第十章 二元一次方程组（B卷培优卷单元重点综合测试）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记•巧练（广州专用，人教版2024）

第十章二元一次方程组（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．（本题3分）下列各方程组中，不是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 2．（本题3分）二元一次方程有无数多个解，下列四组值中是该方程的解的是（   ） A． B． C． D． 3．（本题3分）若是关于的二元一次方程的一组解，则的值为（   ） A．2 B． C．8 D．1 4．（本题3分）用加减消元法解方程时，最简捷的方法是（    ） A．②×2+①，消去 B．②×2-①，消去 C．①×4-②×3，消去 D．①×4+②×3，消去 5．（本题3分）由方程组可得出x与y之间的关系是（    ） A． B． C． D． 6．（本题3分）方程组的解为，则☆，O分别为（    ） A．9， B．9，1 C．7， D．5，1 7．（本题3分）某车间有26名工人，每人每天可以生产800个螺钉或1000个螺母，1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套．设安排名工人生产螺钉，名工人生产螺母．则下面所列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 8．（本题3分）为迎接2022年北京冬奥会，某校开展了以迎冬奥为主题的演讲活动，计划拿出180 元钱全部用于购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励表现突出的学生，已知甲种奖品每件15元，乙种奖品每件10元，则购买方案有（    ） A．5种 B．6种 C．7种 D．8种 9．（本题3分）如图，小明爷爷有一块长为，宽为的长方形土地，现要沿平行于长方形各边的方向分割出三个完全相同的小长方形土地种植郁金香，设小长方形土地的长为，宽为，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 10．（本题3分）已知关于x，y的方程组，以下结论其中不成立是（    ）． A．不论k取什么实数，的值始终不变 B．存在实数k，使得 C．当时， D．当，方程组的解也是方程的解 2、 填空题：共6题，每题3分，共18分。 11．（本题3分）若关于，的方程是二元一次方程，则 ． 12．（本题3分）已知□x-2y=8中，x的系数已经模糊不清（用“□”表示），但已知是这个方程的一个解，则□表示的数为 13．（本题3分）满足方程组的x，y互为相反数，则m = ． 14．（本题3分）若关于的方程组的解满足，则的值为 ． 15．（本题3分）定义运算“*”，规定，其中a，b为常数，且，则 ． 16．（本题3分）如图，小强和小红一起搭积木，小强所搭的“小塔”的高度为23 cm，小红所搭的“小树”的高度为22 cm，设每块A型积木的高为x cm，每块B型积木的高为y cm，则x= ，y= ． 三、解答题：共9题，共72分，其中第17~18题每小题4分，第19~20题每小题6分，第21题8分，第22~23题每小题10分，第24~25题每小题12分。 17．（本题4分）解方程组：（1）（用代入消元法）；（2）（用加减消元法） 18．（本题4分）某同学在解关于x，y的方程组时，本应解出，由于看错了系数c，而得到，求a＋b－c的值． 19．（本题6分）甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，试计算的值． 20．（本题6分）列二元一次方程组求解应用题． 某商店用2200元购进《青春之歌》和《林海雪原》两种红色文化教育读本共100本，这两种的书籍的进价、标价如表所示： 书名 价格 青春之歌 林海雪原 进价（元∕本） 20 25 标价（元∕本） 30 40 （1）《青春之歌》、《林海雪原》各购进了多少本？ （2）若《青春之歌》按标价的9折出售，《林海雪原》按标价的8折出售，那么这两种书全部售出后，该商店共获利多少元？ 21．（本题8分）为防止城市雨水内涝，政府对一段1200米长的管道进行改造，如果乙工程队单独施工了18天，剩余的任务由甲工程队再单独施工8天可以完成；如果甲工程队单独施工了16天，剩余的任务由乙工程队再单独施工6天可以完成． (1)甲、乙工程队每天各施工多少米？ (2)若甲工程队施工一天的费用为3000元，乙工程队施工一天的费用为2000元，当两队施工天数相同时，求需支付的总费用为多少元？ 22．（本题10分）为奖励优秀学生，某校准备购买一批文具袋和圆规作为奖品，已知购买1个文具袋和2个圆规需21元，购买2个文具袋和3个圆规需39元． （1）求文具袋和圆规的单价． （2）学校准备购买文具袋20个，圆规100个，文具店给出两种优惠方案： 方案一：每购买一个文具袋赠送1个圆规． 方案二：购买10个以上圆规时，超出10个的部分按原价的八折优惠，文具袋不打折．学校选择哪种方案更划算？请说明理由． 23．（本题10分）阅读下列解方程组的方法，然后回答问题． 解方程组 解：由①②，得，即，③ ③14，得，④ ②④，得，从而可得， 方程组的解是 (1)请你仿上面的解法解方程组 (2)猜测关于的方程组的解是什么，并利用方程组的解加以验证． 24．（本题12分）对实数，定义一种新运算，规定（其中，均为常数），例如：，． (1)求，的值； (2)求关于，的方程的正整数解． 25．（本题12分）把（其中，是常数，，是未知数）这样的方程称为“雅系二元一次方程”当时，“雅系二元一次方程”中的值称为“雅系二元一次方程”的“完美值”例如：当时，“雅系二元一次方程”化为，其“完美值”为． (1)求“雅系二元一次方程”的“完美值”； (2)是“雅系二元一次方程”的“完美值”，求的值； (3)是否存在，使得“雅系二元一次方程”与（是常数）的“完美值”相同？若存在，请求出的值及此时的“完美值”；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十章二元一次方程组（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．（本题3分）下列各方程组中，不是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二元一次方程组的定义“二元一次方程是指含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程；两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程叫二元一次方程．”判断即可． 本题考查了二元一次方程组的定义，熟记定义是解题关键． 【详解】解：A、是二元一次方程组，此项符合题意； B、方程组中的第二个方程不是整式方程，此项不符合题意； C、是二元一次方程组，此项符合题意； D、是二元一次方程组，此项符合题意； 故选：B． 2．（本题3分）二元一次方程有无数多个解，下列四组值中是该方程的解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将选项中的的值代入方程中，若方程等号两边相等则是方程的解，否则就不是方程的解. 【详解】解：选项A，将代入，方程左边右边，故不是方程的解； 选项B，将代入，方程左边右边，故不是方程的解； 选项C，将代入，方程左边右边，故不是方程的解； 选项D，将代入，方程左边右边，是方程的解； 故选：D. 【点睛】本题考查二元一次方程的解，是方程的解就是将未知数代入方程中，等号左边等于等号右边. 3．（本题3分）若是关于的二元一次方程的一组解，则的值为（   ） A．2 B． C．8 D．1 【答案】A 【分析】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程两边都相等的未知数的值，理解解的定义是关键． 把与的值代入方程计算求出的值，代入原式计算即可求出值． 【详解】解：把代入方程得：，即， 则， 故选：A． 4．（本题3分）用加减消元法解方程时，最简捷的方法是（    ） A．②×2+①，消去 B．②×2-①，消去 C．①×4-②×3，消去 D．①×4+②×3，消去 【答案】B 【分析】把②×2-①，即可消去. 【详解】把②×2-①，得 5x=20， 故选：B. 【点睛】本题运用了加减消元法求解二元一次方程组，需要注意的是运用这种方法需满足其中一个未知数的系数相同或互为相反数，若不具备这种特征，则根据等式的性质将其中一个方程变形或将两个方程都变形，使其具备这种形式． 5．（本题3分）由方程组可得出x与y之间的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，直接把方程组两个方程相加即可得到答案． 【详解】解：把方程组两个方程相加得到， ∴， 故选：B． 6．（本题3分）方程组的解为，则☆，O分别为（    ） A．9， B．9，1 C．7， D．5，1 【答案】C 【分析】把代入，可确定O的值，再把代入可确定☆的值． 【详解】解：把代入，得， ∴O表示的是， 把代入，得， 即，， 故选：C． 【点睛】本题考查二元一次方程组的解，理解二元一次方程组的解的意义是正确解答的关键． 7．（本题3分）某车间有26名工人，每人每天可以生产800个螺钉或1000个螺母，1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套．设安排名工人生产螺钉，名工人生产螺母．则下面所列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组．根据车间有26名工人，可得，根据1个螺钉需要配两个螺母，可得到，然后即可列出相应的方程组． 【详解】解：由题意可得， ， 故选：C． 8．（本题3分）为迎接2022年北京冬奥会，某校开展了以迎冬奥为主题的演讲活动，计划拿出180 元钱全部用于购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励表现突出的学生，已知甲种奖品每件15元，乙种奖品每件10元，则购买方案有（    ） A．5种 B．6种 C．7种 D．8种 【答案】A 【分析】设购买甲种奖品为x件，乙种奖品为y件，由题意可得，进而求解即可． 【详解】解：设购买甲种奖品为x件，乙种奖品为y件，由题意可得： ， ∴， ∵，且x、y都为正整数， ∴当时，则； 当时，则； 当时，则； 当时，则； 当时，则； ∴购买方案有5种； 故选A． 【点睛】本题主要考查二元一次方程的应用，正确理解题意、掌握求解的方法是解题的关键． 9．（本题3分）如图，小明爷爷有一块长为，宽为的长方形土地，现要沿平行于长方形各边的方向分割出三个完全相同的小长方形土地种植郁金香，设小长方形土地的长为，宽为，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解决本题的关键是根据图形审题，列出方程组．根据图形可知两个小长方形土地加一个小长方形土地的宽即铺满了长方形块空地的长，即，两个小长方形土地的宽加一个小长方形土地的长即铺满了长方形空地的宽，即，解方程组即可． 【详解】解：设小长方形土地的长为，宽为，根据题意得：， 故选：D． 10．（本题3分）已知关于x，y的方程组，以下结论其中不成立是（    ）． A．不论k取什么实数，的值始终不变 B．存在实数k，使得 C．当时， D．当，方程组的解也是方程的解 【答案】D 【分析】把k看成常数，解出关于x，y的二元一次方程组（解中含有k），然后根据选项逐一分析即可． 【详解】解：，解得：，然后根据选项分析： A选项，不论k取何值，，值始终不变，成立； B选项，，解得，存在这样的实数k，成立； C选项，，解得，成立； D选项，当时，，则，不成立； 故选D． 【点睛】本题考查了含有参数的二元一次方程组的解法，正确解出含有参数的二元一次方程组（解中含有参数）是解决本题的关键． 2、 填空题：共6题，每题3分，共18分。 11．（本题3分）若关于，的方程是二元一次方程，则 ． 【答案】2或4 【分析】根据二元一次方程的定义，可得x和y的指数分别都为1，列关于m、n的方程，然后求解即可． 【详解】根据二元一次方程的定义： 解得：m=3，， ∴m+n=3+1=4或m+n=3-1=2； 故答案为：2或4． 【点睛】本题考查二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程． 12．（本题3分）已知□x-2y=8中，x的系数已经模糊不清（用“□”表示），但已知是这个方程的一个解，则□表示的数为 【答案】5 【分析】设a=□，即方程为ax-2y=8，把 代入方程，得到一个含有未知数的一元一次方程，从而可以求出a的值． 【详解】解：设a=□，即方程为ax-2y=8， 把方程的解 代入方程ax-2y=8， 得 2a-2=8， 解得a=5． 即□表示的数为5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查的是方程的解的含义，解题关键是把方程的解代入原方程，把关于x和y的方程转化为关于□的一元一次方程，求解即可． 13．（本题3分）满足方程组的x，y互为相反数，则m = ． 【答案】1 【分析】利用x，y互为相反数，可知x=-y，将其代入方程组，并进行求解即可． 【详解】解：由题意得x=-y，将其代入方程组得：， 即， ∴3m=m+2， 解得：m=1． 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查的是二元一次方程组的求解，理解题意，将未知数代入求解是解题的关键． 14．（本题3分）若关于的方程组的解满足，则的值为 ． 【答案】2024 【分析】本题考查了已知二元一次方程组的解求参数，理解二元一次方程的解的定义是解题关键．首先用加减消元计算得到，然后根据得到，进而求解即可． 【详解】解：． 得， ， ． 故答案为：． 15．（本题3分）定义运算“*”，规定，其中a，b为常数，且，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义，解二元一次方程组，先根据新定义得到，解方程组求出a、b的值即可得到答案． 【详解】解：由题意得， ， 解得， ∴， 故答案为：． 16．（本题3分）如图，小强和小红一起搭积木，小强所搭的“小塔”的高度为23 cm，小红所搭的“小树”的高度为22 cm，设每块A型积木的高为x cm，每块B型积木的高为y cm，则x= ，y= ． 【答案】 4 5 【详解】解：根据小强搭的积木的高度=A的高度×2+B的高度×3，小红搭的积木的高度=A的高度×3+B的高度×2， 依两个等量关系列出方程组， 解得． 故答案为：4和5． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是看清图形的意思，找出等量关系列方程组求解． 三、解答题：共9题，共72分，其中第17~18题每小题4分，第19~20题每小题6分，第21题8分，第22~23题每小题10分，第24~25题每小题12分。 17．（本题4分）解方程组：（1）（用代入消元法）；（2）（用加减消元法） 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）规定用代入消元法，选择①中两个未知数，用一个未知数来表示另一个未知数x＝4＋y，代入②中求出y＝，最后将y的值代回①中求出x＝，即可求原方程组的解； （2）规定用加减消元法，观察方程组消去其中的一个未知数y，只需将①×2−②，可得x＝2，将x＝2代回原方程组中的②得y＝1，即可求出原方程组的解． 【详解】解：（1）， 由①得：x＝4+y，③， 把③代入②得：4（4+y）+2y＝﹣1， 解得：y＝； 把y＝代入①得：x＝， ∴二元一次方程组的解为； （2）， 由①×2﹣②得：15x＝30， 解得：x＝2， 把x＝2代入②得：3×2+4y＝10， 解得：y＝1， ∴二元一次方程组的解为. 【点睛】本题考查二元一次方程组的解法，一是代入消元法，二是加减消元法，重点是掌握解方程组的思想是“消元”，两种方法都是将二元一次方程组转化成一元一次方程，然后返代回去解另一个未知数的值；难点是针对不同题型灵活选择二元一次方程组的不同解法，减少计算量． 18．（本题4分）某同学在解关于x，y的方程组时，本应解出，由于看错了系数c，而得到，求a＋b－c的值． 【答案】11 【分析】根据方程的解的定义，把正确的解代入两方程 ，可得一个关于a、b的方程，并能求出c的值，又因看错系数c解得错误解为，即a、b的值没有看错，可把解为再次代入ax＋by＝2，可得又一个关于a、b的方程，将它们联立，即可求出a、b的值． 【详解】解：把代入cx−7y＝8，得：3c＋14＝8， 解得：c＝−2， 把代入ax＋by＝2，得：3a−2b＝2， ∵看错系数c，解得错误解为， 把代入ax＋by＝2，得：−2a＋2b＝2， ∴      解得： ∴a＋b－c＝4＋5－（－2）＝11 【点睛】本题考查学生解二元一次方程组的能力．本题要求学生理解方程组的解的定义，以及看错系数c的含义：即方程组中除了系数c看错以外，其余的系数都是正确的． 19．（本题6分）甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，试计算的值． 【答案】0 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，将代入方程组的第二个方程，代入方程组的第一个方程，分别求出a与b的值，即可求出所求式子的值． 【详解】解：把代入②，得， 解得； 把代入①，得， 解得； 所以． 20．（本题6分）列二元一次方程组求解应用题． 某商店用2200元购进《青春之歌》和《林海雪原》两种红色文化教育读本共100本，这两种的书籍的进价、标价如表所示： 书名 价格 青春之歌 林海雪原 进价（元∕本） 20 25 标价（元∕本） 30 40 （1）《青春之歌》、《林海雪原》各购进了多少本？ （2）若《青春之歌》按标价的9折出售，《林海雪原》按标价的8折出售，那么这两种书全部售出后，该商店共获利多少元？ 【答案】（1）《青春之歌》购进了60本，《林海雪原》购进了40本；（2）700元 【分析】（1）设《青春之歌》购进了x本，《林海雪原》购进了y本，根据题意列方程组即可得到结论； （2）根据题意列式计算即可． 【详解】解：（1）设《青春之歌》购进了x本，《林海雪原》购进了y本， 根据题意得，， 解得：， 答：《青春之歌》购进了60本，《林海雪原》购进了40本； （2）根据题意得，商店共获利： （30×90%﹣20）×60＋（40×80%﹣25）×40＝700（元）， 答：商店共获利700元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意找到等量关系列出方程组是解题的关键． 21．（本题8分）为防止城市雨水内涝，政府对一段1200米长的管道进行改造，如果乙工程队单独施工了18天，剩余的任务由甲工程队再单独施工8天可以完成；如果甲工程队单独施工了16天，剩余的任务由乙工程队再单独施工6天可以完成． (1)甲、乙工程队每天各施工多少米？ (2)若甲工程队施工一天的费用为3000元，乙工程队施工一天的费用为2000元，当两队施工天数相同时，求需支付的总费用为多少元？ 【答案】(1)甲工程队每天施工60米，乙工程队每天施工40米 (2)需支付的总费用为60000元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，以及一元一次方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． （1）设甲工程队每天施工x米，乙工程队每天施工y米，根据题意列出二元一次方程组求解，即可解题； （2）设甲工程队施工a天，需支付的总费用为w元，则乙工程队施工a天，根据题意列出方程求出a的值，再根据“总费用甲工程队费用乙工程队费用求解”即可解题． 【详解】（1）解：设甲工程队每天施工x米，乙工程队每天施工y米， 根据题意，得， 解得． 答：甲工程队每天施工60米，乙工程队每天施工40米； （2）设甲工程队施工a天，需支付的总费用为w元，则乙工程队施工a天， 则， 解得， （元）． 答：需支付的总费用为60000元． 22．（本题10分）为奖励优秀学生，某校准备购买一批文具袋和圆规作为奖品，已知购买1个文具袋和2个圆规需21元，购买2个文具袋和3个圆规需39元． （1）求文具袋和圆规的单价． （2）学校准备购买文具袋20个，圆规100个，文具店给出两种优惠方案： 方案一：每购买一个文具袋赠送1个圆规． 方案二：购买10个以上圆规时，超出10个的部分按原价的八折优惠，文具袋不打折．学校选择哪种方案更划算？请说明理由． 【答案】（1）文具袋的单价为15元，圆规的单价为3元；（2）选择方案一更划算 【分析】（1）设文具袋的单价为x元，圆规的单价为y元．根据题意列出方程即可求出答案． （2）分别计算两种方案的总费用即可求出答案． 【详解】（1）设文具袋的单价为元，圆规的单价为元． 依题意，得 解得 答：文具袋的单价为15元，圆规的单价为3元． （2）选择方案一的总费用为（元， 选择方案二的总费用为（元， ， 选择方案一更划算． 【点睛】本题考查二元一次方程组，解题的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于基础题型． 23．（本题10分）阅读下列解方程组的方法，然后回答问题． 解方程组 解：由①②，得，即，③ ③14，得，④ ②④，得，从而可得， 方程组的解是 (1)请你仿上面的解法解方程组 (2)猜测关于的方程组的解是什么，并利用方程组的解加以验证． 【答案】(1) (2)，验证见解析 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解． （1）②①，得③，，得，求出x，再把代入③求出y即可； （2）①②，得，求出③，，得，求出x，再把代入③求出y即可． 【详解】（1）解：， ②①，得③， ，得，解得， 把代入③，得，解得， 所以原方程组的解是； （2）解：猜测方程组的解是； ， ①②，得， ， ③， ，得，解得， 把代入③，得，解得， 所以原方程组的解是． 24．（本题12分）对实数，定义一种新运算，规定（其中，均为常数），例如：，． (1)求，的值； (2)求关于，的方程的正整数解． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了新运算、二元一次方程组的解法、二元一次方程的正整数解，解决本题的关键是把规定的新运算转化为一般的方程组，通过解方程组求出字母的值． 把和分别代入，可得关于、的二元一次方程组，解方程组求出、的值即可； 由可知，可得：、，根据，可得关于、的方程组，整理可得，再根据、为正整数，分情况讨论确定于、的值即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：， ， 可得方程组:， 得：， 解得， 把代入得：， 解得：， 方程组的解为：， 的值为，的值为； （2）解：把，代入， 可得：， ， ， 原方程可化为， 整理得：， ， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，不符合题意，舍去； 当时，； 当时，为负数，不符合题意，舍去； 方程的正整数解为． 25．（本题12分）把（其中，是常数，，是未知数）这样的方程称为“雅系二元一次方程”当时，“雅系二元一次方程”中的值称为“雅系二元一次方程”的“完美值”例如：当时，“雅系二元一次方程”化为，其“完美值”为． (1)求“雅系二元一次方程”的“完美值”； (2)是“雅系二元一次方程”的“完美值”，求的值； (3)是否存在，使得“雅系二元一次方程”与（是常数）的“完美值”相同？若存在，请求出的值及此时的“完美值”；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)“雅系二元一次方程”的“完美值”为 (2) (3)存在，使得“雅系二元一次方程”与（是常数）的“完美值”相同，“完美值”为，理由见解析 【分析】（1）由题意可得，即可求解； （2）由题意可得，求出即可； （3）由题意可得，得，，得，再由，即可求的值． 【详解】（1）解：是“雅系二元一次方程”， ， 解得， “雅系二元一次方程”的“完美值”为； （2）解：是“雅系二元一次方程”的“完美值”， ， 解得； （3）解：存在，使得“雅系二元一次方程”与是常数的“完美值”相同，理由如下： 由，得， 由，得， ， 解得， ， “完美值”为． 【点睛】本题考查二元一次方程的解，理解新定义，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键． 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