个有效时间是多长？每天至少吃几次药疗效最好？ 【答案】（1）x≤2时解析式为y=3x（0≤x≤2）；x>2时，解析式为y=-x+（x>2）； （2）有效时间为6（小时），每天至少吃4（次）. 【详解】试题分析：（1）根据图象写出函数解析式，前面2h对应的线段是正比例函数的图象，设为y＝k1x（k1≠0），把（2，6）代入即可求出k1．当x＞2时，图象对应的是一次函数，设为y＝k2x＋b（k2≠0）．把（2，6），（10，3）代入即可求出k2，b； （2）由图象可知，有两个时刻成人血液中的含药量为4μg，这两个时刻间的时间段内含药量高于4μg，通过计算即可得. 试题解析：（1）设x≤2和x>2时，y与x之间的函数关系式分别为y=k1x，y=k2x+b， 将点（2，6）代入y=k1x，解得k1=3， 将点（2，6）（10，3）代入y=k2x+b，则6=2k2+b，3=10k2+b， 解得k2=-，b=， 即x≤2时解析式为y=3x（0≤x≤2），x>2时，解析式为y=-x+（x>2）； （2）将y=4，分别代入上述两个解析式，4=3x，解得x=， 4=-x+，解得x=， 故有效时间为-=6（小时）， 每天至少吃24÷6=4（次）. 21．（本题8分）【问题背景】我国传统的计重工具—秤的应用，方便了人们的生活，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物物体的质量（如图①）．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为（厘米）时，秤钩所挂物重为（千克），则是的一次函数． 【记录数据】表中为若干次称重时，某数学兴趣小组所记录的一些数据． /厘米 0 1 2 4 7 11 12 /千克 0.5 0.75 1.00 1.50 2.75 3.25 3.50 探索发现（1）在上表的数据中，发现有一对数据记录错误．在图②中，通过描点的方法，观察判断哪一对数据是错误的？ （2）求出与之间的函数关系式； 【结论应用】当秤钩所挂物重是5.5千克时，秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为多少？ 【答案】探索发现：（1），这组数据错误；（2）；结论应用：秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为20厘米时，秤钩所挂物重是5.5千克 【分析】本题考查了画函数图象、一次函数的应用，正确求出函数解析式是解此题的关键． [探索发现]：（1）画出函数图象，根据图象判断即可得解； （2）利用待定系数法求解即可； [结论应用]：当时，，求出的值即可得解． 【详解】解：[探索发现]：（1）作出图象如图， 由图可知：，这组数据错误． （2）设， 把，和，代入可得：， 解得， 即． [结论应用]：当时，， 解得 答：秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为20厘米时，秤钩所挂物重是5.5千克． 22．（本题10分）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴正半轴交于点，的面积为16；直线与直线交于点．    (1)求直线的解析式； (2)求的长； (3)若直线上有一点，满足，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先求出点，点坐标，由三角形的面积可求的值，即可求解； （2）根据两直线交点的求法求得点的坐标；然后利用勾股定理求得的长度； （3）分两种情况讨论，利用平行线的性质和勾股定理可求解． 【详解】（1）解： 直线与轴交于点，与轴正半轴交于点， 点，点， ，， 的面积为16， ， ， 直线的解析式为：； （2）解：由题意，得， 解得． 故． 则； （3）解：由（1）知，则点， 当点在直线的上方时，   ， ， 点的纵坐标为4， 点在直线上， ， ， 点， 当点在直线的下方时，延长交于， ， ， ， ， ， 点， 设直线的解析式为：， ， ， 直线的解析式为：， 联立方程组可得：， ． 点， 综上所述：点坐标为或． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，待定系数法求解析式，勾股定理，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 23．（本题10分）如图，直线与轴、轴分别交于点和点是上的一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的点处．求： (1)求、两点坐标； (2)求坐标； (3)在轴上找一点，使得以点、、为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出所有点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或或或 【分析】本题考查一次函数、勾股定理于折叠、等腰三角形的定义等知识点，将图形与数学知识相结合是解题的关键． （1）令可求得A点坐标；令，得B点坐标； （2）由勾股定理可得线段，由折叠的性质可知，，进而得到，设，则，在中，由勾股定理可得m值，即可确定点M坐标； （3）由勾股定理可得，然后分三种情况分别画出图形并运用等腰三角形的定义和勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：， 令，则；，则； ，； （2）解：，， ，， ， 由折叠的性质可知，， ， 设，则， 在中，由勾股定理可得， 解得， ； （3）解：由（2）知，， ； 以点M为圆心，长为半径画圆交x轴于一点P，此时， ； ； 以点为圆心，长为半径画圆交x轴于一点P，此时， 或， 或； 如图：作线段的垂直平分线交x轴于一点P，此时，， 设，则， 在中，由勾股定理可得， 解得， ； 综合上述，点P的坐标为或或或． 24．（本题12分）当今时代，科技的发展日新月异，扫地机器人受到越来越多的消费者青睐，市场需求不断增长．某公司旗下扫地机器人配件销售部门，当前负责销售、两种配件．已知购进50件配件和125件配件需支出成本20000元；购进40件配件和40件配件需支出成本12400元． (1)求、两种配件的进货单价； (2)若该配件销售部门计划购进、两种配件共400件，配件进货件数不低于配件件数的3倍．据市场销售分析，配件提价16%销售，配件的售价是进价的．怎样安排、两种配件的进货数量，才能让本次销售的利润达到最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)配件的进货单价为250元，B配件的进货单价为60元 (2)购进A配件100件，B配件300件获得利润最大，最大利润为10000元 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，不等式的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程和关系式． （1）设配件的进货单价为x元，B配件的进货单价为y元，根据购进50件配件和125件配件需支出成本20000元；购进40件配件和40件配件需支出成本12400元，列出方程组，解方程组即可； （2）设购进A配件件，则购进配件件，获得的利润为w元，得出，根据配件进货件数不低于配件件数的3倍，求出，根据一次函数增减性求出结果即可． 【详解】（1）解：设配件的进货单价为x元，B配件的进货单价为y元，根据题意得： ， 解得：， 答：配件的进货单价为250元，B配件的进货单价为60元； （2）解：设购进A配件件，则购进配件件，获得的利润为w元，根据题意得： ， ∵配件进货件数不低于配件件数的3倍， ∴， 解得：， ∵， ∴w随m的增大而增大， ∴当时，获得利润最大，且最大利润为：（元）， 此时需要购进A配件100件，B配件300件． 25．（本题12分）【探索发现】如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于点．过作于点，则，我们称这种全等模型为“k型全等”．（不需要证明） 【迁移应用】已知：直线的图像与轴、轴分别交于、两点． (1)如图2，当时，在第一象限构造等腰直角，． ①直接写出_____，_____； ②点的坐标_____； (2)如图3，当的取值变化，点随之在轴负半轴上运动时，在轴左侧过点作，并且，连接，问的面积是否发生变化？若不变，求出面积；若变，请说明理由； (3)【拓展应用】如图4，若，是直线上的动点，点在轴上的坐标为，动点坐标为，当是以为斜边的等腰直角三角形时，点的坐标是_____（直接写出答案即可）． 【答案】(1)①8，6；② (2)不变， (3)点的坐标为或 【分析】（1）①若，则直线与轴，轴分别交于，两点，即可求解；②过点作轴，垂足为，证明，由全等三角形的性质可得，，即可求解； （2）当的取值变化，点随之在轴负半轴上运动时，过点作轴，垂足为，证明，由全等三角形的性质得，根据三角形的面积公式即可求解； （3）过点作轴于，过点作于，证明，可分两种情况讨论，由全等三角形的性质得，，进而可得点的坐标，然后将点的坐标代入求得的值，即可求解． 【详解】（1）解：①当时，直线解析式为， 令，则，即， 令，则有， 解得，即， ，． 故答案为：8，6； ②过点作轴，垂足为，如下图， ∵为等腰直角三角形，， ∴，， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：； （2）解：当的取值变化时，的面积是定值，，理由如下： 如下图，过点作轴，垂足为， 则， ∵，， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴当的取值变化时，的面积是定值，； （3）解：当时，如下图，过点作轴于，过点作于， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴． ∴，， ∴， ∴点的坐标为， ∵， ∴直线，将点的坐标代入， 可得，， 解得， ∴，， ∴点的坐标为； 当时，过点作轴于，过点作于， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， ∵， ∴直线，将点的坐标代入， 可得， 解得， ∴，， ∴点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的图像及性质、坐标与图形、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握一次函数的图像及性质，正确作出辅助线构造全等三角形解题是关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$