黄金卷02（江苏扬州专用）-【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷

【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（江苏扬州专用） 黄金卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一．选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，恰有​一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．若实数a的相反数是4，则实数a等于（　　） A．﹣4 B．±4 C． D． 2．下列运算正确的是（　　） A．x3+x3＝2x6 B．x2•x3＝x6 C．x6÷x3＝x3 D．（﹣2x）3＝﹣6x3 3．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≥﹣3 B．x＞﹣3 C．x≥3 D．x＞3 4．如图所示的机器零件的左视图为（　　） A． B． C． D． 5．如图，从光源A点发出一束光，过凸透镜焦点F的光线，经凸透镜折射后平行于主光轴射出（即：m），过光心O的光线，不改变方向．若∠1＝20°，∠2＝35°，则∠A的度数为（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 6．学校举行“快乐阅读，健康成长”读书活动．小明随机调查了本校九年级30名同学近4个月内每人阅读课外书的数量，数据如表所示： 课外书数量（本） 6 7 9 12 人数 6 9 10 5 则阅读课外书数量的中位数和众数分别是（　　） A．8，9 B．10，9 C．7，12 D．9，9 7．小明从家骑共享单车去体育场锻炼一会儿后，又步行原路返回，途中在早餐店用餐，如图表示小明离家的距离y（千米）与离家的时间t（分）之间的函数关系，则下列说法错误的是（　　） A．体育场离小明家4千米 B．小明从体育场到早餐店的平均速度4.8千米/小时 C．小明吃早餐用了20分钟 D．小明从早餐店回家的平均速度是3千米/小时 8．某年部分国家及经济体在全球的创新综合排名、创新产出排名和创新效率排名情况如图所示，中国创新综合排名全球第22名，创新效率排名位于全球（　　） A．第4名 B．第3名 C．第2名 D．第1名 第Ⅱ卷 二．填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分.不需写出解答过程，请把答案直接写在答题卡相应位置上） 9．我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是216000000米．将数字216000000用科学记数法表示为 　 　． 10．因式分解a3﹣4a2+4a＝　 　． 11．抛物线y＝5（x﹣4）2+3向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的新抛物线的表达式是 　 　． 12．若正多边形的一个外角是45°，则这个正多边形的边数为 　 　． 13．如图，是一个圆锥形状的生日帽，若该圆锥形状帽子的母线长为24cm，底面半径为8cm，将该帽子沿母线剪开，则其侧面展开扇形的圆心角为 　 　°． 14．如图，一个等边三角形的飞镖盘被分成了若干个小等边三角形区域，向该飞镖盘投掷飞镖，假设投中飞镖盘上的每一点是等可能的（若投中边界或没有投中飞镖盘则重投1次），任意投掷飞镖1次，飞镖投中阴影部分的概率是 　 　． 15．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E是BC延长线上一点，若∠BAD＝100°，则∠DCE的大小是　 　． 16．如图，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于A（1，m），B（4，n）两点．则不等式的解集为 　 　． 17．如图，无人机在离地面42m的点D处，测得操控者A的俯角为35°，测得教学楼顶部点C的俯角为50°，已知操控者A和教学楼BC之间的水平距离为80m，教学楼BC的高度是 　 　m．（结果精确到1米．参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19） 18．已知有理数a≠1，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是1，﹣1的差倒数是．如果a1＝﹣3，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数…以此类推，那么a2024的值是 　 　． 三．解答题（本大题共有10小题，共96分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（8分）（1）计算：； （2）解不等式组：． 20．（8分）先化简，再代入求值：，其中a＝4． 21．（8分）某中学决定在学生中开展跳绳篮球、乒乓球跑步和足球五种项目的活动，为了解学生对五种项目的喜欢情况，随机调查了该校p名学生最喜欢的一种项目（每名学生必选且只能选择五种活动中的一种），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图： 根据统计图中提供的信息，解答下列问题： （1）p＝　 　，m＝　 　，n＝　 　； （2）扇形统计图中“跳绳”部分所对应的圆心角度数为 　 　度； （3）请根据以上信息直接在答题卡中补全条形统计图； （4）根据抽样调查结果，请你估计该校2000名学生中有多少名学生最喜欢乒乓球． 22．（8分）在一个不透明的布袋里装有4个球，其中1个红球，1个黄球，2个白球，它们除颜色外其余都相同． （1）若从中任意摸出一个球，求摸出白球的概率； （2）若摸出1个球，记下颜色后不放回，再摸出1个球，求两次摸出的球恰好一黄一白的概率（要求画树状图或列表）． 23．（10分）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若，BD＝2，求OE和CE的长． 24．（10分）《中华人民共和国道路交通安全法实施条例》中规定：超速行驶属违法行为．为确保行车安全，某一段总路程为300千米的高速公路全程小型车限速120千米/时（即行驶过程中任意时刻的车速都不能超过120千米/时），以下是刘师傅和杨师傅行驶完这段高速公路后的对话片段： 刘师傅：“杨师傅，你的平均速度比我快25%，行驶完全程比我少用了40分钟．” 杨师傅：“虽然我的平均车速比你快，但是我在行驶过程中的最快车速只比我的平均车速快10%，并没有超速啊！” 根据以上对话，你认为杨师傅在行驶过程中是否有超速，请说明理由． 25．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AB与DC的延长线相交于点P，AC平分∠DAB，AD⊥DC于点D． （1）求证：DC是⊙O的切线． （2）若∠BAC＝30°，AB＝6，求阴影部分的面积．（结果保留根号及π） 26．（10分）如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上不同于A、B的两点，AC与BD相交于点F，BE是半圆O所在圆的切线，与AC的延长线相交于点E． （1）若AD＝BC，证明：△ABC≌△BAD； （2）若BE＝BF，∠DAC＝29°，求∠EAB的度数． 27．（12分）【发现问题】数学兴趣小组春节前50天到某超市进行实践活动，发现该超市销售某品牌灯笼进价是30元/个，在销售过程中，灯笼的销售价格，销售量都随销售天数的变化而变化． 【提出问题】超市销售该品牌灯笼的利润w（元）与销售天数x（天）之间有怎样的关系？ 【分析问题】小组成员结合实际销售情况，得到下表所示的数据： 第x天 1 2 3 4 5 … 销售价格y（元/个） 109 108 107 106 105 … 销售量z（个） 11 12 13 14 15 … 经过分析计算，小组成员得到相关信息： ①销售价格y（元/个）与销售天数x（天）的关系式为：y＝﹣x+110． ②销售量z（个）与销售天数x（天）的关系式为：z＝x+10． 【解决问题】（1）求该超市第10天的销售利润； （2）当40≤x≤50时，求第几天超市的销售利润w（元）最大？最大利润是多少元？ 28．（12分）综合与实践 问题情境 数学活动课上，老师发给每名同学一个等腰三角形纸片ABC，AB＝AC，∠BAC＞90°，要求同学们将纸片沿一条直线折叠，探究图形中的结论． 问题发现 奋进小组在边AC上取一点D，连接BD，将这个纸片沿BD翻折，点A的对应点为E，如图1所示． 如图2，小明发现，当点E落在边BC上时，∠DEC＝2∠ACB． 如图3，小红发现，当点D是AC的中点时，连接CE，若已知AB和CE的长，则可求BD的长． …… 问题提出与解决 奋进小组根据小明和小红的发现，讨论后提出问题1，请你解答． 问题1：在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＞90°，点D是边AC上一点，将△ABD沿BD翻折得到△EBD． （1）如图2，当点E在边BC上时，求证：∠DEC＝2∠ACB． （2）如图3，当点D是AC的中点时，连接CE，若AB＝4，CE＝3，求BD的长． 拓展延伸 小刚受到探究过程的启发，将等腰三角形的顶角改为锐角，尝试画图，并提出问题2，请你解答． 问题2：如图4，点D是△ABC外一点，AB＝AC＝BD＝4，CD＝1，∠ABD＝2∠BDC，求BC的长． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（江苏扬州专用） 黄金卷 一．选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，恰有​一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C D B A A D B 二．填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分.不需写出解答过程，请把答案直接写在答题卡相应位置上） 9．2.16×108 10．a（a﹣2）2 11．y＝5（x﹣2）2+2 12．8 13．120 14． 15．100° 16．x＜0或1≤x≤4 17．18 18． 三．解答题（本大题共有10小题，共96分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（8分） 解：（1）原式＝9249 ＝9229 ； （2）由①得：x＜2.5， 由②得：x≤1， 则不等式组的解集为x≤1． 20．（8分） 解：原式• • ， 当a＝4时，原式． 21．（8分） 解：（1）根据题意p＝25÷25%＝100，m%＝15÷100×100%＝15%，即m＝15， 则n%＝1﹣（30%+25%+20%+15%）＝10%，即n＝10， 故答案为：100、15、10； （2）扇形统计图中“跳绳”部分所对应的圆心角度数为360°90°， 故答案为：90； （3）“篮球”人数为100×30%＝30（名），“跑步”人数为100×10%＝10（名）， 补全图形如下： （4）估计该校2000名学生中最喜欢乒乓球的学生有2000×20%＝400（名）． 22．（8分） 解：（1）若从中任意摸出一个球，求摸出白球的概率； （2）画树状图为： 共有12种等可能的结果数，其中两次摸出的球恰好一黄一白的结果数为4， 所以两次摸出的球恰好一黄一白的概率． 23．（10分） （1）证明：∵AB∥DC， ∴∠OAB＝∠DCA， ∵AC为∠DAB的平分线， ∴∠OAB＝∠DAC， ∴∠DCA＝∠DAC， ∴CD＝AD， ∵AB＝AD， ∴CD＝AD＝AB， ∵AB∥DC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AD＝AB， ∴平行四边形ABCD是菱形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC，BD⊥AC， ∵CE⊥AB， ∴OE＝OA＝OC， ∵BD＝2， ∴， 在Rt△AOB中，，OB＝1， ∴， ∴OE＝OA＝2． ∵， ∴． 24．（10分） 解：杨师傅在行驶过程中有超速，理由如下： 设刘师傅的平均速度为x千米/小时，则杨师傅的平均速度为（1+25%）x千米/小时， 根据题意得：， 解得：x＝90， ∴（1+25%）x＝（1+25%）×90＝112.5（千米/小时）， ∴（1+10%）×112.5＝123.75（千米/小时）． ∵123.75＞120， ∴杨师傅在行驶过程中有超速． 25．（10分） （1）证明：连接OC， ∵AC平分∠DAB， ∴∠DAC＝∠OAC， 又∵OA＝OC， ∴∠OCA＝∠OAC， ∴∠DAC＝∠OCA， ∴OC∥AD， 又∵CD⊥AD， ∴OC⊥CD， ∵OC是半径， ∴CD是圆O的切线． （2）解：∵∠BAC＝30°， ∴∠BOC＝2∠BAC＝60°， ∵DC是⊙O的切线， ∴∠OCP＝90°， ∴∠P＝30°， ∵AB＝6，AB是⊙O的直径， ∴OA＝OC＝3， ∴OP＝2OC＝6， 在Rt△OCP中， CP3， ∴S阴影部分＝S△OCP﹣S扇形COB 3×3． 26．（10分） （1）证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝∠ACB＝90°， 在Rt△ABC与Rt△BAD中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）； （2）解：∵BE＝BF， ∴∠E＝∠BFE， ∵BE是半圆O所在圆的切线， ∴∠ABE＝90°， ∴∠E+∠BAE＝90°， 由（1）知∠D＝90°， ∴∠DAF+∠AFD＝90°， ∵∠AFD＝∠BFE， ∴∠AFD＝∠E， ∵∠DAF＝90°﹣∠AFD，∠BAF＝90°﹣∠E， ∴∠EAB＝∠DAC， ∵∠DAC＝29°， ∴∠EAB＝29°． 27．（12分） 解：（1）∵销售价格y（元/个）与销售天数x（天）的关系式为y＝﹣x+110，销售量z（个）与销售天数x（天）的关系式为z＝x+10， 当x＝10时，y＝﹣10+110＝100；z＝10+10＝20， ∴（100﹣30）×20＝1400元， 答：第10天销售利润是1400元． （2）∵w＝（y﹣30）z＝（﹣x+100﹣30）（x+10）， ∴w＝﹣x2+70x+800． ∵a＝﹣1＜0， ∴抛物线开口向下． ∵对称轴是， ∴x＞35时，w随x的增大而减小． 又∵40≤x≤50， ∴x＝40时，w有最大值，此时w＝2000． 答：第40天销售利润最大，最大销售利润是2000元． 28．（12分） 问题1， （1）证明：∵将△ABD沿BD翻折得到△EBD， ∴∠BED＝∠A， ∵∠BED+∠DEC＝180°， ∴∠A+∠DEC＝180°， ∵AB＝AC， ∴∠ACB＝∠ABC， ∴∠A+∠ACB+∠ABC＝∠A+2∠ACB＝180°， ∴∠DEC＝2∠ACB； （2）解：如图1， 作AG⊥BD于G，作DF⊥CE于F， ∴∠AGD＝∠DFC＝90°， 由折叠得， AD＝DE，∠ADB＝∠BDE， ∵点D是AC的中点， ∴CD＝AD， ∴DE＝CD， ∴∠DEC＝∠DCE，CF＝EFCE ∴DF2＝CD2﹣CF2＝22﹣（）2， ∵∠ADB+∠BDE+∠EDC＝180°， ∴2∠ADB+∠EDC＝180°， ∵∠DEC+∠DCE+∠EDC＝180°， ∴2∠DCE+∠EDC＝180°， ∴∠ADB＝∠DCE， ∴△ADG≌△DFC（AAS）， ∴AG＝DF，DG＝CF， 在Rt△ABG中，由勾股定理得， BG， ∴BD＝BG+DG； 问题2， 解：如图2， 连接AD，作BE⊥AD于E，作BF⊥CD，交DC的延长线于F， ∵AB＝BD， ∴∠ABD＝2∠DBE，DE＝AEAD， ∵∠ABD＝2∠BDC， ∴∠BDE＝∠BDC， ∴CD∥BE， ∴CD⊥AD， ∴∠BED＝∠EDC＝∠F＝90°， ∴四边形DEBF是矩形， ∴BF＝DE，DF＝BE， 在Rt△ACD中，CD＝1，AC＝4， ∴AD， ∴BF＝DE， 在Rt△BDE中，BD＝4，DE， ∴DF＝BE， ∴CF＝DF﹣CD， 在Rt△BCF中，CF，BF， ∴BC． 7 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（江苏扬州专用） 黄金卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，恰有​一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．若实数a的相反数是4，则实数a等于（　　） A．﹣4 B．±4 C． D． 【分析】直接利用相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，分析即可． 【解答】解：∵实数a的相反数是4， ∴a＝﹣4． 故选：A． 【点评】此题主要考查了实数的性质，正确把握相反数的定义是解题关键． 2．下列运算正确的是（　　） A．x3+x3＝2x6 B．x2•x3＝x6 C．x6÷x3＝x3 D．（﹣2x）3＝﹣6x3 【分析】选项A，在合并同类项时，系数相加减，字母及其指数不变，据此判断即可； 选项B，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此判断即可； 选项C，同底数幂相除，底数不变，指数相减，据此判断即可； 选项D、积的乘方，等于每个因式乘方的积，据此判断即可． 【解答】解：A、x3+x3＝2x3，故本选项不合题意； B、x2•x3＝x5，故本选项不合题意； C、x6÷x3＝x3，故本选项符合题意； D、（﹣2x）3＝﹣8x3，故本选项不合题意； 故选：C． 【点评】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记相关运算法则是解答本题的关键． 3．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≥﹣3 B．x＞﹣3 C．x≥3 D．x＞3 【分析】直接利用二次根式有意义则被开方数是非负数，再结合分式有意义的条件得出答案． 【解答】解：代数式在实数范围内有意义， 则2x﹣6＞0， 解得：x＞3． 故选：D． 【点评】此题主要考查了二次根式有意义、分式有意义的条件，正确掌握二次根式有意义的条件是解题关键． 4．如图所示的机器零件的左视图为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据简单几何体三视图的画法画出它的左视图即可． 【解答】解：这个几何体的左视图为： 故选：B． 【点评】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体三视图的画法和形状是正确解答的关键． 5．如图，从光源A点发出一束光，过凸透镜焦点F的光线，经凸透镜折射后平行于主光轴射出（即：m），过光心O的光线，不改变方向．若∠1＝20°，∠2＝35°，则∠A的度数为（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 【分析】由平行线的性质推出∠AOF＝∠1＝20°，由三角形外角的性质得到∠A＝∠2﹣∠AOF＝15°． 【解答】解：∵m∥l， ∴∠AOF＝∠1＝20°， ∵∠2＝35°， ∴∠A＝∠2﹣∠AOF＝35°﹣20°＝15°． 故选：A． 【点评】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，关键是由平行线的性质推出∠AOF＝∠1＝20°，由三角形外角的性质即可求出∠A的度数． 6．学校举行“快乐阅读，健康成长”读书活动．小明随机调查了本校九年级30名同学近4个月内每人阅读课外书的数量，数据如表所示： 课外书数量（本） 6 7 9 12 人数 6 9 10 5 则阅读课外书数量的中位数和众数分别是（　　） A．8，9 B．10，9 C．7，12 D．9，9 【分析】根据中位数：“将数据按照顺序排列后，中间一位或中间两位的平均数即为中位数”，众数：“出现次数最多的数据”，进行判断即可． 【解答】解：数据排序后，第15个和第16个数据为7和9， ∴中位数为（7+9）÷2＝8， ∵9出现的次数最多， ∴众数为9． 故选：A． 【点评】本题考查中位数和众数，熟练掌握中位数和众数的定义是解答本题的关键． 7．小明从家骑共享单车去体育场锻炼一会儿后，又步行原路返回，途中在早餐店用餐，如图表示小明离家的距离y（千米）与离家的时间t（分）之间的函数关系，则下列说法错误的是（　　） A．体育场离小明家4千米 B．小明从体育场到早餐店的平均速度4.8千米/小时 C．小明吃早餐用了20分钟 D．小明从早餐店回家的平均速度是3千米/小时 【分析】根据观察函数图象的纵坐标，判断A，根据观察函数图象的横坐标，可判断C，根据观察纵坐标、横坐标，可得路程与时间，根据路程除以时间，可得答案． 【解答】解：A．由纵坐标看出体育场离小明家4千米，说法正确，不符合题意； B．由纵坐标看出早餐店距体育场4﹣2＝2千米，由横坐标看出从体育场到早餐店的时间为70﹣45＝25分钟，所以平均速度为千米/小时，说法正确，不符合题意； C．由横坐标看出吃早餐的时间为90﹣70＝20分钟，说法正确，不符合题意； D．由横坐标看出小明从早餐店回家的时间为120﹣90＝30分钟，由纵坐标看出小明从早餐店回家的距离为2千米，所以平均速度为千米/小时，说法错误，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程；就能够通过图象得到函数问题的相应解决，需注意计算单位的统一． 8．某年部分国家及经济体在全球的创新综合排名、创新产出排名和创新效率排名情况如图所示，中国创新综合排名全球第22名，创新效率排名位于全球（　　） A．第4名 B．第3名 C．第2名 D．第1名 【分析】根据中国创新综合排名全球第22名，在坐标系中找到对应的中国创新产出排名为第11名，再根据中国创新产出排名为第11名在另一排名中找到创新效率排名为第3名即可． 【解答】解：如图， 由左图得，中国创新综合排名全球第22名，在坐标系中找到对应的中国创新产出排名为第11名， 由右图得，中国创新产出排名为第11名，创新效率排名为第3名． 故选：B． 【点评】本题考查函数的图象，理解题意是解题的关键． 二．填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分.不需写出解答过程，请把答案直接写在答题卡相应位置上） 9．我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是216000000米．将数字216000000用科学记数法表示为 　2.16×108　． 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：216000000＝2.16×108． 故答案为：2.16×108． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 10．因式分解a3﹣4a2+4a＝　a（a﹣2）2　． 【分析】根据综合提公因式和公式法进行因式分解求解即可． 【解答】解：a3﹣4a2+4a ＝a（a2﹣4a+4） ＝a（a2﹣4a+22） ＝a（a﹣2）2， 故答案为：a（a﹣2）2． 【点评】本题考查了综合提公因式和公式法进行因式分解．熟练掌握综合提公因式和公式法进行因式分解是解题的关键． 11．抛物线y＝5（x﹣4）2+3向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的新抛物线的表达式是 　y＝5（x﹣2）2+2　． 【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【解答】解：抛物线y＝5（x﹣4）2+3向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的新抛物线的表达式是y＝5（x﹣4+2）2+3﹣1＝5（x﹣2）2+2， 故答案为：y＝5（x﹣2）2+2． 【点评】本题考查了二次函数图象的平移，掌握平移规律是解题的关键． 12．若正多边形的一个外角是45°，则这个正多边形的边数为 　8　． 【分析】根据多边形外角和是360度，正多边形的各个内角相等，各个外角也相等，直接用360°÷45°可求得边数． 【解答】解：∵多边形外角和是360度，正多边形的一个外角是45°， ∴360°÷45°＝8 即该正多边形的边数为8． 【点评】主要考查了多边形外角和是360度和正多边形的性质（正多边形的各个内角相等，各个外角也相等）． 13．如图，是一个圆锥形状的生日帽，若该圆锥形状帽子的母线长为24cm，底面半径为8cm，将该帽子沿母线剪开，则其侧面展开扇形的圆心角为 　120　°． 【分析】设侧面展开扇形的圆心角为n°，则，代入数据即可求解． 【解答】解：设侧面展开扇形的圆心角为n°，则， ∴n360°360°＝120°， 故答案为：120． 【点评】本题考查了求圆锥侧面展开扇形的圆心角，掌握圆锥侧面积公式是解题的关键． 14．如图，一个等边三角形的飞镖盘被分成了若干个小等边三角形区域，向该飞镖盘投掷飞镖，假设投中飞镖盘上的每一点是等可能的（若投中边界或没有投中飞镖盘则重投1次），任意投掷飞镖1次，飞镖投中阴影部分的概率是 　　． 【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值． 【解答】解：如图，根据等边三角形的性质，可知图中所有小三角形的面积都相等， ∴任意投掷飞镖一次，飞镖投中阴影部分的概率为． 故答案为：． 【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率． 15．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E是BC延长线上一点，若∠BAD＝100°，则∠DCE的大小是　100°　． 【分析】直接利用圆内接四边形的性质求解． 【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠DCE＝∠BAD＝100°． 故答案为100°． 【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）． 16．如图，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于A（1，m），B（4，n）两点．则不等式的解集为 　x＜0或1≤x≤4　． 【分析】从函数图象看，当x＜0和1≤x≤4时，y1在y2的上方，从而求解． 【解答】解：从函数图象看，当x＜0和1≤x≤4时，y1在y2的上方， 故不等式kx+b0的解集为x＜0或1≤x≤4， 故答案为：x＜0或1≤x≤4． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强． 17．如图，无人机在离地面42m的点D处，测得操控者A的俯角为35°，测得教学楼顶部点C的俯角为50°，已知操控者A和教学楼BC之间的水平距离为80m，教学楼BC的高度是 　18　m．（结果精确到1米．参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19） 【分析】过点A作AF⊥DE，垂足为F，延长BC交ED于点G，根据题意可得：AF＝BG＝42m，AB＝FG＝80m，BG⊥FG，然后在Rt△ADF中，利用锐角三角函数的定义求出DF的长，从而求出DG的长，再在Rt△CDG中，利用锐角三角函数的定义求出CG的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【解答】解：过点A作AF⊥DE，垂足为F，延长BC交ED于点G， 由题意得：AF＝BG＝42m，AB＝FG＝80m，BG⊥FG， 在Rt△ADF中，∠ADF＝35°， ∴DF60（m）， ∴DG＝FG﹣DF＝80﹣60＝20（m）， 在Rt△CDG中，∠CDG＝50°， ∴CG＝DG•tan50°≈20×1.19＝23.8（m）， ∴BC＝BG﹣CG＝42﹣23.8≈18（m）， ∴教学楼BC的高度约为18m， 答案为：18． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 18．已知有理数a≠1，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是1，﹣1的差倒数是．如果a1＝﹣3，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数…以此类推，那么a2024的值是 　　． 【分析】求出数列的前4个数，从而得出这个数列以﹣3，，依次循环，用2024除以3，再根据余数可求a2024的值． 【解答】解：∵a1＝﹣3， ∴a2， a3， a4， a5， …， ∴这个数列以﹣3，，依次循环， ∵2024÷3＝674……2， ∴a2024＝a2． 故答案为：． 【点评】本题考查了规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况． 三．解答题（本大题共有10小题，共96分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（8分）（1）计算：； （2）解不等式组：． 【分析】（1）原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项开平方化简，第三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用负整数指数幂的意义化简，然后计算即可得到结果； （2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可． 【解答】解：（1）原式＝9249 ＝9229 ； （2）由①得：x＜2.5， 由②得：x≤1， 则不等式组的解集为x≤1． 【点评】本题主要考查实数的运算与解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握负整数指数幂、三角函数值、绝对值的性质及不等式的性质． 20．（8分）先化简，再代入求值：，其中a＝4． 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a＝4代入进行计算即可． 【解答】解：原式• • ， 当a＝4时，原式． 【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． 21．（8分）某中学决定在学生中开展跳绳篮球、乒乓球跑步和足球五种项目的活动，为了解学生对五种项目的喜欢情况，随机调查了该校p名学生最喜欢的一种项目（每名学生必选且只能选择五种活动中的一种），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图： 根据统计图中提供的信息，解答下列问题： （1）p＝　100　，m＝　15　，n＝　10　； （2）扇形统计图中“跳绳”部分所对应的圆心角度数为 　90　度； （3）请根据以上信息直接在答题卡中补全条形统计图； （4）根据抽样调查结果，请你估计该校2000名学生中有多少名学生最喜欢乒乓球． 【分析】（1）由“跳绳”的人数及其所占百分比可得总人数p，用足球人数除以总人数可得m，根据百分比之和为1可得n； （2）用360°乘以跳绳人数所占比例即可； （3）总人数分别乘以“篮球”、“足球”人数所占百分比求出其人数，据此可补全图形； （4）总人数乘以样本中乒乓球人数所占比例即可． 【解答】解：（1）根据题意p＝25÷25%＝100，m%＝15÷100×100%＝15%，即m＝15， 则n%＝1﹣（30%+25%+20%+15%）＝10%，即n＝10， 故答案为：100、15、10； （2）扇形统计图中“跳绳”部分所对应的圆心角度数为360°90°， 故答案为：90； （3）“篮球”人数为100×30%＝30（名），“跑步”人数为100×10%＝10（名）， 补全图形如下： （4）估计该校2000名学生中最喜欢乒乓球的学生有2000×20%＝400（名）． 【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 22．（8分）在一个不透明的布袋里装有4个球，其中1个红球，1个黄球，2个白球，它们除颜色外其余都相同． （1）若从中任意摸出一个球，求摸出白球的概率； （2）若摸出1个球，记下颜色后不放回，再摸出1个球，求两次摸出的球恰好一黄一白的概率（要求画树状图或列表）． 【分析】（1）直接利用概率公式计算； （2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出两次摸出的球恰好一黄一白的结果数，然后根据概率公式计算． 【解答】解：（1）若从中任意摸出一个球，求摸出白球的概率； （2）画树状图为： 共有12种等可能的结果数，其中两次摸出的球恰好一黄一白的结果数为4， 所以两次摸出的球恰好一黄一白的概率． 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率． 23．（10分）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若，BD＝2，求OE和CE的长． 【分析】（1）先判断出∠OAB＝∠DCA，进而判断出∠DCA＝∠DAC，得出CD＝AD＝AB，即可得出结论； （2）先判断出OE＝OA＝OC，再求出OB＝1，利用勾股定理求出OA，即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵AB∥DC， ∴∠OAB＝∠DCA， ∵AC为∠DAB的平分线， ∴∠OAB＝∠DAC， ∴∠DCA＝∠DAC， ∴CD＝AD， ∵AB＝AD， ∴CD＝AD＝AB， ∵AB∥DC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AD＝AB， ∴平行四边形ABCD是菱形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC，BD⊥AC， ∵CE⊥AB， ∴OE＝OA＝OC， ∵BD＝2， ∴， 在Rt△AOB中，，OB＝1， ∴， ∴OE＝OA＝2． ∵， ∴． 【点评】此题主要考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解决此题的关键． 24．（10分）《中华人民共和国道路交通安全法实施条例》中规定：超速行驶属违法行为．为确保行车安全，某一段总路程为300千米的高速公路全程小型车限速120千米/时（即行驶过程中任意时刻的车速都不能超过120千米/时），以下是刘师傅和杨师傅行驶完这段高速公路后的对话片段： 刘师傅：“杨师傅，你的平均速度比我快25%，行驶完全程比我少用了40分钟．” 杨师傅：“虽然我的平均车速比你快，但是我在行驶过程中的最快车速只比我的平均车速快10%，并没有超速啊！” 根据以上对话，你认为杨师傅在行驶过程中是否有超速，请说明理由． 【分析】设刘师傅的平均速度为x千米/小时，则杨师傅的平均速度为（1+25%）x千米/小时，利用时间＝路程÷速度，结合杨师傅比刘师傅少用40分钟，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值，将其代入（1+25%）x中，可求出杨师傅的平均速度，结合杨师傅在行驶过程中的最快车速比平均车速快10%，可求出杨师傅的最快车速，再将其与120千米/小时比较后，即可得出结论． 【解答】解：杨师傅在行驶过程中有超速，理由如下： 设刘师傅的平均速度为x千米/小时，则杨师傅的平均速度为（1+25%）x千米/小时， 根据题意得：， 解得：x＝90， ∴（1+25%）x＝（1+25%）×90＝112.5（千米/小时）， ∴（1+10%）×112.5＝123.75（千米/小时）． ∵123.75＞120， ∴杨师傅在行驶过程中有超速． 【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 25．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AB与DC的延长线相交于点P，AC平分∠DAB，AD⊥DC于点D． （1）求证：DC是⊙O的切线． （2）若∠BAC＝30°，AB＝6，求阴影部分的面积．（结果保留根号及π） 【分析】（1）连接OC，推出∠DAC＝∠CAB，∠OAC＝∠OCA，求出∠DAC＝∠OCA，得出OC∥AD，推出OC⊥DC，根据切线的判定判断即可； （2）由直角三角的性质求出∠BOC＝2∠BAC＝60°，根据含30度直角三角形的性质和勾股定理求出CP，由扇形的面积公式可得出答案． 【解答】（1）证明：连接OC， ∵AC平分∠DAB， ∴∠DAC＝∠OAC， 又∵OA＝OC， ∴∠OCA＝∠OAC， ∴∠DAC＝∠OCA， ∴OC∥AD， 又∵CD⊥AD， ∴OC⊥CD， ∵OC是半径， ∴CD是圆O的切线． （2）解：∵∠BAC＝30°， ∴∠BOC＝2∠BAC＝60°， ∵DC是⊙O的切线， ∴∠OCP＝90°， ∴∠P＝30°， ∵AB＝6，AB是⊙O的直径， ∴OA＝OC＝3， ∴OP＝2OC＝6， 在Rt△OCP中， CP3， ∴S阴影部分＝S△OCP﹣S扇形COB 3×3． 【点评】本题考查了切线的判定，平行线的性质、直角三角形的边角关系，扇形的面积，掌握直角三角形的边角关系以及切线的判定、等腰三角形的性质是解题的关键． 26．（10分）如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上不同于A、B的两点，AC与BD相交于点F，BE是半圆O所在圆的切线，与AC的延长线相交于点E． （1）若AD＝BC，证明：△ABC≌△BAD； （2）若BE＝BF，∠DAC＝29°，求∠EAB的度数． 【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ACB＝∠ADB＝90°，根据直角全等三角形的判定定理即可得到结论； （2）根据等腰三角形的性质得到∠E＝∠BFE，根据切线的性质得到∠ABE＝90°，再根据直角三角形两锐角的关系证得∠EAB＝∠DAC即可得到结果． 【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝∠ACB＝90°， 在Rt△ABC与Rt△BAD中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）； （2）解：∵BE＝BF， ∴∠E＝∠BFE， ∵BE是半圆O所在圆的切线， ∴∠ABE＝90°， ∴∠E+∠BAE＝90°， 由（1）知∠D＝90°， ∴∠DAF+∠AFD＝90°， ∵∠AFD＝∠BFE， ∴∠AFD＝∠E， ∵∠DAF＝90°﹣∠AFD，∠BAF＝90°﹣∠E， ∴∠EAB＝∠DAC， ∵∠DAC＝29°， ∴∠EAB＝29°． 【点评】本题考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理及等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质和圆周角定理是解决问题的关键． 27．（12分）【发现问题】数学兴趣小组春节前50天到某超市进行实践活动，发现该超市销售某品牌灯笼进价是30元/个，在销售过程中，灯笼的销售价格，销售量都随销售天数的变化而变化． 【提出问题】超市销售该品牌灯笼的利润w（元）与销售天数x（天）之间有怎样的关系？ 【分析问题】小组成员结合实际销售情况，得到下表所示的数据： 第x天 1 2 3 4 5 … 销售价格y（元/个） 109 108 107 106 105 … 销售量z（个） 11 12 13 14 15 … 经过分析计算，小组成员得到相关信息： ①销售价格y（元/个）与销售天数x（天）的关系式为：y＝﹣x+110． ②销售量z（个）与销售天数x（天）的关系式为：z＝x+10． 【解决问题】（1）求该超市第10天的销售利润； （2）当40≤x≤50时，求第几天超市的销售利润w（元）最大？最大利润是多少元？ 【分析】（1）根据已知函数解析式求出第10天的销售价格y＝100，销售量z＝20，再由销售利润＝（销售价格﹣成本）×销量即可计算利润； （2）根据利润等于单件利润乘以销售量列出函数关系式，再根据二次函数的性质得出最大利润即可． 【解答】解：（1）∵销售价格y（元/个）与销售天数x（天）的关系式为y＝﹣x+110，销售量z（个）与销售天数x（天）的关系式为z＝x+10， 当x＝10时，y＝﹣10+110＝100；z＝10+10＝20， ∴（100﹣30）×20＝1400元， 答：第10天销售利润是1400元． （2）∵w＝（y﹣30）z＝（﹣x+100﹣30）（x+10）， ∴w＝﹣x2+70x+800． ∵a＝﹣1＜0， ∴抛物线开口向下． ∵对称轴是， ∴x＞35时，w随x的增大而减小． 又∵40≤x≤50， ∴x＝40时，w有最大值，此时w＝2000． 答：第40天销售利润最大，最大销售利润是2000元． 【点评】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数关系式并熟知函数的基本性质是解题关键． 28．（12分）综合与实践 问题情境 数学活动课上，老师发给每名同学一个等腰三角形纸片ABC，AB＝AC，∠BAC＞90°，要求同学们将纸片沿一条直线折叠，探究图形中的结论． 问题发现 奋进小组在边AC上取一点D，连接BD，将这个纸片沿BD翻折，点A的对应点为E，如图1所示． 如图2，小明发现，当点E落在边BC上时，∠DEC＝2∠ACB． 如图3，小红发现，当点D是AC的中点时，连接CE，若已知AB和CE的长，则可求BD的长． …… 问题提出与解决 奋进小组根据小明和小红的发现，讨论后提出问题1，请你解答． 问题1：在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＞90°，点D是边AC上一点，将△ABD沿BD翻折得到△EBD． （1）如图2，当点E在边BC上时，求证：∠DEC＝2∠ACB． （2）如图3，当点D是AC的中点时，连接CE，若AB＝4，CE＝3，求BD的长． 拓展延伸 小刚受到探究过程的启发，将等腰三角形的顶角改为锐角，尝试画图，并提出问题2，请你解答． 问题2：如图4，点D是△ABC外一点，AB＝AC＝BD＝4，CD＝1，∠ABD＝2∠BDC，求BC的长． 【分析】问题1， （1）由∠A+∠DEC＝180°，∠A+∠ACB+∠ABC＝∠A+2∠ACB＝180°得出结论； （2）作AG⊥BD于G，作DF⊥CE于F，根据等腰三角形的性质得出CF＝EF，进而得出DF的值，可证得△ADG≌△DFC，从而AG＝DF，DG＝CF，进而在Rt△ABG中求得BG，进一步得出结果； 问题2， 连接AD，作BE⊥AD于E，作BF⊥CD，交DC的延长线于F，可证得四边形DEBF是矩形，从而BF＝DE，DF＝BE，在Rt△ACD中求得AD，进而求得BF＝DE，进而在Rt△BDE中求得DF＝BE，从而得出CF＝DF﹣CD，进而在Rt△BCF中求得BG的值，进一步得出结果． 【解答】问题1， （1）证明：∵将△ABD沿BD翻折得到△EBD， ∴∠BED＝∠A， ∵∠BED+∠DEC＝180°， ∴∠A+∠DEC＝180°， ∵AB＝AC， ∴∠ACB＝∠ABC， ∴∠A+∠ACB+∠ABC＝∠A+2∠ACB＝180°， ∴∠DEC＝2∠ACB； （2）解：如图1， 作AG⊥BD于G，作DF⊥CE于F， ∴∠AGD＝∠DFC＝90°， 由折叠得， AD＝DE，∠ADB＝∠BDE， ∵点D是AC的中点， ∴CD＝AD， ∴DE＝CD， ∴∠DEC＝∠DCE，CF＝EFCE ∴DF2＝CD2﹣CF2＝22﹣（）2， ∵∠ADB+∠BDE+∠EDC＝180°， ∴2∠ADB+∠EDC＝180°， ∵∠DEC+∠DCE+∠EDC＝180°， ∴2∠DCE+∠EDC＝180°， ∴∠ADB＝∠DCE， ∴△ADG≌△DFC（AAS）， ∴AG＝DF，DG＝CF， 在Rt△ABG中，由勾股定理得， BG， ∴BD＝BG+DG； 问题2， 解：如图2， 连接AD，作BE⊥AD于E，作BF⊥CD，交DC的延长线于F， ∵AB＝BD， ∴∠ABD＝2∠DBE，DE＝AEAD， ∵∠ABD＝2∠BDC， ∴∠BDE＝∠BDC， ∴CD∥BE， ∴CD⊥AD， ∴∠BED＝∠EDC＝∠F＝90°， ∴四边形DEBF是矩形， ∴BF＝DE，DF＝BE， 在Rt△ACD中，CD＝1，AC＝4， ∴AD， ∴BF＝DE， 在Rt△BDE中，BD＝4，DE， ∴DF＝BE， ∴CF＝DF﹣CD， 在Rt△BCF中，CF，BF， ∴BC． 【点评】本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，矩形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$