精品解析：2025年新疆乌鲁木齐市九年级三月学业测评数学试题

乌鲁木齐市2025年九年级3月学业测评 数学试卷 考生须知： 1．本试卷分为试题卷和答题卷两部分，试题卷共5页，答题卷共2页． 2．满分150分，考试时间120分钟，命题人：LWB． 3．考生不得使用计算器；必须在答题卷上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效． 一、单项选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分） 1. 下列各数中，绝对值最小的数是（ ） A. π B. C. -2 D. - 2. 如图是由6个相同的小正方体组成的几何体，从上往下看得到的平面图形是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是( ) A. B. C. D. 4. 下列实数中，介于与之间的是( ) A. B. C. D. 5. “计”高一筹，“算”出风采．为提高学生的运算能力，某校开展以计算为主题的项目活动．已知甲班10名学生测试成绩的方差是，乙班10名学生测试成绩的方差是，两班学生测试的平均分都是95分，结果主办方根据平均成绩和方差判定乙班胜出，则m的值可能是（ ） A. 0.20 B. 0.22 C. 0.19 D. 0.18 6. 如图，是的中点，，若，，则所在圆的半径为（      ） A. B. 4 C. 5 D. 7. 一次函数，函数y随x的增大而减小，且其图象不经过第一象限，则m的取值范围是（　　） A. B. C. D. 8. 某医疗器械公司计划生产一批医用防护服42万件，由于一线医护人员急需，于是决定增加生产线，实际每天生产量是原计划每天生产量的倍，结果比原计划提前了8天完成，则原计划每天生产多少件？设原计划每天生产x件，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC的中点，AE与BD交于点P，F是CD上的一点，连接AF分别交BD，DE于点M，N，且AF⊥DE，连接PN，则下列结论中: ①；②；③tan∠EAF=；④正确的是（） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 10. 要使分式有意义，则x需满足的条件是______． 11. 学校举行科技创新比赛，对创新设计和现场展示两个方面评分的权重分别设为，来计算选手的综合成绩．小华本次比赛的两项成绩分别是：创新设计80分，现场展示90分，则他的综合成绩是________分． 12. .已知关于的方程有解，则的取值范围是__________. 13. 如图，在长方形ABCD中，AB<BC，点P为长方形内部一点，过点P分别作PE⊥BC于点E、PF⊥CD于点F，分别以PF、CF为边作正方形PMNF，正方形GHCF，若两个正方形的面积之和为42，长方形PECF的面积为11，BE=DF=2，则长方形ABCD的面积为____________． 14. 如图，将边长为的等边沿射线平移得到，点，分别为，的中点，点是线段的中点，连接，．当为直角三角形时，______． 15. 如图，抛物线与轴交于点，点在抛物线上，是抛物线对称轴上任意一点，、、分别是、、的中点，连接，则的最小值为______． 三、解答题（本大题共8小题，共90分． 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 化简或计算： （1）； （2）． 17. 如图，在中，． （1）尺规作图：过A作于点D，并延长到点E，使．连接，（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）所作图形中，求证：四边形是菱形． 18. 中央电视台举办的“中国诗词大会”节目受到中学生的广泛关注，某中学为了解该校初三学生对观看“中国诗词大会”节目的喜爱程度，对该校初三部分学生进行了随机抽样调查，并绘制出如图所示的两幅统计图，在条形图中，从左向右依次为：级（非常喜欢），级（较喜欢），级（一般），级（不喜欢），请结合两幅统计图，回答下列问题： （1）本次抽样调查的样本容量是______，表示“级（不喜欢）”的扇形的圆心角为______； （2）若该校初三有名学生，请你估计该年级观看“中国诗词大会”节目级（较喜欢）的学生人数； （3）若从本次调查中的级（非常喜欢）的名学生中，选出名去参加长沙中学生诗词大会比赛，已知级学生中男生有名，请用“列表”或“画树状图”的方法求出所选出的名学生中至少有名女生的概率． 19. 已知：如图，在中，点、分别是边、的中点，过点A作的平行线，交射线于点． （1）求证：四边形是平行四边形： （2）如果，连接、，求证：四边形为矩形． 20. 某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示． （1）如图2，在P点观察所测物体最高点C，当量角器零刻度线上A，B两点均在视线上时，测得视线与铅垂线所夹的锐角为，设仰角为，请直接用含的代数式示； （2）为弘扬革命传统精神，某校组织学生前往永州市烈士陵园缅怀革命先烈．大家被革命烈士纪念碑的雄伟壮观所震撼，想知道纪念碑的高（碑顶到水平地面的距离），于是师生组成综合实践小组进行测量．如图3，他们在地面的B点用测角仪测得碑顶A的仰角为，在C点处测得碑顶A的仰角为，已知，（B，C，D在同一直线上），根据以上数据求烈士纪念碑的高．（，，） 21. 某商场购进一种每件成本为80元的新商品，在商场试销发现：每天销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间的关系如图所示． （1）求出y与x之间的函数关系式； （2）物价部门规定每件商品的利润率不得超过50%，那么将该商品售价定为多少元时，每天销售该商品获得的利润最大，最大利润是多少元？ 22. 如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，与AB的延长线交于点D，DE⊥AD且与AC的延长线交于点E. (1)求证：DC＝DE； (2)若tan∠CAB＝，AB＝3，求BD的长. 23. 【教材呈现】 （1）如图1，在正方形中，是上的一点，经过旋转后得到， ①旋转中心是点______；旋转角最少是______度． ②爱动脑筋的小明，在边上取点，连接，使得，他发现：，他的发现正确吗？请你判断并说明理由． 【结论应用】 （2）①图1中，若正方形的边长为，则的周长为______（用含有的式子表示）． ②如图2，在四边形中，，，，是的中点，且，则的长______． 【类比迁移】 （3）如图3，在菱形中，，在线段上选一点（不与点重合），沿折叠，得到，在线段上取点，沿折叠，使得点与点重合，连接，分别交线段于点，若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 乌鲁木齐市2025年九年级3月学业测评 数学试卷 考生须知： 1．本试卷分为试题卷和答题卷两部分，试题卷共5页，答题卷共2页． 2．满分150分，考试时间120分钟，命题人：LWB． 3．考生不得使用计算器；必须在答题卷上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效． 一、单项选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分） 1. 下列各数中，绝对值最小的数是（ ） A. π B. C. -2 D. - 【答案】D 【解析】 【详解】解：|π|=π，||=，|－2|=2，|﹣|=＜＜2＜π， ∴各数中，绝对值最小的数是-． 故选D． 2. 如图是由6个相同的小正方体组成的几何体，从上往下看得到的平面图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 【详解】解：从上方看，第一层层是三个小正方形第二层层左边一个小正方形， 故选：B． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图． 3. 下列计算正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项法则判定A；根据完全平方公式计算并判定B；根据积的乘方和幂的乘方计算并判定C；根据同底数幂除法的法则计算并判定D． 【详解】解：A、，故此选项不正确； B、 故此选项不正确； C、 ， 故此选项不正确； D、，故此选项正确； 故选：D． 【点睛】本题考查合并同类项，完全平方公式，积的乘方和幂的乘方，同底数幂除法，熟练掌握合并同类项的法则、完全平方公式，积的乘方和幂的乘方的法则，同底数幂除法的法则是解题的关键． 4. 下列实数中，介于与之间的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】估算无理数的大小问题可解． 【详解】解：由已知0.67,1.5, ∵因为,,,>3 ∴介于与之间 故选：A． 【点睛】本题考查了无理数大小的估算，解题关键是对无理数大小进行估算． 5. “计”高一筹，“算”出风采．为提高学生的运算能力，某校开展以计算为主题的项目活动．已知甲班10名学生测试成绩的方差是，乙班10名学生测试成绩的方差是，两班学生测试的平均分都是95分，结果主办方根据平均成绩和方差判定乙班胜出，则m的值可能是（ ） A. 0.20 B. 0.22 C. 0.19 D. 0.18 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了方差的意义，理解方差的意义是解题的关键．在平均成绩相同的情况下，方差越小，成绩越稳定，即胜出，由此可以判断m的范围． 【详解】解：判定乙班胜出，甲、乙两班平均分都是95分， ， ， 故选：D． 6. 如图， 是的中点，，若，，则所在圆的半径为（      ） A. B. 4 C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理的应用等知识，连接，设弧所在圆的半径为 ，则，，根据垂径定理求出，再在中，根据勾股定理得出方程，求出即可．熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 设弧所在圆的半径为 ，则，， 经过圆心，于 ，， ， 在中， 由勾股定理得：， 即， 解得：， 弧所在圆的半径为． 故选：D． 7. 一次函数，函数y随x的增大而减小，且其图象不经过第一象限，则m的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象与其系数之间的关系，对于一次函数（k为常数，），当的图象过一、二、三象限；当的图象过一、三、四象限；当的图象过一、二、四象限；当的图象过二、三、四象限；当时y随x的增大而增大，当时y随x的增大而增减小，据此可得，解之即可． 【详解】解：∵一次函数，函数y随x的增大而减小，且其图象不经过第一象限， ∴， ∴， 故选：C． 8. 某医疗器械公司计划生产一批医用防护服42万件，由于一线医护人员急需，于是决定增加生产线，实际每天生产量是原计划每天生产量的倍，结果比原计划提前了8天完成，则原计划每天生产多少件？设原计划每天生产x件，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设原计划每天生产件，则增加生产线后每天生产件，利用工作时间工作总量工作效率，结合增加生产线后比原计划提前了8天完成，即可得出关于的分式方程，此题得解． 【详解】解：设原计划每天生产件，则增加生产线后每天生产件， 依题意得：． 故选：B． 9. 如图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC的中点，AE与BD交于点P，F是CD上的一点，连接AF分别交BD，DE于点M，N，且AF⊥DE，连接PN，则下列结论中: ①；②；③tan∠EAF=；④正确的是（） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】利用正方形的性质，得出∠DAN＝∠EDC，CD＝AD，∠C＝∠ADF即可判定△ADF≌△DCE（ASA），再证明△ABM∽△FDM，即可解答①；根据题意可知：AF＝DE＝AE＝，再根据三角函数即可得出③；作PH⊥AN于H．利用平行线的性质求出AH＝，即可解答②；利用相似三角形的判定定理，即可解答④ 【详解】解：∵正方形ABCD的边长为2，点E是BC的中点， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝2，∠ABC＝∠C＝∠ADF＝90°，CE＝BE＝1， ∵AF⊥DE， ∴∠DAF+∠ADN＝∠ADN+∠CDE＝90°， ∴∠DAN＝∠EDC， 在△ADF与△DCE中， ， ∴△ADF≌△DCE（ASA）， ∴DF＝CE＝1， ∵AB∥DF， ∴△ABM∽△FDM， ∴， ∴S△ABM＝4S△FDM；故①正确； 根据题意可知：AF＝DE＝AE＝， ∵ ×AD×DF＝×AF×DN， ∴DN＝ ， ∴EN＝，AN＝， ∴tan∠EAF＝，故③正确， 作PH⊥AN于H． ∵BE∥AD， ∴， ∴PA＝， ∵PH∥EN， ∴， ∴AH＝， ∴PH= ∴PN＝，故②正确， ∵PN≠DN， ∴∠DPN≠∠PDE， ∴△PMN与△DPE不相似，故④错误． 故选A． 【点睛】此题考查三角函数，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质难度较大，解题关键在于综合掌握各性质 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 10. 要使分式有意义，则x需满足的条件是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件即可求解． 【详解】解：∵分式有意义， ∴ ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键． 11. 学校举行科技创新比赛，对创新设计和现场展示两个方面评分的权重分别设为，来计算选手的综合成绩．小华本次比赛的两项成绩分别是：创新设计80分，现场展示90分，则他的综合成绩是________分． 【答案】84 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数，根据加权平均数的计算公式计算即可得出答案，熟练掌握加权平均数的计算公式是解此题的关键． 【详解】解：由题意得：他的综合成绩是分， 故答案为：． 12. .已知关于的方程有解，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据关于的方程有解得到，即可求出的取值范围． 【详解】解：方程有解， ， 即， 得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，得到是解题的关键． 13. 如图，在长方形ABCD中，AB<BC，点P为长方形内部一点，过点P分别作PE⊥BC于点E、PF⊥CD于点F，分别以PF、CF为边作正方形PMNF，正方形GHCF，若两个正方形的面积之和为42，长方形PECF的面积为11，BE=DF=2，则长方形ABCD的面积为____________． 【答案】31 【解析】 【分析】由正方形的性质和矩形的性质可得S正方形PMNF=PF2，S正方形GFCH=CF2，CF•PF=11，由完全平方公式可求PF+CF=8，即可求解． 【详解】解：∵四边形PMNF和四边形GHCF都是正方形， ∴S正方形PMNF=PF2，S正方形GFCH=CF2， ∴PF2+CF2=42， ∵长方形PECF的面积为11， ∴CF•PF=11， ∴（PF+CF）2=PF2+CF2+2CF•PF=64， ∴PF+CF=8， ∵长方形ABCD的面积=BC•CD=（BE+PF）•（CF+DF）， ∴长方形ABCD的面积=（2+PF）（2+CF）=4+PF•CF+2（PF+CF）=31， 故答案为：31． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，完全平方公式等知识，求出PF+CF的值是本题的关键． 14. 如图，将边长为的等边沿射线平移得到，点 ，分别为，的中点，点 是线段的中点，连接，．当为直角三角形时，______． 【答案】或##8或4 【解析】 【分析】先根据为直角三角形进行分类讨论：当时，根据直角三角形斜边中线等于斜边上的一半，即可求出，进而求出，长度即可；当时，根据直角三角形中，角所对直角边是斜边长度的一半，可以求出，进而求出，长度就解决了． 【详解】解：如图，当时， ∵， ∴是斜边上的中线， ∴， ∴， ∴， 故将向右平移个单位即可， ∴； 如图，当时， ∵，是等边三角形，点 ，分别为，的中点， ∴， ∴， ∴， ∵ 为的中点，， ∴， ∴在中，，， ∴， ∴， ∵点 是线段的中点， ∴， 故将向右平移个单位即可， ∴； 故答案为：或． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，平移的基本规律，熟练掌握平移的基本特点，灵活运用等边三角形的性质是解题的关键． 15. 如图，抛物线与轴交于点 ，点在抛物线上， 是抛物线对称轴上任意一点，、、分别是、、的中点，连接，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由三角形的中位线可得，求的最小值，求的最小值即可，作关于直线的对称点，当、 、三点共线时，取得最小值，此时，，即可求解． 【详解】解：、、分别是、、的中点， ， ， ， 求的最小值， 求的最小值即可， 点在抛物线上， ， ， ， 对称轴为直线， 如图，作关于直线的对称点， ， 当、 、三点共线时，取得最小值， 此时，， ， ， 的最小值为． 故答案：． 【点睛】本题考查了函数图象上的点，勾股定理，两点之间连线段最短，掌握性质及“将军饮马”典型问题解法是解题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，共90分． 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 化简或计算： （1）； （2）． 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】题目主要考查二次根式的混合运算，分式的混合运算，熟练掌握各个运算法则是解题关键． （1）先计算二次根式的乘法，然后计算加减即可； （2）将分式的除法转换为乘法，然后计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 如图，在中，． （1）尺规作图：过A作于点D，并延长到点E，使．连接，（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）所作图形中，求证：四边形是菱形． 【答案】（1）作图如下： （2）证明：∵在中， ∴为等腰三角形， ∵， ∴（三线合一）， ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查了作图-基本作图，等腰三角形的性质，菱形的判定： （1）过点A作的垂线即可完成作图； （2）结合（1）证明四边形是平行四边形，再根据，即可得四边形是菱形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 中央电视台举办的“中国诗词大会”节目受到中学生的广泛关注，某中学为了解该校初三学生对观看“中国诗词大会”节目的喜爱程度，对该校初三部分学生进行了随机抽样调查，并绘制出如图所示的两幅统计图，在条形图中，从左向右依次为： 级（非常喜欢），级（较喜欢），级（一般），级（不喜欢），请结合两幅统计图，回答下列问题： （1）本次抽样调查的样本容量是______，表示“级（不喜欢）”的扇形的圆心角为______； （2）若该校初三有名学生，请你估计该年级观看“中国诗词大会”节目级（较喜欢）的学生人数； （3）若从本次调查中的 级（非常喜欢）的名学生中，选出名去参加长沙中学生诗词大会比赛，已知 级学生中男生有名，请用“列表”或“画树状图”的方法求出所选出的名学生中至少有名女生的概率． 【答案】（1）， （2）600人 （3） 【解析】 【分析】（1）用等级人数除以其百分比可得总人数，用等级人数占总人数的比例乘以度可得； （2）用样本中等级所占比例乘以总人数可得答案； （3）列表得出所有等可能结果，利用概率公式求解可得． 【小问1详解】 解：本次抽样调查的样本容量是； 表示“级不喜欢”的扇形的圆心角为， 故答案为：；． 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计该年级观看“中国诗词大会”节目级较喜欢的学生人数为人； 【小问3详解】 解：列表如下： 男 男 男 女 女 男 --- 男，男 男，男 女，男 女，男 男 男，男 --- 男，男 女，男 女，男 男 男，男 男，男 --- 女，男 女，男 女 男，女 男，女 男，女 --- 女，女 女 男，女 男，女 男，女 女，女 --- 所有等可能的情况有种，其中所选出的名学生中至少有名女生的有种， 所选出的名学生中至少有名女生的概率为． 【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图的知识．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 19. 已知：如图，在中，点、分别是边、的中点，过点A作的平行线，交射线于点． （1）求证：四边形是平行四边形： （2）如果，连接、，求证：四边形为矩形． 【答案】（1） 证明：点、分别是、边上的中点， ， 又， 四边形是平行四边形； （2） 证明：连接、，如图， 由（1）知：四边形是平行四边形， ∴， ∵点是边上的中点 ∴ ∴ 又， ∴四边形为平行四边形， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形为矩形． 【解析】 【分析】（1）根据三角形中位线的性质得到，根据平行四边形的判定定理即可得到结论； （2）连接，先证明四边形为平行四边形，再根据等腰三角形的性质得到，即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定，三角形中位线的性质，等腰三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键． 20. 某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示． （1）如图2，在P点观察所测物体最高点C，当量角器零刻度线上A，B两点均在视线上时，测得视线与铅垂线所夹的锐角为，设仰角为，请直接用含的代数式示； （2）为弘扬革命传统精神，某校组织学生前往永州市烈士陵园缅怀革命先烈．大家被革命烈士纪念碑的雄伟壮观所震撼，想知道纪念碑的高（碑顶到水平地面的距离），于是师生组成综合实践小组进行测量．如图3，他们在地面的B点用测角仪测得碑顶A的仰角为，在C点处测得碑顶A的仰角为，已知，（B，C，D在同一直线上），根据以上数据求烈士纪念碑的高．（，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查余角关系，三角函数实际应用． （1）根据题意过点向下的箭头延长与过点 的水平延长线相交，再利用互余关系即可得到本题答案； （2）根据题意先求出，再利用三角函数列出等式正确计算即为本题答案． 【小问1详解】 解：如图所示： 由题意知 在中，，则，即 ∴； 【小问2详解】 解：由题意可得：， 在中，，由等腰直角三角形性质得到， 在中，， 由， 即， 解得：， 检验：把代入中，，所以是方程的解， ∴烈士纪念碑的高为． 21. 某商场购进一种每件成本为80元的新商品，在商场试销发现：每天销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间的关系如图所示． （1）求出y与x之间的函数关系式； （2）物价部门规定每件商品的利润率不得超过50%，那么将该商品售价定为多少元时，每天销售该商品获得的利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）将售价定为每件115元时利润最大，最大利润为1225元 【解析】 【分析】本题考查一次函数和二次函数的实际应用： （1）设y与x之间的函数关系式为，利用待定系数法可求出其解析式，再求出x的取值范围即可； （2）根据利润（售价单价）销售量，由题意可求出x的取值范围，再根据二次函数的性质，即可得出答案． 【小问1详解】 解：设y与x之间的函数关系式为， 代入点，得，， 解得：， ， 每件成本为80元，销量， ， ； 【小问2详解】 解：设每天销售该商品的利润为W元， ， ， 又由题意可得，， 解得， ， 当时，W有最大值，最大值为1225元． 答：将售价定为每件115元时，每天获得的利润最大，最大利润为1225元． 22. 如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，与AB的延长线交于点D，DE⊥AD且与AC的延长线交于点E. (1)求证：DC＝DE； (2)若tan∠CAB＝，AB＝3，求BD的长. 【答案】(1)证明：连接OC， ∵CD是⊙O的切线， ∴∠OCD=90°， ∴∠ACO+∠DCE=90°， 又∵ED⊥AD， ∴∠EDA=90°， ∴∠EAD+∠E=90°， ∵OC=OA， ∴∠ACO=∠EAD， 故∠DCE=∠E， ∴DC=DE； (2)1. 【解析】 【分析】（1）利用切线的性质和等腰三角形的性质可以得出∠DCE=∠E，进而得出答案； （2）设BD=x，则AD=AB+BD=3+x，OD=OB+BD=1.5+x，利用勾股定理得出BD的长． 【详解】解：（1）略 （2）设BD=x，则AD=AB+BD=3+x，OD=OB+BD=1.5+x， 在Rt△EAD中，∵tan∠CAB=， ∴ED=AD=（3+x）， 由（1）知，DC=（3+x）， 在Rt△OCD中，， 则， 解得：（舍去），， 故BD=1． 【点睛】考点：1．切线的性质；2．勾股定理；3．解直角三角形；4．综合题． 23. 【教材呈现】 （1）如图1，在正方形中，是上的一点，经过旋转后得到， ①旋转中心是点______；旋转角最少是______度． ②爱动脑筋的小明，在边上取点，连接，使得，他发现：，他的发现正确吗？请你判断并说明理由． 【结论应用】 （2）①图1中，若正方形的边长为，则的周长为______（用含有的式子表示）． ②如图2，在四边形中，，，，是的中点，且，则的长______． 【类比迁移】 （3）如图3，在菱形中，，在线段上选一点 （不与点重合），沿折叠，得到，在线段上取点，沿折叠，使得点与点 重合，连接，分别交线段于点，若，，求的长． 【答案】（1）① ；90； ②他的发现正确，理由如下： ，， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ； （2）①，②10；（3） 【解析】 【分析】（1）①根据图形可直接得到结论； ②首先证明，根据全等三角形的性质可得，再根据旋转中线段的相等关系进行等量代换即可得到结论； （2）①由（1）得再求解即可； ②过作于，交延长线于，先根据有一组邻边相等的矩形是正方形证四边形是正方形．再设，利用（1）中②的结论，在中利用勾股定理可求出； （3）连接，过点H作，由菱形的性质可得，由折叠的性质可得，从而得出，再由三角函数求出得出，最后求解即可． 【详解】解：（1）①经过旋转后得到， 旋转中心是点 ；旋转角度最少是90度； 故答案为： ，90； ②略 （2）①由（1）得 的周长， 故答案为：； ②如图，过作于，交延长线于， ，， ， ， 四边形为矩形， ， 四边形为正方形， ， 是的中点， , ，由（1）中②的结论可得， 设，则， ， 在中，， ， 即， 故答案为：10； （3）如图，连接，过点H作， 菱形中，， ， 点 沿折叠，得到，点沿折叠，得到，，， ， ， ， ， ， 【点睛】此题主要考查了图形的旋转、折叠问题，全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，菱形的性质，解直角三角形及勾股定理，是一道不错的综合题熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $