精品解析：河南省郑州市金水区2024-2025学年高二下学期开学考试数学试卷

高二（下）开学数学试卷 一､单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 1. (　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先把角利用诱导公式化为，再利用差角公式求解. 【详解】因为， 所以. 【点睛】本题主要考查三角函数的和差角公式，逆用和差角公式时，注意公式的形式统一. 2. 已知，则“”是“”的（ ）． A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分性和必要性判断即可. 【详解】当时，；当时，或，所以是的充分不必要条件. 故选：A. 3. 已知直线与直线互相平行，则实数的值为（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由题意利用两条直线平行的性质，分类讨论，求得结果． 【详解】解：当时，直线：即，直线：即，满足． 当时，直线与直线互相平行， ，解得实数． 综上，， 故选：． 【点睛】本题主要考查两条直线平行的性质，考查分类讨论思想，属于基础题． 4. 已知点是的边的中点，点在边上，且，则向量（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的加法运算可得和减法运算可得，结合条件,可得答案. 【详解】由，则 则 故选：B 5. 已知一个四棱锥的正视图、侧视图如图所示，其底面梯形的斜二测画法的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且该梯形的面积为，则该四棱锥的体积是 A. 4 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据三视图以及斜二测画法确定四棱锥的高以及底面面积，再根据锥体体积公式求结果. 【详解】由三视图可知，该四棱锥的高是3，记斜二测画法中的等腰梯形的上底为，高为，则斜二测中等腰梯形的腰为，而积，由斜二测画法的特点知直观图中底面梯形的高为，面积， ，故四棱锥的体积，故选. （也可用结论直接得出：，，） 【点睛】本题考查三视图、斜二测画法以及四棱锥体积，考查基本分析求解能力，属中档题. 6. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列条件，能得到的是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：A．，或，或与相交，故A不成立； B：由，知或，从而不成立，故B不成立； C：，或，或与相交，故C不成立； D：，故D成立；故选D． 考点：空间直线与平面的位置关系 7. 中，若 且，则的形状是（ ） A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数运算先求解出的关系以及的值，从而确定出，再根据正弦定理以及两角和的正弦公式确定出的大小，由此可确定出的形状. 【详解】由，得， 所以得，所以. 所以，所以， 即， 所以， 所以，即，所以，， 即三角形为等腰直角三角形， 故选：. 8. 已知直线恒过定点，点也在直线上，其中，均为正数，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】先将直线方程变形得到定点的坐标，根据点在直线上确定出所满足的关系，最后根据“”的妙用求解出的最小值. 【详解】已知直线整理得：， 直线恒过定点，即. 点也在直线上， 所以，整理得：， 由于，均为正数，则, 取等号时，即， 故选：B. 【点睛】方法点睛：已知，求的最小值的方法： 将变形为，将其展开可得，然后利用基本不等式可求最小值，即，取等号时. 9. 已知一个几何体的三视图如图所示，俯视图为等腰三角形，则该几何体的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据三视图还原几何体,再求出几何体底面的外接圆圆心及半径,然后利用“三棱锥的外接球球心在过底面中心的垂线上”这一性质,确定外接球球心,最后利用勾股定理求出外接球半径即可得解. 【详解】根据三视图还原几何体如下: 设为的中点,则有,且平面, 设为的外心,为的外接圆半径, 则, 故在中,有, 即 如图所示,过作,且,此时平面, 设的中点为,则, 故点即为三棱锥的外接球球心, 又, 所以三棱锥的外接球半径, 所以三棱锥的外接球表面积, 故选:B. 【点睛】本题主要考查了三棱锥外接球半径的求法,考查了三视图还原几何体,有一定难度.本题中既可利用“三棱锥的外接球球心在过底面中心的垂线上”这一性质去确定外接球球心,也可将三棱锥还原成对应的三棱柱去确定球心,要求学生具备一定的空间思维与想象能力. 10. 设函数，若，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分和两种情况求解不等式即可得解. 【详解】当时，，则 当时，，，有或，则， 综上可知：的取值范围是或. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了利用分段函数求解不等式，分类讨论是解题的关键，属于基础题. 11. 若满足约束条件，目标函数仅在点（1，0）处取得最小值，则的取值范围是 A. （，） B. （，） C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由已知可画出可行区域图，如图所示，由目标函数，而目标函数仅在可行区域顶点处取得最小值，且截距为正号，所以直线的位置可由直线绕点顺时针旋转到直线均可满足题意，而，即.故选B. 点睛：此题主要考查简单线性规划在求最优解问题中的应用，属于中低档题，也是高频考点.此类题目一般流程是：首先根据题意，作出约束条件（不等式组）的可行区域图，再将目标函数解析式转化直线斜截式（或是斜率计算公式、两点距离公式等），接着在可行域范围内作出直线（或者是斜率的范围、两点间的最值等），将直线平行上下移动，从而找到问题的最优解. 12. 过椭圆右焦点F且斜率为的直线l交椭圆于A，B两点，M为弦AB的中点，直线OM与椭圆相交，其中一个交点为C点，若（λ＞0），则实数λ的值为（　　　　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先联立，通过，得到，再带入，得到.从而得到.椭圆联立，解得：.根据即可得到答案. 【详解】设，,由题知： ，，即：. 与椭圆联立. 因为，所以. 将代入，得到：，. ，即：. 与椭圆联立，解得：. 因为且， 所以. 故选：B 【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系，同时考查了计算能力和转化能力，属于难题. 二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦的二倍角公式和辅助角公式求解即可. 【详解】因为， 所以， 所以，解得， 故答案为： 14. 已知直线与圆：相交于，两点，为坐标原点，且，则实数的值为_____ 【答案】 【解析】 【分析】设AB的中点为C,由题得圆心到直线的距离为，所以解方程即得m的值. 【详解】设AB的中点为C,由题得 圆心到直线的距离为， 所以. 故答案为 【点睛】本题主要考查平面向量的运算，考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 15. 分别是三棱锥的棱的中点，，，则异面直线与所成的角为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，取中点为，连接，通过余弦定理即可容易求得. 【详解】根据题意，取中点为，连接，如下图所示： 因为分别为中点， 故可得//，//， 故可得即为与所成的角或其补角. 在中，. 故，故与所成的角为. 故答案为：. 【点睛】将异面直线夹角转化为三角形中的角度求解问题，涉及余弦定理解三角形，属基础题. 16. 设首项为1的数列的前n项和为，数列的前n项和为，若，则使得成立的最小的n的值为________. 【答案】1010 【解析】 【分析】 由利用累乘法求出，根据求出通项公式，再利用相加相消法求出，即可求解. 【详解】由题意得，， 当时，， 且当时也成立， ， 当时，，且当时也成立， ， ，，，， 使得成立的最小的n的值为1010. 故答案为：1010 【点睛】关键点点睛：本题涉及到数列的知识点较多，求通项的累乘法，由求，裂项相消法，难度不大，综合程度比较高，需要各种方法的熟练运用. 三､解答题：本题共6小题，共70分. 17. 已知，与的夹角是. （1）求的值及的值； （2）当为何值时，？ 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）由定义求出数量积，再利用模长公式及向量数量积的运算律即得； （2）由于，可得，利用向量的数量积的运算公式，即可求解． 【小问1详解】 ∵，与的夹角是， ∴， ； 【小问2详解】 由题意，， 即， 解得， 即时，. 18. 已知数列的前项和为，． （1）证明数列为等比数列并求其通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1）证明见解析，；（2）． 【解析】 【分析】 （1）先求出，再求出（），由等比数列的定义判断数列是以1为首项，3为公比的等比数列，最后求等比数列的通项公式； （2）先求出，用错位相减法即可求出. 【详解】（1）证明：由已知可得，，令得，， 所以（）， 所以当时，，整理得：， 化简得：（）， 所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列， 由等比数列的通项公式得： （2）因为，所以， ， 则． 由错位相加法得，, ． 所以 【点睛】本题考查等比数列的判断、利用求、利用错位相减法求前项和，是中档题. 19. 某市电视台为了宣传举办问答活动，随机在该市15~65岁的人群中抽取了n人回答问题，统计结果如图表所示. 组号 分组 回答正确的人数 回答正确的人数占本组的比例 第1组 5 0.5 第2组 a 0.9 第3组 27 x 第4组 b 0.36 第5组 3 y 分别求出a，b，x，y值. 【答案】，，，. 【解析】 分析】根据频率分布表和频率分布直方图先求出总人数，即可得出答案. 【详解】解：第1组人数为，所以； 第2组人数为，所以； 第3组人数为，所以； 第4组人数为，所以； 第5组人数为，所以. 所以，，，. 20. 如图1，在矩形中，是中点，将沿直线翻折到的位置，使得，如图2. （1）求证：面PCE面ABCE； （2）求与面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）连结，可得，结合两图，可得，，又，根据线面垂直的判定定理证得面PEC，再利用面面垂直的判定定理证得结果； （2）以点为原点，分别以直线为轴，轴，以经过点且垂直于平面的直线为轴建立直角坐标系，利用直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦值的绝对值得到结果. 【详解】（1）证明：连结， 由图1可得 在图2中 又面PEC 面ABCE面PCE面ABCE （2）以点为原点，分别以直线为轴，轴，以经过点且垂直于平面的直线为轴建立直角坐标系. 由题意可知， 设面的法向量为 则令得所以 所以直线与面所成角的正弦值为. 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关立体几何的问题，解题方法如下： （1）结合平面几何的知识得到线线垂直，利用线面垂直的判定定理证得线面垂直； （2）建立适当的坐标系，求得平面的法向量和直线的方向向量，求得其所成角的余弦值，进而得到线面角的正弦值. 21. 设椭圆的方程为，点为坐标原点，点，的坐标分别为，，，直线的斜率为. （1）求椭圆的方程； （2）若斜率为的直线交椭圆于，两点，交轴于点，问是否存在实数使得以为直径的圆恒过点？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）（2）存在； 【解析】 【分析】（1）根据题意，设点的坐标为，可得，进而可得椭圆的方程； （2）根据题意，设直线的方程为，联立方程，通过韦达定理，假设存在实数，使得以为直径的圆恒过点，即可得，利用向量数量积为，解得即可. 【详解】（1）设点的坐标为，， ，，又，，椭圆的方程为. （2）依题意，设直线的方程为，代入， 得. 设，，则，. 假设存在实数，使得以为直径圆恒过点，则. 又，， ∴， 即，将，代入，整理得，解得， 即当时，存在实数使得以为直径的圆恒过点. 【点睛】本题考查了椭圆与直线的位置关系的判断与应用，考查了平面向量的应用，考查了学生的化简运算的能力，属于中档题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二（下）开学数学试卷 一､单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 1. (　　) A B. C. D. 2. 已知，则“”是“”的（ ）． A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 3. 已知直线与直线互相平行，则实数的值为（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 4. 已知点是边的中点，点在边上，且，则向量（ ） A. B. C. D. 5. 已知一个四棱锥的正视图、侧视图如图所示，其底面梯形的斜二测画法的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且该梯形的面积为，则该四棱锥的体积是 A. 4 B. C. D. 6. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列条件，能得到的是 A. B. C. D. 7. 中，若 且，则的形状是（ ） A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 直角三角形 8. 已知直线恒过定点，点也在直线上，其中，均为正数，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 6 9. 已知一个几何体的三视图如图所示，俯视图为等腰三角形，则该几何体的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 10. 设函数，若，则的取值范围是（　　） A B. C. D. 11. 若满足约束条件，目标函数仅在点（1，0）处取得最小值，则的取值范围是 A. （，） B. （，） C. D. 12. 过椭圆右焦点F且斜率为的直线l交椭圆于A，B两点，M为弦AB的中点，直线OM与椭圆相交，其中一个交点为C点，若（λ＞0），则实数λ的值为（　　　　　） A. B. C. D. 二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知，则__________. 14. 已知直线与圆：相交于，两点，为坐标原点，且，则实数的值为_____ 15. 分别是三棱锥棱的中点，，，则异面直线与所成的角为_____. 16. 设首项为1数列的前n项和为，数列的前n项和为，若，则使得成立的最小的n的值为________. 三､解答题：本题共6小题，共70分. 17. 已知，与的夹角是. （1）求的值及的值； （2）当为何值时，？ 18. 已知数列的前项和为，． （1）证明数列为等比数列并求其通项公式； （2）若，求数列的前项和． 19. 某市电视台为了宣传举办问答活动，随机在该市15~65岁的人群中抽取了n人回答问题，统计结果如图表所示. 组号 分组 回答正确的人数 回答正确的人数占本组的比例 第1组 5 0.5 第2组 a 0.9 第3组 27 x 第4组 b 0.36 第5组 3 y 分别求出a，b，x，y的值. 20. 如图1，在矩形中，是中点，将沿直线翻折到的位置，使得，如图2. （1）求证：面PCE面ABCE； （2）求与面所成角的正弦值. 21. 设椭圆的方程为，点为坐标原点，点，的坐标分别为，，，直线的斜率为. （1）求椭圆的方程； （2）若斜率为的直线交椭圆于，两点，交轴于点，问是否存在实数使得以为直径的圆恒过点？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$