专题06 一元一次不等式与不等式组40道压轴题型专训（8大题型）-2024-2025学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪科版2024）

专题06 一元一次不等式与不等式组48道压轴题型专训（8大题型） 题型一 一元一次不等式的解集压轴 题型二 一元一次不等式的整数解压轴 题型三 一元一次不等式组的解集压轴 题型四 一元一次不等式组的整数解压轴 题型五 一元一次不等式组与方程组结合压轴 题型六 一元一次不等式的应用压轴 题型七 特殊不等式组压轴 题型八 一元一次不等式的新定义运算 【经典例题一 一元一次不等式的解集压轴】 1．（24-25七年级下·河北唐山·期末）已知关于，的方程组，其中，下列结论： ①当时，，的值互为相反数；②是方程组的解；③当时，方程组的解也是方程的解；④若，则．其中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】将原方程求解，用a表示x和y，然后根据a的取值范围，求出x和y的取值范围，然后逐一判断每一项即可． 【详解】由，解得 ∵ ∴， ①当时，解得，故①正确； ②不是方程组的解，故②错误； ③当时，解得，此时，故③正确； ④若，即，解得，故④正确； 故选D． 【点睛】本题考查了二元一次方程组，解一元一次不等式，熟练掌握二元一次方程组的解法和不等式的解法是本题的关键． 2．（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）非负数满足，记最大值为，最小值为，则等于（       ） A．7 B．16 C．20 D．21 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质，求不等式解集，先将原式变形，代入M式子，根据不等式的性质求出范围即可求出a，b的值，得出结果． 【详解】解：将变形，得， 将分别代入，得， ， ， 当时，M可以取最大值，最大值， 当时， M可以取最小值，最小值， ． 故选：D． 3．（24-25七年级下·北京·阶段练习）关于的二元一次方程组的解满足，则的范围为 ． 【答案】 【分析】先解出关于的二元一次方程组的解，然后根据列出不等式并求解即可． 【详解】解：解关于的二元一次方程组得 ∵ ∴，解得：a＞． 故答案为． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组、解一元一次不等式等知识点，掌握解二元一次方程组、解一元一次不等式是解答本题的关键． 4．（23-24七年级下·安徽合肥·阶段练习）我们把关于的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“有缘组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“无缘组合”． (1)请判断组合是“有缘组合”还是“无缘组合”，并说明理由； (2)若关于的组合是“有缘组合”，求的取值范围； (3)若关于的组合是“无缘组合”，求的取值范围． 【答案】(1)是“无缘组合”，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）分别解方程和不等式，判定是否符合定义； （2）分别解方程和不等式，根据方程的解在不等式的解集范围内确定的取值范围； （3）分别解方程和不等式，根据方程的解不在不等式的解集范围内确定的取值范围. 【详解】（1）解方程，得， 解不等式，得， 不在范围内， 组合是“无缘组合”． （2）解方程，得， 解不等式，得， 关于的组合是“有缘组合， 在范围内， （3）解方程，得， 解不等式，得， 关于的组合是“无缘组合”， ， 解得． 5．（23-24七年级下·湖南长沙·阶段练习）在数学学习过程中，自学是一种非常重要的学习方式，通过自学不仅可以获得新知，而且可以培养和锻炼我们的思维品质．请你通过自学解答下面的问题：解决含有绝对值符号的问题，通常根据绝对值符号里所含式子的正负性，去掉绝对值符号，转化为不含绝对值符号的问题再解答．例如：解不等式．解：①当，即时，原式化为：，解得，此时，不等式的解集为；②当，即时，原式化为：，解得，此时，不等式的解集为；综上可知，原不等式的解集为或． (1)请用以上方法解不等式关于的不等式： (2)已知关于、的二元一次方程组的解满足，其中是正整数，求值； (3)已知关于、的方程组满足方程组的未知数x的值为整数，系数也为整数且．求满足条件的和的值． 【答案】(1)或 (2)或 (3)或， 【分析】本题主要考查了绝对值方程的解法，绝对值的性质，解一元一次不等式，二元一次方程组； （1）仿照例题，分情况讨论，分别解一元一次不等式，即可求解； （2）根据方程组的特征得出，根据题意可得，进而按照（1）的方法解不等式，即可求解． （3）将方程组中两方程相减，进而用表示，再结合未知数的值为整数，系数也为整数且，便可得出结果； 【详解】（1）解：①当时，即时， 原式化为：， 解得：，此时，不等式的解集为； ②当时，即时， 原式化为： 解得：，此时，不等式的解集为； 综上可知，原不等式的解集为或 （2） ①+②得， ∴ ∵， ∴， ①当时，即时， 原式化为：， 解得：，此时，不等式的解集为； ②当时，即m时， 原式化为： 解得：，此时，不等式的解集为； 综上可知，原不等式的解集为， ∵为正整数， ∴或 （3）解： 得， ∴ ∴ ∵未知数的值为整数，系数也为整数且， ∴， ∴或， 【经典例题二 一元一次不等式的整数解压轴】 6．（24-25七年级下·江苏宿迁·阶段练习）我们知道，适合二元一次方程的一对未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解．类似地，适合二元一次不等式的一对未知数的值叫做这个二元一次不等式的一个解．对于二元一次不等式x＋2y≤8，它的正整数解有（    ） 个 A．11个 B．12个 C．13个 D．14个 【答案】B 【分析】先把作为常数，解不等式得，根据，是正整数，得，求出的正整数值，再分情况进行讨论即可． 【详解】解：， ， ，是正整数， ， 解得，即只能取1，2，3， 当时，， 正整数解为：，，，，，， 当时，， 正整数解为：，，，， 当时，， 正整数解为：，； 综上，它的正整数解有12个． 故选择：B． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，求出的整数值是本题的关键． 7．（24-25七年级下·重庆九龙坡·开学考试）已知关于的一元一次方程的解为正整数，则所有满足条件的整数有（　　　）个 A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】可将原方程化为x关于a的二元一次方程，然后根据x＞0，且x为整数来解出a的值． 【详解】解：， ， ， 而， ， ， ， 为正整数 ． 所以所有满足条件的整数有4个． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，正确掌握一元一次方程的方法是解题的关键． 8．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）对于实数对，定义偏左数为，偏右数为，对于实数对； （1）若，则 ； （2）若，则x的最大整数值为 ； 【答案】 8 0 【分析】（1）根据题干信息先求出和，再求，最后代入计算即可； （2）根据题干信息先求出和，再求解不等式即可． 【详解】解：（1）∵对于实数对，定义偏左数为，偏右数为， ∴对于实数对， ∴ ∴当时，， 故答案为：8； （2）由（1）得， ∵， ∴，解得，， ∴x的最大整数值为0， 故答案为：0 【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，新定义，求代数式的值，解题的关键是根据题干所给信息列出不等式． 9．（24-25七年级下·河南信阳·期末）在数学著作《算术研究》一书中，对于任意实数，通常用[x]表示不超过x的最大整数，如：[π]＝3，[2]＝2，[﹣2.1]＝﹣3．当﹣1＜x＜1时，[1+x]+[1﹣x]的值为 ． 【答案】 1或2 【分析】分﹣1＜x＜0，x=0，0＜x＜1，三种情形计算即可． 【详解】解：因为﹣1＜x＜1， 当﹣1＜x＜0时，0＜1+x＜1，1＜1-x＜2， 所以[1+x]+[1﹣x]=0+1=1； 当x=0时，1+x=1，1-x=1， 所以[1+x]+[1﹣x]=1+1=2； 当0＜x＜1时，1＜1+x＜2，0＜1-x＜1， 所以[1+x]+[1﹣x]=1+0=1； 综上所诉，[1+x]+[1﹣x]的值为1或2， 故答案为：1或2． 【点睛】本题考查了新定义运算，灵活分类，依据新定义运算法则计算是解题的关键． 10．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）甲、乙两个长方形的边长如图所示(为正整数)，其面积分别为. (1)填空: (用含的代数式表示)； (2)若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和. ①设该正方形的边长为，求的值(用含的代数式表示)； ②设该正方形的面积为，试探究: 与的差是否是常数?若是常数，求出这个常数，若不是常数，请说明理由， (3)若另一个正方形的边长为正整数，并且满足条件的有且只有4个，求的值. 【答案】（1）2m-1；（2）①x的值为：2m+7；②与的差是常数，这个常数是19；（3）m的值为3. 【分析】（1）根据长方形的面积公式分别求出，再作差即可得出答案； （2）①根据长方形的周长公式求出甲乙两个长方形的周长，再根据正方形的周长公式求出x，即可得出答案；②利用①求出的x，求出正方形的面积，代入化简即可得出答案； （3） 根据题意求出的取值范围，即得到2m-1的取值范围，根据取值范围求出m的值，再根据m是正整数这一条件得出m的值. 【详解】解：（1）由题意可得： ∴ （2）①∵正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和 ∴正方形的周长=2(m+7+m+1)+2(m+4+m+2)=8m+28 又正方形的边长为 ∴4x=8m+28 解得：x=2m+7 ∴x的值为：2m+7. ②由①可知， ∴ 故与的差是常数，这个常数是19. （3）∵的有且只有4个 ∴ 即4<2m-1≤5 解得： 又m为正整数 ∴m=3 故m的值为3. 【点睛】本题考查的主要是写代数式，涉及到的知识点有正方形和长方形的周长和面积公式、已知不等式的整数解求字母的取值范围. 【经典例题三 一元一次不等式组的解集压轴】 11．（23-24七年级下·江苏南通·期中）已知关于x，y的方程组中x，y均大于0．若a与正数b的和为4，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解二元一次方程组可得，根据x，y均大于0，进而可得：，然后根据，，可得，从而可得，即，进而可得，最后进行计算即可解答． 【详解】解：， 解得：， ，， ， 解得：， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，解二元一次方程组，准确熟练地进行计算是解题的关键． 12．（2023·河北唐山·一模）表示不超过的最大整数．如， ，．则下列结论：①；②若，则的取值范围是；③当时，的值为1或2；④是方程的唯一一个解．其中正确的结论是（    ） A．①② B．②④ C．②③ D．①③ 【答案】C 【分析】①根据定义举例即可判定；②可根据题意中的规定判断；③当，，时，分类讨论得结论；④根据的取值范围，求出方程的解后判断． 【详解】解：①当时，，，不相等；故①不正确； ②若，则的取值范围是是正确的；故②是正确的； ③当时，，， 则：； 当时，； 当时，，， ；综上③是正确的； 故当时，的值为1或2是正确的； ④ 的范围为， ∵，即：，亦即：， ∴，即：， 即， 当时，方程变形为， 解得； 当时，方程变形为， 解得； ∴或都是方程的解，故④是错误的． 故答案为：C． 【点睛】本题考查了解一元一次方程以及解不等式组．题目难度较大，理解题意和学会分类讨论是解决本题的关键． 13．（24-25七年级下·浙江·期中）对于正整数数x，符号表示不大于x的最大整数．若有正整数解，则正数a的取值范围是（    ）． A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据所表示的含义，结合题意可得出，继而可解出的正整数解，分别代入所得不等式，可得出的范围． 【详解】解：有正整数解， ， 即，， ， 是正整数，为正数， ，即可取1、2； ①当取1时， ，， ； ②当取2时， ，， ； 综上可得的范围是：或． 故选：D． 【点睛】此题考查了取整函数的知识，解答本题需要理解[x]所表示的意义，另外也要求我们熟练不等式的求解方法，有一定难度． 14．（2025七年级下·全国·专题练习）若三个代数式满足：只要其中有两个代数式之和大于另外一个代数式的解集为大于1，则称这三个代数式构成“雅礼不等式”．例如：三个代数式有：当时的解集为，则称构成“雅礼不等式”．若构成“雅礼不等式”，则关于的不等式组的解集为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了求一元一次不等式组的解集，根据“雅礼不等式”的定义分三种情况解答即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：分三种情况解答： ①若，即的解集为，则，且， 化简得，，代入，得， 解得， 由，得， 即， 解得， 由，得， 解得， ∴此时不等式组的解集为； ②若，即的解集为，则，且， 化简得，，代入，得， 解得， 由，得， 即， 解得， 由，得， 解得， ∴此时不等式组的解集为； ③若，即的解集为，则，且， 化简得，，代入，得， 解得， 由，得， 即， 解得， 由，得， 解得， ∴此时不等式组的解集为； 综上所述，所给不等式组的解集为或或， 故答案为：或或． 15．（23-24七年级下·江苏南通·期中）对于实数x，我们规定表示不大于x的最大整数，例如已知，．若实数a满足，则实数a的取值范围是 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，实数大小比较，理解表示不大于的最大整数是解题的关键． 由，知，据此可得，解之即可． 【详解】解：∵， ∴， 则， ∴， 则． 故答案为：． 【经典例题四 一元一次不等式组的整数解压轴】 16．（24-25八年级下·陕西榆林·阶段练习）已知关于x的不等式组有且只有4个整数解，则满足条件的整数k有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】解不等式组得出关于的范围，根据不等式组有4个整数解得出的范围，继而可得整数的取值． 【详解】解：由不等式，解得， 由不等式，解得， 不等式组有且只有4个整数解， ， 解得：； 所以满足条件的整数的值有、、共3个， 故选：． 【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的解，熟练掌握解不等式组的能力，并根据题意得到关于的范围是解题的关键． 17．（24-25七年级下·全国·课后作业）关于的不等式组 只有个整数解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先解的不等式组，然后根据整数解的个数确定的不等式组，解出取值范围即可． 【详解】解：不等式组， 解得：， 不等式组只有个整数解，即解只能是，，，，， 的取值范围是：， 解得：． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，难度适中，关键是根据整数解的个数确定关于的不等式组． 18．（24-25七年级下·天津和平·期末）如果关于的不等式组仅有四个整数解：-1，0，1，2，那么适合这个为等式组的整数组成的有序实数对最多共有（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．9个 【答案】C 【分析】先求出不等式组的解集，得出关于m、n的不等式组，求出整数m、n的值，即可得出答案． 【详解】∵解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集是， ∵关于x的不等式组的整数解仅有-1，0，1，2， ∴，， 解得：，， 即的整数值是-3，-2，的整数值是6，7，8， 即适合这个不等式组的整数m，n组成的有序数对(m，n)共有6个，是(-3，6)，(-3，7)，(-3，8)，(-2，6)，(-2，7)，(-2，8)． 故选：C． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，解此题的关键是求出m、n的值． 19．（24-25八年级上·重庆·开学考试）已知关于的二元一次方程组的解满足，且关于的不等式组无解，那么所有符合条件的整数的个数为 ． 【答案】7 【分析】先分别求出方程组的解和不等式组的解集，再结合已知条件求出a的范围，最后得出答案即可． 【详解】解方程组得： ∵方程组的解满足 ∴，解得 解不等式组得： ∵关于的不等式组无解 ∴，解得 ∴ ∴所有符合条件的整数为-2，-1,0,1,2,3,4，共7个 故答案为7 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，解一元一次不等式等知识点，能求出a的取值范围是解此题的关键． 20．（24-25七年级下·福建莆田·期末）阅读材料： 关于x，y的二元一次方程ax+by=c有一组整数解，则方程ax+by=c的全部整数解可表示为（t为整数）．问题：求方程7x+19y=213的所有正整数解． 小明参考阅读材料，解决该问题如下： 解：该方程一组整数解为，则全部整数解可表示为（t为整数）． 因为解得．因为t为整数，所以t=0或-1． 所以该方程的正整数解为和 ． (1)方程3x-5y=11的全部整数解表示为：（t为整数），则= ； (2)请你参考小明的解题方法，求方程2x+3y=24的全部正整数解； (3)方程19x+8y=1908的正整数解有多少组? 请直接写出答案． 【答案】(1)-1 (2)t=-2，-1，0，1 (3)13组 【分析】（1）把x=2代入方程3x-5y=11得，求得y的值，即可求得θ的值； （2）参考小明的解题方法求解即可； （3）参考小明的解题方法求解后，即可得到结论． 【详解】（1）解：把x=2代入方程3x-5y=11得，6-6y=11， 解得y=-1， ∵方程3x-5y=11的全部整数解表示为：（t为整数），则θ=-1， 故答案为-1； （2）解：方程2x+3y=24一组整数解为，则全部整数解可表示为（t为整数）． 因为，解得-3＜t＜2． 因为t为整数， 所以t=-2，-1，0，1． （3）解：方程19x+8y=1908一组整数解为， 则全部整数解可表示为（t为整数）． ∵，解得＜t＜12.5． 因为t为整数， 所以t=0，1，2，3，4，5，67，8，9，10，11，12， ∴方程19x+8y=1908的正整数解有13组． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解，一元一次不等式的整数解，理解题意、掌握解题方法是本题的关键． 【经典例题五 一元一次不等式组与方程组结合压轴】 21．（2023七年级下·全国·专题练习）若存在一个整数m，使得关于x，y的方程组的解满足，且让不等式只有3个整数解，则满足条件的所有整数m的和是（　　） A．12 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】根据方程组的解的情况，以及不等式组的解集情况，求出的取值范围，再进行求解即可． 【详解】解：， ，得：， 解得， ，得：， 解得， ∵， ∴， 解得， 解不等式，得：， 解不等式，得：， ∵不等式组只有3个整数解， ∴， 解得， ∴， ∴符合条件的整数m的值的和为， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组、解不等式组，求不等式的整数解等知识点，掌握解方程组和不等式组的方法是解题的关键． 22．（24-25七年级下·重庆巴南·期末）若整数a使关于x的不等式组至少有4个整数解，且使关于x，y的方程组的解为正整数，那么所有满足条件的整数a的值的和是(    )． A．－3 B．－4 C．－10 D．－14 【答案】D 【分析】根据不等式组求出的范围，然后再根据关于，的方程组的解为正整数得到或，从而确定所有满足条件的整数的值的和． 【详解】解：， 不等式组整理得：， 由不等式组至少有4个整数解，得到， 解得：， 解方程组，得， 又关于，的方程组的解为正整数， 或， 解得或， 所有满足条件的整数的值的和是． 故选：． 【点睛】本题考查解一元一次不等式组，学生的计算能力以及推理能力，解题的关键是根据不等式组以及二元一次方程组求出的范围，本题属于中等题型． 23．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期末）如果关于的不等式组的解集为，且整数使得关于的二元一次方程组的解为整数(均为整数)，则符合条件的所有整数的和是(       ) A． B．2 C．6 D．10 【答案】B 【分析】根据不等式组求得m4，再解方程组求出，根据均为整数得到整数m=4、2、-4，即可得到答案. 【详解】解不等式得x， 解不等式得， ∴m4， 解方程组得， ∵均为整数，m-3是7的因数， ∴m-3=1、-1、-7，7，即m=4、2、-4，10(舍去) 符合条件的所有整数的和是4+2-4=2， 故选：B. 【点睛】此题考查解不等式组，解方程组，因式分解，解题中求出方程组的解，确定m-3是7的因数是解题的关键，由此根据m的取值范围求出符合条件的所有整数m的值. 24．（24-25九年级·浙江杭州·）已知关于x的方程组满足0＜x＜4，若y＞1，则m的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】先把m当作已知条件求出x、y的值，再由0＜x＜4且y＞1得出关于m的不等式，即可求出m的取值范围． 【详解】解：， 将①代入②得：，解得：， 将代入①得：， ∵0＜x＜4且y＞1， ∴且， ， 解得：或 故答案为：或． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法以及不等式的解法，解题的关键是用m表达出x，y，得到关于m的不等式． 25．（24-25七年级下·山西吕梁·阶段练习）综合与探究 对实数x，y，我们定义一种新运算：（其中a，b为常数）．例如：，．已知，． (1)a＝ ，b＝ ． (2)已知x，y为非负整数，求关于x，y的方程的解． (3)若关于x，y的方程组的解满足，且m为非负整数，求m的值． (4)若关于x的不等式恰好有3个正整数解，求n的取值范围． 【答案】(1)2；1 (2)或 (3)m的值为0或1或2 (4) 【分析】（1）根据题目定义的新运算，结合，即可得出答案； （2）根据（1）中求解的a、b的值，结合、x，y为非负整数即可解出答案； （3）根据得出，将其两式相加，结合即可得到m的取值范围，再结合m为非负整数即可求解； （4）根据求解得到x的取值范围，再根据恰好有3个正整数解即可得到n的范围； 【详解】（1）解：， 解得：； （2）解：由（1）知，， 则． ∵x，y为非负整数， ∴或． （3）解：依题意， ①＋②化简得． ∵，即 解得． 又∵m为非负整数， ∴m的值为0或1或2． （4）解：依题意得，解得． ∵此不等式有3个正整数解， ∴， 解得． 【点睛】该题主要考查了二元一次方程组的解法和一元一次不等式组的解法，理解题意，掌握二元一次方程组和一元一次不等式组解法是解题的关键；还需注意二元一次方程解答时有多个结果；一元一次不等式组整数解问题也是比较容易出错． 【经典例题六 一元一次不等式的应用压轴】 26．（2023·四川达州·模拟预测）我市计划将一批爱心物资运往灾区，这一批爱心物资为甲种货物吨和乙种货物吨，准备租用A、B两种型号的汽车共辆，现有一汽和二汽两家汽车公司竞争这次运输任务，他们均有足够量的A、B型汽车，收费标准如表： 一汽 二汽 A型每辆费用（元） B型每辆费用（元） (1)已知二汽公司每辆B型汽车的费用比每辆A型汽车的费用多元，且在二汽公司租4辆A型汽车和5辆B型汽车的总费用为元．求表格中，的值； (2)已知每辆A型汽车最多可以装甲种货物7吨和乙种货物4吨，每辆B型汽车最多可装甲种货物5吨和乙种货物8吨，按此要求安排同一家汽车公司的A、B两种型号汽车将这批物质一次性运往灾区，请问共有多少种租车方案？从运费最少的角度考虑，怎选择哪家公司来运输这批货物？请说明理由． 【答案】(1)表格中的值为，的值为 (2)共有3种租车方案，选择二汽公司来运输这批货物，总费用最少，见解析 【分析】本题考查了一元一次不等式组和二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题关键. （1）依题意得：，即可求解； （2）设需租用辆A型汽车，则租用辆型汽车，依题意得：，即可求解 【详解】（1）解：依题意得：， 解得：． 答：表格中的值为，的值为． （2）解：设需租用辆A型汽车，则租用辆型汽车， 依题意得：， 解得：， 取整数， ． 共有3种租车方案． 每辆A型汽车的费用小于每辆B型汽车的费用， 租用30辆A型汽车，10辆B型汽车更省钱． 选择一汽公司所需总费用为：（元）； 选择二汽公司所需总费用为：（元）． ， 选择二汽公司来运输这批货物，安排辆A型汽车，辆B型汽车时，总费用最少． 27．（2025七年级下·江苏宿迁·专题练习）【项目式学习】 项目主题：数学智慧拼图 项目背景：为了缓解同学们的学习压力，提高思维能力，增强学习兴趣，并促进同学们的全面发展，王老师将数学学习小组分成三组，每组领取一些矩形卡片，开展以“数学智慧拼图”为主题的项目式学习． 任务一：观察建模 （1）如图1，第一小组领了8个大小、形状完全相同的小矩形，拼成一个大矩形，每个小矩形的长和宽分别为y，，小组同学测得拼成的大矩形长为30，宽为16，可得方程组则_________，_________． 任务二：推理分析 （2）第二小组也领了8个大小、形状完全相同的小矩形，把它们按图2方式放置在一个大矩形中，求图2中阴影部分的面积． 任务三：设计方案 （3）第三小组领了A，B，C三种类型的矩形卡片，它们的长都为18，宽分别为a，b，c，其中且a，b，c均为正整数，分别取A，B，C卡片2，3，4张，把它们按图3方式放置在一个边长为36的正方形中，则阴影部分的面积为144；若分别取A，B，C卡片3，2，5张，则能否把它们放置在边长为36的正方形中（不能有重叠）？如果能，请你在图4中画出放置好的示意图，并标注a，b，c的值；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）6，10；（2）31；（3）能，图见解析 【详解】3．解：（1）6   10 （2）设小矩形的长为m、宽为n．由题意，得解得则． （3）由题意，得 解得因为且a，b，c均为正整数，所以所以． 所以或．当时，，分别取A，B，C卡片3，2，5张，拼成的不重叠的图形面积为，故此时不能放置；当时，，，分别取A，B，C卡片3，2，5张，拼成的不重叠的图形面积为，此时能放置，放置方式如下图： 28．（23-24七年级下·北京昌平·期末）已知是不等式组解集中的解，若存在一个a，使，我们把这样的称为该不等式组的“关联解”，a叫做“关联系数”． (1)当时，下列不等式组存在“关联解”的是_________． A． B． C． (2)不等式组的解集上存在“关联解”，若，“关联系数a”的取值范围为_________． (3)不等式组的解集存在关联解，，若，且是整数，直接写出“关联系数a”的值_________． 【答案】(1)B (2) (3)3，5，7 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，理解不等式组的“关联解”定义以及熟练掌握一元一次不等式组的解法是解此题的关键． （1）先求出每个不等式组的解集， 再根据不等式组的“关联解”定义判断即可； （2）先求出不等式组的解集是，求出，根据题意得出不等式组并求出即可． （3）先求出不等式组的解集是，根据“关联解”定义得出解出a的范围，结合是整数即可求出结论． 【详解】（1）解：A．， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 当时，不存在， B．， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 当，时，存在， C． 解不等式①得：， 解不等式②得：， 当存在， 当时，不存在， 故选：B； （2）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集是， 若，且， ， ， ， ， 故答案为：； （3）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集是， 若，且， ， ， ， 解得：， ， ， ， 是整数，， ． 故答案为：3,5,7. 29．（24-25七年级下·湖北·期末）甲、乙两商场以同样的价格出售同样的商品，并各自推出了优惠方案：在甲商场累计购物金额超过元后，超出元的部分按收费；在乙商场累计购物金额超过元后，超出元的部分按收费，已知，顾客累计购物金额为元顾客只能选择一家商场． (1)若，， ①当时，到甲商场实际花费元，到乙商场实际花费元； ②若，那么当时，到甲或乙商场实际花费一样； (2)经计算发现：当时，到甲商场无优惠，而到乙商场则可优惠元；当时，到甲或乙商场实际花费一样，请求出，的值； (3)若时，到甲或乙商场实际花费一样，，且，求的最大值． 【答案】(1)①，；② (2)， (3) 【分析】本题考查一元一次不等式和一元一次方程的应用； （1）①根据题中等量关系计算即可．②利用①中关系计算即可． （2）建立关于a，b的方程组计算即可． （3）根据甲乙两商场费用一样得出，进而得出，根据题意解不等式组，进而即可求解． 【详解】（1）解：①由题意得到甲商场实际花费：(元)， 到乙商场实际花费：(元)． 故答案为：， ②若，到甲商场实际花费：． 到乙商场实际花费：． ∵， ∴． 故答案为：； （2）解：当时，到甲商场无优惠， ， 当时，到甲商场无优惠，而到乙商场则可优惠元， %． ． 当时，到甲或乙商场实际花费一样， %%， ． ，． （3）解：时，到甲或乙商场实际花费一样， ， ． ， ∴ 解得： ∴ ∴ ∴即 ∴的最大值为 30．（24-25七年级下·广东惠州·期末）某工厂承接了一批纸箱加工任务，用如图所示的长方形和正方形纸板长方形的宽与正方形的边长相等加工成如图所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸箱（加工时接缝材料不计）    (1)若该厂购进正方形纸板张，长方形纸板张，问竖式纸盒，横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完； (2)该工厂某一天使用的材料清单上显示，这天一共使用正方形纸板张，长方形纸板张，全部加工成上述两种纸盒，且，试求在这一天加工两种纸盒时，的所有可能值． 【答案】(1)加工竖式纸盒个，加工横式纸盒个，恰好能将购进的纸板全部用完 (2)，，， 【分析】（1）设加工竖式纸盒x个，加工横式纸盒y个，根据两种纸盒每个各需长方形和正方形纸板的张数结合共用正方形纸板1000张、长方形纸板2000张，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设加工竖式纸盒m个，加工横式纸盒n个，根据两种纸盒每个各需长方形和正方形纸板的张数结合共用正方形纸板80张、长方形纸板a张，即可得出关于m、n的二元一次方程组，解之即可用含a的代数式表示出n值，再根据n、a为正整数结合即可求出a的值，此题得解． 【详解】（1）设加工竖式纸盒个，加工横式纸盒个， 根据题意得：， 解得：． 答：加工竖式纸盒个，加工横式纸盒个，恰好能将购进的纸板全部用完． （2）设加工竖式纸盒个，加工横式纸盒个， 根据题意得：， ． 、为正整数， 为的倍数， 又， 满足条件的为：，，，． 答：在这一天加工两种纸盒时，的所有可能值为，，，． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解． 【经典例题七 特殊不等式组压轴】 31．（2024八年级上·全国·专题练习）解不等式． 【答案】 【分析】本题主要考查了解不等式，解不等式组，绝对值等知识点，分和，两种情况分类讨论即可得解，理解题目的含义，进行分类讨论是解决此题的关键． 【详解】①当，即， 解集为； ②当，即：， 解集为； 综上可知，原不等式的解集为． 32．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）若关于的方程有实数根，则的取值范围是 【答案】或 【分析】本题考查了绝对值方程，解不等式，分类讨论是解题的关键．根据绝对值的意义，将方程转化为一般的方程，然后求解，再解不等式即可． 【详解】解：根据题意，当时， 解得： 此时，解得 当时， 解得： 此时，解得或 综上所述，或 故答案为：或． 33．（24-25七年级下·湖南·期末）若三个代数式满足：只要其中有两个代数式之和大于另外一个代数式的解集为大于1的实数，则称这三个代数式构成“雅礼不等式”．例如：三个代数式有：当时的解集为，则称构成“雅礼不等式”． (1)可以构成“雅礼不等式”吗？请说明理由； (2)若构成“雅礼不等式”，求a的值或取值范围； (3)若构成“雅礼不等式”，求关于x的不等式组的解集． 【答案】(1)可以，理由见解析 (2) (3)或 【分析】（1）由x-2+x+1＞1，即2x-1＞1的解集为x＞1即可得出答案； （2）分ax+a+1＞x、ax+x＞a+1、a+1+x＞ax三种情况分别求解即可； （3）分-2nx+x＞mx+m、mx+m+n＞-2nx、mx+n-2nx＞n三种情况，依据新定义得出m、n之间的数量关系及m、n的正负情况，再代入方程组消掉m或n，进一步求解即可． 【详解】（1）x-2，1，x+1可以构成“雅礼不等式”， ∵x-2+x+1＞1，即2x-1＞1的解集为x＞1， ∴x-2，1，x+1可以构成“雅礼不等式”． （2）①当时 此时要求且 无解 ②当时 此时要求 则 ③当时 此时要求且 无解 综上所述： （3）①当时 则 因为构成“雅礼不等式” ∴ 解得 代入求得 ②当时 则 因为构成“雅礼不等式” ∴ 解得 代入求得 ③当时 则 因为构成“雅礼不等式” ∴ 解得 代入求得 综上所述：或 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，解题的关键是根据“雅礼不等式”的定义列出对应的不等式，从中得出m、n之间的数量关系及其符号． 34．（24-25七年级下·北京通州·期中）在数轴上，点A表示的数为2，点B表示的数为5． （1）如果C是数轴上的一点，那么点C到点A的距离与点C到点B的距离之和的最小值是　 　； （2）求关于x的不等式组的解集； （3）如果关于x的不等式组的解集中每一个x值都不在线段AB上，求m的取值范围． 【答案】（1）3；（2）m﹣1≤x＜m+1；（3）m＞6或m≤1． 【分析】（1）根据两点间的距离公式可得答案； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． （3）由已知得出m-1＞5或m+1≤2，解之可得答案． 【详解】解：（1）点C到点A的距离与点C到点B的距离之和的最小值是5﹣2＝3， 故答案为：3； （2）解不等式x﹣m≥﹣1，得x≥m﹣1， 解不等式x﹣m＜1，得：x＜m+1， 则不等式组的解集为m﹣1≤x＜m+1； （3）∵关于x的不等式组的解集中每一个x值都不在线段AB上， ∴m﹣1＞5或m+1≤2， 解得：m＞6或m≤1． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 35．（24-25七年级下·江苏南通·期中）已知关于、的方程组的解满足． （1）求的取值范围； （2）化简； （3）为何整数时，不等式的解为． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）方程组中两方程相加表示出x+y，代入已知不等式即可求出k的范围； （2）根据k的取值范围判断绝对值内代数式的正负，化简绝对值，合并同类项即可； （3）根据不等式以及不等式的解可确定，再结合（1）可进一步确定k的取值范围，取整数解即可． 【详解】解：（1）， ①+②得：，即， 又∵， ∴，即； （2）∵， ∴，， ∴； （3）由可得， 两边同时除以得到， 不等号的方向改变，故，解得， 由（1）可知，故， 故=-1时满足条件． 【点睛】本题考查解方程组，解不等式组，化简绝对值和求不等式组的整数解．（1）中掌握整体思想是解题关键；（2）中理解正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0是解决此题的关键；（3）中熟记不等式的三个性质，并且能根据不等式的性质进行分析是解题关键． 【经典例题八 一元一次不等式的新定义运算】 24-2536．（23-24七年级下·广西南宁·阶段练习）对于实数a，如果定义[]是一种取整运算新符号，即表示不超过a的最大整数．例如：，，对于后面结论：①当时，则的值为1或2；②因为，所以；③若方程有解，则其解有无数多个；④若，则a的取值范围是．正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查新定义，一元一次不等式．解题的关键在理解新定义，根据新定义转化为一元一次方程和不等式问题去解决． 分情况讨论，验证的所有取值即可判定①；取特殊值验证，当时，即可判定②；在0到1的范围内，找到一个特殊值，进而可以找到无数个解可判定③；把方程问题转化为不等式问题，由，得，即，可判定④． 【详解】解：①当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 故当时，则的值为或0或1或，故①错误； ②当时，，故②错误； ③当，2.1，3.1，时，方程均成立，故正③确； ④由，得，即，故④正确； ∴正确的有③④，共2个． 故选：B． 37．（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）定义运算：．已知，． (1)直接写出：________，________； (2)若关于x的不等式组无解，求t的取值范围； (3)若的解集为，求不等式：的解集． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查二元一次方程组的解法、一元一次不等式的解法和一元一次不等式组的解法． （1）根据定义的新运算，列出二元一次方程组，解方程组可求出，的值； （2）根据（1）求出的，的值和新运算列出一元一次不等式组，解不等式组并根据不等式组解集的情况可求出的取值范围； （3）根据（1）求出的，的值和新运算列出一元一次不等式，根据解集为可得出与的数量关系；再根据，的值和新运算列出一元一次不等式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， 故答案为：；； （2）把，代入得， ∴不等式组可转化为， 解得：， ∵关于的不等式组无解， ∴， 解得：， ∴的取值范围是； （3）不等式转化为， 整理，得：， ∵的解集为， ∴，解得：， ∴， ∴， ∴， 解得：， 不等式转化为， 整理，得：， ∴， ∴， ∴， ∴不等式的解集为． 38．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程” (1)在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是___________；（填序号） (2)若关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围； (3)若关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组有4个整数解，试求的取值范围 【答案】(1)①② (2) (3) 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解， （1）先求出方程的解和不等式组的解集，再判断即可； （2）先求出不等式组的解集，然后再解方程求出，最后根据“关联方程”的定义列出关于k的不等式组，进行计算即可； （3）先求出不等式组的解集，不等式组有4个整数解，即可得出的范围，然后求出方程的解为，根据“关联方程”的定义得出关于的不等式，最后取公共部分即可． 【详解】（1）①，解得； ②，解得； ③，解得； 解不等式得：， 解不等式得：， ∴的解集为， ∵在范围内， ∴不等式组“关联方程”是①②； 故答案为：①②； （2）解不等式得：， 解不等式得：， ∴的解集为， 关于的方程的解为， ∵关于的方程是不等式组的“关联方程”， ∴在范围内 ∴， 解得； （3）解不等式得：， 解不等式得：， ∴的解集为， ∵此时不等式组有4个整数解， ∴， 解得 关于的方程的解为， ∵关于的方程是不等式组的“关联方程”， ∴在范围内 ∴， 解得， 综上所述，． 39．（23-24七年级下·北京西城·期中）已知：如图，数轴上两点A、B对应的数分别是，1，点P在线段上，给出如下定义：如果在数轴上存在动点Q，满足，那么我们把这样的点Q表示的数称为连动数，特别地，当点Q表示的数是整数时我们称为连动整数． (1)在这四个数中， ① 若点P表示数0.5，是连动数的有哪些__________； ② 若点P是线段上任意一点，是连动数的有哪些__________； (2)关于x的方程的解满足是连动数，求m的取值范围______________； (3)当不等式组的解集恰好有4个连动整数时，求a的取值范围． 【答案】(1)①；② (2)或 (3) 【分析】本题考查了解一元一次不等式组的整数解，一元一次方程的解，根据新定义得到不等式组是解题的关键， （1）根据连动数的定义即可确定； （2）求得方程的解，根据新定义得出或，解得即可； （3）求得不等式的解，根据连动整数的概念得到关于的不等式，解不等式即可求得． 【详解】（1）解：①因为，，，，所以连动数的是，2.5， ②因为，，，，， 所以连动数的是，2.5， 故答案为①，2.5；②，2.5， （2）解：解关于的方程得，， 关于的方程的解满足是连动数， 或， 解得或； 故答案为或； （3）解： 由①得，； 由②得，， 不等式组的解集中恰好有4个解是连动整数时， 四个连动整数解为，，1，2， ， 的取值范围是． 40．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）我们定义：使方程(组)与不等式(组)同时成立的未知数的值称为此方程(组)和不等式(组)的“梦想解”． 例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解” (1)已知①，②，③，试判断方程解是否为它与它们中某个不等式的“梦想解”； (2)若关于，的二元一次方程组的解是不等式组的梦想解，且为整数，求的值． (3)若关于x的方程的解是关于x的不等式组的“梦想解”，且此时不等式组有7个整数解，试求m的取值范围． 【答案】(1)是不等式③的“梦想解” (2)m为14或15 (3)m的取值范围是 【分析】本题考查了解一元一次不等式（组），解一元一次方程（组）， （1）先求出方程的解和不等式的解集，即可判断； （2）先求出方程组的解和不等式组的解集，根据题意得出，解不等式组即可； （3）先求出不等式组的解集，不等式组有7个整数解，即可得出，然后解方程得：，，根据“梦想解”的定义得出，即可得出． 【详解】（1）解方程得， 解①得：，故方程解不是①的“梦想解”； 解②得：，故方程解不是②“梦想解”； 解③得：，故方程解是③的“梦想解”； 即方程的解是不等式③的“梦想解”； （2）解方程组 得： ∴ ∵方程组的解是不等式组的梦想解 ∴ ∴ m为整数， ∴m为14或15； （3）解不等式组得：， 不等式组的整数解有7个， 令整数的值为，，，，，， 则有：，． 故， 且， ， ， ， ， 解方程得：， 方程是关于的不等式组的“梦想解”， ， 解得， 综上的取值范围是． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 一元一次不等式与不等式组48道压轴题型专训（8大题型） 题型一 一元一次不等式的解集压轴 题型二 一元一次不等式的整数解压轴 题型三 一元一次不等式组的解集压轴 题型四 一元一次不等式组的整数解压轴 题型五 一元一次不等式组与方程组结合压轴 题型六 一元一次不等式的应用压轴 题型七 特殊不等式组压轴 题型八 一元一次不等式的新定义运算 【经典例题一 一元一次不等式的解集压轴】 1．（24-25七年级下·河北唐山·期末）已知关于，的方程组，其中，下列结论： ①当时，，的值互为相反数；②是方程组的解；③当时，方程组的解也是方程的解；④若，则．其中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．②③④ D．①③④ 2．（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）非负数满足，记最大值为，最小值为，则等于（       ） A．7 B．16 C．20 D．21 3．（24-25七年级下·北京·阶段练习）关于的二元一次方程组的解满足，则的范围为 ． 4．（23-24七年级下·安徽合肥·阶段练习）我们把关于的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“有缘组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“无缘组合”． (1)请判断组合是“有缘组合”还是“无缘组合”，并说明理由； (2)若关于的组合是“有缘组合”，求的取值范围； (3)若关于的组合是“无缘组合”，求的取值范围． 5．（23-24七年级下·湖南长沙·阶段练习）在数学学习过程中，自学是一种非常重要的学习方式，通过自学不仅可以获得新知，而且可以培养和锻炼我们的思维品质．请你通过自学解答下面的问题：解决含有绝对值符号的问题，通常根据绝对值符号里所含式子的正负性，去掉绝对值符号，转化为不含绝对值符号的问题再解答．例如：解不等式．解：①当，即时，原式化为：，解得，此时，不等式的解集为；②当，即时，原式化为：，解得，此时，不等式的解集为；综上可知，原不等式的解集为或． (1)请用以上方法解不等式关于的不等式： (2)已知关于、的二元一次方程组的解满足，其中是正整数，求值； (3)已知关于、的方程组满足方程组的未知数x的值为整数，系数也为整数且．求满足条件的和的值． 【经典例题二 一元一次不等式的整数解压轴】 6．（24-25七年级下·江苏宿迁·阶段练习）我们知道，适合二元一次方程的一对未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解．类似地，适合二元一次不等式的一对未知数的值叫做这个二元一次不等式的一个解．对于二元一次不等式x＋2y≤8，它的正整数解有（    ） 个 A．11个 B．12个 C．13个 D．14个 7．（24-25七年级下·重庆九龙坡·开学考试）已知关于的一元一次方程的解为正整数，则所有满足条件的整数有（　　　）个 A．3 B．4 C．6 D．8 8．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）对于实数对，定义偏左数为，偏右数为，对于实数对； （1）若，则 ； （2）若，则x的最大整数值为 ； 9．（24-25七年级下·河南信阳·期末）在数学著作《算术研究》一书中，对于任意实数，通常用[x]表示不超过x的最大整数，如：[π]＝3，[2]＝2，[﹣2.1]＝﹣3．当﹣1＜x＜1时，[1+x]+[1﹣x]的值为 ． 10．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）甲、乙两个长方形的边长如图所示(为正整数)，其面积分别为. (1)填空: (用含的代数式表示)； (2)若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和. ①设该正方形的边长为，求的值(用含的代数式表示)； ②设该正方形的面积为，试探究: 与的差是否是常数?若是常数，求出这个常数，若不是常数，请说明理由， (3)若另一个正方形的边长为正整数，并且满足条件的有且只有4个，求的值. 【经典例题三 一元一次不等式组的解集压轴】 11．（23-24七年级下·江苏南通·期中）已知关于x，y的方程组中x，y均大于0．若a与正数b的和为4，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（2023·河北唐山·一模）表示不超过的最大整数．如， ，．则下列结论：①；②若，则的取值范围是；③当时，的值为1或2；④是方程的唯一一个解．其中正确的结论是（    ） A．①② B．②④ C．②③ D．①③ 13．（24-25七年级下·浙江·期中）对于正整数数x，符号表示不大于x的最大整数．若有正整数解，则正数a的取值范围是（    ）． A．或 B．或 C．或 D．或 14．（2025七年级下·全国·专题练习）若三个代数式满足：只要其中有两个代数式之和大于另外一个代数式的解集为大于1，则称这三个代数式构成“雅礼不等式”．例如：三个代数式有：当时的解集为，则称构成“雅礼不等式”．若构成“雅礼不等式”，则关于的不等式组的解集为 ． 15．（23-24七年级下·江苏南通·期中）对于实数x，我们规定表示不大于x的最大整数，例如已知，．若实数a满足，则实数a的取值范围是 【经典例题四 一元一次不等式组的整数解压轴】 16．（24-25八年级下·陕西榆林·阶段练习）已知关于x的不等式组有且只有4个整数解，则满足条件的整数k有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 17．（24-25七年级下·全国·课后作业）关于的不等式组 只有个整数解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 18．（24-25七年级下·天津和平·期末）如果关于的不等式组仅有四个整数解：-1，0，1，2，那么适合这个为等式组的整数组成的有序实数对最多共有（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．9个 19．（24-25八年级上·重庆·开学考试）已知关于的二元一次方程组的解满足，且关于的不等式组无解，那么所有符合条件的整数的个数为 ． 20．（24-25七年级下·福建莆田·期末）阅读材料： 关于x，y的二元一次方程ax+by=c有一组整数解，则方程ax+by=c的全部整数解可表示为（t为整数）．问题：求方程7x+19y=213的所有正整数解． 小明参考阅读材料，解决该问题如下： 解：该方程一组整数解为，则全部整数解可表示为（t为整数）． 因为解得．因为t为整数，所以t=0或-1． 所以该方程的正整数解为和 ． (1)方程3x-5y=11的全部整数解表示为：（t为整数），则= ； (2)请你参考小明的解题方法，求方程2x+3y=24的全部正整数解； (3)方程19x+8y=1908的正整数解有多少组? 请直接写出答案． 【经典例题五 一元一次不等式组与方程组结合压轴】21．（2023七年级下·全国·专题练习）若存在一个整数m，使得关于x，y的方程组的解满足，且让不等式只有3个整数解，则满足条件的所有整数m的和是（　　） A．12 B．6 C． D． 22．（24-25七年级下·重庆巴南·期末）若整数a使关于x的不等式组至少有4个整数解，且使关于x，y的方程组的解为正整数，那么所有满足条件的整数a的值的和是(    )． A．－3 B．－4 C．－10 D．－14 23．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期末）如果关于的不等式组的解集为，且整数使得关于的二元一次方程组的解为整数(均为整数)，则符合条件的所有整数的和是(       ) A． B．2 C．6 D．10 24．（24-25九年级·浙江杭州·）已知关于x的方程组满足0＜x＜4，若y＞1，则m的取值范围是 ． 25．（24-25七年级下·山西吕梁·阶段练习）综合与探究 对实数x，y，我们定义一种新运算：（其中a，b为常数）．例如：，．已知，． (1)a＝ ，b＝ ． (2)已知x，y为非负整数，求关于x，y的方程的解． (3)若关于x，y的方程组的解满足，且m为非负整数，求m的值． (4)若关于x的不等式恰好有3个正整数解，求n的取值范围． 【经典例题六 一元一次不等式的应用压轴】 26．（2023·四川达州·模拟预测）我市计划将一批爱心物资运往灾区，这一批爱心物资为甲种货物吨和乙种货物吨，准备租用A、B两种型号的汽车共辆，现有一汽和二汽两家汽车公司竞争这次运输任务，他们均有足够量的A、B型汽车，收费标准如表： 一汽 二汽 A型每辆费用（元） B型每辆费用（元） (1)已知二汽公司每辆B型汽车的费用比每辆A型汽车的费用多元，且在二汽公司租4辆A型汽车和5辆B型汽车的总费用为元．求表格中，的值； (2)已知每辆A型汽车最多可以装甲种货物7吨和乙种货物4吨，每辆B型汽车最多可装甲种货物5吨和乙种货物8吨，按此要求安排同一家汽车公司的A、B两种型号汽车将这批物质一次性运往灾区，请问共有多少种租车方案？从运费最少的角度考虑，怎选择哪家公司来运输这批货物？请说明理由． 27．（2025七年级下·江苏宿迁·专题练习）【项目式学习】 项目主题：数学智慧拼图 项目背景：为了缓解同学们的学习压力，提高思维能力，增强学习兴趣，并促进同学们的全面发展，王老师将数学学习小组分成三组，每组领取一些矩形卡片，开展以“数学智慧拼图”为主题的项目式学习． 任务一：观察建模 （1）如图1，第一小组领了8个大小、形状完全相同的小矩形，拼成一个大矩形，每个小矩形的长和宽分别为y，，小组同学测得拼成的大矩形长为30，宽为16，可得方程组则_________，_________． 任务二：推理分析 （2）第二小组也领了8个大小、形状完全相同的小矩形，把它们按图2方式放置在一个大矩形中，求图2中阴影部分的面积． 任务三：设计方案 （3）第三小组领了A，B，C三种类型的矩形卡片，它们的长都为18，宽分别为a，b，c，其中且a，b，c均为正整数，分别取A，B，C卡片2，3，4张，把它们按图3方式放置在一个边长为36的正方形中，则阴影部分的面积为144；若分别取A，B，C卡片3，2，5张，则能否把它们放置在边长为36的正方形中（不能有重叠）？如果能，请你在图4中画出放置好的示意图，并标注a，b，c的值；如果不能，请说明理由． 28．（23-24七年级下·北京昌平·期末）已知是不等式组解集中的解，若存在一个a，使，我们把这样的称为该不等式组的“关联解”，a叫做“关联系数”． (1)当时，下列不等式组存在“关联解”的是_________． A． B． C． (2)不等式组的解集上存在“关联解”，若，“关联系数a”的取值范围为_________． (3)不等式组的解集存在关联解，，若，且是整数，直接写出“关联系数a”的值_________． 29．（24-25七年级下·湖北·期末）甲、乙两商场以同样的价格出售同样的商品，并各自推出了优惠方案：在甲商场累计购物金额超过元后，超出元的部分按收费；在乙商场累计购物金额超过元后，超出元的部分按收费，已知，顾客累计购物金额为元顾客只能选择一家商场． (1)若，， ①当时，到甲商场实际花费元，到乙商场实际花费元； ②若，那么当时，到甲或乙商场实际花费一样； (2)经计算发现：当时，到甲商场无优惠，而到乙商场则可优惠元；当时，到甲或乙商场实际花费一样，请求出，的值； (3)若时，到甲或乙商场实际花费一样，，且，求的最大值． 30．（24-25七年级下·广东惠州·期末）某工厂承接了一批纸箱加工任务，用如图所示的长方形和正方形纸板长方形的宽与正方形的边长相等加工成如图所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸箱（加工时接缝材料不计）    (1)若该厂购进正方形纸板张，长方形纸板张，问竖式纸盒，横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完； (2)该工厂某一天使用的材料清单上显示，这天一共使用正方形纸板张，长方形纸板张，全部加工成上述两种纸盒，且，试求在这一天加工两种纸盒时，的所有可能值． 【经典例题七 特殊不等式组压轴】 31．（2024八年级上·全国·专题练习）解不等式． 32．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）若关于的方程有实数根，则的取值范围是 33．（24-25七年级下·湖南·期末）若三个代数式满足：只要其中有两个代数式之和大于另外一个代数式的解集为大于1的实数，则称这三个代数式构成“雅礼不等式”．例如：三个代数式有：当时的解集为，则称构成“雅礼不等式”． (1)可以构成“雅礼不等式”吗？请说明理由； (2)若构成“雅礼不等式”，求a的值或取值范围； (3)若构成“雅礼不等式”，求关于x的不等式组的解集． 34．（24-25七年级下·北京通州·期中）在数轴上，点A表示的数为2，点B表示的数为5． （1）如果C是数轴上的一点，那么点C到点A的距离与点C到点B的距离之和的最小值是　 　； （2）求关于x的不等式组的解集； （3）如果关于x的不等式组的解集中每一个x值都不在线段AB上，求m的取值范围． 35．（24-25七年级下·江苏南通·期中）已知关于、的方程组的解满足． （1）求的取值范围； （2）化简； （3）为何整数时，不等式的解为． 【经典例题八 一元一次不等式的新定义运算】 24-2536．（23-24七年级下·广西南宁·阶段练习）对于实数a，如果定义[]是一种取整运算新符号，即表示不超过a的最大整数．例如：，，对于后面结论：①当时，则的值为1或2；②因为，所以；③若方程有解，则其解有无数多个；④若，则a的取值范围是．正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 37．（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）定义运算：．已知，． (1)直接写出：________，________； (2)若关于x的不等式组无解，求t的取值范围； (3)若的解集为，求不等式：的解集． 38．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程” (1)在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是___________；（填序号） (2)若关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围； (3)若关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组有4个整数解，试求的取值范围 39．（23-24七年级下·北京西城·期中）已知：如图，数轴上两点A、B对应的数分别是，1，点P在线段上，给出如下定义：如果在数轴上存在动点Q，满足，那么我们把这样的点Q表示的数称为连动数，特别地，当点Q表示的数是整数时我们称为连动整数． (1)在这四个数中， ① 若点P表示数0.5，是连动数的有哪些__________； ② 若点P是线段上任意一点，是连动数的有哪些__________； (2)关于x的方程的解满足是连动数，求m的取值范围______________； (3)当不等式组的解集恰好有4个连动整数时，求a的取值范围． 40．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）我们定义：使方程(组)与不等式(组)同时成立的未知数的值称为此方程(组)和不等式(组)的“梦想解”． 例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解” (1)已知①，②，③，试判断方程解是否为它与它们中某个不等式的“梦想解”； (2)若关于，的二元一次方程组的解是不等式组的梦想解，且为整数，求的值． (3)若关于x的方程的解是关于x的不等式组的“梦想解”，且此时不等式组有7个整数解，试求m的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$