第十章 二元一次方程组（A卷提升卷单元重点综合测试）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记•巧练（广州专用，人教版2024）

第十章 二元一次方程组（A卷·提升卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．（本题3分）下列是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解题的关键； 根据含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程，逐项判断即可， 【详解】解： A、含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程，是二元一次方程，符合题意， B、未知数项的最高次数是2，不是二元一次方程，不符合题意， C、含有3个未知数，不是二元一次方程，不符合题意， D、分母中含有未知数，是分式方程，不是二元一次方程，不符合题意， 故选：A． 2．（本题3分）若一个方程组的解为，则这个方程组可能是（    ） A． B． C ． D． 【答案】B 【分析】根据二元一次方程解的定义解答即可． 【详解】解：A、x=2，y=1，x+y=3，x-y=2-1=1，不适合方程组中的第二个方程，故本选项不符合题意； B、x=2，y=1适合方程组中的每一个方程，故本选项符合题意； C、x=2，y=1，x+2y=4，2x-y=4-1=3，不适合方程组中的第二个方程，故该选项不符合题意． D、x=2，y=1，4x+5y=4×2+5×1=13，3x-4y=3×2-4×1=2，不适合方程组中的第二个方程，故本选项不符合题意； 故选B． 【点睛】本题主要考查了方程组的解．掌握方程组解的定义是解答本题的关键． 3．（本题3分）方程是关于x，y的二元一次方程，则k的值为（    ） A．0 B．2 C．0或2 D．3 【答案】A 【分析】根据二元一次方程的定义求解即可． 【详解】∵方程是关于x，y的二元一次方程 ∴ 解得 故选：A 【点睛】本题考查二元一次方程的定义，理解二元一次方程的定义是解题的关键． 4．（本题3分）用加减消元法解方程组时，得（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把两个方程相减，合并同类项即可得到答案． 【详解】解：得： 即 故选D. 【点睛】本题考查的是利用加减消元法解二元一次方程组，掌握“加减消元法时确定先消去哪个未知数”是解本题的关键． 5．（本题3分）若是关于的二元一次方程的一组解，则的值为（   ） A．2 B． C．8 D．1 【答案】A 【分析】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程两边都相等的未知数的值，理解解的定义是关键． 把与的值代入方程计算求出的值，代入原式计算即可求出值． 【详解】解：把代入方程得：，即， 则， 故选：A． 6．（本题3分）已知二元一次方程组，则的值是（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】此题考查了解二元一次方程组，方程组两方程相减求出的值即可． 【详解】解：， ①②得：， 故选：B． 7．（本题3分）若单项式2x2ya+b与-xa-by4是同类项，则a，b的值分别为(    ) A．a＝3，b＝1                    B．a＝-3，b＝1 C．a＝3，b＝-1 D．a＝-3，b＝-1 【答案】A 【详解】试题分析：∵单项式与是同类项，∴，解得：a=3，b=1，故选A． 考点：1．解二元一次方程组；2．同类项． 8．（本题3分）有一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和为9，十位上的数字比个位上的数字大3，则这个两位数是（    ） A．47 B．56 C．63 D．84 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，先设十位上的数字为x，个位上的数字为y，再结合“十位上的数字与个位上的数字之和为9，十位上的数字比个位上的数字大3，”进行列式计算，即可作答． 【详解】解：设十位上的数字为x，个位上的数字为y， 根据题意，得 解得 这个两位数是63． 9．（本题3分）在“幻方拓展课程”探索中，小明在如图的3×3方格内填入了一些表示数的代数式，若图中各行、各列及对角线上的三个数之和都相等，则x﹣y=(　　　) A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】由图中各行、各列及对角线上的三个数之和都相等，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入（x-y）中即可求出结论． 【详解】依题意得：， 解得：， ∴x﹣y=8﹣2=6． 故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 10．（本题3分）若关于，的两个方程组与有相同的解，则在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法及象限的点的坐标特点．先由方程组求得，结合，得到，解得，再分别求得x、y的值，即可求得b的值，最后判断点所在的象限． 【详解】解：方程组， 得， ∵， ∴， 解得， ∴，即， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴点即在第一象限， 故选：A． 2、 填空题：共6题，每题3分，共18分。 11．（本题3分）已知二元一次方程y﹣2x＝1，用含x的代数式表示y，则y＝ ． 【答案】2x+1 【分析】把x看作已知数，解关于y的方程即可． 【详解】解：由y﹣2x＝1，得到y＝2x+1． 故答案为：2x+1 【点睛】此题考查了二元一次方程，一般表示谁，就把谁看作未知数，解方程即可． 12．（本题3分）已知□x-2y=8中，x的系数已经模糊不清（用“□”表示），但已知是这个方程的一个解，则□表示的数为 【答案】5 【分析】设a=□，即方程为ax-2y=8，把 代入方程，得到一个含有未知数的一元一次方程，从而可以求出a的值． 【详解】解：设a=□，即方程为ax-2y=8， 把方程的解 代入方程ax-2y=8， 得 2a-2=8， 解得a=5． 即□表示的数为5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查的是方程的解的含义，解题关键是把方程的解代入原方程，把关于x和y的方程转化为关于□的一元一次方程，求解即可． 13．（本题3分）一个长方形的周长是，宽比长少，如果设长为，宽为，根据题意，可列方程组为 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据题意找出等量关系．设长为，宽为，根据题意列出二元一次方程组即可． 【详解】解：设长为，宽为， 根据题意得，． 故答案为：． 14．（本题3分）若关于的方程组的解满足，则的值为 ． 【答案】2024 【分析】本题考查了已知二元一次方程组的解求参数，理解二元一次方程的解的定义是解题关键．首先用加减消元计算得到，然后根据得到，进而求解即可． 【详解】解：． 得， ， ． 故答案为：． 15．（本题3分）《九章算术》中有一道题的条件是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．”大致意思是：有大小两种盛米的桶，5大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加5小桶共盛2斛米，依据该条件，1大桶加1小桶共盛＝ 斛米.（注：斛是古代一种容量单位） 【答案】 【分析】设一个大桶盛酒x斛，一个小桶盛酒y斛，根据“5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛”即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y值，将其相加即可得出结论． 【详解】设一个大桶盛酒x斛，一个小桶盛酒y斛， 根据题意得： ， 解得： . ∴x+y=. 故答案为 【点睛】此题考查二元一次方程组的应用，解题关键在于列出方程 16．（本题3分）定义运算“*”，规定，其中a，b为常数，且，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义，解二元一次方程组，先根据新定义得到，解方程组求出a、b的值即可得到答案． 【详解】解：由题意得， ， 解得， ∴， 故答案为：． 三、解答题：共9题，共72分，其中第17~18题每小题4分，第19~20题每小题6分，第21题8分，第22~23题每小题10分，第24~25题每小题12分。 17．（本题4分）解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数． （1）方程组利用代入消元法求解即可； （2）方程组利用加减消元法求解即可． 【详解】（1） 由①得．③ 把③代入②，得， 解得． 把代入③，得， 故原方程组的解是； （2） ，得，解得． 把代入①，得， 解得， 故原方程组的解是． 18．（本题4分）某同学在解关于x，y的方程组时，本应解出，由于看错了系数c，而得到，求a＋b－c的值． 【答案】11 【分析】根据方程的解的定义，把正确的解代入两方程 ，可得一个关于a、b的方程，并能求出c的值，又因看错系数c解得错误解为，即a、b的值没有看错，可把解为再次代入ax＋by＝2，可得又一个关于a、b的方程，将它们联立，即可求出a、b的值． 【详解】解：把代入cx−7y＝8，得：3c＋14＝8， 解得：c＝−2， 把代入ax＋by＝2，得：3a−2b＝2， ∵看错系数c，解得错误解为， 把代入ax＋by＝2，得：−2a＋2b＝2， ∴      解得： ∴a＋b－c＝4＋5－（－2）＝11 【点睛】本题考查学生解二元一次方程组的能力．本题要求学生理解方程组的解的定义，以及看错系数c的含义：即方程组中除了系数c看错以外，其余的系数都是正确的． 19．（本题6分）制作一张桌子要用一个桌面和4条桌腿，木材可制作20个桌面，或者制作400条桌腿，现有木材，要使生产出来的桌面和桌腿恰好都配成方桌，应用多少立方米木材来生产桌面？多少立方米木材生产桌腿？ 【答案】应安排10立方米木材用来生产桌面，2立方米木材生产桌腿． 【分析】设应安排木材用来生产桌面，则应安排木材用来生产桌腿．“木材可制作20个桌面，或者制作400条桌腿”求出桌面数与桌腿数．根据一张桌子要用一个桌面和4条桌腿配套，利用桌面数×4=桌腿数建立方程求出其解即可． 【详解】解：设用木材制作桌面，则用木材制作桌腿， 根据题意得， 整理得：， 解得：， ． 答：应安排10立方米木材用来生产桌面，2立方米木材生产桌腿． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用与求解，根据题意正确列出方程式是解题关键． 20．（本题6分）在季后赛的一场焦点大战中，一位球员在比赛中的技术统计如下表所示： 技术 上场时间（分钟） 出手投篮（次） 投中（次） 罚球得分 篮板（个） 助攻（次） 个人 总得分 数据 40 38 13 9 11 8 40 （注：表中出手投篮和投中次数均不包含罚球） 根据以上信息，求本次比赛中该运动员投中2分和投中3分的个数． 【答案】8；5 【分析】设本场比赛中该运动员投中2分球x个，3分球y个，根据投中13次，个人总得分40分可列出关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可得出结论． 【详解】解：设本场比赛中该运动员投中2分球x个，3分球y个， 依题意得： ， 解得：． 答：本场比赛中该运动员投中2分球8个，3分球5个． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是审清题意,正确列出方程组． 21．（本题8分）解方程组两位同学的解法如下： 解法一： ①＋②，解得． 解法二： 由②，得．③ 把③代入①中，得． (1)检查两位同学的解题过程是否正确？若有错误，请在错误的步骤后打上“×”； (2)请选择一种你喜欢的方法完成解答． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查利用加减或者代入法解二元一次方程组， （1）根据移项法则可知解法二中存在错误； （2）利用加减法或者代入法求解方程组即可． 【详解】（1）解：如图． 解法一： ①＋②，得． 解法二： 由②，得．③× 把③代入①中，得到．× （2）解：选择解法一：①＋②，得，解得． 把代入①，得，解得， 该方程组的解为 选择解法二：由②，得 ③． 把③代入①，得，解得． 把代入①，得， 该方程组的解为 22．（本题10分）列二元一次方程组求解应用题． 某商店用2200元购进《青春之歌》和《林海雪原》两种红色文化教育读本共100本，这两种的书籍的进价、标价如表所示： 书名 价格 青春之歌 林海雪原 进价（元∕本） 20 25 标价（元∕本） 30 40 （1）《青春之歌》、《林海雪原》各购进了多少本？ （2）若《青春之歌》按标价的9折出售，《林海雪原》按标价的8折出售，那么这两种书全部售出后，该商店共获利多少元？ 【答案】（1）《青春之歌》购进了60本，《林海雪原》购进了40本；（2）700元 【分析】（1）设《青春之歌》购进了x本，《林海雪原》购进了y本，根据题意列方程组即可得到结论； （2）根据题意列式计算即可． 【详解】解：（1）设《青春之歌》购进了x本，《林海雪原》购进了y本， 根据题意得，， 解得：， 答：《青春之歌》购进了60本，《林海雪原》购进了40本； （2）根据题意得，商店共获利： （30×90%﹣20）×60＋（40×80%﹣25）×40＝700（元）， 答：商店共获利700元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意找到等量关系列出方程组是解题的关键． 23．（本题10分）为奖励优秀学生，某校准备购买一批文具袋和圆规作为奖品，已知购买1个文具袋和2个圆规需21元，购买2个文具袋和3个圆规需39元． （1）求文具袋和圆规的单价． （2）学校准备购买文具袋20个，圆规100个，文具店给出两种优惠方案： 方案一：每购买一个文具袋赠送1个圆规． 方案二：购买10个以上圆规时，超出10个的部分按原价的八折优惠，文具袋不打折．学校选择哪种方案更划算？请说明理由． 【答案】（1）文具袋的单价为15元，圆规的单价为3元；（2）选择方案一更划算 【分析】（1）设文具袋的单价为x元，圆规的单价为y元．根据题意列出方程即可求出答案． （2）分别计算两种方案的总费用即可求出答案． 【详解】（1）设文具袋的单价为元，圆规的单价为元． 依题意，得 解得 答：文具袋的单价为15元，圆规的单价为3元． （2）选择方案一的总费用为（元， 选择方案二的总费用为（元， ， 选择方案一更划算． 【点睛】本题考查二元一次方程组，解题的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于基础题型． 24．（本题12分）规定：形如与的两个关于x，y的方程互为“共轭二元一次方程”，其中．由这两个方程组成的方程组叫作“共轭方程组”，k，b称为“共轭系数”． (1)方程的“共轭二元一次方程”为_____________； (2)若关于x，y的二元一次方程组为“共轭方程组”，求此“共轭方程组”的“共轭系数”． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，以及二元一次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键， （1）根据题中共轭二元一次方程的定义判断即可； （2）根据题中共轭二元一次方程的定义判断即可求出“共轭系数”． 【详解】（1）解：∵形如与的两个关于x，y的方程互为“共轭二元一次方程”， ∴方程的共辄二元一次方程为， 故答案为：； （2）解：由题意，得， 整理，得， ，得， ，得，解得， 把代入，得，解得， ，， 故此“共轭方程组”的“共轭系数”为． 25．（本题12分）“整体代换”是一种常用的数学思想，在解二元一次方程组时也可以运用“整体代换”的思想例如：求解二元一次方程组 将②式变形，得③． 将①式代入③式，得，解得． 将代入①式，得，解得， 该二元一次方程组的解为 (1)类比“整体代换”法解方程组 (2)已知，满足方程组求的值． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题主要考查运用“整体代换”解二元一次方程程组： （1）把变形为，再用整体代换的方法解题； （2）把①变形为这样的形式，再利用整体代换的方法解决． 【详解】（1）解： ， 把②变形为③， 把①代入③得，， 解得， 把代入①得， 即方程组的解为； （2）解： 把①变形为③， 把②代入③可得，， 解得， ． 答：的值是4． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十章 二元一次方程组（A卷·提升卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．（本题3分）下列是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（本题3分）若一个方程组的解为，则这个方程组可能是（    ） A． B． C ． D． 3．（本题3分）方程是关于x，y的二元一次方程，则k的值为（    ） A．0 B．2 C．0或2 D．3 4．（本题3分）用加减消元法解方程组时，得（    ） A． B． C． D． 5．（本题3分）若是关于的二元一次方程的一组解，则的值为（   ） A．2 B． C．8 D．1 6．（本题3分）已知二元一次方程组，则的值是（   ） A． B． C．0 D．1 7．（本题3分）若单项式2x2ya+b与-xa-by4是同类项，则a，b的值分别为(    ) A．a＝3，b＝1                    B．a＝-3，b＝1 C．a＝3，b＝-1 D．a＝-3，b＝-1 8．（本题3分）有一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和为9，十位上的数字比个位上的数字大3，则这个两位数是（    ） A．47 B．56 C．63 D．84 9．（本题3分）在“幻方拓展课程”探索中，小明在如图的3×3方格内填入了一些表示数的代数式，若图中各行、各列及对角线上的三个数之和都相等，则x﹣y=(　　　) A．2 B．4 C．6 D．8 10．（本题3分）若关于，的两个方程组与有相同的解，则在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2、 填空题：共6题，每题3分，共18分。 11．（本题3分）已知二元一次方程y﹣2x＝1，用含x的代数式表示y，则y＝ ． 12．（本题3分）已知□x-2y=8中，x的系数已经模糊不清（用“□”表示），但已知是这个方程的一个解，则□表示的数为 13．（本题3分）一个长方形的周长是，宽比长少，如果设长为，宽为，根据题意，可列方程组为 ． 14．（本题3分）若关于的方程组的解满足，则的值为 ． 15．（本题3分）《九章算术》中有一道题的条件是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．”大致意思是：有大小两种盛米的桶，5大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加5小桶共盛2斛米，依据该条件，1大桶加1小桶共盛＝ 斛米.（注：斛是古代一种容量单位） 16．（本题3分）定义运算“*”，规定，其中a，b为常数，且，则 ． 三、解答题：共9题，共72分，其中第17~18题每小题4分，第19~20题每小题6分，第21题8分，第22~23题每小题10分，第24~25题每小题12分。 17．（本题4分）解下列方程组： (1) (2) 18．（本题4分）某同学在解关于x，y的方程组时，本应解出，由于看错了系数c，而得到，求a＋b－c的值． 19．（本题6分）制作一张桌子要用一个桌面和4条桌腿，木材可制作20个桌面，或者制作400条桌腿，现有木材，要使生产出来的桌面和桌腿恰好都配成方桌，应用多少立方米木材来生产桌面？多少立方米木材生产桌腿？ 20．（本题6分）在季后赛的一场焦点大战中，一位球员在比赛中的技术统计如下表所示： 技术 上场时间（分钟） 出手投篮（次） 投中（次） 罚球得分 篮板（个） 助攻（次） 个人 总得分 数据 40 38 13 9 11 8 40 （注：表中出手投篮和投中次数均不包含罚球） 根据以上信息，求本次比赛中该运动员投中2分和投中3分的个数． 21．（本题8分）解方程组两位同学的解法如下： 解法一： ①＋②，解得． 解法二： 由②，得．③ 把③代入①中，得． (1)检查两位同学的解题过程是否正确？若有错误，请在错误的步骤后打上“×”； (2)请选择一种你喜欢的方法完成解答． 22．（本题10分）列二元一次方程组求解应用题． 某商店用2200元购进《青春之歌》和《林海雪原》两种红色文化教育读本共100本，这两种的书籍的进价、标价如表所示： 书名 价格 青春之歌 林海雪原 进价（元∕本） 20 25 标价（元∕本） 30 40 （1）《青春之歌》、《林海雪原》各购进了多少本？ （2）若《青春之歌》按标价的9折出售，《林海雪原》按标价的8折出售，那么这两种书全部售出后，该商店共获利多少元？ 23．（本题10分）为奖励优秀学生，某校准备购买一批文具袋和圆规作为奖品，已知购买1个文具袋和2个圆规需21元，购买2个文具袋和3个圆规需39元． （1）求文具袋和圆规的单价． （2）学校准备购买文具袋20个，圆规100个，文具店给出两种优惠方案： 方案一：每购买一个文具袋赠送1个圆规． 方案二：购买10个以上圆规时，超出10个的部分按原价的八折优惠，文具袋不打折．学校选择哪种方案更划算？请说明理由． 24．（本题12分）规定：形如与的两个关于x，y的方程互为“共轭二元一次方程”，其中．由这两个方程组成的方程组叫作“共轭方程组”，k，b称为“共轭系数”． (1)方程的“共轭二元一次方程”为_____________； (2)若关于x，y的二元一次方程组为“共轭方程组”，求此“共轭方程组”的“共轭系数”． 25．（本题12分）“整体代换”是一种常用的数学思想，在解二元一次方程组时也可以运用“整体代换”的思想例如：求解二元一次方程组 将②式变形，得③． 将①式代入③式，得，解得． 将代入①式，得，解得， 该二元一次方程组的解为 (1)类比“整体代换”法解方程组 (2)已知，满足方程组求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$