重难点01 二次函数模型及其综合题综合训练（9大题型+高分技法+限时提升练）-2025年中考数学【热点·重点·难点】专练（全国通用）

重难点01 二次函数模型及其综合题综合训练 中考数学中《二次函数与几何图形的综合练习》部分主要考向分为九类： 一、二次函数与几何变换的综合 二、二次函数与直角三角形的综合 三、二次函数与等腰三角形的综合 四、二次函数与相似三角形的综合 五、二次函数与四边形的综合 六、二次函数与最值的综合 七、二次函数与新定义的综合 八、二次函数与圆的综合 九、二次函数与角的综合 因为二次函数是大多数中考压轴题的几何背景，所以，训练二次函数与其他几何图形的综合问题非常必要，只要自己见过一定量的题型，才能再遇到对应类型的压轴题时不至于新生畏惧。所以，本专题就常见的中考数学中二次函数的几种结合类型的压轴题进行训练，希望大家在训练中摸索方法，掌握技能，练就心态！ 。 考向一：二次函数与几何变换的综合 1. 平移 2. 轴对称 1．（2024·广东佛山·一模）已知抛物线：与抛物线关于原点对称，和的顶点分别是E． (1)若，直接写出抛物线的解析式： ； (2)如图1，若，点P是x轴上一个动点，过P作x轴的垂线交于A点，交于B点，求的最小长度（用含k的式子表示）． (3)如图2，若两条抛物线和相交于G，H，当四边形是矩形时，求k的值． 2．（2025·山东济南·一模）如图1，已知抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点，其对称轴为直线，顶点为D，将抛物线绕点O旋转后得到新抛物线，抛物线与y轴交于点E，对称轴为直线与x轴在对称轴左侧的交点为F． (1)试求抛物线和抛物线的解析式； (2)在图1中，点P的坐标为，动点M在直线上，过点M作轴与直线交于点N，连接，求的最小值； (3)如图2，将直线沿y轴平移，交y轴于点Q，当点Q在线段上运动（包括端点），的面积为正整数时，恰好直线与抛物线或抛物线交点的横、纵坐标均为整数，请直接写出此时点Q的坐标为 ． 3．（2023·四川资阳·模拟预测）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点，且抛物线的顶点的坐标为，连接，拋物线的对称轴与交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上，两点之间的部分（不包含，两点），是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图②，将拋物线在上方的图象沿折叠后与轴交于点，求点的坐标． 4．（2021·陕西西安·二模）如图，抛物线：与抛物线：关于y轴对称，与x轴交于A，B两点，其中点A在点B的左侧． （1）求抛物线，的函数表达式． （2）在抛物线上是否存在一点N，在抛物线上是否存在一点M，使得以为边，且以A、B、M、N四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出M、N两点的坐标；若不存在，请说明理由． 考向三：二次函数与直角三角形的综合 1.设交点式求二次函数解析式:通过设定交点式可以求解二次函数的解析式; 2.直角三角形存在性问题--直角顶点的轨迹:当两条直线相交形成一个直角时，直角顶点的轨迹是一个圆(除端点); 3.角度等式(直角)转化为线段等式的常规套路:通过构造一线三直角内M模型，或者构造直角三角形相似，获得线段比例式; 4.角度等式(直角)转化为线段等式的特殊套路:利用特殊角30°、45°、60°，以及特殊直角三角形的三边关系，获得线段等式. 1．（2023·湖南益阳·中考真题）在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与抛物线交于B，C两点（B在C的左边）．    (1)求A点的坐标； (2)如图1，若B点关于x轴的对称点为点，当以点A，，C为顶点的三角形是直角三角形时，求实数a的值； (3)定义：将平面直角坐标系中横坐标与纵坐标均为整数的点叫作格点，如，等均为格点．如图2，直线l与抛物线E所围成的封闭图形即阴影部分（不包含边界）中的格点数恰好是26个，求a的取值范围． 2．（2024·山东淄博·模拟预测）如图，已知二次函数经过，两点，轴于点，且点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)点是线段上一动点（不与，重合），过点作轴的垂线，交抛物线于点，当线段的长度最大时，求点的坐标及； (3)点是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的点，使成为直角三角形？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2024九年级上·吉林·专题练习）如图，已知抛物线与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作轴于点F，交直线于点E，连接，直线能否把分成面积之比为的两部分？若能，请求出点D的坐标；若不能，请说明理由． (3)若M为抛物线对称轴上一动点，使得为直角三角形，请直接写出点M的坐标． 4．（2024·湖南·模拟预测）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的表达式． (2)点是抛物线上位于线段下方的一个动点，连接，，求面积最大时点的坐标； (3)在抛物线上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由． 考向四：二次函数与等腰三角形的综合 (1)几何法三步法：①假设结论成立；②找点，当所给的定长未说明是等腰三角形的底还是腰时，需分情况讨论;③散计算：在求点的坐标时，大多时候利用相似三角形求解，如果图中没有相似三角形，也可以通过添加辅助线构造相似三角形，有时也可以利用勾股定理进行求解； (2)代数法三步：①罗列三边；②分类列方程；③解方程求解后检验. 1．（2024·四川达州·中考真题）如图1，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．点是抛物线的顶点．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，，直线交抛物线的对称轴于点，若点是直线上方抛物线上一点，且，求点的坐标； (3)若点是抛物线对称轴上位于点上方的一动点，是否存在以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2023·青海·中考真题）如图，二次函数的图象与轴相交于点和点，交轴于点．    (1)求此二次函数的解析式； (2)设二次函数图象的顶点为，对称轴与轴交于点，求四边形的面积（请在图1中探索）； (3)二次函数图象的对称轴上是否存在点，使得是以为底边的等腰三角形？若存在，请求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由（请在图中探索）． 3．（2022·广西河池·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线L1：y＝ax2+2x+b与x轴交于两点A，B（3，0），与y轴交于点C（0，3）． (1)求抛物线L1的函数解析式，并直接写出顶点D的坐标； (2)如图，连接BD，若点E在线段BD上运动（不与B，D重合），过点E作EF⊥x轴于点F，设EF＝m，问：当m为何值时，△BFE与△DEC的面积之和最小； (3)若将抛物线L1绕点B旋转180°得抛物线L2，其中C，D两点的对称点分别记作M，N．问：在抛物线L2的对称轴上是否存在点P，使得以B，M，P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（2024·山东青岛·一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于点，，交轴于点，在轴上有一点，连接． (1)求二次函数的表达式； (2)若点为抛物线在轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)抛物线对称轴上是否存在点，使为以为底的等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标即可；若不存在，请说明理由． 考向五：二次函数与相似三角形的综合 ①设定动点的坐标，并表示与该动点相关的其他点坐标。 ②注意到分类讨论的重要性，确保问题的全面性。 ③表示对应边成比例，这是相似三角形的基本性质。 ④通过等量关系解方程，注意舍去不符合题意的解 1．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过原点和点．经过点的直线与该二次函数图象交于点，与轴交于点． (1)求二次函数的解析式及点的坐标； (2)点是二次函数图象上的一个动点，当点在直线上方时，过点作轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为． ①为何值时线段的长度最大，并求出最大值； ②是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2023·四川资阳·中考真题）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线经过A、B两点．    (1)求抛物线的表达式； (2)点D是抛物线在第二象限内的点，过点D作x轴的平行线与直线交于点C，求的长的最大值； (3)点Q是线段上的动点，点P是抛物线在第一象限内的动点，连结交y轴于点N．是否存在点P，使与相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 考向六：二次函数与四边形的综合 二次函数的综合题中在第二三小问比较常考到四边形的问题，这类题目主要考察两种题型:1.四边形的面积最值问题2.特殊平行四边形的存在性问题，这类包括平行四边形，矩形菱形等。解决这类问题的基本步骤： 1.四边形面积最值问题的处理方法:核心步骤对于普通四边形要转化成两个三角形进行研究 然后用求三角形面积最值问题的方法来求解 2对于特殊平行四边形问题要先分类，(按照边和对角线进行分类) 3.画图，(画出大致的平行四边形的样子，抓住目标点坐标) 4.计算(利用平行四边形的性质以及全等三角形的性质)；①全等三角形抓住对应边对应角的相等 ②在利用点坐标进行长度的表示时要利用两点间距离公式③平行四边形的对应边相等列相关的等式 ④利用平行四边形的对角线的交点从而找出四个点坐标之间的关系（中点公式） ❊处理矩形萎形的方法与平行四边形方法类似 1．（2024·黑龙江绥化·中考真题）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线相交于，两点，其中点，． (1)求该抛物线的函数解析式． (2)过点作轴交抛物线于点，连接，在抛物线上是否存在点使．若存在，请求出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由．（提示：依题意补全图形，并解答） (3)将该抛物线向左平移个单位长度得到，平移后的抛物线与原抛物线相交于点，点为原抛物线对称轴上的一点，是平面直角坐标系内的一点，当以点、、、为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点F的坐标． 2．（2025·陕西西安·一模）如图，抛物线的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C，直线l与抛物线交于点B，交y轴于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若抛物线的顶点为P，求的面积； (3)点M为y轴右侧抛物线上一动点，过点M作直线交直线l于点N，是否存在点M，使以A，C，M，N四点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2024·山西·模拟预测）综合与探究 如图1，抛物线的图象是一条抛物线，图象与x轴交于点A和点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，点P为直线下方抛物线上的点，过点P作轴交于点M，求的最大值及此时点P的坐标； (3)如图3，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点D，坐标平面内有一点E，使得以点B，C，D，E为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有满足条件的点E的坐标． 考向七：二次函数与最值的综合 二次函数中最值问题常以几何最值模型为主，常见的是将军饮马，胡不归，阿氏圆等。想要在考试中轻松拿下，要掌握下面四种实用方法： ①补形割形法。这种方法特别适合处理与图形有关的最值问题，通过补形和割形来找到最优解。 ②铅垂高水平宽面积法。这个方法主要用于求面积的最大值，通过铅垂线和高水平宽来计算面积，轻松找到最大值。 ③切线法。对于求二次函数的最小值，切线法是个不错的选择。通过求切线与函数的交点，找到最小值的坐标。 ④三角函数法。这种方法适用于一些特殊的二次函数问题，通过三角函数的性质来求解最值 1．（2024·甘肃·中考真题）如图1，抛物线交x轴于O，两点，顶点为．点C为的中点． (1)求抛物线的表达式； (2)过点C作，垂足为H，交抛物线于点E．求线段的长． (3)点D为线段上一动点（O点除外），在右侧作平行四边形． ①如图2，当点F落在抛物线上时，求点F的坐标； ②如图3，连接，，求的最小值． 2．（2024·四川德阳·中考真题）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，求的函数值的取值范围； (3)将拋物线的顶点向下平移个单位长度得到点，点为抛物线的对称轴上一动点，求的最小值． 3．（2024·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点，与轴交于两点（在的左侧），连接． (1)求抛物线的表达式； (2)点是射线上方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交于点．点是线段上一动点，轴，垂足为，点为线段的中点，连接．当线段长度取得最大值时，求的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段长度取得最大值时的点，且与直线相交于另一点．点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 4．（2023·湖北黄石·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点．    (1)求此抛物线的解析式； (2)已知抛物线上有一点，其中，若，求的值； (3)若点D，E分别是线段，上的动点，且，求的最小值． 5．（2023·宁夏·中考真题）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线．    (1)直接写出点的坐标； (2)在对称轴上找一点，使的值最小．求点的坐标和的最小值； (3)第一象限内的抛物线上有一动点，过点作轴，垂足为，连接交于点．依题意补全图形，当的值最大时，求点的坐标． 考向七：二次函数与新定义的综合 读懂题干新定义部分(比其它题目要多读两遍)，做到看到新定义的名称后立刻知道实际的函数，否则每一步都要回头看定义。要在拿下这类题型，需要掌握下面的题型： ①非常熟悉一般式、顶点式、交点式，求函数解析式，求交点坐标； ②二次函数的性质：无论定义多么新颖，最终都需要转化为二次函数的开口方向、对称轴、顶点、交点等常规问题； ③定义新参数或新条件，多个参数：需明确主变量与从属关系，比如把a当作变量，b和c都当作常数。 ④复合型二次函数：根据区间分类，分段讨论绝对值的影响，结合图像对称性、交点个数等； ⑤二次函数根的分布:讨论开口方向、顶点与x轴位置关系，讨论判别式，讨论对称轴与根的位置关系等； ⑥动态参数问题：特殊值法，消元法或参数替换，结合函数性质分析； ⑦二次函数区间最值问题：根据对称轴分类讨论，根据二次函数性质(区间内的单调性)讨论最值； ⑧二次函数与定点定值，定轨迹：根据参数的不同，确定所过定点对称轴，顶点轨迹等，有助于画草图时更加确定抛物线的大致位置，把握抛物线的变化规律； ⑨二次函数与几何图形交点问题：找出抛物线图形变化规律，分类讨论，数形结合分析出边界值，解不等式。 1．（2023·内蒙古赤峰·中考真题）定义：在平面直角坐标系中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”．    (1)如图①，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形“梦之点”的是___________； (2)点是反比例函数图象上的一个“梦之点”，则该函数图象上的另一个“梦之点”H的坐标是___________，直线的解析式是___________．当时，x的取值范围是___________． (3)如图②，已知点A，B是抛物线上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点，连接，，，判断的形状，并说明理由． 2．（2024·辽宁·模拟预测）定义：， ，以长度为边在轴上方作等边三角形，当函数与在第一象限内有交点，称为“特别函数”． (1)如图，当时，一次函数是“特别函数”，求的取值范围； (2)如图，函数是“特别函数”，求的取值范围； (3)如图，在的条件下，函数与交于点，，求的值； (4)当时，函数最大值与最小值的差为，求的值． 3．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）【定义】 例如，如图1，过点A作交于点B，线段的长度称为点A到的垂直距离，过A作平行于y轴交于点C，的长就是点A到的竖直距离． 【探索】 当与x轴平行时，， 当与x轴不平行，且直线确定的时候，点到直线的垂直距离与点到直线的竖直距离存在一定的数量关系，当直线为 时，___________． 【应用】 如图2所示，公园有一斜坡草坪，其倾斜角为，该斜坡上有一棵小树（垂直于水平面），树高，现给该草坪洒水，已知小树的底端点A与喷水口点O的距，建立如图2所示的平面直角坐标系，在喷水过程中，水运行的路线是抛物线，且恰好经过小树的顶端点B，最远处落在草坪的C处， （1）___________． （2）如图3，现决定在山上种另一棵树（垂直于水平面），树的最高点不能超过喷水路线，为了加固树，沿斜坡垂直的方向加一根支架，求出的最大值． 【拓展】 （3）如图4，原有斜坡不变，通过改造喷水枪，使得喷出的水的路径近似可以看成圆弧，此时，圆弧与y轴相切于点O，若此时m，如图，种植一棵树（垂直于水平面），为了保证灌溉，请求出最高应为多少？ 4．（2024·辽宁锦州·二模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的点A、C分别在x轴、y轴上，点B在第一象限，且． 定义：在正方形的边上及内部且横纵坐标均为整数的点称为好点． (1)若一次函数的图象经过的好点最多，求此一次函数的表达式； (2)若反比例函数的图象正好经过点，求反比例函数图象上方和图象下方好点个数比； (3)二次函数的图象经过O、A两点，顶点为．若其图象与x轴围成的图形中，恰好有4个好点(不含边界)，求t的取值范围． 考向八：二次函数与圆的综合 解决二次函数与圆的综合问题的关键是找准函数与圆的结合点，弄清题目的本质，利用圆的基本性质和函数的性质、数形结合、方程思想、全等与相似，以便找到对应的解题途径常见的考法有： 1.直线与圆的位置关系: 平面直角坐标系中的直线与圆的位置关系问题关键是圆心到直线的距离等于半径的大小，常用的方法有:①利用圆心到直线的距离等于半径的大小这-数量关系列出关系式解决问题；②利用勾股定理解决问题；③利用相似列出比例式解决问题； 2.函数与圆的新定义题目:利用已掌握的知识和方法理解新定义，化生为熟； 3.函数与圆的性质综合类问题:利用几何性质，结合图形，找到问题中的“不变”关键因素嗖ゾ概入和“临界位置”。 1．（2024·安徽·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于，两点，，为抛物线顶点． (1)求，的值； (2)点为直线下方抛物线上一点，过点作轴，垂足为点，交于点，是否存在？若存在，求出此时点坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，以为圆心，2为半径作圆，为圆上任一点，求的最小值． 2．（2024·海南·中考真题）如图1，抛物线经过点、，交y轴于点，点P是抛物线上一动点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)当点P的坐标为时，求四边形的面积； (3)当时，求点P的坐标； (4)过点A、O、C的圆交抛物线于点E、F，如图2．连接，判断的形状，并说明理由． 3．（2024·湖南湘潭·一模）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接． (1)请你直接写出两点的坐标，并求直线的表达式． (2)如图②，点为直线上方抛物线上一动点，设点的横坐标为，以点为圆心的圆与直线相切，当的半径最大时，求的值． (3)设点是抛物线对称轴上任意一点，点是抛物线上任意一点．是否存在这样的点，使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 4．（2024·广东珠海·一模）如图， 抛物线 分别交轴于点（点在点的左侧）， 交轴于点． (1)求点和点的坐标； (2)以为圆心， 3 为半径作圆． ①如图1，连接是线段上的动点， 过点作的一条切线（点为切点）， 求线段的最小值； ②如图2，点为抛物线的顶点， 点在圆上，连接， 求的最大值． 考向九：二次函数与角的综合 角度问题涵盖的题型：1.角度相等问题2.角度的和差倍分关系3.特殊角问题4.非特殊角问题。面对二次函数与角度问题的挑战，掌握这些技巧，让你轻松应对： ① 利用45°角，通过角的和差关系，找到等角利用等角的三角比相等求解， ②发现等角后，构造等腰三角形，使用距离公式2求解； ③出现倍角时，作平行线构造等角或利用等腰三角形的三线合一定理； ④根据等角，构造相似三角形，利用线段之间的比緘嵫ウ轡席縵吕近关系求解； ⑤利用角的和差关系，以及角的外角性质，发现等角。 1．（2024·四川资阳·中考真题）已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于C点，且，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P是抛物线在第一象限内的一点，连接，过点P作轴于点D，交于点K．记，的面积分别为，，求的最大值； (3)如图2，连接，点E为线段的中点，过点E作交x轴于点F．抛物线上是否存在点Q，使？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 2．（2023·四川攀枝花·中考真题）如图，抛物线经过坐标原点，且顶点为．    (1)求抛物线的表达式； (2)设抛物线与轴正半轴的交点为，点位于抛物线上且在轴下方，连接、，若，求点的坐标． 3．（2023·辽宁锦州·模拟预测）综合与探究：如图1，已知抛物线与x轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图2，是下方的抛物线上的一个动点，且点的横坐标为，求面积与的函数关系式及的最大值； (3)在抛物线上是否存在一点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2023·湖北武汉·模拟预测）已知抛物线与轴交于A，两点，与轴交于点，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，已知点为第一象限内抛物线上的一点，点的坐标为，；求点的坐标； (3)如图2，将抛物线平移到以坐标原点为顶点，点在新抛物线上，过点作分别交新抛物线于，两点，求直线过定点的坐标． （建议用时：40分钟） 1．（2023·江苏南京·中考真题）已知二次函数（a为常数，． (1)若，求证：该函数的图象与x轴有两个公共点． (2)若，求证：当时，． (3)若该函数的图象与轴有两个公共点，，且，则的取值范围是． 2．（2024·山东烟台·中考真题）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，，对称轴为直线，将抛物线绕点旋转后得到新抛物线，抛物线与轴交于点，顶点为，对称轴为直线． (1)分别求抛物线和的表达式； (2)如图，点的坐标为，动点在直线上，过点作轴与直线交于点，连接，．求的最小值； (3)如图，点的坐标为，动点在抛物线上，试探究是否存在点，使？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2024·广东深圳·中考真题）为了测量抛物线的开口大小，某数学兴趣小组将两把含有刻度的直尺垂直放置，并分别以水平放置的直尺和竖直放置的直尺为x，y轴建立如图所示平面直角坐标系，该数学小组选择不同位置测量数据如下表所示，设的读数为x，读数为y，抛物线的顶点为C． (1)（Ⅰ）列表： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ x 0 2 3 4 5 6 y 0 1 2.25 4 6.25 9 （Ⅱ）描点：请将表格中的描在图2中； （Ⅲ）连线：请用平滑的曲线在图2将上述点连接，并求出y与x的关系式； (2)如图3所示，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为C，该数学兴趣小组用水平和竖直直尺测量其水平跨度为，竖直跨度为，且，，为了求出该抛物线的开口大小，该数学兴趣小组有如下两种方案，请选择其中一种方案，并完善过程： 方案一：将二次函数平移，使得顶点C与原点O重合，此时抛物线解析式为． ①此时点的坐标为________； ②将点坐标代入中，解得________；（用含m，n的式子表示） 方案二：设C点坐标为 ①此时点B的坐标为________； ②将点B坐标代入中解得________；（用含m，n的式子表示） (3)【应用】如图4，已知平面直角坐标系中有A，B两点，，且轴，二次函数和都经过A，B两点，且和的顶点P，Q距线段的距离之和为10，求a的值． 2 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点01 二次函数模型及其综合题综合训练 中考数学中《二次函数与几何图形的综合练习》部分主要考向分为九类： 一、二次函数与几何变换的综合 二、二次函数与直角三角形的综合 三、二次函数与等腰三角形的综合 四、二次函数与相似三角形的综合 五、二次函数与四边形的综合 六、二次函数与最值的综合 七、二次函数与新定义的综合 八、二次函数与圆的综合 九、二次函数与角的综合 因为二次函数是大多数中考压轴题的几何背景，所以，训练二次函数与其他几何图形的综合问题非常必要，只要自己见过一定量的题型，才能再遇到对应类型的压轴题时不至于新生畏惧。所以，本专题就常见的中考数学中二次函数的几种结合类型的压轴题进行训练，希望大家在训练中摸索方法，掌握技能，练就心态！ 。 考向一：二次函数与几何变换的综合 1. 平移 2. 轴对称 1．（2024·广东佛山·一模）已知抛物线：与抛物线关于原点对称，和的顶点分别是E． (1)若，直接写出抛物线的解析式： ； (2)如图1，若，点P是x轴上一个动点，过P作x轴的垂线交于A点，交于B点，求的最小长度（用含k的式子表示）． (3)如图2，若两条抛物线和相交于G，H，当四边形是矩形时，求k的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）将数字代入，化成顶点式，再根据对称得到顶点代入定点式即可得到答案； （2）根据（1）的原理得到解析式，设，， 表示出，根据二次函数的性质求解即可得到答案； （3）联立两条曲线，求出点的坐标得到点G和点H关于原点对称，结合抛物线对称得到四边形是平行四边形，结合当时四边形是矩形列式求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵：的顶点是， ∴的顶点为：， ∴的解析式为：， 故答案为：； （2）解：同理（1）可得， 的解析式为：， 设，， ∴， ∵， ∴当时，； （3）解：由得， ， ∴， ∴点G和点H关于原点对称， ∴， 同理可得， 和的顶点关于原点对称， ∴， ∴四边形是平行四边形， 当时， 四边形GHFE是矩形， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴或． 【点睛】本体考查二次函数的综合应用，解题的关键是根据对称求出另外一个抛物线的解析式，再结合特殊图形性质列等式． 2．（2025·山东济南·一模）如图1，已知抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点，其对称轴为直线，顶点为D，将抛物线绕点O旋转后得到新抛物线，抛物线与y轴交于点E，对称轴为直线与x轴在对称轴左侧的交点为F． (1)试求抛物线和抛物线的解析式； (2)在图1中，点P的坐标为，动点M在直线上，过点M作轴与直线交于点N，连接，求的最小值； (3)如图2，将直线沿y轴平移，交y轴于点Q，当点Q在线段上运动（包括端点），的面积为正整数时，恰好直线与抛物线或抛物线交点的横、纵坐标均为整数，请直接写出此时点Q的坐标为 ． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法可求出的解析式，可得点坐标，再根据关于原点对称的点的坐标特征可得抛物线的顶点坐标，进而即可求解； （2）连接，由解析式可得，对称轴为直线，进而可得，点关于轴对称，得到，可知当点三点共线时，可知最小，此时，利用勾股定理求出即可求解； （3）求出点坐标，可得直线的解析式为，设直线沿轴向上平移个单位长度，则所得直线解析式为，由得或 6 ；由得或 6 ，综上可得，据此即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，， ， ∴抛物线的解析式为， ， ∴顶点， ∵将抛物线绕点旋转后得到新抛物线， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的解析式为， 即； （2）解：连接， ∵，顶点坐标为， ∴，对称轴为直线， ∵轴，点在直线上，点在直线上， ∴，且点关于轴对称， ∴， ∴， 当点三点共线时，可知最小，此时， ， ∴的最小值为； （3）解：把代入得，， 解得：， ， 设直线的解析式为， 把代入得，， 解得：， ∴直线的解析式为， 设直线沿轴向上平移个单位长度，则所得直线解析式为， 由得，， 当直线与抛物线交点的横，纵坐标均为整数时，则是个完全平方数， ， 或； 由得， 当直线与抛物线交点的横，纵坐标均为整数时，则是个完全平方数， ∴或 6 ； 综上，， ∴点的坐标为， 当点的坐标为时，， ∵时，， ∴点在直线上， ，符合题意， 故答案为：． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数和一次函数解析式，二次函数的几何应用，轴对称的性质，关于原点对称的点的坐标特征，一次函数的平移，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键． 3．（2023·四川资阳·模拟预测）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点，且抛物线的顶点的坐标为，连接，拋物线的对称轴与交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上，两点之间的部分（不包含，两点），是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图②，将拋物线在上方的图象沿折叠后与轴交于点，求点的坐标． 【答案】(1) (2)存在， (3) 【分析】（1）利用二次函数的顶点式运算求解即可； （2）求出直线的解析式，过点作轴交对称轴于点，过点作轴交直线于点，分别表达出，，的坐标，再利用三角形面积公式列式运算即可； （3）设点关于直线的对称点为，利用折叠和等腰三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵拋物线的顶点的坐标为， ∴设抛物线的解析式为， ∵抛物线过点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）存在，理由如下： 由（1）知抛物线的解析式为， 令，则， ∴， 设直线的解析式为，代入和可得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵抛物线的对称轴与交于点， ∴把代入可得：， ∴， ∴， 过点作轴交对称轴于点，过点作轴交直线于点，如图所示： 设点G的坐标为，则，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 解得或（舍去）， ∴； （3）由（2）知，，又， ∴， 设点关于直线的对称点为，如图所示， 则，， ∵， ∴， ∴， 即是等腰直角三角形， ∴， 由抛物线的对称性可知，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题为二次函数综合题，考查了二次函数的图形性质，二次函数点的坐标特征，待定系数法求函数解析式，三角形面积，等腰三角形的判定及性质等知识点，熟悉掌握各知识点是解题的关键． 4．（2021·陕西西安·二模）如图，抛物线：与抛物线：关于y轴对称，与x轴交于A，B两点，其中点A在点B的左侧． （1）求抛物线，的函数表达式． （2）在抛物线上是否存在一点N，在抛物线上是否存在一点M，使得以为边，且以A、B、M、N四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出M、N两点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）：，：；（2）存在；M（3，-16），N（-3，-16）或M（-3，8），N（3，8）． 【分析】（1）根据题意C1与C2关于y轴对称，即C1与C2的形状，开口大小和开口方向，和最大值都一样，而对称轴互为相反数，即可得C1、C2的表达式； （2）令C1的纵坐标为0，可得A、B的横坐标，由AB中点坐标为（2，0），N在抛物线C1上，M在抛物线C2上，所以AB只能为平行四边形一边，由MN∥AB且MN=AB，可得MN=AB=6，设N（t，-t2+4t+5），M在x轴左半轴或在x轴右半轴，则M（t+6，-t2+4t+5）或（t-6，-t2+4t+5），当M（t-6，-t2+4t+5）时，由M、N纵坐标相等，可得t=3，即得M、N坐标，当M（t+6，-t2+4t+5）时，由M、N纵坐标相等，可得t=-3即得M、N坐标． 【详解】解：（1）∵C1、C2关于y轴对称， ∴C1与C2的交点一定在y轴上，且C1与C2的形状、大小均相同， ∴a=-1， ∴C2：y=ax2-4x+5，当x=0时，y=5， ∴C1：y=-x2+mx+n，当x=0时，y=n， ∴n=5， ∵a=-1， ∴C2的对称轴为x==-2， 故C1的对称轴为x==2， 得m=4，（对称轴关于y轴对称，则C1的对称轴为2）， ∴C1：y=-x2+4x+5，C2：y=-x2-4x+5； （2）∵AB的中点为（2，0），且点N在抛物线C1上，点M在抛物线C2上， ∴AB只能为平行四边形的一边， ∴MN∥AB且MN=AB， C1：y=-x2+4x+5， 令y=0，得x2-4x-5=0， 解得x1=5，x2=-1， ∴A（-1，0），B（5，0）， 则AB=5-（-1）=6， ∴MN=6， 设N（t，-t2+4t+5），则M（t+6，-t2+4t+5）或（t-6，-t2+4t+5）， ①当M（t+6，-t2+4t+5）时， 则-（t+6）2-4（t+6）+5=-t2+4t+5，解得t=-3， ∴-t2+4t+5=-16， ∴N（-3，-16），M（3，-16）； ②当M（t-6，-t2+4t+5）时， 则-（t-6）2-4（t-6）+5=-t2+4t+5，解得t=3， ∴-t2+4t+5=8， ∴N（3，8），M（-3，8）； 综上可知存在满足条件的点M、N，其坐标为M（3，-16），N（-3，-16）或M（-3，8），N（3，8）． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解本题的关键要熟练掌握二次函数的性质，平行四边形的性质，及解一元二次方程等 考向三：二次函数与直角三角形的综合 1.设交点式求二次函数解析式:通过设定交点式可以求解二次函数的解析式; 2.直角三角形存在性问题--直角顶点的轨迹:当两条直线相交形成一个直角时，直角顶点的轨迹是一个圆(除端点); 3.角度等式(直角)转化为线段等式的常规套路:通过构造一线三直角内M模型，或者构造直角三角形相似，获得线段比例式; 4.角度等式(直角)转化为线段等式的特殊套路:利用特殊角30°、45°、60°，以及特殊直角三角形的三边关系，获得线段等式. 1．（2023·湖南益阳·中考真题）在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与抛物线交于B，C两点（B在C的左边）．    (1)求A点的坐标； (2)如图1，若B点关于x轴的对称点为点，当以点A，，C为顶点的三角形是直角三角形时，求实数a的值； (3)定义：将平面直角坐标系中横坐标与纵坐标均为整数的点叫作格点，如，等均为格点．如图2，直线l与抛物线E所围成的封闭图形即阴影部分（不包含边界）中的格点数恰好是26个，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)或； (3)或． 【分析】（1）对于直线，令，求出x，即可求解； （2）表示出点，，的坐标，利用勾股定理解方程求解，注意直角顶点不确定，需分类讨论； （3）直线与抛物线所围成的封闭图形（不包含边界）中的格点只能落在轴和直线上，各为13个，分别求出的范围． 【详解】（1）解：对于直线， 当时，， ∴A点的坐标为； （2）解：联立直线与抛物线得： ， ， 或， ，， 点关于轴的对称点为点， ， ， ， ， 若，则，即，所以， 若，则，即，所以， 若，则，即，此方程无解． 或； （3）解：如图，直线与抛物线所围成的封闭图形（不包含边界）中的格点只能落在轴和直线上，   ，，， ， 格点数恰好是26个， 落在轴和直线上的格点数应各为13个， 落在轴的格点应满足，即， ①若，即， 所以线段上的格点应该为，，，， ②若，，，所以线段上的格点正好13个， 综上，或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及了二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，勾股定理，关键是弄清格点只能落在轴和直线上，各为13个，并对点、进行定位． 2．（2024·山东淄博·模拟预测）如图，已知二次函数经过，两点，轴于点，且点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)点是线段上一动点（不与，重合），过点作轴的垂线，交抛物线于点，当线段的长度最大时，求点的坐标及； (3)点是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的点，使成为直角三角形？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)二次函数的解析式为：； (2)； (3)存在，点的坐标为或或或 【分析】（1）先求出点坐标，再利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式，点，则，得出，利用二次函数求最值方法进一步求解即可； （3）根据题意，分三种情况点为直角顶点；点为直角顶点；点为直角顶点分别讨论求解即可． 【详解】（1）解：点，， ，， ， ，                                       把和代入二次函数中得： ， 解得：，                                   二次函数的解析式为：； （2）解：如图1， 直线经过点和， 设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为：，                    二次函数， 设点，则， ，       当时，的最大值为， 点的坐标为， ； （3）解：存在， ， 对称轴为直线，       设，分三种情况： 点为直角顶点时，由勾股定理得：， ， 解得：， ；                  点为直角顶点时，由勾股定理得：， ， 解得：， ；                            点为直角顶点时，由勾股定理得：， ， 解得：或， 或， 综上，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及的知识有：待定系数法求二次函数的解析式、求一次函数解析式、二次函数的图象与性质、勾股定理、解二元一次方程、解一元二次方程等知识，熟练掌握待定系数法和分类讨论的思想是解答本题的关键． 3．（2024九年级上·吉林·专题练习）如图，已知抛物线与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作轴于点F，交直线于点E，连接，直线能否把分成面积之比为的两部分？若能，请求出点D的坐标；若不能，请说明理由． (3)若M为抛物线对称轴上一动点，使得为直角三角形，请直接写出点M的坐标． 【答案】(1) (2)能．或 (3)，，， 【分析】（1）利用待定系数法求解可得； （2）利用待定系数法确定直线的解析式为，设，则，则，，利用三角形的面积公式进行讨论：当时，；当时，，从而可得到关于x的方程，然后解方程求出x就看得到对应的D点坐标； （3）先确定抛物线的对称轴，如图，设，利用两点间的距离公式得到，，，利用勾股定理的逆定理分类讨论：当时，为直角三角形，则；当时，为直角三角形，则；当时，为直角三角形，则，然后分别解关于t的方程，从而可得到满足条件的M点坐标． 【详解】（1）解：将代入， 得：，解得， 则抛物线解析式为； （2）解：能．设直线的解析式为， 把代入得，解得， 所以直线的解析式为， 设，则， ∴，， 当时，，即， 整理得， 解得（舍去），此时D点坐标为； 当时，，即， 整理得， 解得（舍去），此时D点坐标为； 综上所述，当点D的坐标为或时，直线把分成面积之比为的两部分； （3）解：抛物线的对称轴为直线，如图， 设， ∵， ∴， 当时，为直角三角形，，即， 解得，此时M点的坐标为； 当时，为直角三角形，，即， 解得，此时M点的坐标为； 当时，为直角三角形，，即， 解得，此时M点的坐标为或， 综上所述，满足条件的M点的坐标为，，，． 【点睛】本题是二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求直线和抛物线的解析式，会求抛物线与x轴的交点坐标；能运用勾股定理的逆定理判定直角三角形；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式；学会运用分类讨论的数学思想解决数学问题． 4．（2024·湖南·模拟预测）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的表达式． (2)点是抛物线上位于线段下方的一个动点，连接，，求面积最大时点的坐标； (3)在抛物线上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2)点的坐标为 (3)存在，满足条件的点的坐标为或或或 【分析】（1）利用抛物线的交点式直接代值求解即可得到答案； （2）过点作轴的垂线，交于，如图所示，由二次函数图象与性质，利用平面直角坐标系中三角形的面积求法得到 ，进而由二次函数最值的求法即可得到答案； （3）当为直角三角形时，分三种情况：①；②；③；如图所示，根据分类，由勾股定理列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于，两点， 设抛物线的交点式为，即抛物线的表达式为； （2）解：过点作轴的垂线，交于，如图所示： 由（1）知抛物线的表达式为， 抛物线与轴交于点， 设直线，将、代入得，解得， 直线， 点是抛物线上位于线段下方的一个动点， 设，则， ， ， 抛物线开口向下，当时，有最大值，此时点的坐标为； （3）解：存在， 当为直角三角形时，分三种情况：①；②；③；如图所示： 设， 、 ， 当时，即抛物线上的点（在第一象限，），由勾股定理可得，则，即，解得（舍去）或， ； 当时，即抛物线上的点（在第三象限，），由勾股定理可得，则，即，解得（舍去）或， ； 当时，即抛物线上的点，由勾股定理可得，则，即，解得（与重合，舍去）或（与重合，舍去）或或， 、； 综上所述，满足条件的点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法确定函数解析式、二次函数图象与性质、平面直角坐标系中求三角形面积、二次函数最值、二次函数与直角三角形综合、两点之间距离公式、解一元二次方程等知识，熟练掌握二次函数图象与性质、二次函数综合问题的解法是解决问题的关键． 考向四：二次函数与等腰三角形的综合 (1)几何法三步法：①假设结论成立；②找点，当所给的定长未说明是等腰三角形的底还是腰时，需分情况讨论;③散计算：在求点的坐标时，大多时候利用相似三角形求解，如果图中没有相似三角形，也可以通过添加辅助线构造相似三角形，有时也可以利用勾股定理进行求解； (2)代数法三步：①罗列三边；②分类列方程；③解方程求解后检验. 1．（2024·四川达州·中考真题）如图1，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．点是抛物线的顶点．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，，直线交抛物线的对称轴于点，若点是直线上方抛物线上一点，且，求点的坐标； (3)若点是抛物线对称轴上位于点上方的一动点，是否存在以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或； (3)或或或 【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）先求得的坐标，根据勾股定理的逆定理得出是等腰三角形，进而根据得出，连接，设交轴于点，则得出是等腰直角三角形，进而得出，则点与点重合时符合题意，，过点作交抛物线于点，得出直线的解析式为，联立抛物线解析式，即可求解； （3）勾股定理求得，根据等腰三角形的性质，分类讨论解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点和点， ∴ 解得： ∴抛物线的解析式为； （2）由，当时，，则 ∵，则，对称轴为直线 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴直线的解析式为， 当时，，则 ∴ ∴ ∴是等腰三角形， ∴ 连接，设交轴于点，则 ∴是等腰直角三角形， ∴，， 又 ∴ ∴ ∴点与点重合时符合题意， 如图所示，过点作交抛物线于点， 设直线的解析式为，将代入得， 解得： ∴直线的解析式为 联立 解得：， ∴ 综上所述，或； （3）解：∵，， ∴ ∵点是抛物线对称轴上位于点上方的一动点，设其中 ∴， ①当时，，解得：或 ②当时，，解得： ③当时，，解得：或（舍去） 综上所述，或或或． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求解析式，面积问题，特殊三角形问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 2．（2023·青海·中考真题）如图，二次函数的图象与轴相交于点和点，交轴于点．    (1)求此二次函数的解析式； (2)设二次函数图象的顶点为，对称轴与轴交于点，求四边形的面积（请在图1中探索）； (3)二次函数图象的对称轴上是否存在点，使得是以为底边的等腰三角形？若存在，请求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由（请在图中探索）． 【答案】(1)； (2)； (3)， 【分析】（1）将，两点坐标代入抛物线的解析式，进一步求解得出结果； （2）连接，将二次函数的解析式配方求得顶点的坐标，邻求得的坐标，从而求得，，的长，再根据求得结果； （3）设，，表示出和，根据列出方程求得的值，进而求得结果． 【详解】（1）解：由题意得， ， ∴， ∴； （2）解：如图，连接，    ∵， ∴， ∴，， 由得，， ∴， ∴； （3）解：设，， ∵， ∴， 由得， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，等腰三角形的判定，勾股定理等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 3．（2022·广西河池·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线L1：y＝ax2+2x+b与x轴交于两点A，B（3，0），与y轴交于点C（0，3）． (1)求抛物线L1的函数解析式，并直接写出顶点D的坐标； (2)如图，连接BD，若点E在线段BD上运动（不与B，D重合），过点E作EF⊥x轴于点F，设EF＝m，问：当m为何值时，△BFE与△DEC的面积之和最小； (3)若将抛物线L1绕点B旋转180°得抛物线L2，其中C，D两点的对称点分别记作M，N．问：在抛物线L2的对称轴上是否存在点P，使得以B，M，P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，抛物线顶点 (2)时，△BFE与△DEC的面积之和最小 (3) 【分析】（1）利用待定系数法求出a，b的值即可； （2）如图1中，连接BC，过点C作CH⊥BD于点H．设抛物线的对称轴交x轴于点T．首先证明∠DCB=90°，利用面积法求出CH，构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题； （3）如图2中，由题意抛物线L2的对称轴x=5，M（6，-3）．设P（5，m），分三种情形：当BP=BM时，当PB=PM时，当BM=PM时，分别构建方程求解即可． 【详解】（1）解：∵y＝ax2+2x+b与x轴交于两点A，B（3，0），与y轴交于点C（0，3）， ， ∴， 抛物线的解析式为； 由 抛物线顶点； （2）如图1中，连接BC，过点C作CH⊥ BD于点H．设抛物线的对称轴交x轴于点T． ， ， ， ， ， ， 轴， 轴， ， ， ， ， 与 的面积之和 ， S有最小值，最小值为，此时， 时，△BFE与△DEC的面积之和有最小值． （3）存在，如图2， ，，的对称轴为直线， 将抛物线L1绕点B旋转180°得抛物线L2，其中C，D两点的对称点分别记作M，N． 抛物线的对称轴为直线， 设 ， 当 时， ， ， ， 当 时， ， 解得， ， ， 当 时， ， 解得， ， 综上所述，满足条件的的坐标为 ． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质，等腰三角形的判定和性质，中心对称变换等知识，解题的关键是学会根据二次函数解决最值问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 4．（2024·山东青岛·一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于点，，交轴于点，在轴上有一点，连接． (1)求二次函数的表达式； (2)若点为抛物线在轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)抛物线对称轴上是否存在点，使为以为底的等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标即可；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2)面积的最大值为，此时D点坐标为 (3)存在，点P的坐标为 【分析】此题考查二次函数的图象与性质，用待定系数法求函数表达式，等腰三角形的判定等知识，数形结合与分类讨论数学思想是解题的关键． （1）直接用待定系数法求解即可； （2）可求得直线的表达式为过点D作 轴于点G， 交于点F， 设则所以，则 ，即可求得面积的最大值是； （3）先求得抛物线的对称轴为直线设，再根据为等腰三角形，且以为底边，利用坐标两点距离公式列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ， ， 解得 ∴二次函数的表达式为． （2）解：设直线的表达式为则 解得 ∴直线的表达式为 如图1，过点D作轴于点G，交于点F， 设则 ， ， ， ∴当时， ， 此时，， 面积的最大值是，此时D点坐标为； （3）解：存在，理由如下： ， ∴抛物线的对称轴为直线， 设， 为等腰三角形，且以为底边， ， ，， 解得， ． 考向五：二次函数与相似三角形的综合 ①设定动点的坐标，并表示与该动点相关的其他点坐标。 ②注意到分类讨论的重要性，确保问题的全面性。 ③表示对应边成比例，这是相似三角形的基本性质。 ④通过等量关系解方程，注意舍去不符合题意的解 1．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过原点和点．经过点的直线与该二次函数图象交于点，与轴交于点． (1)求二次函数的解析式及点的坐标； (2)点是二次函数图象上的一个动点，当点在直线上方时，过点作轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为． ①为何值时线段的长度最大，并求出最大值； ②是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①当时，有最大值为；②当P的坐标为或时，与相似 【分析】（1）把，，代入求解即可，利用待定系数法求出直线解析式，然后令，求出y，即可求出C的坐标； （2）①根据P、D的坐标求出，然后根据二次函数的性质求解即可； ②先利用等边对等角，平行线的判定与性质等求出，然后分，两种情况讨论过，利用相似三角形的性质、等腰三角形的判定与性质等求解即可． 【详解】（1）解：把，，代入， 得， 解得， ∴二次函数的解析式为， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴直线解析式为， 当时，， ∴； （2）解：①设，则， ∴ ， ∴当时，有最大值为； ②∵，， ∴， 又， ∴， 又轴， ∴轴， ∴， 当时，如图， ∴， ∴轴， ∴P的纵坐标为3， 把代入，得， 解得，， ∴， ∴， ∴P的坐标为； 当时，如图，过B作于F， 则，， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴P的坐标为 综上，当P的坐标为或时，与相似． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数、一次函数解析式，二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，合理分类讨论是解题的关键． 2．（2023·四川资阳·中考真题）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线经过A、B两点．    (1)求抛物线的表达式； (2)点D是抛物线在第二象限内的点，过点D作x轴的平行线与直线交于点C，求的长的最大值； (3)点Q是线段上的动点，点P是抛物线在第一象限内的动点，连结交y轴于点N．是否存在点P，使与相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)当时，的长的最大值为4 (3)点P的坐标为或 【分析】（1）首先求得A、B点的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式； （2）设，则，进而表示出CD的长；接下来用含m的二次函数表示S，根据二次函数的性质，即可解答； （3）分两种情况：①当△时，②当时，分别求解即可． 【详解】（1）直线与x轴、y轴分别交于A、B两点， ，， 抛物线经过A、B两点． ， 解得， ； （2）设， 作x轴，与直线交于点C， ，解得， ， 当时，的长的最大值为4； （3）设， ，， ， 分两种情况： ①当时，    ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 或3（舍去）， ， ，， 设直线的解析式为， 解得， 直线PQ的解析式为， 联立解得或（不合题意，舍去） 点P的坐标为； ②当时，过点Q作于H，    ， ，， ， ， ， ∴， ∴， 设，则，， ，解得， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ，， 同理得直线的解析式为， 联立解得或（不合题意，舍去） 点P的坐标为； 综上，点P的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，勾股定理，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等等，解题的关键是利用方程的思想和函数的思想方法解决问题，利用相似三角形的判定得出关于m的方程是解题关键，解（3）的关键是分和两种情况讨论求解． 考向六：二次函数与四边形的综合 二次函数的综合题中在第二三小问比较常考到四边形的问题，这类题目主要考察两种题型:1.四边形的面积最值问题2.特殊平行四边形的存在性问题，这类包括平行四边形，矩形菱形等。解决这类问题的基本步骤： 1.四边形面积最值问题的处理方法:核心步骤对于普通四边形要转化成两个三角形进行研究 然后用求三角形面积最值问题的方法来求解 2对于特殊平行四边形问题要先分类，(按照边和对角线进行分类) 3.画图，(画出大致的平行四边形的样子，抓住目标点坐标) 4.计算(利用平行四边形的性质以及全等三角形的性质)；①全等三角形抓住对应边对应角的相等 ②在利用点坐标进行长度的表示时要利用两点间距离公式③平行四边形的对应边相等列相关的等式 ④利用平行四边形的对角线的交点从而找出四个点坐标之间的关系（中点公式） ❊处理矩形萎形的方法与平行四边形方法类似 1．（2024·黑龙江绥化·中考真题）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线相交于，两点，其中点，． (1)求该抛物线的函数解析式． (2)过点作轴交抛物线于点，连接，在抛物线上是否存在点使．若存在，请求出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由．（提示：依题意补全图形，并解答） (3)将该抛物线向左平移个单位长度得到，平移后的抛物线与原抛物线相交于点，点为原抛物线对称轴上的一点，是平面直角坐标系内的一点，当以点、、、为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点F的坐标． 【答案】(1) (2)存在，点坐标为，，补图见解析 (3)、、、 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）根据平行线的性质可得，求得，进而分别求得，，根据可得，设直线交轴于点，则，．进而可得，的解析式为，，连接交抛物线于，连接交抛物线于，进而联立抛物线与直线解析式，解方程，即可求解． （3）①以为对角线，如图作的垂直平分线交于点交直线于，设，根据两点距离公式可得，根据中点坐标公式可得，②以为边，如图以为圆心，为半径画圆交直线于点，；连接，，根据勾股定理求得，进而得出，，根据平移的性质得出，，③以为边，如图以点为圆心，长为半径画圆交直线于点和，连接，，则，过点作于点，则，在和中，由勾股定理得，则、，根据，可得，过点作，过作，和相交于点，的中点．根据中点坐标公式可得； 【详解】（1）解：∵把点，代入得 ， 解得， ∴． （2）存在． 理由：∵轴且， ∴， ∴（舍去），， ∴． 过点作于点， 在中， ∵， ∴， ∵， ∴． 设直线交轴于点， ，， ∴，． 连接交抛物线于，连接交抛物线于， ∴，的解析式为，， ∴，解得， 或，解得． ∴把，代入得，， ∴，． 综上所述，满足条件的点坐标为，． （3）、、、． 方法一： ①以为对角线，如图作的垂直平分线交于点交直线于 ∵，， ∴． 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点， ． ②以为边 如图以为圆心，为半径画圆交直线于点，；连接，， 过点作，过点作，和相交于点，同理可得 ，， ， ． 过点作直线于点，则； 在和中，由勾股定理得， ， ，． 点是由点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到的， ，， ③以为边 如图以点为圆心，长为半径画圆交直线于点和， 连接，，则， 过点作于点，则，在和中，由勾股定理得， ， 、， ， ， 、、三点共线， 过点作，过作， 和相交于点， ∵、， 的中点． ，点为的中点， ． 综上所述：、、、． 2．（2025·陕西西安·一模）如图，抛物线的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C，直线l与抛物线交于点B，交y轴于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若抛物线的顶点为P，求的面积； (3)点M为y轴右侧抛物线上一动点，过点M作直线交直线l于点N，是否存在点M，使以A，C，M，N四点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)9 (3)存在，或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合，分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出点坐标，求出直线的解析式，过点作轴并延长交于E，根据进行求解即可； （3）分四边形为平行四边形和四边形为平行四边形，两种情况进行讨论，利用平移思想进行求解即可． 【详解】（1）解：， ∴当时，， ∴， ∵抛物线的图象与x轴交于，两点， ∴，把，代入，得：， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴设的解析式为：，把代入，得：， ∴， 过点作轴并延长交于E，则：， ∴， ∴； （3）解：存在； 由（2）知，直线的解析式为：，设， ∵，且以A，C，M，N四点为顶点的四边形是平行四边形， ∴； ①当四边形为平行四边形时， ∵， ∴点先向右平移1个单位，再向下平移3个单位得到点， ∴点先向右平移1个单位，再向下平移3个单位得到点，即：， ∴， 解得：或， 当时，， 当时，（不符合题意，舍去）； ②当四边形为平行四边形时， ∵， ∴点先向右平移1个单位，再向下平移3个单位得到点， ∴点先向右平移1个单位，再向下平移3个单位得到点，即：， ∴， 解得：或， 当时，， 当时，（不符合题意，舍去）； 综上：或． 3．（2024·山西·模拟预测）综合与探究 如图1，抛物线的图象是一条抛物线，图象与x轴交于点A和点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，点P为直线下方抛物线上的点，过点P作轴交于点M，求的最大值及此时点P的坐标； (3)如图3，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点D，坐标平面内有一点E，使得以点B，C，D，E为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有满足条件的点E的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)存在点或或或 【分析】（1）把和代入求解即可． （2）先解得直线的解析式为，设，，得到的的值，当时，最大即可解答． （3）分情况讨论，当为矩形一边时，且点D在x轴的下方；当为矩形一边时，且点D在x轴的上方；当为矩形对角线时，分别求解即可． 【详解】（1）解：把和代入，得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）设直线的解析式为，把B，C点的坐标代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为 点P为直线下方抛物线上的点， 设， ， ， 当时，， ； （3）由题意可得：， 的对称轴为. ∵，， ∴， 如图3.1：当为矩形一边时，且点D在x轴的下方，过D作轴于点F， ∵D在的对称轴上， ， ∵，， ∴， ，，即点， ∴点C向右平移2个单位、向下平移2个单位可得到点D，则点B向右平移2个单位、向下平移2个单位可得到点； 如图3.2：当为矩形一边时，且点D在x轴的上方，的对称轴为与x轴交于点F， ∵D在的对称轴上， ∴， ， ，即， ，即点， ∴点B向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点D，则点C向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点； 如图3.3：当为矩形对角线时，设，，的中点F的坐标为， 依意得：，解得， 又， ， 解得：， 联立， 解得：， ∴点E的坐标为或. 综上，存在点或或或， 使得以点B，C，D，E为顶点的四边形是矩形． 【点睛】本题是二次函数的综合应用题，主要考查了待定系数法求函数解析式，矩形的性质，利用平移的性质解决问题是解本题的关键． 考向七：二次函数与最值的综合 二次函数中最值问题常以几何最值模型为主，常见的是将军饮马，胡不归，阿氏圆等。想要在考试中轻松拿下，要掌握下面四种实用方法： ①补形割形法。这种方法特别适合处理与图形有关的最值问题，通过补形和割形来找到最优解。 ②铅垂高水平宽面积法。这个方法主要用于求面积的最大值，通过铅垂线和高水平宽来计算面积，轻松找到最大值。 ③切线法。对于求二次函数的最小值，切线法是个不错的选择。通过求切线与函数的交点，找到最小值的坐标。 ④三角函数法。这种方法适用于一些特殊的二次函数问题，通过三角函数的性质来求解最值 1．（2024·甘肃·中考真题）如图1，抛物线交x轴于O，两点，顶点为．点C为的中点． (1)求抛物线的表达式； (2)过点C作，垂足为H，交抛物线于点E．求线段的长． (3)点D为线段上一动点（O点除外），在右侧作平行四边形． ①如图2，当点F落在抛物线上时，求点F的坐标； ②如图3，连接，，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3)①② 【分析】（1）根据顶点为．设抛物线，把代入解析式，计算求解即可； （2）根据顶点为．点C为的中点，得到，当时，，得到．结合，垂足为H，得到的长． （3）①根据题意，得，结合四边形是平行四边形，设，结合点F落在抛物线上，得到，解得即可； ②过点B作轴于点N，作点D关于直线的对称点G，过点G作轴于点H，连接，，，利用平行四边形的判定和性质，勾股定理，矩形判定和性质，计算解答即可． 【详解】（1）∵抛物线的顶点坐标为． 设抛物线， 把代入解析式，得， 解得， ∴． （2）∵顶点为．点C为的中点， ∴， ∵， ∴轴， ∴E的横坐标为1， 设， 当时，， ∴． ∴． （3）①根据题意，得， ∵四边形是平行四边形， ∴点C，点F的纵坐标相同， 设， ∵点F落在抛物线上， ∴， 解得，(舍去)； 故． ②过点B作轴于点N，作点D关于直线的对称点G，过点G作轴于点H，连接，，， 则四边形是矩形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， 故当三点共线时，取得最小值， ∵， ∴的最小值，就是的最小值，且最小值就是， 延长交y轴于点M， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故的最小值是． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，中点坐标公式，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，利用轴对称的性质求线段和的最小值，熟练掌握平行四边形的性质，轴对称的性质是解题的关键． 2．（2024·四川德阳·中考真题）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，求的函数值的取值范围； (3)将拋物线的顶点向下平移个单位长度得到点，点为抛物线的对称轴上一动点，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3)的最小值为： 【分析】（1）直接利用待定系数法求解二次函数的解析式即可； （2）求解的对称轴为直线，而，再利用二次函数的性质可得答案； （3）求解，，可得，求解直线为，及，证明在直线上，如图，过作于，连接，过作于，可得，，证明，可得，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：∵的对称轴为直线，而， ∴函数最小值为：， 当时，， 当时，， ∴函数值的范围为：； （3）解：∵， 当时，， ∴， 当时， 解得：，， ∴， ∴， 设直线为， ∴， ∴， ∴直线为， ∵拋物线的顶点向下平移个单位长度得到点，而顶点为， ∴， ∴在直线上， 如图，过作于，连接，过作于， ∵，， ∴，， ∵对称轴与轴平行， ∴， ∴， ∴， 由抛物线的对称性可得：，， ∴， 当三点共线时取等号， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为：． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，利用轴对称的性质求解线段和的最小值，锐角三角函数的应用，做出合适的辅助线是解本题的关键． 3．（2024·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点，与轴交于两点（在的左侧），连接． (1)求抛物线的表达式； (2)点是射线上方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交于点．点是线段上一动点，轴，垂足为，点为线段的中点，连接．当线段长度取得最大值时，求的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段长度取得最大值时的点，且与直线相交于另一点．点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1)； (2)的最小值为； (3)符合条件的点的坐标为或． 【分析】（1）利用正切函数求得，得到，再利用待定系数法即可求解； （2）求得，利用待定系数法求得直线的解析式，设，求得最大，点，再证明四边形是平行四边形，得到，推出当共线时，取最小值，即取最小值，据此求解即可； （3）求得，再利用平移的性质得到新抛物线的解析式，再分两种情况讨论，计算即可求解． 【详解】（1）解：令，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 将和代入得， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：令，则， 解得或， ∴， 设直线的解析式为， 代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 设（），则， ∴， ∵， ∴当时，最大，此时， ∴，，， ∴，， 连接， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当共线时，取最小值，即取最小值， ∵点为线段的中点， ∴， ∴， ∴的最小值为； （3）解：由（2）得点的横坐标为，代入，得， ∴， ∴新抛物线由向左平移2个单位，向下平移2个单位得到， ∴， 过点作交抛物线于点， ∴， 同理求得直线的解析式为， ∵， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得，， 当时，， ∴， 作关于直线的对称线得交抛物线于点， ∴， 设交轴于点， 由旋转的性质得到， 过点作轴，作轴于点，作于点， 当时，， 解得， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 同理直线的解析式为， 联立， 解得或， 当时，， ∴， 综上，符合条件的点的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合问题，考查二次函数的图象及性质，待定系数法确定函数关系式，熟练掌握二次函数的图象及性质，轴对称的性质，直角三角形的性质，数形结合是解题的关键． 4．（2023·湖北黄石·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点．    (1)求此抛物线的解析式； (2)已知抛物线上有一点，其中，若，求的值； (3)若点D，E分别是线段，上的动点，且，求的最小值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）在中，，则，得到直线的表达式为：，进而求解； （3）作，证明且相似比为，故当、、共线时，为最小，进而求解． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为：， 即，则， 故抛物线的表达式为：①； （2）解：在中，， ， 则， 故设直线的表达式为：②， 联立①②得：， 解得：（不合题意的值已舍去）； （3）解：作，   设， ， 且相似比为， 则， 故当、、共线时，为最小， 在中，设边上的高为， 则， 即， 解得：， 则， 则， 过点作轴于点， 则， 即点的纵坐标为：， 同理可得，点的横坐标为：， 即点， 由点、的坐标得，， 即的最小值为． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 5．（2023·宁夏·中考真题）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线．    (1)直接写出点的坐标； (2)在对称轴上找一点，使的值最小．求点的坐标和的最小值； (3)第一象限内的抛物线上有一动点，过点作轴，垂足为，连接交于点．依题意补全图形，当的值最大时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点，的最小值为 (3) 【分析】（1）根据抛物线的对称性，进行求解即可； （2）根据抛物线的对称性，得到，得到当三点共线时，的值最小，为的长，求出直线的解析式，解析式与对称轴的交点即为点的坐标，两点间的距离公式求出的长，即为的最小值； （3）根据题意，补全图形，设，得到，，将的最大值转化为二次函数求最值，即可得解． 【详解】（1）解：∵点关于对称轴的对称点为点，对称轴为直线， ∴点为； （2）当时，， ∴， 连接，      ∵， ∴， ∵点关于对称轴的对称点为点， ∴， ∴当三点共线时，的值最小，为的长， 设直线的解析式为：， 则：，解得：， ∴， ∵点在抛物线的对称轴上， ∴； ∴点，的最小值为； （3）过点作轴，垂足为，连接交于点，如图所示，      ∵， 设抛物线的解析式为：， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则：， 由（2）知：直线：， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，此时． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用抛物线的对称性以及数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 考向七：二次函数与新定义的综合 读懂题干新定义部分(比其它题目要多读两遍)，做到看到新定义的名称后立刻知道实际的函数，否则每一步都要回头看定义。要在拿下这类题型，需要掌握下面的题型： ①非常熟悉一般式、顶点式、交点式，求函数解析式，求交点坐标； ②二次函数的性质：无论定义多么新颖，最终都需要转化为二次函数的开口方向、对称轴、顶点、交点等常规问题； ③定义新参数或新条件，多个参数：需明确主变量与从属关系，比如把a当作变量，b和c都当作常数。 ④复合型二次函数：根据区间分类，分段讨论绝对值的影响，结合图像对称性、交点个数等； ⑤二次函数根的分布:讨论开口方向、顶点与x轴位置关系，讨论判别式，讨论对称轴与根的位置关系等； ⑥动态参数问题：特殊值法，消元法或参数替换，结合函数性质分析； ⑦二次函数区间最值问题：根据对称轴分类讨论，根据二次函数性质(区间内的单调性)讨论最值； ⑧二次函数与定点定值，定轨迹：根据参数的不同，确定所过定点对称轴，顶点轨迹等，有助于画草图时更加确定抛物线的大致位置，把握抛物线的变化规律； ⑨二次函数与几何图形交点问题：找出抛物线图形变化规律，分类讨论，数形结合分析出边界值，解不等式。 1．（2023·内蒙古赤峰·中考真题）定义：在平面直角坐标系中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”．    (1)如图①，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形“梦之点”的是___________； (2)点是反比例函数图象上的一个“梦之点”，则该函数图象上的另一个“梦之点”H的坐标是___________，直线的解析式是___________．当时，x的取值范围是___________． (3)如图②，已知点A，B是抛物线上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点，连接，，，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)， (2)，，或 (3)是直角三角形，理由见解析 【分析】（1）根据“梦之点”的定义判断这几个点是否在矩形内部或边上即可； （2）把代入求出解析式，再求与的交点即为，最后根据函数图象判断当时，x的取值范围； （3）根据“梦之点”的定义求出点A，B的坐标，再求出顶点C的坐标，最后求出，，，即可判断的形状． 【详解】（1）∵矩形的顶点坐标分别是，，，， ∴矩形“梦之点”满足，， ∴点，是矩形“梦之点”，点不是矩形“梦之点”， 故答案为：，； （2）∵点是反比例函数图象上的一个“梦之点”， ∴把代入得， ∴， ∵“梦之点”的横坐标和纵坐标相等， ∴“梦之点”都在直线上， 联立，解得或， ∴， ∴直线的解析式是， 函数图象如图：    由图可得，当时，x的取值范围是或； 故答案为：，，或； （3）是直角三角形，理由如下： ∵点A，B是抛物线上的“梦之点”， ∴联立，解得或， ∴，， ∵ ∴顶点， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形． 【点睛】本题是函数的综合题，考查了一次函数、反比例函数、二次函数，理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式，正确理解新定义是解决此题的关键． 2．（2024·辽宁·模拟预测）定义：， ，以长度为边在轴上方作等边三角形，当函数与在第一象限内有交点，称为“特别函数”． (1)如图，当时，一次函数是“特别函数”，求的取值范围； (2)如图，函数是“特别函数”，求的取值范围； (3)如图，在的条件下，函数与交于点，，求的值； (4)当时，函数最大值与最小值的差为，求的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) ， 【分析】本题考查了一次函数，二次函数的性质和图像和三角形结合综合问题，熟练掌握二次函数，一次函数的性质和图像是解题的关键； （1）过作轴垂线交于点，根据等边三角形的性质求出点的坐标，代入函数求出的值； （2）根据，点坐标求出直线的解析式，求出顶点坐标；进而求出的取值范围； （3）别过点与作轴垂线，分别交于点，，根据，求出，则，求出的坐标，从而求出的值 （4）分别对，，，，五种情况讨论，求得的值； 【详解】（1）解：过作轴垂线交于点， 等边三角形 （2）解：， 直线的解析式为： 函数的顶点坐标为： 解得： （3）解：分别过点与作轴垂线，分别交于点， ， ，（舍） （4）解：①当时， 最大值为 最小值为 ②当时， 最大值为 最小值为 无解 ③当时， 最大值为 最小值为 无解 ，（舍） ④当时， 最大值为 最小值为 （舍），（舍） ⑤当时， 最大值为 最小值为 （舍） 综上： ， 3．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）【定义】 例如，如图1，过点A作交于点B，线段的长度称为点A到的垂直距离，过A作平行于y轴交于点C，的长就是点A到的竖直距离． 【探索】 当与x轴平行时，， 当与x轴不平行，且直线确定的时候，点到直线的垂直距离与点到直线的竖直距离存在一定的数量关系，当直线为 时，___________． 【应用】 如图2所示，公园有一斜坡草坪，其倾斜角为，该斜坡上有一棵小树（垂直于水平面），树高，现给该草坪洒水，已知小树的底端点A与喷水口点O的距，建立如图2所示的平面直角坐标系，在喷水过程中，水运行的路线是抛物线，且恰好经过小树的顶端点B，最远处落在草坪的C处， （1）___________． （2）如图3，现决定在山上种另一棵树（垂直于水平面），树的最高点不能超过喷水路线，为了加固树，沿斜坡垂直的方向加一根支架，求出的最大值． 【拓展】 （3）如图4，原有斜坡不变，通过改造喷水枪，使得喷出的水的路径近似可以看成圆弧，此时，圆弧与y轴相切于点O，若此时m，如图，种植一棵树（垂直于水平面），为了保证灌溉，请求出最高应为多少？ 【答案】探索：  应用：（1）  （2）    拓展:（3） 【分析】探索:先求得，再运用勾股定理求得证得，利用相似三角形性质即可求得答案； 应用：（1）延长交轴于点，则利用解直角三角形可得，把 代入即可求得答案； （2）利用待定系数法可得直线的解析式 设则N(t, 可得，进而可得 ，运用二次函数的性质即可得出答案； 拓展：取的中点，作交轴于点，延长交圆弧于点，过点作轴交于点，此时最大，运用垂径定理可得再利用解直角三角形即可求得答案. 【详解】探索：∵直线为，如图，设直线与轴分别交于点， 令得 ， ∴ ，即 ， 令 ，得， 解得：， ∴，即 ，    ∵ 轴， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； 应用：（1）如图， 延长交轴于点，则， ， ，， ， ， ， 把 代入得:， 解得：， 故答案为：； （2）由（1）知, 设直线的解析式为则 ， 解得：， ， 如图，设 ，则， ， ， ， ∵轴， ， ， ， ， ∴当 时，取得最大值 ， 答：的最大值为 【拓展】如图， 取的中点，作交轴于点，延长交圆弧于点，过点作轴交于点，此时最大， ， ， 在 中, ， ， ， 又， ， ， ， ∵轴， ， ， ， 答：最高应为 【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的应用，二次函数最值求法，待定系数法求函数解析式，解直角三角形，圆的性质，垂径定理等，根据题意求出函数的解析式是解决此题的关键. 4．（2024·辽宁锦州·二模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的点A、C分别在x轴、y轴上，点B在第一象限，且． 定义：在正方形的边上及内部且横纵坐标均为整数的点称为好点． (1)若一次函数的图象经过的好点最多，求此一次函数的表达式； (2)若反比例函数的图象正好经过点，求反比例函数图象上方和图象下方好点个数比； (3)二次函数的图象经过O、A两点，顶点为．若其图象与x轴围成的图形中，恰好有4个好点(不含边界)，求t的取值范围． 【答案】(1)当一次函数的图像经过的好点最多时，其表达式为或 (2)反比例函数图象上方和图像下方的好点个数比为 (3)当抛物线与x轴围成图形中好点恰好有4个，则 【分析】本题主要考查了函数的综合题，熟练掌握一次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质、二次函数的图象与性质以及坐标与图形的性质，正确理解题干给出的新定义是本题解题的关键． （1）当一次函数经过正方形对角线时，经过的好点最多，据此求解； （2）将点的坐标代入反比例函数，求出m的值，在坐标系中画出函数的图象，分别写出反比例函数图象上方和下方的好点，求比即可； （3）根据图象经过O和A，可以求出二次函数的对称轴，然后根据抛物线经过特殊点时，求出t的值，从而求出t的取值范围． 【详解】（1）解：当一次函数的图象正好经过正方形的对角线时，则经过的好点最多， ∵正方形中，点B在第一象限，点A、C分别在x轴和y轴上， ∴点，点，点， 设直线的解析式为， ，解得： ∴对角线所在直线解析式为， 设直线的解析式为， ，解得： ∴对角线所在直线解析式为， ∴当一次函数的图像经过的好点最多时，其表达式为或； （2）点在反比例函数的图像上，，即反比例函数为,又当时，， 当时，，如解图①，在图象下方的好点有，共有10个， 在图象上方的好点有，共4个， ∴反比例函数图象上方和图像下方的好点个数比为； （3）当时，抛物线开口向上，抛物线与x轴所围图形中不存在好点，此时不合题意； 当时， ∵抛物线过点O、A， ∴抛物线对称轴为，由此设抛物线的表达式为， ∵抛物线过点， ， 如解图，当抛物线过点时，代入得， 解得； 如解图，当抛物线过点时，代入得， 解得， 结合解图可知，当抛物线与x轴围成图形中好点恰好有4个，则 考向八：二次函数与圆的综合 解决二次函数与圆的综合问题的关键是找准函数与圆的结合点，弄清题目的本质，利用圆的基本性质和函数的性质、数形结合、方程思想、全等与相似，以便找到对应的解题途径常见的考法有： 1.直线与圆的位置关系: 平面直角坐标系中的直线与圆的位置关系问题关键是圆心到直线的距离等于半径的大小，常用的方法有:①利用圆心到直线的距离等于半径的大小这-数量关系列出关系式解决问题；②利用勾股定理解决问题；③利用相似列出比例式解决问题； 2.函数与圆的新定义题目:利用已掌握的知识和方法理解新定义，化生为熟； 3.函数与圆的性质综合类问题:利用几何性质，结合图形，找到问题中的“不变”关键因素嗖ゾ概入和“临界位置”。 1．（2024·安徽·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于，两点，，为抛物线顶点． (1)求，的值； (2)点为直线下方抛物线上一点，过点作轴，垂足为点，交于点，是否存在？若存在，求出此时点坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，以为圆心，2为半径作圆，为圆上任一点，求的最小值． 【答案】(1)，. (2)存在， (3) 【分析】（1）通过长度先得到点坐标，再将两点代入函数解析式，解方程即可； （2）先求出直线的函数表达式，设出点坐标为，进而得到两点坐标，再通过列出方程，解方程即可； （3）取取，连接，，先证得，得到，进而可得到，再通过两点坐标求得长度． 【详解】解：（1）， 点坐标为， 将，代入， 得，， 解得， （2）设直线的表达式为， 由（1）可知抛物线的表达式为， 故点坐标为， 直线的表达式为 设点坐标为， 则， ， ， 若， 则， 解得， ， 故，此时点坐标为； （3）如图，取，连接， ，，， 又， ， ， ， ， ， 故的最小值为． 【点睛】本题考查二次函数综合问题，能够熟练掌握二次函数的基本性质以及相似三角形的应用是解题关键． 2．（2024·海南·中考真题）如图1，抛物线经过点、，交y轴于点，点P是抛物线上一动点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)当点P的坐标为时，求四边形的面积； (3)当时，求点P的坐标； (4)过点A、O、C的圆交抛物线于点E、F，如图2．连接，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)16 (3)或 (4)是等边三角形，理由见解析 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点P作于T，根据列式求解即可； （3）取，连接，易证明，则线段与抛物线的交点即为所求；求出直线的解析式为，联立，解得或（舍去），则；如图所示，取，连接，同理可得，则直线与抛物线的交点即为所求；同理可得；则符合题意的点P的坐标为或； （4）由90度的圆周角所对的弦是直径得到为过三点的圆的直径，如图所示，取中点R，连接，则，；设与抛物线交于，联立得，解得，则， 由勾股定理可得，则是等边三角形． 【详解】（1）解：将点代入， 得 解得 ∴抛物线解析式为； （2）解:如图所示，过点P作于T， ∵，，， ∴ ， ∴， ∴ ； （3）解：如图所示，取，连接， ∵、，， ∴， ∴， ∴线段与抛物线的交点即为所求； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立，解得或（舍去）， ∴； 如图所示，取，连接， 同理可得， ∴直线与抛物线的交点即为所求； 同理可知直线的解析式为， 联立，解得或（舍去）， ∴； 综上所述，符合题意的点P的坐标为或； （4）解：是等边三角形，理由如下： ∵三点共圆，且， ∴为过三点的圆的直径， 如图所示，取中点R，连接， ∵， ∴， ∴； 设与抛物线交于， 联立得， ∴， 解得， 在中，当时， 当时， ∴， ∴， ， ， ∴， ∴是等边三角形． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，勾股定理，圆的相关知识，解题的关键在于正确作出辅助线并利用数形结合的思想求解． 3．（2024·湖南湘潭·一模）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接． (1)请你直接写出两点的坐标，并求直线的表达式． (2)如图②，点为直线上方抛物线上一动点，设点的横坐标为，以点为圆心的圆与直线相切，当的半径最大时，求的值． (3)设点是抛物线对称轴上任意一点，点是抛物线上任意一点．是否存在这样的点，使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)存在，或或 【分析】本题考查了二次函数综合，切线的性质，解直角三角形； （1）分别令为，解方程得出的坐标，进而待定系数求得直线的解析式，即可求解； （2）过点作轴的垂线交直线于点，设，，得出的关系式，进而过点作直线垂线交直线于点，则，得出的关系式，进而根据二次函数的性质，即可求解； （3）设，，又，，分，，为对角线时，根据中点坐标公式，即可求解． 【详解】（1）解：当时， 解得： ∴， 当时， ∴ 设直线的解析式为，将，代入得 解得： ∴直线的解析式为 （2）如图所示，过点作轴的垂线交直线于点， ∴设， ∵在直线的上方， ∴ ∵， ∴ ∴是等腰直角三角形， 过点作直线垂线交直线于点，则 ∴ ∵是的切线， ∴即为的半径， ∴当时，取得最大值，此时取得最大值 （3）解：∵，抛物线的对称轴为直线， 点是抛物线对称轴上任意一点，点是抛物线上任意一点． 设，，又， ①当为对角线时， ，解得：，则，则； ②当为对角线时， ，解得：，则，则； ③当为对角线时， ，解得：，则，则； 综上所述或或 4．（2024·广东珠海·一模）如图， 抛物线 分别交轴于点（点在点的左侧）， 交轴于点． (1)求点和点的坐标； (2)以为圆心， 3 为半径作圆． ①如图1，连接是线段上的动点， 过点作的一条切线（点为切点）， 求线段的最小值； ②如图2，点为抛物线的顶点， 点在圆上，连接， 求的最大值． 【答案】(1)、 (2)①；② 【分析】（1）由题意，令，则，解一元二次方程，再根据点在点的左侧即可得到点和点的坐标； （2）①根据切线性质，在中，由勾股定理表示出，从而得到当最小时，线段有最小值，再由动点最值问题-点线模型确定当时，线段最小，利用等面积法求出即可得到答案；②分析可知，线段端点为，其中为固定点；为动点，且动点轨迹是，这是动点最值问题-阿氏圆模型，求出，得到，，构造，使，则，由三角形三边关系可得，当三点共线时有最大值，利用相似三角形判定与性质求出点坐标，利用两点之间距离公式代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：抛物线 分别交轴于点（点在点的左侧）， 令，则，即， ，解得或， 、； （2）解：①连接，如图所示： 过点作的一条切线（点为切点）， ， 在中，，当最小时，则线段有最小值， 连接是线段上的动点，， 当时，线段最小， ，，， ，，则，即， ，即线段的最小值； ②由可知，线段端点为，其中为固定点；为动点，且动点轨迹是， ， ， ， ，， ， ，则在上找一点，使，即，如图所示： ，则，即， ， 在中，，当三点共线时为最大值， 过点作轴，如图所示： 轴，则， ，，即，，解得，， ， 的最大值为． 【点睛】本题考查二次函数综合，涉及二次函数图象与性质、二次函数图象与坐标轴交点、切线性质、动点最值问题-点线模型、勾股定理、等面积法求线段长、动点最值问题-阿氏圆模型、相似三角形的判定与性质、三角形三边关系、两点之间距离公式等知识，难度较大、综合性较强，熟练掌握动点最值问题的解法，灵活构造辅助线求解是解决问题的关键． 考向九：二次函数与角的综合 角度问题涵盖的题型：1.角度相等问题2.角度的和差倍分关系3.特殊角问题4.非特殊角问题。面对二次函数与角度问题的挑战，掌握这些技巧，让你轻松应对： ① 利用45°角，通过角的和差关系，找到等角利用等角的三角比相等求解， ②发现等角后，构造等腰三角形，使用距离公式2求解； ③出现倍角时，作平行线构造等角或利用等腰三角形的三线合一定理； ④根据等角，构造相似三角形，利用线段之间的比緘嵫ウ轡席縵吕近关系求解； ⑤利用角的和差关系，以及角的外角性质，发现等角。 1．（2024·四川资阳·中考真题）已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于C点，且，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P是抛物线在第一象限内的一点，连接，过点P作轴于点D，交于点K．记，的面积分别为，，求的最大值； (3)如图2，连接，点E为线段的中点，过点E作交x轴于点F．抛物线上是否存在点Q，使？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】（1）先求点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出的解析式，设，则：，将转化为二次函数求最值即可； （3）易得垂直平分，设，勾股定理求出点坐标，三线合一结合同角的余角相等，推出，分别作点关于轴和直线的对称点，直线，与抛物线的交点即为所求，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 把，，代入函数解析式得： ∴，解得：； ∴； （2）∵，， ∴设直线的解析式为：，把，代入，得：， ∴， 设，则：， ∴，，， ∴， ∴ ， ∴当时，的最大值为； （3）存在： 令， 解得：， ∴， ∵，点为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ①取点关于轴的对称点，连接，交抛物线与点，则：，， 设的解析式为：， 则：，解得：， ∴， 联立，解得：（舍去）或， ∴； ②取关于的对称点，连接交于点，连接交抛物线于点， 则：，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点作轴，则：，， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为：， 则：，解得：， ∴， 联立，解得：（舍去）或， ∴； 综上：或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，中垂线的判定和性质，等积法求线段的长，坐标与轴对称，勾股定理，解直角三角形，等知识点，综合性强，难度大，计算量大，属于中考压轴题，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键． 2．（2023·四川攀枝花·中考真题）如图，抛物线经过坐标原点，且顶点为．    (1)求抛物线的表达式； (2)设抛物线与轴正半轴的交点为，点位于抛物线上且在轴下方，连接、，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）设抛物线的表达式为，将代入可得； （2）过作轴于，过作轴于，设，求出；根据，，得，故，从而，即可解得答案． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为， 将代入得：， 解得， ； （2）过作轴于，过作轴于，如图：    设， 在中，令得或， ； ，， ， ， ， ， ， ， 解得或（此时与重合，舍去）， ，． 【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形相似的判定与性质，解题的关键是证明，用对应边成比例列式求出的值． 3．（2023·辽宁锦州·模拟预测）综合与探究：如图1，已知抛物线与x轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图2，是下方的抛物线上的一个动点，且点的横坐标为，求面积与的函数关系式及的最大值； (3)在抛物线上是否存在一点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)或 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）根据待定系数法求出直线的解析式，过点作轴于点，交直线于点，根据得到，即可得到最大值； （3）分点在点左侧；点在点，点之间；点在点右侧三种情况讨论即可得到答案． 【详解】（1）解：，抛物线与x轴交于点（点在点的左侧）， ，， ， 解得：， 抛物线的函数表达式为； （2）解：设直线的解析式为， 将代入得， 解得：， 直线的解析式为， 如图，过点作轴于点，交直线于点， 点的横坐标为， ， ， ， ， 当时，的最大值为； （3）解：存在， 当点在点左侧时，是钝角， 当点在点，点之间时，点与点关于直线对称， 点的坐标为， 当点在点右侧时， 如图，过点作直线， 令，则， 解得或， 设直线的解析式为， 将代入得， 解得， 直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将代入得， 直线的解析式为， 联立， 解得或， 点在点右侧， 点的横坐标大于， 舍去， ， 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数综合，结合一次函数解析式求解，勾股定理，一元二次方程计算是解题的关键． 4．（2023·湖北武汉·模拟预测）已知抛物线与轴交于A，两点，与轴交于点，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，已知点为第一象限内抛物线上的一点，点的坐标为，；求点的坐标； (3)如图2，将抛物线平移到以坐标原点为顶点，点在新抛物线上，过点作分别交新抛物线于，两点，求直线过定点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)直线恒过定点． 【分析】（1）求出点坐标为，进而求出，，利用待定系数法即可求解； （2）设，连接,过点作轴于点，过点作于点．先求出，证明得到，再求出，，即可求出或，从而得到，即可求出； （3）先求出新抛物线的解析式为，设直线的解析式为，且、，根据，得到，联立，得，即可得到，，进而得到，，从而得到，求出或，当时，直线的解析式为，即直线过定点，不符合题意；当时，直线的解析式为，得到直线恒过定点． 【详解】（1）解：令，得， ， ， ， ，， ，， 将，代入，得： ， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：设，如图，连接,过点作轴于点，过点作于点． 则，，， ，， ， ， ，， ， ， ， ， 点的坐标为， ， ，， ， ， 解得：或， 点在第一象限， ， ，， ； （3）证明：将抛物线平移到以坐标原点为顶点的新抛物线， 新抛物线的解析式为， 设直线的解析式为，且、， 点在抛物线上，， ， ， ， 整理得：， 联立，得， ，， ， ， ， 即， 或， 当时，直线的解析式为， 即直线过定点，与重合，不符合题意； 当时，直线的解析式为， 直线恒过定点． 【点睛】本题为二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，一元二次方程根与系数的关系等知识，综合性强，难度较大，熟知相关知识并根据题意灵活应用是解题关键． （建议用时：40分钟） 1．（2023·江苏南京·中考真题）已知二次函数（a为常数，． (1)若，求证：该函数的图象与x轴有两个公共点． (2)若，求证：当时，． (3)若该函数的图象与轴有两个公共点，，且，则的取值范围是． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与坐标轴的交点问题，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）证明即可解决问题． （2）将代入函数解析式，进行证明即可． （3）先求得对称轴为直线，顶点坐标为，再对和进行分类讨论即可． 【详解】（1）证明：因为， 又因为， 所以，， 所以， 所以该函数的图象与轴有两个公共点． （2）证明：将代入函数解析式得， ， 所以抛物线的对称轴为直线，开口向下． 则当时， 随的增大而增大， 又因为当时，， 所以． （3）对称轴为直线，顶点坐标为， ①当时，抛物线开口向上，要保证二次函数与x轴两个交点在与之间（不包含这两点），则只需保证顶点在x轴下方，时，，时，， 即，解得： ②当时，抛物线开口向下，要保证二次函数与x轴两个交点在与之间（不包含这两点），则只需保证顶点在x轴上方，时，，时 即，解得， 综上，当或时，二次函数与x轴两个交点在与之间（不包含这两点）， 故答案为：或． 2．（2024·山东烟台·中考真题）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，，对称轴为直线，将抛物线绕点旋转后得到新抛物线，抛物线与轴交于点，顶点为，对称轴为直线． (1)分别求抛物线和的表达式； (2)如图，点的坐标为，动点在直线上，过点作轴与直线交于点，连接，．求的最小值； (3)如图，点的坐标为，动点在抛物线上，试探究是否存在点，使？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或 【分析】（1）先求出点A、B、C坐标，再用待定系数法求出抛物线的表达式，求出其顶点坐标，由旋转可知抛物线的二次项系数为原来的相反数，顶点坐标与抛物线的顶点坐标关于原点对称，即可求解； （2）将点F向右平移2个单位至，则，，过点D作直线的对称点为，连接，则四边形为平行四边形，则，，因此，即可求解； （3）当点P在直线右侧抛物线上时，可得，作H关于直线的对称点，则点在直线上，可求直线的表达式为，联立， 解得：或（舍），故；当点P在直线左侧抛物线上时，延长交y轴于点N，作的垂直平分线交于点Q，交y轴于点M，过点E作轴于点K，则，可得，可证明出，由，得，设，则，，在和中，由勾股定理得，解得：或（舍），所以，可求直线表达式为：，联立，解得：或（舍），故． 【详解】（1）解：设对称轴与x轴交于点G， 由题意得， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， 将A、B、C分别代入， 得：， 解得：， ∴， ∴，顶点为 ∵抛物线绕点旋转后得到新抛物线， ∴抛物线的，顶点为， ∴的表达式为：，即 （2）解：将点F向右平移2个单位至，则，，过点D作直线的对称点为，连接， ∴， ∵， ∴直线为直线， ∵轴， ∴， 对于抛物线，令，则， ∴， ∵点D与点关于直线对称， ∴点， ∵轴，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， 当点三点共线时，取得最小值， 而， ∴的最小值为； （3）解：当点P在直线右侧抛物线上时，如图： ∵抛物线， ∴ ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， 作H关于直线的对称点，则点在直线上， ∵点的坐标为，直线：， ∴， 设直线的表达式为：， 代入，, 得：， 解得：， ∴直线的表达式为， 联立，得：， 解得：或（舍）， ∴； ②当点P在直线左侧抛物线上时，延长交y轴于点N，作的垂直平分线交于点Q，交y轴于点M，过点E作轴于点K，则，如图： ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 由点 得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∴，， 在和中，由勾股定理得， ∴， 解得：或（舍） ∴， ∴， ∴， 设直线表达式为：， 代入点N，E， 得：， 解得： ∴直线表达式为：， 联立， 得：， 整理得： 解得：或（舍）， ∴， 综上所述，或． 【点睛】本题是一道二次函数与角度有关的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，三角形三边关系求最值，平行四边形的判定与性质，中心对称图形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解决本题的关键． ． 2 / 96 学科网（北京）股份有限公司 $$