专题04 相交线与平行线单元过关【基础版】-2024-2025学年七年级数学下册重难考点强化训练（北师大版2024）

专题04 相交线与平行线单元过关（基础版） 考试范围：第2章；考试时间：150分钟；总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 评卷人 得分 一、单选题 1．下列说法不正确的是（　　） A．和是同旁内角 B．和是内错角 C．和是同位角 D．和是同旁内角 【答案】D 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】本题主要考查了同位角，内错角，同旁内角的定义，熟练掌握同位角，内错角，同旁内角的定义是解题的关键．根据同位角，内错角，同旁内角的定义逐一判断即可． 【详解】解：A. 和是同旁内角，说法正确，选项不符合题意； B. 和是内错角，说法正确，选项不符合题意； C. 和是同位角，说法正确，选项不符合题意； D. 和互为补角，说法错误，选项符合题意； 故选：D． 2．立定跳远是常州体育中考项目之一，女生成绩达到或超过获得满分，达到或超过获得加分．如图，一女生在起跳线上的点A处起跳，，垂足为C．若该女生获得满分但未加分，则下列说法中正确的是（    ） A．可能为 B．可能为 C．可能为 D．可能为 【答案】D 【知识点】垂线段最短 【分析】本题考查了垂线段最短，熟练掌握垂线段的性质是关键． 根据题意和垂线段最短的性质判断即可． 【详解】解：∵该女生获得满分但未加分， ∴ ∵， ∴可能为， 故选项D符合题意． 故选：D． 3．如图，把一张长方形纸片沿折叠，使得点与点重合，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】折叠问题、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题主要考查了图形的折叠，平行线的性质，熟练掌握折叠的性质， 平行线的性质是解题的关键． 根据折叠的性质可得，从而得到，再由平行线的性质，即可求解． 【详解】解：∵长方形纸片沿折叠，， ∴， ∴， ∵四边形是长方形， ∴， ∴． 故选：D． 4．下列说法：①连接一点与直线上各点的线段中，垂线段最短；②直线，相交于点O，若，则；③相等的角是对顶角；④过直线l外一点P作于点Q，则线段的长度是点P到直线l的距离，正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】垂线的定义理解、点到直线的距离、垂线段最短、对顶角的定义 【分析】本题主要考查了垂线段的性质，点到直线的距离，对顶角定义，解题的关键是理解相关定义．根据垂线段定义，垂线段性质，点到直线的距离，逐项进行判断即可． 【详解】解：连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短，①说法错误； 当两条直线相交所构成的四个角中有一个角为时，这两条直线互相垂直，②说法正确； 对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，③说法错误； 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离，④说法正确． 综上分析可知：说法正确的有2个． 故选B 5．如图，点B在直线上，平分，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】角平分线的有关计算、垂线的定义理解 【分析】本题考查了角平分线的定义，垂直的定义，平角的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据求出，再根据角平分线求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 故选：A． 6．如图，，，若平分，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】两直线平行内错角相等、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等． 根据角平分线的定义得出，再根据两直线平行，内错角相等，即可解答． 【详解】解：∵，平分， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 7．如图，平行线之间有两个图形，阴影部分面积的关系是（    ） A．无法比较 B．①与②相等 C．①是②的2倍 D．①是②的3倍 【答案】C 【知识点】利用平行线间距离解决问题 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据平行线间间距相等可知三角形和梯形的高相等，据此分别表示出两个图形的面积即可得到答案． 【详解】解：设两平行线间的距离为h， ∴三角形面积为，梯形面积为， ∴①的面积是②的面积的2倍， 故选：C． 8．如图，直线，相交于点O，射线平分，垂足为O．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求一个角的余角、角平分线的有关计算、垂线的定义理解 【分析】根据射线平分，得到，结合余角计算即可． 本题考查了角的平分线，垂直的意义，余角的计算，熟练掌握定义，余角的计算是解题的关键． 【详解】解：∵射线平分， ∴，， ∴， ∴故选：C． 9．一个角的补角比它的余角的3倍还多，则这个角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查了互为余角与补角的性质，根据互为余角的两个角的和等于，互为补角的两个角的和等于，列出方程，然后解方程即可． 【详解】解：设这个角为α，则它的余角为，补角为， 根据题意得，， ， 解得． 故选：C． 10．如图，，平分，平分，，，则下列结论：①，②，③，④．其中正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数 【分析】根据角平分线的性质可得，，再利用平角定义可得∠BCF=90°，进而可得①正确；首先计算出∠ACB的度数，再利用平行线的性质可得∠2的度数，从而可得∠1的度数；利用三角形内角和计算出∠3的度数，然后计算出∠ACE的度数，可分析出③错误；根据∠3和∠4的度数可得④正确． 【详解】解：如图， ∵BC平分∠ACD，CF平分∠ACG， ∴ ∵∠ACG+∠ACD=180°， ∴∠ACF+∠ACB=90°， ∴CB⊥CF，故①正确， ∵CD∥AB，∠BAC=50°， ∴∠ACG=50°， ∴∠ACF=∠4=25°， ∴∠ACB=90°-25°=65°， ∴∠BCD=65°， ∵CD∥AB， ∴∠2=∠BCD=65°， ∵∠1=∠2， ∴∠1=65°，故②正确； ∵∠BCD=65°， ∴∠ACB=65°， ∵∠1=∠2=65°， ∴∠3=50°， ∴∠ACE=15°， ∴③∠ACE=2∠4错误； ∵∠4=25°，∠3=50°， ∴∠3=2∠4，故④正确， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了平行线的性质，以及角平分线的性质，关键是理清图中角之间的和差关系． 第II卷（非选择题） 评卷人 得分 二、填空题 11．如图，木工师傅用角尺在工件上画出两条平行线段，．请你给出能够使这两条线段，平行的数学原理 ． 【答案】同位角相等，两直线平行 【知识点】同位角相等两直线平行 【分析】此题考查了平行线的判定．根据同位角相等，两直线平行求解即可． 【详解】解：由题意可得，这两条垂线平行的理由是同位角相等，两直线平行． 故答案为：同位角相等，两直线平行． 12．若两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别是和，则 ． 【答案】40或80/80或40 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、对顶角相等、利用邻补角互补求角度 【分析】此题考查了两条直线相交所成角的关系，一元一次方程的应用，正确理解两条直线相交所成角的关系是解题的关键． 由两条直线相交所成的四个角中，有邻补角有对顶角，由此列方程解答． 【详解】解：当两个角是对顶角时，，解得； 当两个角是邻补角时，，解得， 故答案为：40或80． 13．如图，在六十五中操场上的旗杆O处，观测学校正门A在旗杆的北偏东，学校西门B在旗杆的北偏西，则度数为 ． 【答案】/度 【知识点】与方向角有关的计算题 【分析】根据方向角的定义：以正南或正北为基准，到目标所在线的夹角，确定方向角，再进行角度的计算即可． 【详解】解：由题意，得：度数为两个方向角的度数之和， 即：； 故答案为：． 【点睛】本题考查方向角的计算．熟练掌握方向角的定义，是解题的关键． 14．若与互余，与互补，且，则 ． 【答案】/121度 【知识点】与余角、补角有关的计算 【分析】本题主要考查了余角和补角的有关计算，熟练掌握余角和补角的定义，是解题的关键．根据与互余，，先求出，再根据与互补，求出即可． 【详解】解：∵与互余，， ∴， ∵与互补， ∴． 故答案为：． 15．向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，，则的度数为 ． 【答案】/57度 【知识点】两直线平行同旁内角互补、两直线平行同位角相等 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行同旁内角互补得出，再由两直线平行同位角相等即可得出答案． 【详解】解：如图： ， ∵水面和杯底互相平行， ∴， ∵， ∴， ∵水中的两条光线平行， ∴， 故答案为：． 评卷人 得分 三、解答题 16．如图，已知点E、F在直线上，点G在线段上，与交于点H，，．    (1)试判断与之间的数量关系，并说明理由； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、根据平行线判定与性质证明 【分析】（1）先判定推出，再证明即可得到结论． （2）利用平行线的性质分别求出的度数，进而求出的度数即可得到答案． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：由（1）知， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 17．如图，，，则，平行吗？ (1)茜茜同学很快写出解答，请你在茜茜说理过程的括号内填写理由： 因为， 所以（①______） 因为， 所以， 所以（②______）； (2)小洁说也可以不用“同旁内角”来说明，请你写出小洁的说理过程． 【答案】(1)①两直线平行，同旁内角互补 ②同旁内角互补，两直线平行 (2)见解析（方法不唯一） 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的性质和判定方法是解题的关键． （1）“因为，所以”是利用“两直线平行，同旁内角互补”得出；“因为，所以”是利用“同旁内角互补，两直线平行”得出； （2）方法不唯一，如法：连接；或法：延长至点；或法：延长至点；或法：延长至点；或法：延长至点；分别证明即可． 【详解】（1）解：因为， 所以（①两直线平行，同旁内角互补）， 因为， 所以， 所以（②同旁内角互补，两直线平行）； 故答案为：①两直线平行，同旁内角互补；②同旁内角互补，两直线平行； （2）解：方法不唯一，如： 法：如图，连接， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以； 法：如图，延长至点， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以； 法：如图，延长至点， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以； 法：如图，延长至点， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以； 法：如图，延长至点， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以． 18．完成下面的证明．如图，，，，．求证：． 证明：（已知）， （_______） ， _______． ， _______， （_______）． 【答案】两直线平行，内错角相等；60；180；同旁内角互补，两直线平行 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查平行线的判定和性质．解题的关键是掌握平行线的性质定理和判定定理． 根据平行线的判定和性质进行作答即可． 【详解】证明：（已知）， （两直线平行，内错角相等） ， ． ， ， （同旁内角互补，两直线平行）． 19．如图，是的角平分线，P是延长线上的一点，交于点M，交于点N．求证：平分． 【答案】见解析 【知识点】三角形角平分线的定义、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题主要考查了三角形角平分线的定义以及判定，平行线的性质，由角平分线的定义得出．由平行线的性质得出，，进而可得出， 即可得出平分． 【详解】证明：∵是的角平分线， ∴． ∵，， ∴，， ∴， ∴平分． 20．如图，在直角三角形中，，在三角形内有一点． (1)在上找一点，使得是点到的最短距离； (2)过点作直线，作直线；并直接写出直线与所夹的角与有怎样的大小关系？ 【答案】(1)见解析 (2)图见解析，相等或互补 【知识点】两直线平行同位角相等、垂线段最短、用直尺、三角板画平行线、画垂线 【分析】（1）过点作于点，则点即为所求作； （2）按照画平行线的方法作出直线、，然后利用平行线的性质及互补的定义即可得出直线与所夹的角与之间的大小关系． 【详解】（1）解：如图，点即为所求作； （2）解：如图，直线、即为所求作， 答：直线与所夹的角与相等或互补． 【点睛】本题主要考查了画垂线，垂线段最短，画平行线，两直线平行同位角相等，互补的定义等知识点，熟练掌握基本的作图方法与技巧及与之相关的性质是解题的关键． 21．如图，直线相交于点，是的平分线，若，与互余． (1)判断把所分成的两个角的大小关系，并说明你的结论； (2)求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2) 【知识点】几何图形中角度计算问题、与余角、补角有关的计算、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查角平分线的定义，几何图形中角的和差，互余、互补的概念及计算，理解图示，掌握角平分线的定义，互余、互补的概念及计算方法是解题的关键． （1）根据题意，，根据平分，得到，再根据与互余，即可求解； （2）根据是的平分线，得到，由即可求解． 【详解】（1）解：， ∵是直线上一点， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵与互余， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵，是的平分线， ∴， ∴． 22．直线和被直线所截，根据下列条件，解决问题：    (1)如图1，平分，平分，与满足什么条件时，?说明理由． (2)如图2，若，平分，平分，则与满足怎样的条件？说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【知识点】根据平行线判定与性质证明、内错角相等两直线平行、两直线平行同旁内角互补 【分析】（1）根据平行线的判定方法进行判断即可； （2）根据平行线的性质进行判断即可． 【详解】（1）解：当时，．理由： ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴． （2）解：．理由如下： ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．平行线的判定方法，内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行． 23．如图，已知AMBN，∠A＝64°．点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D． (1)∠ABN的度数是 ； (2)求∠CBD的度数； (3)当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量之比是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由：若变化，请写出变化规律． 【答案】(1)116° (2)58° (3)不变，∠APB＝2∠ADB，理由见解析 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线的性质求角的度数、角平分线的有关计算 【分析】（1）根据两直线平行同旁内角互补即可求解； （2）根据角平分线的定义，结合（1）的结论即可求解； （3）由平行线的性质可得∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，根据角平分线的定义可得∠PBN＝2∠DBN，即可求解． 【详解】（1）解：∵AMBN，∠A＝64°， ∴∠ABN＝180°﹣∠A＝116°， 故答案为116°； （2）∵AMBN， ∴∠ABN+∠A＝180°， ∴∠ABN＝180°﹣64°＝116°， ∴∠ABP+∠PBN＝116°， ∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN， ∴∠ABP＝2∠CBP，∠PBN＝2∠DBP， ∴2∠CBP+2∠DBP＝116°， ∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝58°； （3）不变，∠APB＝2∠ADB，理由如下： ∵AMBN， ∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN， ∵BD平分∠PBN， ∴∠PBN＝2∠DBN， ∴∠APB＝2∠ADB． 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，数形结合是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 相交线与平行线单元过关（基础版） 考试范围：第2章；考试时间：150分钟；总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 评卷人 得分 一、单选题 1．下列说法不正确的是（　　） A．和是同旁内角 B．和是内错角 C．和是同位角 D．和是同旁内角 2．立定跳远是常州体育中考项目之一，女生成绩达到或超过获得满分，达到或超过获得加分．如图，一女生在起跳线上的点A处起跳，，垂足为C．若该女生获得满分但未加分，则下列说法中正确的是（    ） A．可能为 B．可能为 C．可能为 D．可能为 3．如图，把一张长方形纸片沿折叠，使得点与点重合，若，则（    ） A． B． C． D． 4．下列说法：①连接一点与直线上各点的线段中，垂线段最短；②直线，相交于点O，若，则；③相等的角是对顶角；④过直线l外一点P作于点Q，则线段的长度是点P到直线l的距离，正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图，点B在直线上，平分，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．如图，，，若平分，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．如图，平行线之间有两个图形，阴影部分面积的关系是（    ） A．无法比较 B．①与②相等 C．①是②的2倍 D．①是②的3倍 8．如图，直线，相交于点O，射线平分，垂足为O．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．一个角的补角比它的余角的3倍还多，则这个角的度数为（   ） A． B． C． D． 10．如图，，平分，平分，，，则下列结论：①，②，③，④．其中正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 第II卷（非选择题） 评卷人 得分 二、填空题 11．如图，木工师傅用角尺在工件上画出两条平行线段，．请你给出能够使这两条线段，平行的数学原理 ． 12．若两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别是和，则 ． 13．如图，在六十五中操场上的旗杆O处，观测学校正门A在旗杆的北偏东，学校西门B在旗杆的北偏西，则度数为 ． 14．若与互余，与互补，且，则 ． 15．向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，，则的度数为 ． 评卷人 得分 三、解答题 16．如图，已知点E、F在直线上，点G在线段上，与交于点H，，．    (1)试判断与之间的数量关系，并说明理由； (2)若，，求的度数． 17．如图，，，则，平行吗？ (1)茜茜同学很快写出解答，请你在茜茜说理过程的括号内填写理由： 因为， 所以（①______） 因为， 所以， 所以（②______）； (2)小洁说也可以不用“同旁内角”来说明，请你写出小洁的说理过程． 18．完成下面的证明．如图，，，，．求证：． 证明：（已知）， （_______） ， _______． ， _______， （_______）． 19．如图，是的角平分线，P是延长线上的一点，交于点M，交于点N．求证：平分． 20．如图，在直角三角形中，，在三角形内有一点． (1)在上找一点，使得是点到的最短距离； (2)过点作直线，作直线；并直接写出直线与所夹的角与有怎样的大小关系？ 21．如图，直线相交于点，是的平分线，若，与互余． (1)判断把所分成的两个角的大小关系，并说明你的结论； (2)求的度数． 22．直线和被直线所截，根据下列条件，解决问题：    (1)如图1，平分，平分，与满足什么条件时，?说明理由． (2)如图2，若，平分，平分，则与满足怎样的条件？说明理由． 23．如图，已知AMBN，∠A＝64°．点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D． (1)∠ABN的度数是 ； (2)求∠CBD的度数； (3)当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量之比是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由：若变化，请写出变化规律． 学科网（北京）股份有限公司 $$