第十章 二元一次方程组（A卷·提升卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（人教版2024，江西专用）

第十章 二元一次方程组（A卷·提升卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 1、 选择题：共6小题，每题3分，共18分。 1．下列方程组中是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：A、含有两个未知数，但第二个方程是分式方程，故不是二元一次方程组，不符合题意； B、含有两个未知数，但第二个方程是二次方程，故不是二元一次方程组，不符合题意； C、含有三个未知数n，m，k，故不是二元一次方程组，不符合题意； D、含有两个未知数，且每个含未知数的项都是一次的，故是二元一次方程组，符合题意； 故答案为：D. 2．在解二元一次方程组时，下列方法中无法消元的是（　　） A．①-② B．由①变形得③，将③代入② C．①×4+② D．由②变形得③，将③代入① 【答案】C 【解析】解：A、①－②得：（x-2y）-(4x-2y)=2-5；即-3x=-3，可消去y，不符合题意； B、由①变形得x=2+2y③，将③代入②得：4(2+2y)-2y=5，即6+8y-2y=5，即6y=-1，可消去x，不符合题意； C、①×4＋②得：(4x-8y)+4x-2y=8+5，即8x-10y=13；无法消除x或y，符合题意； D、由②变形2y=4x-5③，将③代入①得：x-（4x-5）=2；即-3x=7，可消除y，不符合题意. 故选：C。 3．方程组的解与x与y的值相等，则k等于（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】解：将y=x代入方程组，得， 解得：， 故选：A． 4．《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样的一个问题：今有甲、乙二人持钱不知其数.甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十.问甲、乙持钱各几何？题意为：今有甲、乙二人，不知其钱包里有多少钱.若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也能为50，问甲、乙各有多少钱？解：设甲原有钱数为x，乙原有钱数为y，依题意可得方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：设甲原有钱数为x，乙原有钱数为y，根据题意得：. 故答案为：C. 5．小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图1；小红看见了，说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图2那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是面积为 的小正方形，则每个小长方形的面积为（　　） A．135cm2 B．108cm2 C．68cm2 D．60cm2 【答案】A 【解析】解：由中间还留下了一个洞，恰好是面积为 的小正方形 ∴其边长为3cm 设每个小长方形的长为xcm，宽为ycm， 根据题意得： ， 解得： ， ∴ ． 故答案为：A． 6．已知关于x，y的方程组 ，以下结论：①当k=0时，方程组的解也是方程 的解；②存在实数k，使得x+y=0；③不论k取什么实数，x+3y的值始终不变；④若3x+2y=6则k=1.其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①② 【答案】A 【解析】解：①当k=0时，方程组为， 由①×2-②得：y=1， ∴x+2×1=0， ∴x=-2， 将x=-2和y=1代入方程x-2y=4，等式成立， ∴①说法符合题意； ②∵x+y=0， ∴x=-y， ∴方程组变形为， ∴k=3k-1， ∴k=0.5， ∴②说法符合题意； ③∵方程组为， ∴由①×3-②得：x+3y=1， ∴无论k取什么实数，x+3y=1， ∴③说法符合题意； ④∵方程组为， 由①×2-②得：y=-k+1， ∴x+2（-k+1）=k ∴x=3k-2， 又∵3x+2y=6， ∴3（3k-2）+2（-k+1）=6， 整理，解得：k=， ∴④说法不符合题意， ∴正确的有①②③. 故答案为：A. 二、填空题：共6小题，每题3分，共18分。 7．已知 是方程x－ky=1的解，那么k=　 　． 【答案】－1 【解析】因为 是方程 的解，所以 -2-3k=1 ，解得 ． 故答案为：-1. 8．如果△ABC的三边长a、b、c满足关系式 ，则△ABC的周长是　 　． 【答案】72 【解析】解：由题意可得 ，解方程组得 ， 所以△ABC的周长为24＋18＋30＝72． 故答案为：72. 9．已知关于x，y的二元一次方程组 与方程组 的解相同，则2a﹣b=　 　． 【答案】4 【解析】 解得： 将 代入 得： ∴2a﹣b=4 故答案为：4 10．一个两位数的数字之和是7，这个两位数减去27，它的十位和个位上的数字就交换了位置，则这个两位数是　 　 【答案】52 【解析】解：设个位数上的数字为x，十位数上的数字为y 则① ② ①②联立解得x=2，y=5． 答：这个两位数是52． 11．在弹簧的弹性限度内，弹簧总长y（cm）与所挂物体质量x（kg）满足公式：y＝kx+b（k，b为常数）．当所挂物体质量为1kg时，弹簧总长为6.3cm；当所挂物体质量为4kg时，弹簧总长为7.2cm．则当弹簧总长为8.4cm时，所挂物体的质量为　 　kg. 【答案】8 【解析】解：根据题意得：， 解得：， ∴y=0.3x+6， ∵弹簧总长为8.4cm， ∴8.4=0.3x+6， ∴x=8， ∴所挂物体的质量为8kg. 故答案为：8. 12．某同学家到学校之间只有一段上坡和一段平路．如果该同学保持上坡速度米分，平路速度米分，下坡速度米分，那么他从家到学校需要分钟，从学校回家需要分钟．则该同学家到学校全程是　 　米． 【答案】1500 【解析】【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设上坡路的长度为， 平路长， 然后根据时间路程速度结合已知条件列出方程组求解即可． 解：设上坡路的长度为， 平路长， 由题意得， ， 解得 ， ∴上坡路的长度为， 平路长， ∴该同学家到学校全程是， 故答案为：1500． 三、解答题：共5小题，每题6分，共30分。 13．解方程组：（1） （2） 【答案】（1）解：， 把①代入②得：， 解得：， 把代入①，得：， 所以原方程组的解为； （2）解：， 由②得：③， 由③-①得：， 把代入①得：， 解得：， 所以原方程组的解为． 14．阅读下列计算过程，回答问题： 解方程组： 解：①×2，得③ 第1步 ②-③，得， 第2步 把代入①，得， 第3步 该方程组的解是 第4步 （1）以上过程有多处错误，第一次出错在第　 　步（填序号），第二次出错在第　 　步（填序号），本题解法采用了　 　消元法； （2）写出这个方程组的正确解答. 【答案】（1）1；2；加减 （2）解：，，得：，③ ②-③，得，解得：， 把代入①，得：，解得：， 原方程组的解是. 【解析】（1） ①×2，得③ 第1步 ，故第一次出错在第1步； 由 ②-③，得， 第2步，故第二次出错在第二步； 采用的是加减消元法. 故答案为：1，2，加减消元法. 15．在等式中，当x=1时，y=-2；当x=-1时，.求的值. 【答案】解：根据题意，列得二元一次方程组 解这个方程组，得 因此的值分别 -11， 9 16．为推广黄冈各县市名优农产品，市政府组织创办了“黄冈地标馆”.一顾客在“黄冈地标馆”发现，如果购买6盒羊角春牌绿茶和4盒九孔牌藕粉，共需960元.如果购买1盒羊角春牌绿茶和3盒九孔牌藕粉共需300元.请问每盒羊角春牌绿茶和每盒九孔牌藕粉分别需要多少元？ 【答案】解：设每盒羊角春牌绿茶x元，每盒九孔牌藕粉y元，依题意可列方程组： 解得： 答：每盒羊角春牌绿茶120元，每盒九孔牌藕粉60元. 17．对于实数，b定义两种新运算“※”和“*”：，（其中k为常数，且k≠0），若对于平面直角坐标系xOy中的点P(，b)，有点P’的坐标与之对应，则称点P的“k衍生点”为点P’．例如：P(1,3)的“2衍生点”为P’(1+2×3,2×1+3)，即P’(7,5)． （1）点P(-1,5)的“3衍生点”的坐标为_______________； （2）若点P的“5的衍生点”P’的坐标为(18,-6)，求点P的坐标； 【答案】（1） （2）点 【解析】（1）根据新定义求出结果即可； （2）设 ， 根据题意列出方程组 ， 解方程组即可； （1）解：点的“3衍生点”的坐标为 ， 即； （2）解：设 ， 依题意，得方程组： ， 解得 ． 点；​ 四、解答题：共3小题，每题8分，共24分。 18．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x＋y＝0，求实数m的值． 【答案】解：∵关于x，y的二元一次方程组的解满足x＋y＝0， ， ③， ①-③得， ②-③×3得， ， 解得． 19．两位同学在解方程组 时，甲正确地解出方程组为 ，乙因为把c写错了而解得的解为 ，已知乙没有再发生其他错误，请确定a，b，c的值． 【答案】解：由题意可知： 是cx﹣7y=8的解， ∴3c+14=8， ∴c=﹣2 由题意可知： 和 是ax+by=2的解， ∴ 解得： 【解析】【分析】根据题意可知 和 是ax+by=2的解，从而可求出a与b的值，由因为 是cx﹣7y=8的解，所以可求出c的值． 20．五一假期商场促销，推出赠送“优惠券”活动，其中优惠券分为三种类型． A型：满298元减100元；B型：满198元减68元；C型：满68元减20元． （1）顾客甲使用三种不同类型的优惠券消费，共优惠640元，已知该顾客用了2张A型优惠券，5张C型优惠券，则还用了　 　张B型优惠券． （2）顾客乙用了A，B型优惠券共6张，优惠了536元，求该顾客使用A，B优惠券各几张； （3）小丽共领到三种不同类型的优惠券各15张，她同时使用A，B，C中两种不同类型的优惠券消费（部分未使用），共优惠了708元，她可能用了哪几种优惠券组合方法？每种方法中不同类型的优惠券各几张？（请写出具体解答过程） 1．【答案】（1）5 （2）解：设顾客乙用了x张A型，y张B型优惠券．根据题意列方程组，得： 解得： 答：顾客乙用了4张A型，2张B型优惠券． （3）解：设小丽使用A型a张，B型b张，C型c张． ①若小丽使用A型，B型优惠券， 100a+68b=708． 化简，得，25a+17b=177． ∵a，b都为整数，且，， ∴a=3，b=6 ②若小丽使用B型，C型优惠券，则． 化简得，． ∵b，c都为整数，且，， ∴，． ③若小丽使用A型，C型优惠券，则． 化简得，． ∵a，c都为整数，且，， ∴无解． 答：小丽可能用了两种优惠券组合方法， 方法1：A型3张，B型6张； 方法2：B型6张，C型15张． 五、解答题：共2小题，每题9分，共18分。 21．小聪想用现有的硬纸板裁成如图1所示的长方形和正方形作为侧面与底面，做成如图2所示的竖式和横式两种无盖纸盒.已知一张硬纸板的裁剪方式有两种(均有余料)：方式一：裁成3个长方形与一个正方形；方式二：裁成2个长方形与2个正方形.小聪将m张硬纸板按方式一裁剪，n张硬纸板按方式二裁剪. （1）两种方式共裁出长方形　 　张，正方形　 　张(均用含m，n的代数式表示). （2）当10<m<15时，若所裁得的长方形与正方形纸板恰好用完，所做盒子一样多，则做成的两种无盖纸盒一共可能是多少个 【答案】（1）（3m+2n）；（m+2n） （2）解：由题意得：（3m+2n）∶（m+2n）=7∶3， 解得：m=4n， ∵m、n为正整数，且10<m<15， ∴m=12，n=3， ∴两种方式共裁出长方形3×12+2×3=42（张），正方形12+2×3=18（张）， 设做成的竖式盒子x个，横式盒子y个，依题意列方程组得： 解得： 答：做成的两种无盖纸盒一共是12个. 【解析】（1）解：两种方式共裁出长方形（3m+2n）张，正方形（m+2n）张. 故答案为：（3m+2n）；（m+2n）； 22．阅读理解：已知实数，满足…①，…②，求和的值.仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①-②可得，由①＋②×2可得.这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”.利用“整体思想”，解决下列问题： （1）已知二元一次方程组，则　 　，　 　； （2）买10支铅笔、2块橡皮、1本日记本共需27元，买38支铅笔、5块橡皮、2本日记本共需91元，求购买2支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需多少元？ （3）对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是实数运算.已知，，求的值. 【答案】（1）10；8 （2）解：设铅笔单价为元，橡皮的单价为元，日记本的单价为元， 根据题意得：， 由①×4-②得， 答：购买2支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需17元； （3）解：根据题意得： ， 由①×3-②×2可得：， . 【解析】解：（1）， 由①-②，可得：x-y=10， 由（①+②）÷3，可得：x+y=8， 故答案为：10；8. 【分析】（1）利用加减消元法求出x-y=10和x+y=8即可； （2）设铅笔单价为元，橡皮的单价为元，日记本的单价为元，根据“买10支铅笔、2块橡皮、1本日记本共需27元，买38支铅笔、5块橡皮、2本日记本共需91元”列出方程组，再求解即可； （3）根据题干中的定义及计算方法列出方程组，求出，再求出即可. 六、解答题：共1小题，每题12分，共12分。 23．已知，平面直角坐标系内，点A（a，0），B（b，2），C（0，2），且a、b是方程组的解，求： （1）a、b的值 （2）过点E（6，0）作PE∥y轴，点Q（6，m）是直线PE上一动点，连QA、QB，试用含有m的式子表示△ABQ的面积 （3）在（2）的条件下．当△ABQ的面积是梯形OABC面积一半时，求Q点坐标． 【答案】（1）解：由方程组两式相加，得a+b=8， 再与方程组中两式分别相减，得 （2）解：由（1）可知，A（5，0），B（3，2），如图1，当m＞0时， 过B点作BD⊥x轴，垂足为D，则S△ABQ=S梯形BDEQ﹣S△ABD﹣S△AQE=（2+m）×（6﹣3）﹣×2×（5﹣3）﹣×（6﹣5）×m=m+1； 当m＜0时，如图2所示， 过点B作BM⊥EQ于点M，则S△ABQ=S△BMQ﹣S△AEQ﹣S梯形AEMB =×（2﹣m）×（6﹣3）﹣×（6﹣5）×（﹣m）﹣×（6﹣3+6﹣5）×2 =3﹣m+m﹣4=﹣m﹣1． （3）解： ∵S梯形OABC=×（3+5）×2=8， 依题意，得|m+1|=​×8， 解得m=3或m=﹣5； ∴Q（6，3）或（6，﹣5）． 【解析】【分析】（1）解方程组可直接求出a、b的值； （2）当m＞0时过B点作BD⊥x轴，垂足为D，则S△ABQ=S梯形BDEQ﹣S△ABD﹣S△AQE；当m＜0时，过点B作BM⊥EQ于点M，则S△ABQ=S△BMQ﹣S△AEQ﹣S梯形AEMB，求出用含有m的式子表示△ABQ的面积； （3）计算S梯形OABC，根据△ABQ的面积是梯形OABC面积一半列出方程求m的值即可． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十章 二元一次方程组（A卷·提升卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 1、 选择题：共6小题，每题3分，共18分。 1．下列方程组中是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 2．在解二元一次方程组时，下列方法中无法消元的是（　　） A．①-② B．由①变形得③，将③代入② C．①×4+② D．由②变形得③，将③代入① 3．方程组的解与x与y的值相等，则k等于（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样的一个问题：今有甲、乙二人持钱不知其数.甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十.问甲、乙持钱各几何？题意为：今有甲、乙二人，不知其钱包里有多少钱.若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也能为50，问甲、乙各有多少钱？解：设甲原有钱数为x，乙原有钱数为y，依题意可得方程组为（　　） A． B． C． D． 5．小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图1；小红看见了，说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图2那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是面积为 的小正方形，则每个小长方形的面积为（　　） A．135cm2 B．108cm2 C．68cm2 D．60cm2 6．已知关于x，y的方程组 ，以下结论：①当k=0时，方程组的解也是方程 的解；②存在实数k，使得x+y=0；③不论k取什么实数，x+3y的值始终不变；④若3x+2y=6则k=1.其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①② 二、填空题：共6小题，每题3分，共18分。 7．已知 是方程x－ky=1的解，那么k=　 　． 8．如果△ABC的三边长a、b、c满足关系式 ，则△ABC的周长是　 　． 9．已知关于x，y的二元一次方程组 与方程组 的解相同，则2a﹣b=　 　． 10．一个两位数的数字之和是7，这个两位数减去27，它的十位和个位上的数字就交换了位置，则这个两位数是　 　 11．在弹簧的弹性限度内，弹簧总长y（cm）与所挂物体质量x（kg）满足公式：y＝kx+b（k，b为常数）．当所挂物体质量为1kg时，弹簧总长为6.3cm；当所挂物体质量为4kg时，弹簧总长为7.2cm．则当弹簧总长为8.4cm时，所挂物体的质量为　 　kg. 12．某同学家到学校之间只有一段上坡和一段平路．如果该同学保持上坡速度米分，平路速度米分，下坡速度米分，那么他从家到学校需要分钟，从学校回家需要分钟．则该同学家到学校全程是　 　米． 三、解答题：共5小题，每题6分，共30分。 13．解方程组：（1） （2） 14．阅读下列计算过程，回答问题： 解方程组： 解：①×2，得③ 第1步 ②-③，得， 第2步 把代入①，得， 第3步 该方程组的解是 第4步 （1）以上过程有多处错误，第一次出错在第　 　步（填序号），第二次出错在第　 　步（填序号），本题解法采用了　 　消元法； （2）写出这个方程组的正确解答. 15．在等式中，当x=1时，y=-2；当x=-1时，.求的值. 16．为推广黄冈各县市名优农产品，市政府组织创办了“黄冈地标馆”.一顾客在“黄冈地标馆”发现，如果购买6盒羊角春牌绿茶和4盒九孔牌藕粉，共需960元.如果购买1盒羊角春牌绿茶和3盒九孔牌藕粉共需300元.请问每盒羊角春牌绿茶和每盒九孔牌藕粉分别需要多少元？ 17．对于实数，b定义两种新运算“※”和“*”：，（其中k为常数，且k≠0），若对于平面直角坐标系xOy中的点P(，b)，有点P’的坐标与之对应，则称点P的“k衍生点”为点P’．例如：P(1,3)的“2衍生点”为P’(1+2×3,2×1+3)，即P’(7,5)． （1）点P(-1,5)的“3衍生点”的坐标为_______________； （2）若点P的“5的衍生点”P’的坐标为(18,-6)，求点P的坐标； 四、解答题：共3小题，每题8分，共24分。 18．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x＋y＝0，求实数m的值． 19．两位同学在解方程组 时，甲正确地解出方程组为 ，乙因为把c写错了而解得的解为 ，已知乙没有再发生其他错误，请确定a，b，c的值． 20．五一假期商场促销，推出赠送“优惠券”活动，其中优惠券分为三种类型． A型：满298元减100元；B型：满198元减68元；C型：满68元减20元． （1）顾客甲使用三种不同类型的优惠券消费，共优惠640元，已知该顾客用了2张A型优惠券，5张C型优惠券，则还用了　 　张B型优惠券． （2）顾客乙用了A，B型优惠券共6张，优惠了536元，求该顾客使用A，B优惠券各几张； （3）小丽共领到三种不同类型的优惠券各15张，她同时使用A，B，C中两种不同类型的优惠券消费（部分未使用），共优惠了708元，她可能用了哪几种优惠券组合方法？每种方法中不同类型的优惠券各几张？（请写出具体解答过程） 五、解答题：共2小题，每题9分，共18分。 21．小聪想用现有的硬纸板裁成如图1所示的长方形和正方形作为侧面与底面，做成如图2所示的竖式和横式两种无盖纸盒.已知一张硬纸板的裁剪方式有两种(均有余料)：方式一：裁成3个长方形与一个正方形；方式二：裁成2个长方形与2个正方形.小聪将m张硬纸板按方式一裁剪，n张硬纸板按方式二裁剪. （1）两种方式共裁出长方形　 　张，正方形　 　张(均用含m，n的代数式表示). （2）当10<m<15时，若所裁得的长方形与正方形纸板恰好用完，所做盒子一样多，则做成的两种无盖纸盒一共可能是多少个 22．阅读理解：已知实数，满足…①，…②，求和的值.仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①-②可得，由①＋②×2可得.这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”.利用“整体思想”，解决下列问题： （1）已知二元一次方程组，则　 　，　 　； （2）买10支铅笔、2块橡皮、1本日记本共需27元，买38支铅笔、5块橡皮、2本日记本共需91元，求购买2支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需多少元？ （3）对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是实数运算.已知，，求的值. 六、解答题：共1小题，每题12分，共12分。 23．已知，平面直角坐标系内，点A（a，0），B（b，2），C（0，2），且a、b是方程组的解，求： （1）a、b的值 （2）过点E（6，0）作PE∥y轴，点Q（6，m）是直线PE上一动点，连QA、QB，试用含有m的式子表示△ABQ的面积 （3）在（2）的条件下．当△ABQ的面积是梯形OABC面积一半时，求Q点坐标． / 学科网（北京）股份有限公司 $$