专题08 一元一次不等式（组）中含参数问题的六种考法-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学下册压轴题攻略（华东师大版2024）

专题08 一元一次不等式(组)中含参数问题的六种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、根据一元一次不等式的定义求参数的值 2 类型二、根据一元一次不等式的解集求参数 3 类型三、利用一元一次不等式组的整数解求参数的取值范围 4 类型四、整式方程(组)与一元一次不等式结合求参数的问题 5 类型五、整式方程(组)与一元一次不等式组结合求参数的问题 7 类型六、与一元一次不等式（组）有关的新定义型问题 11 压轴能力测评（22题） 15 解题知识必备 1. 一元一次不等式的定义 含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． 2. 解一元一次不等式（组） 解一元一次不等式：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集． 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分． 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 3. 一元一次不等式的整数解 解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题． 4. 一元一次不等式组的整数解 （1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）． 解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解． （2）已知解集（整数解）求字母的取值． 一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案． 压轴题型讲练 类型一、根据一元一次不等式的定义求参数的值 例题：（24-25八年级上·重庆·开学考试）已知是关于的一元一次不等式，则 ． 【变式训练1】（24-25八年级上·四川成都·期中）若是关于的一元一次不等式，则= ． 【变式训练2】（23-24八年级上·河南郑州·开学考试）若是关于的一元一次不等式，则该不等式的解集为 ． 类型二、根据一元一次不等式的解集求参数 例题：（2023上·湖南岳阳·八年级校考阶段练习）若关于x的不等式只有3个正整数解，则m的取值范围是 ． 【变式训练1】（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考三模）已知关于x的不等式的解集为，则a的取值范围为 ． 【变式训练2】（22-23七年级下·湖北武汉·阶段练习）已知关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为 ． 【变式训练3】（23-24八年级下·贵州黔东南·阶段练习）若不等式与不等式有相同的解集，则m的值为 ． 类型三、利用一元一次不等式组的整数解求参数的取值范围 例题：（2023·四川宜宾·模拟预测）若关于x的不等式组无解，则实数m的取值范围是 ． 【变式训练1】（2024·江苏宿迁·一模）若不等式组有解，则a的取值范围是 ． 【变式训练2】（23-24八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）若关于x的一元一次不等式组的解集是，则m的取值范围是 ． 类型四、整式方程(组)与一元一次不等式结合求参数的问题 例题：（23-24七年级上·重庆北碚·期末）已知关于的方程组的解满足，则的取值范围是 ． 【变式训练1】（23-24八年级上·浙江宁波·期中）方程组的解满足，则的取值范围是 ． 【变式训练2】（23-24八年级上·浙江·阶段练习）若关于的一元一次方程的解是负数，则的取值范围是 ． 类型五、整式方程(组)与一元一次不等式组结合求参数的问题 例题：（23-24八年级上·重庆九龙坡·阶段练习）若关于的一元一次不等式组的解集是，且关于的方程有正整数解，则符合条件的所有整数的和为 ． 【变式训练1】若整数a使关于x的不等式组至少有4个整数解，且使关于x、y的方程组的解为整数，那么满足条件的整数a的值为 ． 【变式训练2】若整数使关于的不等式组至少有4个整数解，且使关于的方程组的解为正整数，那么所有满足条件的整数的和是 ． 【变式训练3】已知方程组的解满足x为非正数，y不大于0． (1)求m的取值范围； (2)在m的取值范围内，求当m为何整数时，不等式的解为； (3)若，求p的最大值与最小值． 类型六、与一元一次不等式（组）有关的新定义型问题 例题：（23-24八年级下·贵州毕节·阶段练习）定义一种关于*的运算：，如． (1)若，且为正整数，求的值； (2)若不等式的解集和关于的不等式的解集相同，求的值． 【变式训练1】（22-23七年级下·重庆江津·期末）定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”．例如的解为，不等式组，的解集为 ，因为，所以方程为不等式组，的“相伴方程”． (1)若关于x的方程是不等式组的“相伴方程”，求k的取值范围； (2)若方程都是关于x的不等式组的“相伴方程”，其中，求m的取值范围． 【变式训练2】（23-24八年级下·广东深圳·期中）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”例如：的解为，集为，不难发现在的范围内，所以是的“子方程”． 问题解决： (1)在方程①，②，③中，不等式组的“子方程”是______（填序号）； (2)若方程是关于x的不等式组的“子方程”，试求m的取值范围； (3)若关于x的方程接不等式组的“子方程”，求E的取值范围． 压轴能力测评（22题） 一、单选题 1．（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于x的不等式是一元一次不等式，则m的值是（   ） A．1 B． C． D．不能确定 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）关于的不等式的解集如图所示，则的值是（   ） A．0 B．2 C． D．4 3．（24-25八年级上·浙江·期中）若关于的不等式组有解，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）若关于x的不等式的正整数解是1、2、3，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·山东临沂·期末）如果关于，的方程组的解是正数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（22-23七年级下·湖北·期末）已知关于x的不等式，下列四个结论： ①若它的解集是，则； ②当，不等式组无解； ③若它的整数解仅有3个，则a的取值范围是； ④若它有解，则． 其中正确的结论个数（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 7．（23-24八年级下·辽宁锦州·期中）不等式的正整数解有2个，那么的取值范围是 ． 8．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）若不等式是关于的一元一次不等式，则 ． 9．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）关于x的不等式组的解集是，则 ． 10．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）若关于的不等式组有个整数解，则的取值范围是 ． 11．（24-25七年级下·全国·课后作业）新定义题定义新运算：对于任意实数a，b，都有．例如：．不等式的解集为 ． 12．（22-23七年级下·河南周口·阶段练习）若整数a使关于x的不等式组有4个整数解，且使关于x、y的方程组的解为整数，那么满足条件的整数a的值为 ． 三、解答题 13．（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于x的不等式组 (1)若原不等式组无解，则a的取值范围是_______； (2)若原不等式组有且只有5个整数解，则a的取值范围是_______． 14．（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于的二元一次方程组的解满足且． (1)若关于x的不等式组无解，求所有符合条件的整数a的值； (2)若有解，求所有符合条件的整数a的和． 15．（22-23七年级下·陕西咸阳·期中）已知关于x的不等式组； (1)若该不等式组的解集为，求m的值． (2)若该不等式组无解，则m的取值范围为______． (3)若该不等式组只有4个整数解，求m的整数解． 16．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）已知关于a、b的方程组． (1)若，求m的值； (2)已知a为负数，b为非正数，求m的取值范围； (3)在（2）的条件下，若m为整数，则当m为何值时，不等式的解集为． 17．（23-24七年级下·江西南昌·期末）已知关于，的方程组． (1)若该方程组的解满足，求的值； (2)若该方程组的解满足，均为正数，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，若不等式的解为，求的整数值． 18．（23-24七年级下·山西朔州·阶段练习）综合与实践 已知关于的方程组， (1)若该方程组的解与方程组的解相同，求的值． (2)若方程组的解满足，且满足，求的最小整数值． (3)当时，要使得方程组的解满足，求的取值范围． 19．（23-24七年级下·河南许昌·期末）定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”．例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”． (1)已知①；②；③，则方程的解是它与①②③中的不等式________的“梦想解”； (2)若关于，的二元一次方程组的解是该方程组与不等式组的“梦想解”，求的取值范围． 20．（23-24八年级下·辽宁辽阳·期末）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”．例如：方程的解为，而不等式组的解集为，恰好在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”．结合新定义，按要求解答下面问题： (1)在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是________；（只填序号） (2)若关于x的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围？ 21．（2025七年级下·全国·专题练习）定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“友好方程”，例如：方程的解为，不等式组的解集为．因为，所以称方程为不等式组的“友好方程”． (1)下列方程是不等式组的“友好方程”的是______（填序号）． ①；②；③． (2)若关于的方程是不等式组的“友好方程”，求的取值范围． (3)若方程都是关于的不等式组的“友好方程”，其中，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 一元一次不等式(组)中含参数问题的六种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、根据一元一次不等式的定义求参数的值 2 类型二、根据一元一次不等式的解集求参数 3 类型三、利用一元一次不等式组的整数解求参数的取值范围 4 类型四、整式方程(组)与一元一次不等式结合求参数的问题 5 类型五、整式方程(组)与一元一次不等式组结合求参数的问题 7 类型六、与一元一次不等式（组）有关的新定义型问题 11 压轴能力测评（18题） 15 解题知识必备 1. 一元一次不等式的定义 含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． 2. 解一元一次不等式（组） 解一元一次不等式：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集． 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分． 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 3. 一元一次不等式的整数解 解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题． 4. 一元一次不等式组的整数解 （1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）． 解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解． （2）已知解集（整数解）求字母的取值． 一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案． 压轴题型讲练 类型一、根据一元一次不等式的定义求参数的值 例题：（24-25八年级上·重庆·开学考试）已知是关于的一元一次不等式，则 ． 【答案】3 【知识点】一元一次不等式的定义 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义，含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式，据此列式计算即可． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴， ∴， 故答案为：3． 【变式训练1】（24-25八年级上·四川成都·期中）若是关于的一元一次不等式，则= ． 【答案】0 【知识点】零指数幂、一元一次不等式的定义 【分析】本题主要考查的是一元一次不等式的定义和零指数幂，根据一元一次不等式的定义可知，从而可求得m的值． 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴． 解得：． 故答案为：0． 【变式训练2】（23-24八年级上·河南郑州·开学考试）若是关于的一元一次不等式，则该不等式的解集为 ． 【答案】 【知识点】一元一次不等式的定义、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查一元一次不等式定义求参数及解一元一次不等式，根据一元一次不等式定义先求出，代入原不等式求解即可得到答案，熟记一元一次不等式定义及一元一次不等式的解法步骤是解决问题的关键． 【详解】解：是关于的一元一次不等式， ，且，解得， 题中的不等式为，解得， 故答案为：． 类型二、根据一元一次不等式的解集求参数 例题：（2023上·湖南岳阳·八年级校考阶段练习）若关于x的不等式只有3个正整数解，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，在解不等式时要根据不等式的基本性质．首先解关于x的不等式，求得不等式的解集，然后根据不等式共有3个正整数解，即可得到一个关于m的不等式组解得m的范围． 【详解】解：解不等式得：， 根据题意得：， 解得：． 故答案为：． 【变式训练1】（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考三模）已知关于x的不等式的解集为，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据不等式的基本性质，由不等式的解集为，可得：，据此求出a的取值范围即可． 【详解】解：∵不等式的解集为 ∴ ∴a的取值范围为： 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了不等式的解集，不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质的应用是解题的关键． 【变式训练2】（22-23七年级下·湖北武汉·阶段练习）已知关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的解集及解一元一次不等式；根据题意求得，且，把代入不等式中，即可求解． 【详解】解：由，得， ∵关于x的不等式的解集为， ∴，且， ∴， 整理得：， ∵， ∴， 把代入中，整理得：， ∴， 故答案为：． 【变式训练3】（23-24八年级下·贵州黔东南·阶段练习）若不等式与不等式有相同的解集，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查同解不等式，求出两个不等式的解，根据解相同，列出关于的方程，进行求解即可． 【详解】解：解得：， 解，得：， ∵两个不等式的解集相同， ∴，解得：； 故答案为：． 类型三、利用一元一次不等式组的整数解求参数的取值范围 例题：（2023·四川宜宾·模拟预测）若关于x的不等式组无解，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解不等式组，解题的关键是熟练掌握解不等式组的方法和步骤． 先分别求解两个不等式，再根据不等式组无解得出，即可解答． 【详解】解：， 由①可得：， 由②可得：， ∵原不等式组无解， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式训练1】（2024·江苏宿迁·一模）若不等式组有解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求不等式的解集．根据同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解），可得答案． 【详解】解：解不等式组得： ， ∵不等式组有解， ∴， 故答案为：． 【变式训练2】（23-24八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）若关于x的一元一次不等式组的解集是，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，求出第一个不等式的解集，根据口诀：“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解”即可确定m的范围． 【详解】解：不等式，得：， 不等式组，的解集是， ， 故答案为：． 类型四、整式方程(组)与一元一次不等式结合求参数的问题 例题：（23-24七年级上·重庆北碚·期末）已知关于的方程组的解满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，二元一次方程的解．先解方程组得到，，相加可得到，所以，然后解不等式得到的取值范围． 【详解】解：， 得， 将代入②，得， 解得， ∴ ， ， 解得， 即的取值范围为． 故答案为：． 【变式训练1】（23-24八年级上·浙江宁波·期中）方程组的解满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，解一元一次不等式，将两方程相加得出，然后根据即可求解，正确理解题意、掌握题中特点是解题的关键． 【详解】解：， 得， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式训练2】（23-24八年级上·浙江·阶段练习）若关于的一元一次方程的解是负数，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了解一元一次方程，求一元一次不等式的解集，根据题意得出，解不等式，即可求解． 【详解】解： 解得： ∵关于的一元一次方程的解是负数， ∴， 解得：， 故答案为：． 类型五、整式方程(组)与一元一次不等式组结合求参数的问题 例题：（23-24八年级上·重庆九龙坡·阶段练习）若关于的一元一次不等式组的解集是，且关于的方程有正整数解，则符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】3 【分析】先求出不等式组中每个不等式的解集，再根据关于x的一元一次不等式组的解集是，可以求得k的取值范围，再求出关于y的方程的解，然后根据关于y的方程有正整数解，即可求出k的值，从而可以解答本题． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∵关于x的一元一次不等式组的解集是， ∴， 由方程可得， ∵关于y的方程有正整数解， ∴或或， ∴． 故答案为：3． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解、解一元一次不等式组、一元一次方程的解和解一元一次方程，熟练掌握一元一次不等式组的解集是解题的关键． 【变式训练1】若整数a使关于x的不等式组至少有4个整数解，且使关于x、y的方程组的解为整数，那么满足条件的整数a的值为 ． 【答案】或或 【分析】根据不等式组求出的范围，然后根据关于的方程组的解为整数得到或或，据此求解即可． 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得，， 不等式组至少有4个整数解， ∴， ∴， 解方程组， 得：，解得， 将代入②得：，解得 方程组的解为：， ∵， ∴， 关于的方程组的解为整数， 或或， 或或， 当时，，此时是整数，符合题意； 当时，，此时是整数，符合题意； 当时，，此时是整数，符合题意； 所有满足条件的整数的值为或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解二元一次方程组，解题的关键是根据不等式组以及二元一次方程组求出的取值范围，熟练掌握一元一次不等式组以及二元一次方程组的解法． 【变式训练2】若整数使关于的不等式组至少有4个整数解，且使关于的方程组的解为正整数，那么所有满足条件的整数的和是 ． 【答案】 【分析】根据不等式组求出的范围，然后根据关于的方程组的解为正整数得到或，从而即可得到所有满足条件的整数的和． 【详解】解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ， ， ， 不等式组至少有4个整数解， ， 解得：， 解方程组， 得：， ， 将代入②得：， 方程组的解为：， 关于的方程组的解为正整数， 或， 或， 所有满足条件的整数的和是：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解二元一次方程组，解题的关键是根据不等式组以及二元一次方程组求出的取值范围，熟练掌握一元一次不等式组以及二元一次方程组的解法． 【变式训练3】已知方程组的解满足x为非正数，y不大于0． (1)求m的取值范围； (2)在m的取值范围内，求当m为何整数时，不等式的解为； (3)若，求p的最大值与最小值． 【答案】(1) (2)或 (3)p的最大值是5，最小值是 【分析】（1）首先对方程组进行化简，根据方程的解满足 为非正数， 不大于 0 ，就可以得出 的范围； （2） 解不等式 ，再根据即可求解； （3）分，，三种情况进行分类讨论； 【详解】（1）解原方程组得：， 因为 为非正数， 不大于 0 ， 所以可得：， 解得： ； （2）解不等式 得： ， 因为 ， 所以 ， 解得: ， 所以 ， 所以整数 的值为 或 ； （3）因为 ， 当 时，， 因为 ， 所以当 时， 有最大值是 5 ； 当 时， 有最小值是 ， 当 时，， 综上所述， 的最大值是 5 ， 最小值是； 【点睛】主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解；求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到 (无解) 类型六、与一元一次不等式（组）有关的新定义型问题 例题：（23-24八年级下·贵州毕节·阶段练习）定义一种关于*的运算：，如． (1)若，且为正整数，求的值； (2)若不等式的解集和关于的不等式的解集相同，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】新定义下的实数运算、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了新定义运算，解一元一次不等式，解一元一次方程，正确理解新定义运算的含义是解题的关键． （1）利用题中的新定义得出不等式，解不等式求出x的取值范围，再根据x为正整数得出答案； （2）求出不等式的解集，利用题中的新定义得出关于a的不等式，解不等式求出，再根据两个不等式的解集相同求出a的值即可． 【详解】（1）由，得， 解得， 为正整数， ； （2）解不等式，得， 由，得， 解得， 不等式的解集和关于的不等式的解集相同， ， 解得． 【变式训练1】（22-23七年级下·重庆江津·期末）定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”．例如的解为，不等式组，的解集为 ，因为，所以方程为不等式组，的“相伴方程”． (1)若关于x的方程是不等式组的“相伴方程”，求k的取值范围； (2)若方程都是关于x的不等式组的“相伴方程”，其中，求m的取值范围． 【答案】(1)的取值范围是 (2)的取值范围是 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、求不等式组的解集 【分析】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解和解一元一次不等式组等知识点，能根据题意得出关于k和m的不等式组是解此题的关键． （1）先分别求出方程的解和不等式组的解集，根据题意得出，再去求不等式组的解集即可； （2）分别求出方程的解，分为两种情况：①当时，求出不等式组的解集，再判断即可；②当时，求出不等式组的解集，再判断即可． 【详解】（1）解：解不等式组得：． 解方程得：， ∵关于的方程是不等式组的“相伴方程”， ， 解得：， 即的取值范围是； （2）解：解方程得， 解方程得， ∵方程都是关于的不等式组的“相伴方程”，， 所以分为两种情况：①当时，不等式组为， 此时不等式组的解集是，不符合题意，舍去； ②当时，不等式组的解集是， 所以根据题意得：， 解得：， 所以的取值范围是． 【变式训练2】（23-24八年级下·广东深圳·期中）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”例如：的解为，集为，不难发现在的范围内，所以是的“子方程”． 问题解决： (1)在方程①，②，③中，不等式组的“子方程”是______（填序号）； (2)若方程是关于x的不等式组的“子方程”，试求m的取值范围； (3)若关于x的方程接不等式组的“子方程”，求E的取值范围． 【答案】(1)①② (2) (3) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、求不等式组的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解，理解材料中的不等式组的“子方程”是解题的关键. （1）先求出方程的解和不等式组的解集，再判断即可； （2）先求出方程的解和不等式组的解集，根据“子方程”的定义列出关于m的不等式组，进行计算即可； （3）先求出方程的解和不等式组的解集，根据“子方程”的定义列出关于k的不等式组，进行计算即可； 【详解】（1）①， 解得：， ②， 解得：， ， 解得：， ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为：， ∴不等式组的“子方程”是：①②， 故答案为：①②： （2）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为：， 解方程得，， 方程是关于x的不等式组的“子方程”， ∴， ∴； （3）方程， 解得：， ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ∵关于x的方程关于x的不等式组的“子方程”， ∴， 解得：. 压轴能力测评（22题） 一、单选题 1．（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于x的不等式是一元一次不等式，则m的值是（   ） A．1 B． C． D．不能确定 【答案】C 【知识点】一元一次不等式的定义 【分析】本题主要考查一元一次不等式的定义，解题关键是掌握一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． 根据一元一次不等式的定义，未知数的次数是1且系数不为0，得出，且，求解即可． 【详解】解：由题意，得，且， ∴， 故选：C． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）关于的不等式的解集如图所示，则的值是（   ） A．0 B．2 C． D．4 【答案】A 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题考查了求一元一次不等式的解集，在数轴上表示不等式的解集，先移项合并同类项，解得，再结合在数轴上表示，列式，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 由数轴得， 故， 解得 故选：A． 3．（24-25八年级上·浙江·期中）若关于的不等式组有解，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】本题考查了求不等式组的解集，掌握不等式的性质，取值方法是解题的关键． 根据不等式的性质，及取值方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”的方法即可求解． 【详解】解：关于的不等式组有解， ∴， 故选：D ． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）若关于x的不等式的正整数解是1、2、3，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的整数解，根据不等式的解得情况列出关于a的不等式是解题关键．首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的情况可以得到关于a的不等式即可解答． 【详解】解：解不等式，得：， ∵其正整数解是1、2、3， ∴． 故选D． 5．（23-24七年级下·山东临沂·期末）如果关于，的方程组的解是正数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】不等式组和方程组结合的问题 【分析】本题主要考查了方程组与不等式组结合的问题，先利用加减消元法解方程组得到，再根据方程组的解为正数得到，解不等式组即可得到答案． 【详解】解： 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴方程组的解为， ∵方程组的解为正数， ∴， ∴， 故选：D． 6．（22-23七年级下·湖北·期末）已知关于x的不等式，下列四个结论： ①若它的解集是，则； ②当，不等式组无解； ③若它的整数解仅有3个，则a的取值范围是； ④若它有解，则． 其中正确的结论个数（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】求一元一次不等式的解集、求一元一次不等式组的整数解、由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】本题考查解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式组，从而求出a的范围，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题的关键． 【详解】解：， 解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为：， 若它的解集是，则， 解得：，故①符合题意； ②当时，，不等式无解，故②符合题意； ③若它的整数解仅有3个，则整数解为：2、3、4， ∴， 解得：，故③不符合题意； ④若它有解，则， 解得：，故④符合题意； 综上所述，符合题意的有①②④，共个， 故选：C． 二、填空题 7．（23-24八年级下·辽宁锦州·期中）不等式的正整数解有2个，那么的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，根据不等式组解的情况求参数，解一元一次不等式组得，结合不等式的正整数解有2个，得出，求解即可． 【详解】解：解不等式得：， 不等式的正整数解有2个， ， 解得：， 故答案为：． 8．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）若不等式是关于的一元一次不等式，则 ． 【答案】 【知识点】一元一次不等式的定义 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义．根据一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式，进行计算即可解答． 【详解】解：依题意， ∴， 故答案为：． 9．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）关于x的不等式组的解集是，则 ． 【答案】 【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】此题考查解不等式组，利用不等式组的解集的情况求参数，先解不等式组求出各不等式的解集，利用解集是得到，即可求出答案． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∵不等式组的解集是， ∴， ∴， ∴， 故答案为． 10．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）若关于的不等式组有个整数解，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】本题考查不等式组求参数问题，解题的关键是掌握解不等式组的方法． 先解出不等式组，根据它有个整数解求出的取值范围． 【详解】解：解不等式组得：， 该不等式组有个整数解， 整数解为，，， ； 故答案为： 11．（24-25七年级下·全国·课后作业）新定义题定义新运算：对于任意实数a，b，都有．例如：．不等式的解集为 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据定义的新运算可得，然后按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 12．（22-23七年级下·河南周口·阶段练习）若整数a使关于x的不等式组有4个整数解，且使关于x、y的方程组的解为整数，那么满足条件的整数a的值为 ． 【答案】 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、由一元一次不等式组的解集求参数、不等式组和方程组结合的问题 【分析】根据不等式组求出的范围，然后根据关于的方程组的解为整数得到即可解答． 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得，， 不等式组有4个整数解， ∴， ∴， 解方程组， 得：，解得， 将代入②得：，解得 方程组的解为：， ∵， ∴， 关于的方程组的解为整数， ， 当时，，符合题意； 所有满足条件的整数的值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组、解二元一次方程组等知识点，根据不等式组以及二元一次方程组求出的取值范围是解题的关键． 三、解答题 13．（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于x的不等式组 (1)若原不等式组无解，则a的取值范围是_______； (2)若原不等式组有且只有5个整数解，则a的取值范围是_______． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一元一次不等式组的整数解、由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式组．关键是先解每一个不等式，再根据整数解的个数，确定含a的代数式的取值范围． （1）分别解出两个不等式的解集，根据不等式组无解求出a的取值范围即可； （2）根据不等式组有且只有5个整数解，即可确定不等式组的解集，进而即可得到一个关于a的不等式，从而求解． 【详解】（1）解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 原不等式组无解， ， 解得： （2）原不等式组有解， ∴不等式组的解集， 又∵不等式组有且只有5个整数解， ， 解得， 故答案为：． 14．（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于的二元一次方程组的解满足且． (1)若关于x的不等式组无解，求所有符合条件的整数a的值； (2)若有解，求所有符合条件的整数a的和． 【答案】(1)所有符合条件的整数a的值有1，2，3，4 (2)所有符合条件的整数a的和为15 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、求一元一次不等式组的整数解、由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，解一元一次不等式等知识点，能求出a的取值范围是解此题的关键． （1）先求出方程组和不等式的解集，再求出a的范围，最后得出答案即可； （2）先求出方程组和不等式的解集，再求出a的范围得出所有符合条件的整数a，最后得出答案即可． 【详解】（1）解：解方程组得：， 关于x、y的二元一次方程组的解满足且， ， 解得：， ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 关于x的不等式组无解， ， 解得：， 即， ∴所有符合条件的整数a的值有1，2，3，4； （2）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组有解， ， 即， 所有符合条件的整数a有：1，2，3，4，5， ， 所有符合条件的整数a的和为15． 15．（22-23七年级下·陕西咸阳·期中）已知关于x的不等式组； (1)若该不等式组的解集为，求m的值． (2)若该不等式组无解，则m的取值范围为______． (3)若该不等式组只有4个整数解，求m的整数解． 【答案】(1) (2) (3)0 【知识点】求一元一次不等式组的整数解、由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查根据一元一次不等式组解集的情况求参数、求一元一次不等式组的整数解，（1）先分别解一元一次不等式，再根据不等式组的解集可得，最后求解即可； （2）由（1）可得，，再根据不等式组无解可得，再求解即可； （3）由（1）可得，，根据该不等式组只有4个整数解，可得，再解不等式组即可求解． 【详解】（1）解：， 由①得，， 由②， ∵该不等式组的解集为， ∴， 解得； （2）解：由（1）可得，， ∵该不等式组无解， ∴， 解得， 故答案为：； （3）解：由（1）可得，， ∵该不等式组只有4个整数解， ∴， 解得， ∴m的整数解是0． 16．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）已知关于a、b的方程组． (1)若，求m的值； (2)已知a为负数，b为非正数，求m的取值范围； (3)在（2）的条件下，若m为整数，则当m为何值时，不等式的解集为． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】二元一次方程组的特殊解法、已知二元一次方程组的解的情况求参数、求不等式组的解集、由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式或解一元一次不等式组等知识点，利用同时除以一个负数不等号要改变方向，求出a的取值范围是解此题的关键． （1）两式相加即可求解； （2）将m当作常数，解二元一次方程组，用m表示a、b，根据a为负数，b为非正数可以列出不等式组，从而求出m的范围； （3）将不等式进行求解，要得到解集为，则必须使，可以求出m的范围，结合（2）中m的范围，即可求解． 【详解】（1）解：两式相加得：， ， ， 解得：； （2）解：解方程组得： ∵a为负数，b为非正数 ∴， 解得：； （3）解： ∵要使不等式的解集为 必须 解得： ∵，m为整数 ∴ ∴当时，不等式的解集为． 17．（23-24七年级下·江西南昌·期末）已知关于，的方程组． (1)若该方程组的解满足，求的值； (2)若该方程组的解满足，均为正数，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，若不等式的解为，求的整数值． 【答案】(1) (2) (3)的整数值为或 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、不等式的性质、求一元一次不等式的整数解、不等式组和方程组结合的问题 【分析】本题考查了解二元一次方程组、解一元一次不等式组，熟练掌握计算方法是解此题的关键． （1）由加减消元法解二元一次方程组得出，结合题意得出，计算即可得解； （2）利用加减消元法得出，结合题意得出，解不等式组即可得出答案； （3）根据题意得出，求解并结合（2）得出，即可得解． 【详解】（1）解：， 由得：， ∴， ∵该方程组的解满足， ∴， ∴； （2）解：， 由得：， 解得：， 将代入②得：， 解得：， ∴原方程组的解为， ∵该方程组的解满足，均为正数， ∴， 解得：； （3）解：∵， ∴， ∵不等式的解为， ∴， 解得：， 由（2）可得， ∴， ∴的整数值为或． 18．（23-24七年级下·山西朔州·阶段练习）综合与实践 已知关于的方程组， (1)若该方程组的解与方程组的解相同，求的值． (2)若方程组的解满足，且满足，求的最小整数值． (3)当时，要使得方程组的解满足，求的取值范围． 【答案】(1) (2)的最小整数值为3 (3) 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、不等式组和方程组结合的问题 【分析】本题考查二元一次方程组的解，一元一次方程的解，解不等式． （1）利用加减消元法求得的解，再代入，求解即可； （2）将代入，利用加减消元法求得，再根据，解不等式，即可求解； （3）根据题意原方程组可化为，解得，再代入求解即可． 【详解】（1）解：解方程组， 将得③， ②得④， 得， ∴， 把代入①得， ∴， ∴方程组的解为， 将代入得 ∴； （2）解：∵， ∴原方程组可化为， 得． ∵方程组的解满足， ∴， ∴， ∴的最小整数值为3； （3）解：当时，原方程组可化为， 解得， ∵， ∴， 解得， ∴的取值范围是． 19．（23-24七年级下·河南许昌·期末）定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”．例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”． (1)已知①；②；③，则方程的解是它与①②③中的不等式________的“梦想解”； (2)若关于，的二元一次方程组的解是该方程组与不等式组的“梦想解”，求的取值范围． 【答案】(1)③ (2) 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、求一元一次不等式的解集、求不等式组的解集 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式（组）、解一元一次方程等知识点，掌握相关解法是解题的关键． （1）先求出方程的解和不等式的解集，然后进行判断； （2）先求出方程组的解和不等式组的解集，根据题意得出关于m的不等式组，最后解不等式组即可． 【详解】（1）解：解方程得：， 解①得：，故方程解不是①的“梦想解”； 解②得：，故方程解不是②“梦想解”； 解③得：，故方程解是③的“梦想解”； 即方程的解是不等式③的“梦想解”． 故答案为：③． （2）解：解方程组得：， ∴， ∵方程组的解是不等式组的梦想解， ∴， ∴． 20．（23-24八年级下·辽宁辽阳·期末）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”．例如：方程的解为，而不等式组的解集为，恰好在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”．结合新定义，按要求解答下面问题： (1)在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是________；（只填序号） (2)若关于x的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围？ 【答案】(1)①② (2) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（三）——去分母、求不等式组的解集、由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】本题考查新定义，涉及解一元一次方程、解一元一次不等式组等知识，理解新定义的“关联方程”是解决问题的关键． （1）解题中给出的三个一元一次方程及不等式组的解集，根据“关联方程”验证即可得到答案； （2）解一元一次方程得到，解不等式组得到，根据“关联方程”的定义得到求解即可确定答案． 【详解】（1）解：①，解得； ②，解得； ③，解得； ， 解不等式①得； 解不等式②得； 原不等式组的解集为； 、在范围内；不在范围内， 不等式组的“关联方程”是①②， 故答案为：①②； （2）解：，解得； 解不等式①得； 解不等式②得； 不等式组的解集为； 关于x的方程是不等式组的“关联方程”， ，解得． 21．（2025七年级下·全国·专题练习）定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“友好方程”，例如：方程的解为，不等式组的解集为．因为，所以称方程为不等式组的“友好方程”． (1)下列方程是不等式组的“友好方程”的是______（填序号）． ①；②；③． (2)若关于的方程是不等式组的“友好方程”，求的取值范围． (3)若方程都是关于的不等式组的“友好方程”，其中，求的取值范围． 【答案】(1)① (2) (3) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、求不等式组的解集、由不等式组解集的情况求参数 【详解】解：（1）① （2）解不等式组得．解方程，得．因为关于的方程是不等式组的“友好方程”，所以，解得，即的取值范围是． （3）解方程，得；解方程，得．因为方程，都是关于的不等式组的“友好方程”，所以分为两种情况：①当时，不等式组为此时不等式组的解集是，不符合题意，舍去；②当时，不等式组的解集是根据题意，得解得．综上所述，的取值范围是． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$