重难点02 相似三角形模型及其综合题综合训练（5大题型+高分技法+限时提升练）-2025年中考数学【热点·重点·难点】专练（全国通用）

重难点02 相似三角形模型及其综合题综合训练 中考数学中《相似三角形模型及其综合题综合训练》部分主要考向分为五类： 一、K型相似 二、8字图相似 3、 A字图相似 4、 母子型相似 5、 手拉手相似 相似三角形的综合题中各种相似模型的掌握是解决对应压轴题的便捷方法，所以本专题是专门针对相似三角形模型压轴题的，对提高类型的学生可以自主训练。 考向一：K型相似 ①定义:一线三等角模型是指有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角锐角或钝角； ②识别一线三等角模型:在题目中，当看到三个等角(尤其是直角)的顶点在同一条直线上时，应想到一线三等角模型； ③利用一线三等角模型求解:通过一线三等角模型，可以构造出相似三角形，并利用相似三角形的性质来求解边长或角度。 1．（2024·广东广州·中考真题）如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题关键．根据正方形的性质，得出，，进而得出，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证明． 【详解】解：，， ， 四边形是正方形， ，， ，， 又， ． 2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与实践：如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在中，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点．    (1)【观察感知】如图2，通过观察，线段与的数量关系是______； (2)【问题解决】如图3，连接并延长交的延长线于点，若，，求的面积； (3)【类比迁移】在(2)的条件下，连接交于点，则______； (4)【拓展延伸】在(2)的条件下，在直线上找点，使，请直接写出线段的长度． 【答案】(1) (2)10 (3) (4)或 【分析】（1）根据旋转的性质可得，，进而证明，即可求解； （2）根据（1）的方法证明，进而证明，求得，则，然后根据三角形的面积公式，即可求解． （3）过点作于点，证明得出，证明，设，则，代入比例式，得出，进而即可求解； （4）当在点的左侧时，过点作于点，当在点的右侧时，过点作交的延长线于点，分别解直角三角形，即可求解． 【详解】（1）解：∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点．   ， ， ， ， ， 又且 ， ； （2）解：， ， ， ， ， 又且， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图所示，过点作于点，    ∵， ∴ ∴， 即，即， 又∵ ∴ ∴， 设，则， 解得： ∴； （4）解：如图所示，当在点的左侧时，过点作于点    ∵ ∴，设，则， 又∵， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴， 解得： 在中， ∴ ∴ 如图所示，当在点的右侧时，过点作交的延长线于点，    ∵ ∴ ∵ ∴ 设，则，， ∵， ∴ 解得： ∴ ∴ 综上所述， 或． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，旋转的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 3．（2024·湖北·中考真题）如图，矩形中，分别在上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上，的对称点为交于． (1)求证：． (2)若为中点，且，求长． (3)连接，若为中点，为中点，探究与大小关系并说明理由． 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【分析】（1）根据矩形的性质得，由折叠得出，得出，即可证明； （2）根据矩形的性质以及线段中点，得出，根据代入数值得，进行计算，再结合，则，代入数值，得，所以； （3）由折叠性质，得直线， ，是等腰三角形，则，因为为中点，为中点，所以，，所以，则，所以，则，即可作答． 【详解】（1）解：如图： ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵分别在上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图： ∵四边形是矩形， ∴，， ∵为中点， ∴， 设， ∴， 在中，， 即， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴； （3）解：如图：延长交于一点M，连接 ∵分别在上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上， ∴直线 ， ， ∴是等腰三角形， ∴， ∵为中点， ∴设， ∴， ∵为中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 【点睛】本题考查了矩形与折叠，相似三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 4．（2024·广东佛山·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，的顶点B、C在x轴上，A在y轴上，，直线）分别与x轴，y轴，线段，直线交于点E，F，P，Q． (1)当时，求证：． (2)探究线段之间的数量关系，并说明理由． (3)在x轴上是否存在点M，使得，且以点M、P、Q为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见详解 (2) (3)时，时，时， 【分析】（1）根据，求出与交点的坐标，即可求解； （2）先求出直线的表达式为，再联立直线与直线求出，再求出点，利用坐标系中两点距离公式求出，结合即可求解； （3）证明，得到或，分四种情况画图求解． 【详解】（1）证明：由知，， 则， 则点、的坐标分别为：， 当时，，则， 即点， ； （2）解：， 理由： 设直线的表达式为：， 将代入得：， 解得：， ∴直线的表达式为：， 联立上式和得， 解得． 即点， 同理（1）可得，点， ， ， ； （3）解：分别过点作轴，轴， ， ， ， ， ， ， ， 设点，由（2）知，点、的坐标分别为：、， ①若，如图2，则， 当时， ， ， ， 联立方程组：， 解得：， ∴时，， ②若，如图3， 当时， ， ， ， 联立方程组：， 解得：． 时，； ③若，当时， 如图4，， AI， ， ， ， 联立方程组：， 解得：， ； ④的情况不存在， 综上，时，时，时，． 【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到三角形相似、平行四边形的性质等知识点，分类求解是解题的关键． 考向二：8字图相似 ①定义:8字模型是指由两个三角形通过共享一条对角线或中线构成的图形结构，这条对角线或中线将两个三角形分为两个小的相似三角形； ②利用8字模型求解边长或角度:在8字模型中，可以通过相似三角形的性质来求解边长或角度； ③添加辅助线构造8字模型:题目中并未直接给出8字模型，但可以通过添加辅助线(如中线或高)来构造8字模型，从而简化问题。 1．（2024·安徽·模拟预测）如图，在四边形中，，点在边上，且，点在边上，且，连接，交于点． (1)求证：； (2)如图，若，求证：； (3)如图，若延长恰好经过点，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）证明，得出，证明四边形为平行四边形，得出，则可得出结论；（2）证明，得出，证明，得，则得出结论；（3）证明，得出，设，解方程求出，则可得出答案． 【详解】（1） 在和中， 又 （SAS） 四边形为平行四边形 （2） 又 ，即 ． 又 ，即 （3） ， ． 设，则有 解得（负值舍去） 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质，利用相似三角形的判定和性质是本题解题的关键． 2．（2023·江苏南通·一模）正方形中，，点是对角线上的一动点，将沿翻折得到，直线交射线于点． (1)当时，求的度数用含的式子表示； (2)点在运动过程中，试探究的值是否发生变化？若不变，求出它的值若变化，请说明理由； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)，是定值 (3) 【分析】根据翻变换的性质可以得到，加上对顶角相等得到的，从而得到，进而得到对应边成比例，再根据比例的性质得到，加上对顶角相等得到的证明出： ，最终得到对应角相等得出结果． 如图中，连接， 证明是等腰直角三角形，可得结论； 证明是等边三角形，可得结论． 【详解】（1）如图中，设交于点． 四边形是正方形， ，， ， 由翻折变换的性质可知，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （2），是定值． 理由：如图中，连接，． 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， 同法可证，， ， ， ， ， ， ， ； （3）如图中，当时， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题． 3．（2025·重庆大渡口·模拟预测）如图，在中，对角线与相交于点，，过点作交于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见详解 (2)的长为 【分析】本题主要考查菱形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，掌握菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据题意可证平行四边形是菱形，则，由垂直的定义可得，由同角的余角相等可得，由此即可求解； （2）根据菱形的性质得到，由勾股定理得到，由（1）中的相似得到，即，由此即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵平行四边形是菱形， ∴，， 在中，， 由（1）可知， ∴， ∴， 解得，， ∴的长为． 考向三：A字图相似 ①定义:A字模型是指由两个三角形共享一条边且这条边与两个三角形的另外两边分别构成相似三角形的一种图形结构； ②直接利用A字模型解题:根据相似三角形的判定定理，若两个三角形有两个对应的角相等，则它们相似，在A字模型中，通常可以通过平行线或给定的角来判定相似三角形； ③添加辅助线构造A字模型:当题目中未直接给出A字模型时，可以通过添加辅助线(如平行线或垂线)来构造A字模型，从而利用相似三角形的性质解题。 1．（2024·湖北·模拟预测）如图，将正方形沿直线折叠，使点的对应点落在边上，点C落在点N处，与交于点，折痕分别与边，交于点，，连接．若，则的值是 ． 【答案】 【详解】解：如图，延长交于点．    ∵， ∴． ∴， ∴，， 设，，则，，正方形边长为， ∴． 由翻折和正方形的性质可得，． ∴． ∴，即， ∴． ∴． 在中，， ∴． 解得：（舍），． ∴． 在中，， ∴ 解得：， ∴， ∴， 故答案为． 【点睛】本题主要考查了正方形与折叠问题，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 2．（2025·陕西西安·二模）如图，为的直径，C为上一点，连接，过点C的直线与相切，与延长线交于点D，点F为上一点，且，连接并延长交射线于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查圆与三角形的综合，掌握圆的切线的性质，三角形相似的判定与性质是解题的关键， （1）如图所示，连接，可证，根据为的切线，，即可求证； （2）根据（1）中，设的半径为，可证，可算出的半径，根据三角形的相似即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的切线， ∴， ∴． （2）解：∵， 设，则， ∴， 设的半径为，则，，， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，，， ∵ ∴， ∴． 3．（2025·浙江宁波·一模）（1） 如图1， 在中， D是上一点，交于点G，则   （用图中已有线段表示） （2） 如图2，在中， M、N是上的两点， 且满足， 在上取一点D， 过点D作分别交 的延长线、于点 P、Q，求 的值： （3） 如图3， 在正方形中， 点E是上一点， 连接交于点F， 在上取一点 P， 使得， 若     求的长． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）证明，，可得，从而可得答案； （2）如图，过作交于，交于，结合（1）得：，证明，可得，证明，可得，从而可得答案； （3）如图，过作交于，交于，证明，可得，设，则，求解，证明，可得，结合，再进一步解方程即可． 【详解】解：（1）∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （2）如图，过作交于，交于， 由（1）得：， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴； （3）如图，过作交于，交于， ∵正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）得：， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是正方形的性质，相似三角形的判定与性质，本题属于相似三角形的综合题，难度很大，作出合适的辅助线是解本题的关键． 考向四：母子型相似 ①定义:母子模型是指一个大三角形内包含一个小2三角形，且这两个三角形在形状上相似的一种图形结构 ②”识别母子模型:在题目中，当看到一个大三角形内包含一个小三角形，且这两个三角形的形状相似时，应想到母子模型； ③利用母子模型求解:通过母子模型，可以构造出相似三角形，并利用相似三角形的性质来求解边长角度或面积。 1．（2024·四川广元·中考真题）数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图1）产生了如下问题，请同学们帮他解决． 在中，点为边上一点，连接． (1)初步探究 如图2，若，求证：； (2)尝试应用 如图3，在（1）的条件下，若点为中点，，求的长； (3)创新提升 如图4，点为中点，连接，若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据题意，由，，利用两个三角形相似的判定定理即可得到，再由相似性质即可得证； （2）设，由（1）中相似，代值求解得到，从而根据与的相似比为求解即可得到答案； （3）过点作的平行线交的延长线于点，如图1所示，设，过点作于点，如图2所示，利用含的直角三角形性质及勾股定理即可得到相关角度与线段长，再由三角形相似的判定与性质得到，代值求解即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵点为中点， ∴设， 由（1）知， ∴， ∴， ∴与的相似比为， ∴， ∵ ∴； （3）解：过点作的平行线交的延长线于点，过作，如图1所示： ∵点为中点， ∴设， ∵， ∴，， 在中，，则由勾股定理可得， 过点作于点，如图2所示： ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，点为中点， ∴，，， 又∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴，， ∴，即， ∴， ∴． 【点睛】本题考查几何综合，涉及相似三角形的判定与性质、含的直角三角形性质、勾股定理等知识，熟练掌握三角形相似的判定与性质是解决问题的关键． 2．（2024·四川眉山·中考真题）如图，是的直径，点在上，点在的延长线上，，平分交于点，连结． (1)求证：是的切线； (2)当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握切线的判定是解题的关键． （1）连接，根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据切线的判定定理得到结论； （2）根据相似三角形的判定和性质定理得到，求得，连接，根据角平分线的定义得到，求得，得到，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：，， ， ， ， ， ， 连接， 平分， ， ， ， 是的直径， ， ． 3．（2024·江苏泰州·二模）已知：如图1，是的内接三角形，且，点是弧上一动点，连接交弦于点，点在弦上，且．    (1)求证：； (2)如图2，若是的直径，，，求直径的长； (3)如图3，保持点位置不变，调整点的位置使得直线经过圆心，点在上，使得成立的所有点中，有一个点的位置始终不变，试找出这个点，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)始终不变的点是半径的延长线与圆的交点． 【分析】（）根据等腰三角形的性质及圆周角的性质可知，再利用相似三角形的判定即可解答； （）根据圆周角的定理可知，再根据勾股定理可知，最后利用相似三角形的性质即可解答； （）根据相似三角形的判定与性质可知，再利用相似三角形的性质即可解答． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， ∵在中，， ∴， 又∵ ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴ 又∵是的直径， ∴，， ∴, ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∵，即 ∴， ∴， ∴， （3）解：延长，交圆于点M.    ∵， ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴始终不变的点是半径（或）的延长线与圆的交点． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 考向五：手拉手相似 ①定义:手拉手模型是指两个相似的三角形通过旋转、平移或翻折等方式连接在一起的一种图形结构； ②识别手拉手模型:在题目中，当看到两个相似的三角形通过某种方式连接在一起时，应想到手拉手模型； ③利用手拉手模型求解:通过手拉手模型，可以构造出相似三角形，并利用相似三角形的性质以及旋转、平移或翻折等几何变换来求解边长、角度或面积。 1．（2024·河南新乡·三模）（1）【观察发现】如图（1），在，点D是边的中点，延长BA到点E，使，连接，可得与的数量关系是______，位置关系是______． （2）【探究迁移】如图（2），在中，，，点为平面内一点，将线段绕点E顺时针旋转90°得到线段，连接，，点为的中点，连接、，试判断和的数量关系，并说明理由． （3）【拓展应用】在（2）的条件下，若，，当时，请直接写出的长． 【答案】（1），；（2），理由见解析；（3）或． 【分析】本题主要考查了三角形中位线的性质和旋转相似模型；解题关键是构造旋转相似模型转换线段关系． （1）根据三角形中位线可直接得出结论； （2）延长至点，使，连接、，根据旋转相似模型证明，即可得出结论； （3）根据当时，可得点在直线，点在直线，再由不同位置分两种情况讨论，结合（2）的结论即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴，； （2）结论：， 理由∶如图2-1，延长至点，使，连接、， ∵点为的中点， ∴ 由题意∶， ∴， 由旋转知 ∴ ， ∴， ∴ ∵，， ∴ ，即：， ∴， ∴， ∴ ∴ （3）当时， ∵，即：， ∴， 又∵， ∴点在直线， 当点在线段上时，如图2-2， ∵， ∴点在直线， ∵，，， ∴，， ∴， ∴； 当点在线段延长线上时，如图2-2， 同理可证：点在直线，点在直线， ，， ∴， ∴； 综上所述：的长为或． 2．（23-24九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）1.问题发现 图（1），在和中，，，，连接，交于点M. ①的值为______；②的度数为_______． （2）类比探究 图（2），在和中，，，连接，交的延长线于点M，请计算的值及的度数； （3）拓展延伸 在（2）的条件下，若，，将绕点O在平面内旋转一周． ①当直线经过点B且点C在线段上时，求的长； ②请直接写出运动过程中M点到直线距离的最大值． 【答案】（1）①1；②；（2），；（3）①的长为；②M点到直线距离的最大值为 【分析】（1）直接根据两个共顶点的等腰三角形证明，可以证明，最后在和中导角直接可以求解． （2）改变三角形结构，直接通过判定和相似，同样可以用第一问的方式证明，根据相似比，求线段比例，最后在和中导角直接可以求解的度数． （3）深度理解题意，本质上问的就是当B，C，D，三点共线时，求的长，在利用，对应边成比例求的长，最值的求解，先找到点和点的轨迹，可以发现是在两个圆弧上运动，再利用最大时，则M点到直线距离的最大，直接求解即可． 【详解】（1）①∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②设与交于点F， 由①知，， ∴， ∵， ， ∴， 故答案为：； （2）如下图，在和中，设与交于点； ∵∠，， ∴； ∵， 即， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，． （3）①如下图所示，当直线经过点B且点C在线段上时； 在中，，； 过点O作的垂线，垂足为； ∴； ∵； ∴； ∴，； 在中，由勾股定理得； ； ∴； ∵； ∴； 即； ②如下图所示，∵，； ∴点M的轨迹是圆弧，即点M在圆P上运动，且； 要想求出点到直线的最大值，动点距离直线越远越好， 从下图可以看出，点的轨迹也是圆，点运动极限位置取决于的最大值； ∵，； ∴的最大值取得当且仅当时； 即在中； ； ∴； 过点作的垂线，垂足为； ∴； 即线段即为所求； 在中； ； ∵； ∴； ∵； ∴； ； ∴； ∴M点到直线距离的最大值为． 【点睛】本题主要考查等腰背景下全等三角形的判定和性质综合，特殊直角三角形为背景的相似三角形的判定和性质综合，利用特殊角的三角函数解三角形，圆轨迹动态下求线段的最值，熟练掌握手拉手模型证明三角形全等，数量掌握相似三角形的判定，特别是两边对应成比例，夹角相等类的，对于求点到直线最值类型要注意动点的轨迹寻找和影响最值的主要因素，进而综合判定求解是解题的关键． 3．（2023·重庆江北·一模）在等腰三角形中，．点E为上一点，连接．    (1)如图1，若，过点C作交BE延长线于点D，连接，过点A作交于点F，连接，求证：； (2)如图2，过A作交延长线于点D，将绕着点A逆时针旋转至，连接，使得于点G，与交于点M，若点M为的中点，且，猜想线段与之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，若，，将沿着翻折得到，点落在BE延长线上，交于点P，点Q、R分别是射线、上的点，连接、、，满足，当取得最大值时，直接写出的最小值的平方． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）利用边角条件证明，得到与的关系，再利用直角三角形三边勾股定理得到； （2）通过和点M为的中点得到，再通过计算角度和边长关系得到，得到，然后计算角度得到，得到，最后转换边长得到； （3）利用四点共圆找到最大位置，求出点P位置，构造相似找出Q、R的位置及关系，找到的线段，利用动点Q得到的最值位置，最后利用特殊角构造直角三角形求解即可． 【详解】（1）证明：，， ，， ，， 又∵， ， ，， 又， ， ， ∴， ∴； （2）解：， 证明：连接，   ，， ， 设， ， ，， 又，， ，， 又，， ， ，， ∵， ， ， ， ，， ， ， ，， ； （3）解：由沿翻折至， 可知，， ∴A、P、C、B四点共圆，圆心为外心，   最大时为直径， 又，，， 得为等边三角形， ，，， 在上取，作，连接，使，   ，得， 在、射线上取，连接， 由得， ，， ，， 即点为条件中的点， ， ， 又， ， ， ， ， 当H、Q、P三点共线时，的最小值为， ，，， 作交延长线于点，   ，，， 中，， 最小时平方的值为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，圆周角定理，涉及内容较多，难度非常大，且题中的三个小问没有任何关联，在解题时按照常规思路寻找全等和角度关系能够解决大部分问题，构造相似时须找准特殊位置进行构造，对全等和相似的灵活综合应用是解题的关键． （建议用时：35分钟） 1．（2024·河南·中考真题）如图，在中，对角线，相交于点O，点E为的中点，交于点F．若，则的长为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识，利用平行四边形的性质、线段中点定义可得出，证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解∶∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 故选：B． 2．（2024·辽宁·中考真题）如图，，与相交于点，且与的面积比是，若，则的长为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，把握相似三角形面积比等于相似比的平方是解题的关键． 可得，再根据相似三角形面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：12． 3．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图1，在矩形中，点为边上不与端点重合的一动点，点是对角线上一点，连接，交于点，且． 【模型建立】 （1）求证：； 【模型应用】 （2）若，，，求的长； 【模型迁移】 （3）如图2，若矩形是正方形，，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查矩形的性质，正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，构造相似三角形，是解题的关键： （1）根据矩形的性质，结合同角的余角，求出，即可得证； （2）延长交于点，证明，得到，再证明，求出的长，进而求出的长； （3）设正方形的边长为，延长交于点，证明，得到，进而得到，勾股定理求出，进而求出的长，即可得出结果． 【详解】解：（1）∵矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）延长交于点， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）设正方形的边长为，则：， 延长交于点， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．（2023·河南周口·三模）（1）问题发现：如图1，在中，，将边绕点C顺时针旋转得到线段，在射线上取点D，使得，线段与的数量关系是______； （2）类比探究：如图2，若，作，且，其他条件不变，写出变化后线段与的数量关系，并给出证明； （3）拓展延伸：如图3，正方形的边长为6，点E是边上一点，且，把线段逆时针旋转得到线段，连接，直接写出线段的长． 【答案】（1）；（2），证明见解析；（3） 【分析】（1）结合“一线三等角”推出，从而证得结论即可； （2）利用条件证明，然后根据相似三角形的性质证明即可； （3）作延长线于点，过点作，交于点，交于点，结合“一线三垂直”证明，从而利用全等三角形的性质求出和，最后利用勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：∵将边绕点C顺时针旋转得到线段， ∴， ∵，， ∴． 在和中， ∴， ∴． 故答案为： （2）． 证明：同（1）可得，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）如图所示，作延长线于点，过点作，交于点，交于点， 则，，， 由（1）同理可证，， ∴，， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，掌握一线三等角全等和相似模型，并熟练运用是解题关键． 5．（2025·河南郑州·一模）【感知特例】 （1）如图，点，在直线上，，，垂足分别为，，点在线段上，且，垂足为．结论： 请将下列证明过程补充完整 证明：，，， ， ， ______， ______ ______，同角的余角相等 ______，两角分别相等的两个三角形相似 ______ ______，相似三角形的对应边成比例 即． 【建构模型】 （2）如图，点，在直线上，点在线段上，且．结论仍成立吗？请说明理由． 【解决问题】 （3）如图，在中，，，点和点分别是线段，上的动点，始终满足．设长为，当 ______时，有最大值是______． 【答案】（1）；；；；（2）成立；理由见解析；（3） 【分析】（1）先根据余角性质证明，再根据两角分别相等的两个三角形相似证明，得出，即可得出答案； （2）先证明，再根据两角分别相等的两个三角形相似证明，得出，即可得出答案； （3）先根据等腰三角形性质得出，证明，得出，即，求出，然后根据二次函数性质求最大值即可． 【详解】证明：，，， ， ， ， ，同角的余角相等 ∴，两角分别相等的两个三角形相似 ，相似三角形的对应边成比例 即． 故答案为：；；；； （2）成立，理由如下： ∵， 又， ∴， ∴， ， 即． （3）∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵长为，则， ∴， 解得： ， ∵， ∴当时，有最大值． 故答案为：4，． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，二次函数最值，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法． 6．（2025·山西朔州·一模）综合与实践 数学课上，白老师提出如下问题：如图和均为等腰直角三角形，点分别在线段上，且．若为的中点，求的值． 数学思考： （1）解答白老师的问题． 深入探究： （2）白老师让同学们绕点逆时针旋转，旋转角度为，并让同学们提出新的问题． ①“善思小组”提出问题：如图2，研究发现点在以点为圆心，的长为半径的圆上运动，当与相切时，求的值． ②“智慧小组”提出问题：如图3，当绕点旋转时，所在直线与所在直线之间的夹角是否发生变化？若不变，请直接写出该夹角（锐角）的度数；若变化，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）所在直线与所在直线之间的夹角不发生变化，为； 【分析】（1）证明，，可得； （2）①由是的切线，可得，可得，再进一步可得答案； ②如图，延长交于，交于，证明，，可得，再进一步解答即可． 【详解】解：（1）∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）①∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②所在直线与所在直线之间的夹角不发生变化，为，理由如下： 如图，延长交于，交于， ∵和都是等腰直角三角形，， ∴，， ∴，，，即， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴． 【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，切线的性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 15 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点02 相似三角形模型及其综合题综合训练 中考数学中《相似三角形模型及其综合题综合训练》部分主要考向分为五类： 一、K型相似 二、8字图相似 3、 A字图相似 4、 母子型相似 5、 手拉手相似 相似三角形的综合题中各种相似模型的掌握是解决对应压轴题的便捷方法，所以本专题是专门针对相似三角形模型压轴题的，对提高类型的学生可以自主训练。 考向一：K型相似 ①定义:一线三等角模型是指有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角锐角或钝角； ②识别一线三等角模型:在题目中，当看到三个等角(尤其是直角)的顶点在同一条直线上时，应想到一线三等角模型； ③利用一线三等角模型求解:通过一线三等角模型，可以构造出相似三角形，并利用相似三角形的性质来求解边长或角度。 1．（2024·广东广州·中考真题）如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：． 2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与实践：如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在中，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点．    (1)【观察感知】如图2，通过观察，线段与的数量关系是______； (2)【问题解决】如图3，连接并延长交的延长线于点，若，，求的面积； (3)【类比迁移】在(2)的条件下，连接交于点，则______； (4)【拓展延伸】在(2)的条件下，在直线上找点，使，请直接写出线段的长度． 3．（2024·湖北·中考真题）如图，矩形中，分别在上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上，的对称点为交于． (1)求证：． (2)若为中点，且，求长． (3)连接，若为中点，为中点，探究与大小关系并说明理由． 4．（2024·广东佛山·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，的顶点B、C在x轴上，A在y轴上，，直线）分别与x轴，y轴，线段，直线交于点E，F，P，Q． (1)当时，求证：． (2)探究线段之间的数量关系，并说明理由． (3)在x轴上是否存在点M，使得，且以点M、P、Q为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 考向二：8字图相似 ①定义:8字模型是指由两个三角形通过共享一条对角线或中线构成的图形结构，这条对角线或中线将两个三角形分为两个小的相似三角形； ②利用8字模型求解边长或角度:在8字模型中，可以通过相似三角形的性质来求解边长或角度； ③添加辅助线构造8字模型:题目中并未直接给出8字模型，但可以通过添加辅助线(如中线或高)来构造8字模型，从而简化问题。 1．（2024·安徽·模拟预测）如图，在四边形中，，点在边上，且，点在边上，且，连接，交于点． (1)求证：； (2)如图，若，求证：； (3)如图，若延长恰好经过点，求的值． 2．（2023·江苏南通·一模）正方形中，，点是对角线上的一动点，将沿翻折得到，直线交射线于点． (1)当时，求的度数用含的式子表示； (2)点在运动过程中，试探究的值是否发生变化？若不变，求出它的值若变化，请说明理由； (3)若，求的值． 3．（2025·重庆大渡口·模拟预测）如图，在中，对角线与相交于点，，过点作交于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 考向三：A字图相似 ①定义:A字模型是指由两个三角形共享一条边且这条边与两个三角形的另外两边分别构成相似三角形的一种图形结构； ②直接利用A字模型解题:根据相似三角形的判定定理，若两个三角形有两个对应的角相等，则它们相似，在A字模型中，通常可以通过平行线或给定的角来判定相似三角形； ③添加辅助线构造A字模型:当题目中未直接给出A字模型时，可以通过添加辅助线(如平行线或垂线)来构造A字模型，从而利用相似三角形的性质解题。 1．（2024·湖北·模拟预测）如图，将正方形沿直线折叠，使点的对应点落在边上，点C落在点N处，与交于点，折痕分别与边，交于点，，连接．若，则的值是 ． 2．（2025·陕西西安·二模）如图，为的直径，C为上一点，连接，过点C的直线与相切，与延长线交于点D，点F为上一点，且，连接并延长交射线于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 3．（2025·浙江宁波·一模）（1） 如图1， 在中， D是上一点，交于点G，则   （用图中已有线段表示） （2） 如图2，在中， M、N是上的两点， 且满足， 在上取一点D， 过点D作分别交 的延长线、于点 P、Q，求 的值： （3） 如图3， 在正方形中， 点E是上一点， 连接交于点F， 在上取一点 P， 使得， 若     求的长． 考向四：母子型相似 ①定义:母子模型是指一个大三角形内包含一个小2三角形，且这两个三角形在形状上相似的一种图形结构 ②”识别母子模型:在题目中，当看到一个大三角形内包含一个小三角形，且这两个三角形的形状相似时，应想到母子模型； ③利用母子模型求解:通过母子模型，可以构造出相似三角形，并利用相似三角形的性质来求解边长角度或面积。 1．（2024·四川广元·中考真题）数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图1）产生了如下问题，请同学们帮他解决． 在中，点为边上一点，连接． (1)初步探究 如图2，若，求证：； (2)尝试应用 如图3，在（1）的条件下，若点为中点，，求的长； (3)创新提升 如图4，点为中点，连接，若，，，求的长． 2．（2024·四川眉山·中考真题）如图，是的直径，点在上，点在的延长线上，，平分交于点，连结． (1)求证：是的切线； (2)当时，求的长． 3．（2024·江苏泰州·二模）已知：如图1，是的内接三角形，且，点是弧上一动点，连接交弦于点，点在弦上，且．    (1)求证：； (2)如图2，若是的直径，，，求直径的长； (3)如图3，保持点位置不变，调整点的位置使得直线经过圆心，点在上，使得成立的所有点中，有一个点的位置始终不变，试找出这个点，并说明理由． 考向五：手拉手相似 ①定义:手拉手模型是指两个相似的三角形通过旋转、平移或翻折等方式连接在一起的一种图形结构； ②识别手拉手模型:在题目中，当看到两个相似的三角形通过某种方式连接在一起时，应想到手拉手模型； ③利用手拉手模型求解:通过手拉手模型，可以构造出相似三角形，并利用相似三角形的性质以及旋转、平移或翻折等几何变换来求解边长、角度或面积。 1．（2024·河南新乡·三模）（1）【观察发现】如图（1），在，点D是边的中点，延长BA到点E，使，连接，可得与的数量关系是______，位置关系是______． （2）【探究迁移】如图（2），在中，，，点为平面内一点，将线段绕点E顺时针旋转90°得到线段，连接，，点为的中点，连接、，试判断和的数量关系，并说明理由． （3）【拓展应用】在（2）的条件下，若，，当时，请直接写出的长． 2．（23-24九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）1.问题发现 图（1），在和中，，，，连接，交于点M. ①的值为______；②的度数为_______． （2）类比探究 图（2），在和中，，，连接，交的延长线于点M，请计算的值及的度数； （3）拓展延伸 在（2）的条件下，若，，将绕点O在平面内旋转一周． ①当直线经过点B且点C在线段上时，求的长； ②请直接写出运动过程中M点到直线距离的最大值． 3．（2023·重庆江北·一模）在等腰三角形中，．点E为上一点，连接．    (1)如图1，若，过点C作交BE延长线于点D，连接，过点A作交于点F，连接，求证：； (2)如图2，过A作交延长线于点D，将绕着点A逆时针旋转至，连接，使得于点G，与交于点M，若点M为的中点，且，猜想线段与之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，若，，将沿着翻折得到，点落在BE延长线上，交于点P，点Q、R分别是射线、上的点，连接、、，满足，当取得最大值时，直接写出的最小值的平方． （建议用时：35分钟） 1．（2024·河南·中考真题）如图，在中，对角线，相交于点O，点E为的中点，交于点F．若，则的长为（    ） A． B．1 C． D．2 2．（2024·辽宁·中考真题）如图，，与相交于点，且与的面积比是，若，则的长为 ． 3．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图1，在矩形中，点为边上不与端点重合的一动点，点是对角线上一点，连接，交于点，且． 【模型建立】 （1）求证：； 【模型应用】 （2）若，，，求的长； 【模型迁移】 （3）如图2，若矩形是正方形，，求的值． 4．（2023·河南周口·三模）（1）问题发现：如图1，在中，，将边绕点C顺时针旋转得到线段，在射线上取点D，使得，线段与的数量关系是______； （2）类比探究：如图2，若，作，且，其他条件不变，写出变化后线段与的数量关系，并给出证明； （3）拓展延伸：如图3，正方形的边长为6，点E是边上一点，且，把线段逆时针旋转得到线段，连接，直接写出线段的长． 5．（2025·河南郑州·一模）【感知特例】 （1）如图，点，在直线上，，，垂足分别为，，点在线段上，且，垂足为．结论： 请将下列证明过程补充完整 证明：，，， ， ， ______， ______ ______，同角的余角相等 ______，两角分别相等的两个三角形相似 ______ ______，相似三角形的对应边成比例 即． 【建构模型】 （2）如图，点，在直线上，点在线段上，且．结论仍成立吗？请说明理由． 【解决问题】 （3）如图，在中，，，点和点分别是线段，上的动点，始终满足．设长为，当 ______时，有最大值是______． 6．（2025·山西朔州·一模）综合与实践 数学课上，白老师提出如下问题：如图和均为等腰直角三角形，点分别在线段上，且．若为的中点，求的值． 数学思考： （1）解答白老师的问题． 深入探究： （2）白老师让同学们绕点逆时针旋转，旋转角度为，并让同学们提出新的问题． ①“善思小组”提出问题：如图2，研究发现点在以点为圆心，的长为半径的圆上运动，当与相切时，求的值． ②“智慧小组”提出问题：如图3，当绕点旋转时，所在直线与所在直线之间的夹角是否发生变化？若不变，请直接写出该夹角（锐角）的度数；若变化，请说明理由． 15 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$