专题07 一元一次不等式（组）的解法的六种考法-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学下册压轴题攻略（华东师大版2024）

专题07 一元一次不等式（组）的解法的六种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、不等式的性质 2 类型二、求一元一次不等式的整数解 4 类型三、求一元一次不等式的解集并在数轴上表示 5 类型四、求一元一次不等式组的整数解 8 类型五、求一元一次不等式组的解集并在数轴上表示 9 类型六、一元一次不等式（组）中错解复原问题 11 压轴能力测评（18题） 15 解题知识必备 1．不等式的性质 ①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即： 若a＞b，那么a±m＞b±m； ②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即： 若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或＞； ③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即： 若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或＜； 2．解一元一次不等式 根据不等式的性质解一元一次不等式 基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 3．解一元一次不等式组 （1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集． （2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组． （3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集． 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分． 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 压轴题型讲练 类型一、不等式的性质 例题：（24-25八年级上·浙江温州·期中）下列命题中，正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式训练1】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）若，则下列不等式不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（24-25八年级上·湖南长沙·开学考试）若，则下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练3】（23-24七年级下·全国·单元测试）下列不等式变形正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 类型二、求一元一次不等式的整数解 例题：（24-25八年级上·四川广安·开学考试）不等式的正整数解为 ． 【变式训练1】（23-24七年级下·全国·单元测试）不等式的正整数解为 ． 【变式训练2】（23-24六年级下·全国·单元测试）不等式的非负整数解是 ． 【变式训练3】（23-24六年级下·全国·单元测试）不等式的非负整数解是 ； 【变式训练4】（23-24八年级下·全国·单元测试）不等式的非负整数解是 ． 类型三、求一元一次不等式的解集并在数轴上表示 例题：（24-25八年级上·浙江·期中）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 【变式训练1】（23-24八年级下·全国·单元测试）解不等式把解集在数轴上表示出来． 【变式训练2】（23-24七年级下·全国·单元测试）解不等式(组)，并把解集在数轴上表示出来 ． 【变式训练3】（24-25八年级上·浙江宁波·阶段练习）解下列不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． (1) (2) 类型四、求一元一次不等式组的整数解 例题：（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）不等式组的整数解是 ． 【变式训练1】（23-24七年级下·全国·单元测试）不等式组的正整数解为 ． 【变式训练2】（23-24九年级下·福建泉州·阶段练习）不等式组的所有整数解的和为 ； 【变式训练3】（24-25九年级上·贵州铜仁·开学考试）不等式组的正整数解是 ． 类型五、求一元一次不等式组的解集并在数轴上表示 例题：（2024八年级上·全国·专题练习）解不等式组并把解集在数轴上表示出来． 【变式训练1】（23-24九年级上·江苏盐城·期中）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【变式训练2】（23-24七年级下·安徽六安·期末）解不等式组：，并在数轴上表示出不等式组的解集． 【变式训练3】（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）解不等式组： 并把不等式组解集表示在数轴上． 类型六、一元一次不等式（组）中错解复原问题 例题：（24-25八年级上·浙江·期中）学习了“解一元一次不等式”后，杭杭同学解不等式的过程如下： 解：去分母得： 去括号得： 移项得： 合并同类项得： 两边都除以得： 杭杭的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程，并把解表示在数轴上． 【变式训练1】（23-24七年级下·河北沧州·期末）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务， 解： ……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 ……第五步 (1)填空： ①以上解题过程中，第二步是依据________（运算律）进行变形的； ②第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________． (2)请直接写出该不等式的正确解集，并在数轴上表示解集（要求正确使用作图工具，做到规范美观）． 【变式训练2】（23-24七年级下·河南洛阳·期中）以下是某同学解不等式组的解答过程： 解：第一步：由①，得，∴． 第二步：由②，得，∴，∴． 第三步：∴原不等式组的解集是． (1)他的解答过程是错误的，他出现错误一的步骤是_______，原因是_______；出现错误二的步骤是_______，原因是______； (2)请写出正确的解答过程． 【变式训练3】（23-24八年级下·江西九江·期末）（1）下面是某同学解不等式组，的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：令 解不等式①， 去分母，得………第一步 移项，得………第二步 合并同类项，得………第三步 系数化为1，得………………第四步 任务一：上述解不等式①的过程第________步出现了错误，其原因是：________．不等式①的解集是________． 任务二：求不等式组的解集并将解集在数轴上表示出来． 压轴能力测评（18题） 一、单选题 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法不一定成立的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（2025七年级下·全国·专题练习）解不等式，下列去分母正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）关于的方程的解是负数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）不等式组的解集在同一条数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·全国·期中）如图，一个运算程序，若需要经过两次运算才能输出结果，则x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25九年级下·辽宁沈阳·开学考试）不等式组的解集为 ． 7．（24-25九年级下·甘肃陇南·开学考试）已知关于的一元一次不等式的解集如图所示，则被墨水“”覆盖的数为 ． 8．（24-25七年级下·全国·课后作业）有下列说法：①若，则；②若，则；③若，且，则；④若，则．其中正确的是 （填序号）． 9．（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于，的方程组的解，均为负数，则的取值范围是 ． 10．（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于x的不等式． （1）当时，该不等式的解集为 ； （2）若该不等式的负整数解有且只有3个，则m的取值范围是 ． 三、解答题 11．（2025·陕西西安·二模）解不等式组： 12．（24-25七年级下·全国·课后作业）解不等式组请按下列步骤完成解答： (1)解不等式①，得________； (2)解不等式②，得________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； (4)原不等式组的解集是________． 13．（2025七年级下·全国·专题练习）解不等式组把它的解集在数轴上表示出来，并写出它的所有整数解之和． 14．（24-25七年级下·全国·课后作业）解下列不等式组，并把解集表示在数轴上： (1) (2) 15．（2025七年级下·全国·专题练习）计算 (1)解不等式组并写出该不等式组的最大整数解； (2)解不等式组并写出该不等式组的非负整数解． 16．（24-25七年级下·全国·单元测试）下面是小明同学解不等式组的过程，请认真阅读，完成相应的任务． 解：由不等式①，得．…第一步 解得．…第二步 由不等式②，得．…第三步 移项，得．…第四步 解得．…第五步 所以原不等式组的解集是．…第六步 任务一： （1）小明的解答过程中，第__________步开始出现错误，错误的原因是__________； （2）第三步的依据是__________； 任务二： （3）直接写出这个不等式组正确的解集是__________． 17．（24-25八年级上·湖南岳阳·期末）如图所示是一种程序运算，规定：程序运行到“判断结果是否大于”为一次运算，若结果大于，则输出此结果；若结果不大于，则将此结果作为m的值再进行第二次运算． (1)当时，要经过几次运算才会停止，输出的数是多少？ (2)已知运算进行了三次后停止，求m的取值范围？ 18．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知不等式． (1)求不等式的解集，并把解集在数轴上表示出来； (2)求不等式的所有负整数解； (3)若不等式的解集与不等式的解集相同，求a的值； (4)若不等式的最小整数解也是关于不等式的解，求m的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 一元一次不等式（组）的解法的六种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、不等式的性质 2 类型二、求一元一次不等式的整数解 4 类型三、求一元一次不等式的解集并在数轴上表示 5 类型四、求一元一次不等式组的整数解 8 类型五、求一元一次不等式组的解集并在数轴上表示 9 类型六、一元一次不等式（组）中错解复原问题 11 压轴能力测评（18题） 15 解题知识必备 1．不等式的性质 ①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即： 若a＞b，那么a±m＞b±m； ②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即： 若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或＞； ③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即： 若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或＜； 2．解一元一次不等式 根据不等式的性质解一元一次不等式 基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 3．解一元一次不等式组 （1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集． （2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组． （3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集． 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分． 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 压轴题型讲练 类型一、不等式的性质 例题：（24-25八年级上·浙江温州·期中）下列命题中，正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【知识点】不等式的性质 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质．熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键； 根据不等式的性质：（1）不等式两边都加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变． （2）不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． （3）不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：A、和均大于，但不一定大于，故选项错误 B、不等式两边同时乘以负数，不等号方向应改变，加减法不改变不等号的符号，故选项错误； C、不等式两边乘以负数，不等号方向改变，加减法不改变不等号的符号，故选项正确； D、不等式两边同时乘以负数，不等号方向应改变，故选项错误； 故选：C 【变式训练1】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）若，则下列不等式不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查了不等式的性质，解题关键是掌握不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质逐一判断即可． 【详解】解：A、，不等式一定成立，不符合题意； B、，不等式一定成立，不符合题意； C、，则，不等式一定成立，不符合题意； D、若，则；若，则，不等式不一定成立，符合题意； 故选：D． 【变式训练2】（24-25八年级上·湖南长沙·开学考试）若，则下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】不等式的性质 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，不等式的基本性质为：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变，根据不等式的性质逐项判断即可得出答案，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：A、∵，∴，故原选项错误，不符合题意； B、∵，∴，故原选项错误，不符合题意； C、若，则，故原选项错误，不符合题意； D、∵，∴，∵，∴，故原选项正确，符合题意； 故选：D． 【变式训练3】（23-24七年级下·全国·单元测试）下列不等式变形正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．据此逐项判断即可． 【详解】解：A．∵， ∴，故此选项符合题意； B．∵， ∴，故此选项不符合题意； C．∵， ∴， ∴，故此选项不符合题意； D．∵， 当时， ∴，故此选项不符合题意． 故选：A． 类型二、求一元一次不等式的整数解 例题：（24-25八年级上·四川广安·开学考试）不等式的正整数解为 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】本题考查了解一元一次不等式； 先解不等式，然后可得其正整数解． 【详解】解：移项得：， 系数化为1得：， ∴不等式的正整数解为， 故答案为：． 【变式训练1】（23-24七年级下·全国·单元测试）不等式的正整数解为 ． 【答案】1、2、3、4 【知识点】求一元一次不等式的整数解、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式，求不等式的整数解；先求出不等式的解集，再根据x的取值范围求出其正整数解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， ∴， 解得：， ∴不等式的正整数解为：1，2，3，4． 【变式训练2】（23-24六年级下·全国·单元测试）不等式的非负整数解是 ． 【答案】0，1，2，3 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】本题考查了一元一次不等式的非负整数解，熟练掌握解一元一次不等式是解题的关键．解不等式得，即可求得答案． 【详解】， ， ， 不等式的非负整数解是0，1，2，3． 故答案为：0，1，2，3． 【变式训练3】（23-24六年级下·全国·单元测试）不等式的非负整数解是 ； 【答案】0，1，2 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】本题考查解一元一次不等式，解出不等式的解集即可求解． 【详解】解： ， ∴不等式的非负整数解是：0，1，2． 故答案为：0，1，2． 【变式训练4】（23-24八年级下·全国·单元测试）不等式的非负整数解是 ． 【答案】0，1，2，3，4，5 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】本题考查不等式的解法及整数解的确定．首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的非负整数即可． 【详解】解：去分母得， 去括号得， 移项合并同类项得， 非负整数解是0，1，2，3，4，5． 故答案为：0，1，2，3，4，5． 类型三、求一元一次不等式的解集并在数轴上表示 例题：（24-25八年级上·浙江·期中）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴表示见解析 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，根据解一元一次不等式的步骤求出不等式的解集，再把解集在数轴上表示出来即可，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 【详解】解：去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为得，， 不等式的解集在数轴上表示为： 【变式训练1】（23-24八年级下·全国·单元测试）解不等式把解集在数轴上表示出来． 【答案】，在数轴上表示见解析 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题主要考查了解不等式，先去分母，再去括号，然后移项，合并同类项，最后将解集表示在数轴上即可．解题的关键是熟练掌握解不等式的一般步骤，准确计算． 【详解】解：， 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 在数轴上表示如下： 【变式训练2】（23-24七年级下·全国·单元测试）解不等式(组)，并把解集在数轴上表示出来 ． 【答案】，解集表示在数轴上见详解 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，根据不等式的性质，解一元一次不等式的方法，把解集表示在数轴上的方法即可求解． 【详解】解： 去分母得，， 去括号得，， 移项，合并同类项得，， 系数化为1得，， 解集表示在数轴上，如图所示， 【变式训练3】（24-25八年级上·浙江宁波·阶段练习）解下列不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． (1) (2) 【答案】(1)，数轴表示见解析 (2)，数轴表示见解析 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集： （1）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式，再在数轴上表示出不等式的解集即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式，再在数轴上表示出不等式的解集即可． 【详解】（1）解： 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 数轴表示如下所示： （2）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 数轴表示如下所示： 类型四、求一元一次不等式组的整数解 例题：（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）不等式组的整数解是 ． 【答案】，，， 【知识点】求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的解法，求解不等式组的整数解，掌握“解一元一次不等式组的方法与步骤”是解本题的关键．先分别解不等式组中的两个不等式，再确定解集的公共部分，再确定整数解即可． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的整数解为：，，，． 故答案为：，，，． 【变式训练1】（23-24七年级下·全国·单元测试）不等式组的正整数解为 ． 【答案】1，2，3 【知识点】求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后找出其中的正整数即可． 【详解】解：， 解①得 解②得 ∴ ∴正整数解为1，2，3． 故答案为：1，2，3． 【变式训练2】（23-24九年级下·福建泉州·阶段练习）不等式组的所有整数解的和为 ； 【答案】 【知识点】求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题主要考查了求不等式组的整数解，先解不等式组求出不等式组的解集，进而求出不等式组的整数解，再把所有整数解求和即可得到答案． 【详解】解：解不等式组得， ∴不等式组的所有整数解是与之间的所有整数（包括，不包括）， ∴不等式组的所有整数解的和为， 故答案为：． 【变式训练3】（24-25九年级上·贵州铜仁·开学考试）不等式组的正整数解是 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题主要考查不等式组的正整数解，熟练掌握解不等式的运算法则是解题的关键．根据题意求出不等式组的解集，即可得到答案． 【详解】解：， 解不等式①：， 解不等式②：， 故不等式的解集为， 故不等式组的正整数解是． 故答案为：． 类型五、求一元一次不等式组的解集并在数轴上表示 例题：（2024八年级上·全国·专题练习）解不等式组并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，见解析 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题主要考查了解不等式组，分别求出两个不等式的解集，即可得出答案，并在数轴上表示出来． 【详解】 解：解不等式①，得； 解不等式②，得， 所以不等式组的解集为． 把不等式组的解集在数轴上表示如图所示． 【变式训练1】（23-24九年级上·江苏盐城·期中）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴表示见解析 【知识点】求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， 数轴表示如下所示： 【变式训练2】（23-24七年级下·安徽六安·期末）解不等式组：，并在数轴上表示出不等式组的解集． 【答案】，见解析 【知识点】求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， 数轴表示如下所示： 【变式训练3】（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）解不等式组： 并把不等式组解集表示在数轴上． 【答案】，在数轴上表示解析 【知识点】求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题考查了解不等式组，熟练掌握不等式的求解方法是解题的关键，在数轴上表示时注意大于向右画，小于向左画，有等实心点，无等空心圆． 分别解两个不等式，再取公共解集，在数轴上表示即可． 【详解】解：解不等式①： 移项、合并同类项得： 解不等式②： 去分母得：， 移项、合并同类项得： 系数化为1得：． 所以原不等式组的解集是． 把解集在数轴上表示为： 类型六、一元一次不等式（组）中错解复原问题 例题：（24-25八年级上·浙江·期中）学习了“解一元一次不等式”后，杭杭同学解不等式的过程如下： 解：去分母得： 去括号得： 移项得： 合并同类项得： 两边都除以得： 杭杭的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程，并把解表示在数轴上． 【答案】小明的解答过程错误，见解析 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题考查解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，掌握解一元一次不等式的步骤是解题关键．根据解一元一次不等式的步骤“去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化为1”求解，再将解集在数轴上表示即可． 【详解】解：有错误， ， 去分母：， 去括号：， 移项、合并：， 系数化为1：， 把解集表示在数轴上如下． 【变式训练1】（23-24七年级下·河北沧州·期末）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务， 解： ……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 ……第五步 (1)填空： ①以上解题过程中，第二步是依据________（运算律）进行变形的； ②第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________． (2)请直接写出该不等式的正确解集，并在数轴上表示解集（要求正确使用作图工具，做到规范美观）． 【答案】(1)①乘法分配律；②五；不等式的两边同时除以不等号的方向没有改变 (2)，数轴见解析 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求一元一次不等式的解集 【分析】此题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． （1）根据解一元一次不等式的步骤进行解答即可； （2）按照正确步骤解不等式，写出不等式的解集，并在数轴上表示出来即可． 【详解】（1）解：①以上解题过程中，第二步是依据乘法分配律（运算律）进行变形的； ②第五步开始出现错误，这一步错误的原因是不等式的两边同时除以不等号的方向没有改变． 故答案为：①乘法分配律；②五；不等式的两边同时除以不等号的方向没有改变 （2）解： ……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 ……第五步 ∴该不等式的正确解集是，在数轴上表示出来： 【变式训练2】（23-24七年级下·河南洛阳·期中）以下是某同学解不等式组的解答过程： 解：第一步：由①，得，∴． 第二步：由②，得，∴，∴． 第三步：∴原不等式组的解集是． (1)他的解答过程是错误的，他出现错误一的步骤是_______，原因是_______；出现错误二的步骤是_______，原因是______； (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)第一步，不等式的两边都乘以（或都除以）同一个负数，不等号的方向要改变（或不等式的性质3）；第二步，去分母时，没有对所有项进行操作 (2)见解析 【知识点】不等式的性质、求不等式组的解集 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，正确的计算是解题的关键． （1）根据移项，合并同类项，化系数为1的步骤解一元一次不等式，第一步移项，以及化系数为1 的步骤出错了； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】（1）解：他的解答过程是错误的，他出现错误一的步骤是第一步，原因是不等式的两边都乘以（或都除以）同一个负数，不等号的方向要改变（或不等式的性质3）；出现错误二的步骤是第二步，原因是去分母时，没有对所有项进行操作． （2）解：， 由①得， 解得：． 由②，得， ∴， 解得：． ∴原不等式组的解集是． 【变式训练3】（23-24八年级下·江西九江·期末）（1）下面是某同学解不等式组，的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：令 解不等式①， 去分母，得………第一步 移项，得………第二步 合并同类项，得………第三步 系数化为1，得………………第四步 任务一：上述解不等式①的过程第________步出现了错误，其原因是：________．不等式①的解集是________． 任务二：求不等式组的解集并将解集在数轴上表示出来． 【答案】任务一：四；在不等式两边同时乘(除以)同一个负数，不等号的方向没有进行改变，；任务二：，见详解 【知识点】求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查解一元一次不等式（组）． 任务一：根据解一元一次不等式的一般步骤逐步分析即可； 任务二：按照解一元一次不等式组的步骤求解集，将不等式组的解集在数轴上表示出来即可． 【详解】任务一：上述解不等式①的过程第四步出现了错误，其原因是在不等式两边同时乘(除以)同一个负数，不等号的方向没有改变； 不等式①的解集是 任务二：令 由任务一可知：解不等式①，得， 解不等式②，， 移项，得， 解得：， ∴不等式组的解集为：， 如图：将不等式组的解集表示在数轴上： 压轴能力测评（18题） 一、单选题 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法不一定成立的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查了不等式的性质，理解并掌握不等式的基本性质是解题关键．不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．据此求解即可．牢记不等式的性质是解题的关键．利用不等式的基本性质即可判断出正误． 【详解】解：∵，∴，故A选项成立； ∵，∴，故B选项成立； ∵， ∴当时，，故C选项不一定成立； ∵， ∴，而， ∴，故D选项成立． 故选：C． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）解不等式，下列去分母正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式，不等式两边同时乘上6，得，即可作答． 【详解】解：∵， ∴不等式两边同时乘上6，得， 故选：D． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）关于的方程的解是负数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求一元一次不等式的解集、已知方程的解，求参数 【分析】本题考查一元一次方程的解，解一元一次不等式，先由得，然后再依据“解是负数”建立不等式求a的取值范围即可． 【详解】解：由得， ∵关于的方程的解是负数， ∴， ∴． 故选：B． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）不等式组的解集在同一条数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集 【分析】本题考查解不等式组，用数轴表示不等式组的解集，分别求出两个不等式的解集，在数轴上表示出来即可，注意数轴上实心点与空心点的区别． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， 可得该不等式组的解集为， 在数轴上表示为： ， 故选B． 5．（24-25七年级下·全国·期中）如图，一个运算程序，若需要经过两次运算才能输出结果，则x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求不等式组的解集 【分析】根据运算流程结合需要经过两次运算可得出关于x的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论． 此题主要考查了一元一次不等式组的应用，关键是弄明白图示的意思，列出不等式组． 【详解】根据题意，得 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为：， 则的取值范围为． 故选D． 二、填空题 6．（24-25九年级下·辽宁沈阳·开学考试）不等式组的解集为 ． 【答案】 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题考查了解不等式组，熟练掌握解不等式组的方法是解题的关键. 先求出每个不等式的解集，再确定不等式组的解集即可. 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， 不等式组的解集为 故答案为：. 7．（24-25九年级下·甘肃陇南·开学考试）已知关于的一元一次不等式的解集如图所示，则被墨水“”覆盖的数为 ． 【答案】5 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】此题主要考查不等式的求解．先求出不等式的解集，然后根据数轴得到不等式的解集，故可列式求解． 【详解】解：设“”表示的数为， 由题意得，解得， 由数轴得到不等式的解集为， 故， 解得． 则“”表示的数为5， 故答案为：5． 8．（24-25七年级下·全国·课后作业）有下列说法：①若，则；②若，则；③若，且，则；④若，则．其中正确的是 （填序号）． 【答案】②④ 【知识点】不等式的性质 【分析】本题主要考查了不等式的性质，掌握不等式的性质成为解题的关键． 根据不等式的性质逐个判断即可． 【详解】解：若，当时，，故①不正确； 由时，则，即，故②正确； 若且时，则，故③错误； 若，即，则，故④正确． 综上，②④正确． 故答案为：②④． 9．（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于，的方程组的解，均为负数，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【知识点】加减消元法、已知二元一次方程组的解的情况求参数、求不等式组的解集 【分析】本题考查了含参数的二元一次方程组，解一元一次不等式组，通过加减消元，分别用含的代数式表示是解题的关键． 先解二元一次方程组，解得，由解为负数列出关于的一元一次不等式组，然后求解即可． 【详解】解：由方程组得， ∵关于，的方程组的解，均为负数， ∴， 解得：， 故答案为：． 10．（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于x的不等式． （1）当时，该不等式的解集为 ； （2）若该不等式的负整数解有且只有3个，则m的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集、由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解、解一元一次不等式，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法． （1）将m的值代入，解不等式即可； （2）先解不等式，然后根据该不等式的负整数解有且只有3个，即可得到关于m的不等式，然后求解即可． 【详解】解：（1）当时， ， 去括号，得：， 移项及合并同类项，得：， 故答案为：； （2）由不等式，可得：， ∵该不等式的负整数解有且只有3个， ∴这3个整数解为，，， ， 解得， 故答案为：． 三、解答题 11．（2025·陕西西安·二模）解不等式组： 【答案】． 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题考查解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，即可确定不等式组的解集．熟练掌握不等式组的解法是解题的关键． 【详解】解： 解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为：． 12．（24-25七年级下·全国·课后作业）解不等式组请按下列步骤完成解答： (1)解不等式①，得________； (2)解不等式②，得________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； (4)原不等式组的解集是________． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，理解并掌握解一元一次不等式组的方法和步骤是解题关键． （1）移项，合并同类项求出不等式①的解集即可； （2）移项、合并同类项、系数化为1求出不等式②的解集即可； （3）将解集表示在数轴上； （4）得出两个不等式解集的公共部分即可确定不等式组的解集． 【详解】（1）解：， 移项，得， 合并同类项，得， 即解不等式①，得， 故答案为：； （2）解：， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 即解不等式②，得， 故答案为：； （3）解：把不等式①和②的解集在数轴上表示出来如下： （4）解：原不等式组的解集为， 故答案为：． 13．（2025七年级下·全国·专题练习）解不等式组把它的解集在数轴上表示出来，并写出它的所有整数解之和． 【答案】，3 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式组的解集以及求整数解之和，解题的关键是正确求解每个不等式并确定不等式组的解集． 先分别求解不等式组中的两个不等式，再取它们的公共部分得到不等式组的解集，然后在数轴上表示解集，最后找出整数解并求其和． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 所以该不等式组的解集为． 该不等式组的解集在数轴上的表示如图所示． 整数解有， 所以整数解之和 14．（24-25七年级下·全国·课后作业）解下列不等式组，并把解集表示在数轴上： (1) (2) 【答案】(1)，数轴表示见解析 (2)，数轴表示见解析 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集 【分析】（）先求出不等式组的解集，再把解集在数轴上表示出来即可； （）先求出不等式组的解集，再把解集在数轴上表示出来即可； 本题考查了解一元一次不等式组，再数轴上表示不等式组的解集，掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：（）解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集是， 不等式组解集在数轴上表示如下： （2）解：解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集是， 不等式组解集在数轴上表示如下： 15．（2025七年级下·全国·专题练习）计算 (1)解不等式组并写出该不等式组的最大整数解； (2)解不等式组并写出该不等式组的非负整数解． 【答案】(1)该不等式组的最大整数解是 (2)该不等式组的非负整数解是0，1，2 【知识点】求不等式组的解集、求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查了一元一次不等式组解集的求解，一元一次不等式组的整数解，熟练掌握求不等式组解集的口诀，同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到是解答本题的关键． （1）分别求出不等式①②的值，得到不等式组的解集，再找出其最大整数解即可 （2）分别求出不等式①②的值，得到不等式组的解集，再找出其非负整数解解即可 【详解】（1）解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以该不等式组的解集是． 故该不等式组的最大整数解是． （2） 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以该不等式组的解集是． 故该不等式组的非负整数解是0，1，2． 16．（24-25七年级下·全国·单元测试）下面是小明同学解不等式组的过程，请认真阅读，完成相应的任务． 解：由不等式①，得．…第一步 解得．…第二步 由不等式②，得．…第三步 移项，得．…第四步 解得．…第五步 所以原不等式组的解集是．…第六步 任务一： （1）小明的解答过程中，第__________步开始出现错误，错误的原因是__________； （2）第三步的依据是__________； 任务二： （3）直接写出这个不等式组正确的解集是__________． 【答案】（1）五；不等式两边同时除以负数时，不等号方向没有改变 （2）不等式的性质2 （3） 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键． （1）由不等式的性质可知，第五步不等式两边同时除以一个负数时，不等号方向没有发生改变，据此可得答案； （2）根据不等式的性质2即可得出答案； （3）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解：（1）由解题过程可知，第五步开始出现错误，错误的原因是：不等式两边同时除以负数时，不等号方向没有改变， 故答案为：五；不等式两边同时除以负数时，不等号方向没有改变； （2）由解题过程可知，第三步是不等式两边同时乘以2去分母，因而第三步的依据是不等式的性质2， 故答案为：不等式的性质2； （3）， 由不等式①，去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：； 由不等式②，去分母，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：； 不等式组的解集为：， 故答案为：． 17．（24-25八年级上·湖南岳阳·期末）如图所示是一种程序运算，规定：程序运行到“判断结果是否大于”为一次运算，若结果大于，则输出此结果；若结果不大于，则将此结果作为m的值再进行第二次运算． (1)当时，要经过几次运算才会停止，输出的数是多少？ (2)已知运算进行了三次后停止，求m的取值范围？ 【答案】(1) (2) 【知识点】程序流程图与有理数计算、一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，正确理解程序表达的意思列式是解题的关键： （1）将数字代入计算结合大于输出即可得到答案； （2）根据第三次输出列不等式组求解即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，第一次运算：， ∵若结果不大于，则将此结果作为m的值再进行第二次运算：， 结果大于，则输出此结果； （2）解：∵已知运算进行了三次后停止， ∴第二运算结果不大于， ∴                                   解得： ， ∴． 18．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知不等式． (1)求不等式的解集，并把解集在数轴上表示出来； (2)求不等式的所有负整数解； (3)若不等式的解集与不等式的解集相同，求a的值； (4)若不等式的最小整数解也是关于不等式的解，求m的取值范围． 【答案】(1)，数轴见解析 (2) (3) (4) 【知识点】求一元一次不等式的解集、求一元一次不等式的整数解、在数轴上表示不等式的解集、由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】本题主要考查解一元一次不等式以及一元一次不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式是解题的关键． （1）解不等式将解集在数轴上表示出来即可； （2）根据解集写出所有负整数即可； （3）解不等式，得，由题意，得，即可得到答案； （4）解不等式，得，根据题意得到，即可得到答案； 【详解】（1）解：解不等式，得，解集在数轴上如图所示； （2）解：不等式的所有负整数解为； （3）解：解不等式，得， 由题意，得， 解得； （4）解：解不等式，得， 不等式的最小整数解为， 解不等式， 得， 根据题意，得， 解得． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$