精品解析：重庆市第八中学校2024-2025学年九年级下学期定时练习（三）数学试题

初2025届九下定时练习3 满分：150分 时间：120分钟 参考公式：抛物线的顶点坐标，对称轴：直线 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的代号填涂在答题卡上． 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得． 【详解】解：的相反数是， 故选：B． 【点睛】本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键． 2. 如图所示，该几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查简单几何体的三视图，明确三视图的画法是解题的关键． 根据俯视图的画法即可得到答案． 【详解】解：从上面看是四个正方形，符合题意的是C． 故选：C． 3. 下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键；因此此题可根据“把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做因式分解”进行求解即可． 【详解】解：A、，属于整式的乘法，故不符合题意； B、，等式右边不是几个整式乘积的形式，不是因式分解，故不符合题意； C、，等式右边不是整式，不是因式分解，故不符合题意； D、，属于因式分解，故符合题意； 故选D． 4. 如图，与位似，位似中心是点，且，若的面积为5，则的面积为（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 45 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查位似，熟练掌握位似的性质是解题的关键；由题意易得，，然后根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵与位似，位似中心是点， ∴，， ∴， ∵的面积为5， ∴的面积为20； 故选C． 5. 下列说法正确的是（ ） A. 到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． B. 如果两个三角形全等，则它们一定关于某直线成轴对称． C. 等腰三角形任意角的平分线与该角所对边的高线、中线互相重合． D. 三角形两边垂直平分线的交点到三角形三边距离相等． 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质、全等三角形的性质、等腰三角形的性质及轴对称图形的性质，熟练掌握各个概念是解题的关键；因此此题可根据线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质及轴对称图形的性质依此排除选项即可． 【详解】解：A、到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，说法正确，故符合题意； B、如果两个三角形全等，则它们不一定关于某直线成轴对称，说法错误，故不符合题意； C、等腰三角形底边上的中线、底边上的高线和顶角的角平分线互相重合，原说法错误，故不符合题意； D、三角形两边垂直平分线的交点到三角形三顶点的距离相等，原说法错误，故不符合题意； 故选A． 6. 估计的值应在（ ） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的混合运算进行化简，进而估算即可求解． 【详解】解：原式 ＝， ， ， 故选B． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，无数的估算，正确的计算是解题的关键． 7. 将一些半径相同的小圆片按下图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆片，第2个图形有10个小圆片，第3个图形有16个小圆片，第4个图形有24个小圆片，……依此规律，第11个图形中小圆片的个数为（ ）. A. 125 B. 135 C. 136 D. 164 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：仔细分析所给图形的特征可得每个图形的四个角均有1个圆，中间圆的个数是连续整数的积，从而可以求得结果. 第1个图形有6=4+1×2个小圆片 第2个图形有10=4+2×3个小圆片 第3个图形有16=4+3×4个小圆片 第4个图形有24=4+4×5个小圆片 则第11个图形中小圆片的个数为4+11×12=136 故选C. 考点：本题考查的是找规律-图形的变化 点评：解答本题的关键是仔细分析所给图形的特征得到规律，再应用于解题. 8. 如图，正方形中，扇形与扇形的弧交于点，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了不规则图形面积计算、正方形的性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题关键．设阴影部分的面积分别为，连接，过点作，垂足分别为，证明四边形为矩形，为等边三角形，易得，，再解得，的值，进而计算，，即可求得答案． 【详解】解：如下图，设阴影部分的面积分别为，连接，过点作，垂足分别为， ∵四边形为正方形，， ∴，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵扇形与扇形的弧交于点， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ， ∴阴影部分的面积． 故选：A． 9. 如图，正方形中，点分别是和边的点，满足，连接，过点作，连接是上一点，且，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的性质与判定及圆的基本性质，熟练掌握正方形的性质、全等三角形的性质与判定及圆的基本性质是解题的关键；由题意得，则有，然后根据题意可知点D、C、F、G四点共圆，且为直径，由可知点H为圆心，进而根据圆的基本性质可进行求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点D、C、F、G四点共圆，且为直径，由可知点H为圆心，如图所示， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选C． 10. 关于的次多项式，其中系数均为正整数，且，下列说法正确的个数是 ①若，则可为三次四项式； ②若，则满足条件的多项式共有3种； ③若是二次三项式，，则多项式有最小值； ④若是二次三项式，方程有解，当取最小值时，方程的两根． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了多项式的项和系数，一元二次方程根与系数的关系，判别式及配方法的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．依题意，假设时，可为三次四项式，则，，且都不为0，当时，为三次四项式成立，故①正确；分类讨论，一次二项式2个，二次三项式3个，即可判断②；当是二次三项式，时，，得，根据二次函数的图象性质进行判断；依题意，得，，因为取最小值，，即，则，，，所以方程的两根，即可作答． 【详解】解：∵系数，，，，均为正整数，且，， ①假设时，可为三次四项式， 则，，且都不为0， ∵， ∴当时，为三次四项式成立，故①正确； ②分类讨论： 一次二项式：，，有，即， 二次三项式：，最小和，即， 因为三次四项式最小和，无更高次， 这里实际有效为3种，②正确； ③当是二次三项式，时， ∵， ∴， ∵，且， ∴多项式有最小值，故③正确； ④∵是二次三项式， ∴， ∵方程有解， ∴， ∵系数，，，，均为正整数，且，且，且取最小值， ∴，即， ∵， ∴， ∵都是正整数，且取最小值， ∴，， ∴， ∴方程的两根．故④是错误； 故选：C． 二、填空题：本大题6个小题，每小题5分，共30分．将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】本题主要考查特殊三角函数值，熟记特殊三角函数值是解题的关键；因此此题可根据特殊三角函数值进行求解． 【详解】解：； 故答案为：． 12. 一个正多边形的内角和比其外角和的度数大，则它的边数是___． 【答案】8 【解析】 【分析】n边形的内角和为，外角和为，根据正多边形的内角和比其外角和的度数大列方程求解即可． 【详解】解：设该多边形的边数为n， 根据题意，得， 解得， 即该多边形的边数为8． 13. 小麦同学在本次考试中，第7题和第10题均无法把握，这两个题目他均排除了两个错误选项，每道题剩下的两个选项无法作出判断，则小麦同学两个题目均蒙对的概率为______． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】本题考查了列表法求概率，解题的关键是明确所有可能的结果并计算符合条件的情况数． 通过列表法列举所有可能的选择组合，再统计符合条件的组合数，即可求出概率． 【详解】设定题目选项：第7题的两个选项设为（假设正确答案为）；第10题的两个选项设为（假设正确答案为）， 列出所有可能的选择组合： 总共有4种等可能的选择组合．只有1种情况满足两题均蒙对， 两个题目均蒙对的概率为， 故答案为：． 14. 若关于的一元一次不等式组至少有三个奇数解，且关于的分式方程有整数解，则符合题意的整数的个数是______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程与一元一次不等式组的解法，熟练掌握各个解法是解题的关键；由不等式组可得，则有，由分式方程可得，然后根据整数解可进行求解． 【详解】解：由不等式组可得：， ∵该不等式组至少有三个奇数解， ∴， 由分式方程可得：， ∵该分式方程有整数解， ∴9是的倍数， ∴或1或或5或11或， ∵， ∴， ∴符合题意整数a的值有4个； 故答案为4． 15. 如图，与相切于点垂直平分，交于点，连接并延长交于点，连接，若半径为，则线段______；______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】连接，，，，过点D作于点G，由题意得，然后可得，，进而可得，，最后根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：连接，，，，过点D作于点G，如图所示： ∴，， ∵垂直平分， ∴，互相垂直平分， ∴四边形是菱形， ∴， ∴，是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查菱形的性质与判定、三角函数、圆周角的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握菱形的性质与判定、三角函数、圆周角的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键． 16. 对于一个四位正整数，若满足各数位上的数字互不相同，它的千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，称这个数为“开心数”．则最大的“开心数”是______；若“开心数”（，且均为整数），规定将的十位数字与百位数字之差记为，若正整数都是“开心数”，其中，（，，且都是整数），当能被3整除时，求满足条件的所有正整数的和为______． 【答案】 ①. 9876 ②. 7114 【解析】 【分析】本题主要考查整式加减运算及代数式的值，解题的关键是理解“开心数”的定义；因此此题可根据“开心数”意义得到最大的“开心数”，然后根据题意可得s的十位数字是，百位数字是5，千位数字是n，个位数字是7，t的十位数字是，百位数字是4，千位数字是3，个位数字是，则有，，进而问题可求解． 【详解】解：由题意可知：千位一定要最大，故千位数字为9，百位数字为8，十位上的数字则为7，个位数的数字为6，所以最大的“开心数”是9876； ∵， ∴s的十位数字是，百位数字是5，千位数字是n，个位数字是7， ∴， ∵，， ∴t的十位数字是，百位数字是4，千位数字是3，个位数字是， ∴， ∴， ∵s、t是“开心数”， ∴，， ∴，， ∴当时，，则， ∵能被3整除， ∴或1， 解得：或5，即或4，所以或4567； 当时，，则， 由于为整数，此时m的值不存在； 当时，，则，由于为整数，此时m的值不存在； 当时，，则， ∵能被3整除， ∴或1， 解得：或5，即或4，所以或4567； 综上或； 综上所述：满足条件的所有正整数的和为； 故答案为9876；7114． 三、解答题：本大题共8个小题，每小题10分，共80分．解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方公式及分式的混合运算，熟练掌握各个运算是解题的关键； （1）先利用完全平方公式及单项式乘以多项式进行展开，然后再进行求解即可； （2）先算括号里，然后再进行分式的除法运算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 完成以下作图与填空： （1）如图，在中，平分，交于点．用尺规作的垂直平分线，分别交，于点，连接．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）问所作的图形中，求证：四边形是菱形． 证明：平分 又垂直平分 ①______ 又垂直平分 ②______ ③______ 四边形为菱形 进一步研究还可发现，在直角三角形中，直角的角平分线与对边交于一点，直角顶点与交点所构成的线段的垂直平分线与两直角边所在直线交于两点，直角顶点与三个交点所构成的四边形是④______． 【答案】（1）图见解析 （2）①；②；③；④正方形 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图、菱形和正方形的判定、等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握菱形和正方形的判定是解题关键． （1）根据线段垂直平分线的尺规作图即可得； （2）先根据角平分线的定义可得，根据线段垂直平分线的性质可得，，根据等腰三角形的性质可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据菱形和正方形的判定即可得证． 【小问1详解】 解：用尺规作的垂直平分线，分别交于点，连接．如图所示： ． 【小问2详解】 证明：平分， ， 又垂直平分， ， ， ， 又垂直平分， ， ， ， ， 四边形为菱形． 进一步研究还可发现，在直角三角形中，直角的角平分线与对边交于一点，直角顶点与交点所构成的线段的垂直平分线与两直角边所在直线交于两点，直角顶点与三个交点所构成的四边形是正方形（理由是：有一个角是直角的菱形是正方形）． 故答案为：①；②；③；④正方形． 19. 我校组织学生开展了“传承与创新、青年奋斗”的党史知识问答活动，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取了20名学生成绩进行统计分析．数据整理如下：（成绩用表示，共分成四组：A．，B．，C．，D．）． 七年级20名学生的成绩是：60，65，65，71，74，76，80，82，84，84，85，85，92，92，92，92，96，96，97，98． 八年级20名学生的成绩在组中的数据是：82，88，83，87，80，89． 七，八年级抽取的学生成绩统计表和八年级抽取的学生成绩扇形统计图如下： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 83.3 84.5 八年级 83.3 93 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表：____，____，____； （2）通过以上数据分析，你认为这次比赛中哪个年级的成绩更好？请说明理由（写出一条即可）； （3）我校七，八年级各有3000人参加此次知识问答活动，估计我校七，八年级参加此次知识问答活动成绩优秀的学生共多少人？ 【答案】（1）40，87.5，92 （2）八年级成绩好，理由见详解 （3）2400人 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图、中位数、众数、利用样本估计总体等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． （1）首先求得八年级D组学生人数为8人，然后计算八年级D组学生占比，即可确定的值；根据题目中数据，结合中位数和众数的定义确定的值即可； （2）比较七年级和八年级学生成绩的平均数、中位数和众数，即可获得答案； （3）利用“七，八年级学生总数成绩优秀学生占比”，即可获得答案． 【小问1详解】 解：根据题意，八年级20名学生的成绩在组的有6人， ∴八年级D组学生人数为（人）， ∴八年级D组学生占比为，即， 由扇形统计图可知，八年级学生两组学生人数为（人）， ∴八年级学生成绩排在第10，11位的分别为87，88， ∴八年级学生成绩的中位数， 七年级学生成绩中，出现次数最多的是92，共计4次， ∴七年级20名学生成绩的众数为92，即． 故答案为：40，87.5，92； 【小问2详解】 八年级成绩好，理由如下： 比较七年级和八年级学生成绩，可知两个年级的平均成绩相同，但八年级学生成绩的中位数和众数均高于七年级学生成绩，故八年级成绩好； 【小问3详解】 （人）， 答：我校七，八年级参加此次知识问答活动成绩优秀的学生共2400人． 20. 商场两次购进两款巧克力．第一次购进A款巧克力50件，款巧克力70件，共4300元，第二次购进A款巧克力120件，款巧克力90件，共7200元． （1）求两款巧克力的进价各是多少元？ （2）商场为了尽快将A款巧克力销售完，决定对A款巧克力进行降价销售，当销售单价为每个60元时，每周可以卖出50个，每降1元，每周就可以多卖10个，请问商场将每个A款巧克力降价多少元时，每周销售A款巧克力的利润为2640元？ 【答案】（1）A、B两款巧克力的进价分别为30元、40元 （2）商场将每个A款巧克力降价19元时，每周销售A款巧克力的利润为2640元 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组及一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意； （1）设A、B两款巧克力的进价分别为x元、y元，然后根据题意可得方程组为，进而求解即可； （2）设商场将每个A款巧克力降价m元时，每周销售A款巧克力的利润为2640元，则有销售量为个，然后可得方程，进而求解即可 【小问1详解】 解：设A、B两款巧克力的进价分别为x元、y元，由题意得： ， 解得：； 答：A、B两款巧克力的进价分别为30元、40元． 【小问2详解】 解：设商场将每个A款巧克力降价m元时，每周销售A款巧克力的利润为2640元，由题意得： ， 解得：， ∵商场为了尽快将A款巧克力销售完， ∴； 答：商场将每个A款巧克力降价19元时，每周销售A款巧克力的利润为2640元． 21. 如图，在直角中，，点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿方向匀速运动，至点A处停止，点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿着折线方向匀速运动，两点同时出发，设运动时间为秒，过点作于点，的周长与的周长之比为，点到的距离为． （1）请直接写出关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出的图象，并写出函数图像的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出当时，的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 【答案】（1）， （2）图象见详解，当时，随x的增大而增大，当时，随x的增大而减小 （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的图象与性质、三角函数及相似三角形的性质与判定，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象与性质、三角函数及相似三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，然后可得，则有，进而分当时和当时，最后得出函数解析式即可； （2）根据（1）中函数解析式及描点法可得函数图象，然后根据函数图象可进行求解； （3）由（2）中函数图象可直接进行求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的周长与的周长之比为， 由题意得：， ∴； 当时，点M在边上，则； 当时，点M在边上，即为图上，过点作，如图所示： 由图可知：， 综上所述：； 【小问2详解】 解：的图象如图所示： 由图象可知：当时，随x的增大而增大，当时，随x的增大而减小． 【小问3详解】 解：由（2）中图象可知：当时，的取值范围为或． 22. 周日早上，爷爷和小明约定从家到公园去锻炼身体，公园在小明家处）正东方向的处，但是由于道路施工，爷爷先沿正北方向走了300米到达处，再从处沿北偏东方向行走300米到达处，从处沿正东方向走了200米到达处，最后沿方向到达处．已知点在点的南偏东方向，爷爷先出发3分钟后小明从家选择另一路线步行前往处，已知点在点A的南偏东方向，且点在点的正南方向．（参考数据：） （1）求的长度；（结果保留根号） （2）若爷爷步行速度为50米／分，小明步行速度为70米／分，小明和爷爷始终保持匀速行驶，请计算说明小明和爷爷谁先到达公园？（结果精确到0.1） 【答案】（1） （2）小明先到达公园 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用及方位角，熟练掌握解直角三角形的应用是解题的关键； （1）延长，交点分别为P、Q，由题意易得四边形是矩形，则有，然后根据三角函数可进行求解； （2）由（1）可知，，然后根据三角函数求出，计算出两人的时间，进行比较即可． 【小问1详解】 解：延长，交点分别为P、Q，如图所示： 由题意得：，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）可知：，， ∴，， ∴爷爷到公园步行的时间为（分）， 小明步行到公园的时间为（分）， ∴小明先到达公园． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，直线经过点． （1）求拋物线的解析式； （2）点是直线上方抛物线上的一动点，过点作于点，作于点，求的最大值及此时点的坐标； （3）抛物线与轴负半轴交于点，点，将抛物线沿射线方向平移，使平移后的拋物线经过点，点为新抛物线上对称轴右侧一动点，连接，将绕点顺时针旋转角度，，在旋转过程中使点恰好落在坐标轴上，请直接写出所有符合条件的点的横坐标． 【答案】（1） （2）最大值为，点P的坐标为； （3）和 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）求出直线和的解析式，然后过点P作轴，交，于点G，F，设点P的坐标为，表示出，的值，利用三角函数计算即可解题； （3）先求出直线的解析式：，设，与抛物线交于， 得到平移的距离，进而得到平移后的抛物线解析式，作，求出，将轴和轴绕点逆时针旋转得到直线、的解析式，分别与平移后的抛物线解析式联立，即可求解． 本题考查了求抛物线的解析式，锐角三角函数，旋转与平移，解题的关键是：熟练掌握旋转与平移． 【小问1详解】 解：把，代入可得： ，解得， ∴抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为，把，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 同理可得直线的解析式为：， 解方程组得，， ∵，，， ∴，，， ∴，， ∴，， 过点P作轴，交，于点G，F，则， ∴，， 设点P的坐标为，则，， ∴，， ∴， ， ∴， ∵， ∴当时，最大值为，这时点P的坐标为； 【小问3详解】 解：， 当时，，解得：或， ∴, ∴直线的解析式为， 设，与抛物线交于， ∴直线的解析式为， 解方程组得，， ∴抛物线向右平移距离为：，抛物线向上平移距离为：， ∴平移后的抛物线方程为：， 对称轴为， 作垂足为， ∴，， ∴， ∴， 又∵，，， ∴，解得：，， ∴，，，， 作点，，连接、， 则，， ∴， ∴， ∵，， 同理可得直线的解析式为：， 联立得，代入得，解得：或， ∴点的横坐标为：， 在射线上取点，使，轴垂足为，交轴于点， ∴，，， ∴，， ∴，， 同理可得直线的解析式为：， 联立得，代入得，解得：或（舍）， 故所有符合条件的点的横坐标为和． 24. 在中，，，点是边上一点，过点作交于点，，． （1）如图1，将绕点逆时针旋转至，使得落在上，连接，求的长； （2）如图2，将绕点旋转至．连接，为中点，连接，探究与的数量关系； （3）如图3，为直线上一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，平面内有一点，满足，连接，当最小时，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）过点作于点，在和中利用锐角三角函数的定义分别求出、的长，由旋转的性质得，，进而求出、的长，再利用勾股定理即可求解； （2）将沿翻折至，将沿翻折至，连接、，由翻折的性质可证出和都是等边三角形，再利用等边三角形的性质推出，得到，再利用三角形的中位线定理得出，，即可得出结论； （3）取的中点，连接、，作直线，设交于点，利用直角三角形的性质和旋转的性质得出和都是等边三角形，进而推出，得到，分析可知点的运动轨迹在过点，且与夹角为的直线上，所以当时，最小；当时，作于点，连接，利用勾股定理和三角函数的知识求出，则有，根据线段的性质得出，代入数据即可求出的最小值． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点， ，， ， ，， 在中，， ， ， ， 在中，， ， 由旋转的性质得，，， ， ， ，， ， ． 的长为． 【小问2详解】 解：如图，将沿翻折至，将沿翻折至，连接、， 由翻折的性质得，，，， 三点共线，， 是等边三角形， 同理可得，也是等边三角形， ，， ，即， 在和中， ， ， ， 为中点， ， 由翻折的性质得，，， ，， ． 【小问3详解】 解：如下图，取的中点，连接、，作直线，设交于点， ，是的中点， ， ， ， 是等边三角形， ，， 将绕点顺时针旋转得到， ，， 是等边三角形， ，， ， ，即， ， ， ， 点的运动轨迹在过点，且与夹角为的直线上， 当时，最小； 如下图，当时，作于点，连接， ， ， 在中，， 在中，，， ， ， ， ， 点平面内一点， ， ， 解得：， 的最小值为． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、特殊角的三角函数值、勾股定理、三角形中位线定理、等边三角形的性质与判定、直角三角形的性质、全等三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点，学会添加适当的辅助线构造全等三角形和直角三角形是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的几何知识储备和辅助线构造能力，适合有能力解决几何难题的学生． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初2025届九下定时练习3 满分：150分 时间：120分钟 参考公式：抛物线的顶点坐标，对称轴：直线 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的代号填涂在答题卡上． 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示，该几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，与位似，位似中心是点，且，若的面积为5，则的面积为（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 45 5. 下列说法正确的是（ ） A. 到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． B. 如果两个三角形全等，则它们一定关于某直线成轴对称． C. 等腰三角形任意角的平分线与该角所对边的高线、中线互相重合． D. 三角形两边垂直平分线的交点到三角形三边距离相等． 6. 估计的值应在（ ） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 7. 将一些半径相同的小圆片按下图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆片，第2个图形有10个小圆片，第3个图形有16个小圆片，第4个图形有24个小圆片，……依此规律，第11个图形中小圆片的个数为（ ）. A. 125 B. 135 C. 136 D. 164 8. 如图，正方形中，扇形与扇形的弧交于点，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正方形中，点分别是和边的点，满足，连接，过点作，连接是上一点，且，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 关于的次多项式，其中系数均为正整数，且，下列说法正确的个数是 ①若，则可为三次四项式； ②若，则满足条件的多项式共有3种； ③若是二次三项式，，则多项式有最小值； ④若是二次三项式，方程有解，当取最小值时，方程的两根． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题：本大题6个小题，每小题5分，共30分．将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：______． 12. 一个正多边形的内角和比其外角和的度数大，则它的边数是___． 13. 小麦同学在本次考试中，第7题和第10题均无法把握，这两个题目他均排除了两个错误选项，每道题剩下的两个选项无法作出判断，则小麦同学两个题目均蒙对的概率为______． 14. 若关于的一元一次不等式组至少有三个奇数解，且关于的分式方程有整数解，则符合题意的整数的个数是______． 15. 如图，与相切于点垂直平分，交于点，连接并延长交于点，连接，若半径为，则线段______；______． 16. 对于一个四位正整数，若满足各数位上的数字互不相同，它的千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，称这个数为“开心数”．则最大的“开心数”是______；若“开心数”（，且均为整数），规定将的十位数字与百位数字之差记为，若正整数都是“开心数”，其中，（，，且都是整数），当能被3整除时，求满足条件的所有正整数的和为______． 三、解答题：本大题共8个小题，每小题10分，共80分．解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1） （2） 18. 完成以下作图与填空： （1）如图，在中，平分，交于点．用尺规作的垂直平分线，分别交，于点，连接．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）问所作的图形中，求证：四边形是菱形． 证明：平分 又垂直平分 ①______ 又垂直平分 ②______ ③______ 四边形为菱形 进一步研究还可发现，在直角三角形中，直角的角平分线与对边交于一点，直角顶点与交点所构成的线段的垂直平分线与两直角边所在直线交于两点，直角顶点与三个交点所构成的四边形是④______． 19. 我校组织学生开展了“传承与创新、青年奋斗”的党史知识问答活动，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取了20名学生成绩进行统计分析．数据整理如下：（成绩用表示，共分成四组：A．，B．，C．，D．）． 七年级20名学生的成绩是：60，65，65，71，74，76，80，82，84，84，85，85，92，92，92，92，96，96，97，98． 八年级20名学生的成绩在组中的数据是：82，88，83，87，80，89． 七，八年级抽取的学生成绩统计表和八年级抽取的学生成绩扇形统计图如下： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 83.3 84.5 八年级 83.3 93 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表：____，____，____； （2）通过以上数据分析，你认为这次比赛中哪个年级的成绩更好？请说明理由（写出一条即可）； （3）我校七，八年级各有3000人参加此次知识问答活动，估计我校七，八年级参加此次知识问答活动成绩优秀的学生共多少人？ 20. 商场两次购进两款巧克力．第一次购进A款巧克力50件，款巧克力70件，共4300元，第二次购进A款巧克力120件，款巧克力90件，共7200元． （1）求两款巧克力的进价各是多少元？ （2）商场为了尽快将A款巧克力销售完，决定对A款巧克力进行降价销售，当销售单价为每个60元时，每周可以卖出50个，每降1元，每周就可以多卖10个，请问商场将每个A款巧克力降价多少元时，每周销售A款巧克力的利润为2640元？ 21. 如图，在直角中，，点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿方向匀速运动，至点A处停止，点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿着折线方向匀速运动，两点同时出发，设运动时间为秒，过点作于点，的周长与的周长之比为，点到的距离为． （1）请直接写出关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出的图象，并写出函数图像的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出当时，的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 22. 周日早上，爷爷和小明约定从家到公园去锻炼身体，公园在小明家处）正东方向的处，但是由于道路施工，爷爷先沿正北方向走了300米到达处，再从处沿北偏东方向行走300米到达处，从处沿正东方向走了200米到达处，最后沿方向到达处．已知点在点的南偏东方向，爷爷先出发3分钟后小明从家选择另一路线步行前往处，已知点在点A的南偏东方向，且点在点的正南方向．（参考数据：） （1）求的长度；（结果保留根号） （2）若爷爷步行速度为50米／分，小明步行速度为70米／分，小明和爷爷始终保持匀速行驶，请计算说明小明和爷爷谁先到达公园？（结果精确到0.1） 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，直线经过点． （1）求拋物线的解析式； （2）点是直线上方抛物线上的一动点，过点作于点，作于点，求的最大值及此时点的坐标； （3）抛物线与轴负半轴交于点，点，将抛物线沿射线方向平移，使平移后的拋物线经过点，点为新抛物线上对称轴右侧一动点，连接，将绕点顺时针旋转角度，，在旋转过程中使点恰好落在坐标轴上，请直接写出所有符合条件的点的横坐标． 24. 在中，，，点是边上一点，过点作交于点，，． （1）如图1，将绕点逆时针旋转至，使得落在上，连接，求的长； （2）如图2，将绕点旋转至．连接，为中点，连接，探究与的数量关系； （3）如图3，为直线上一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，平面内有一点，满足，连接，当最小时，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $