重难点04 圆的基本性质及直线与圆的位置关系综合训练（10大题型+高分技法+限时提升练）-2025年中考数学【热点·重点·难点】专练（全国通用）

重难点04 圆的基本性质及直线与圆的位置关系综合训练 中考数学中《圆的基本性质及直线与圆的位置关系》部分主要考向分为十类： 一、垂径定理及其应用 二、圆周角定理 三、圆内接四边形 四、三角形的外接圆与外心 五、直线与圆的位置关系 六、切线的性质与判定 七、三角形内切圆与内心 八、正多边形和圆 九、弧长与扇形面积的计算 十、圆锥的计算 中考数学中，圆的基本性质与直线与圆的位置关系一直都是必考的考点，难度从基础到综合都有，通常选择、填空题会出圆的基本性质，如垂径定理、圆周角定理、弧长与面积的求法、切线的性质等，基本都是基础应用，难度不大，个别会出选择题的压轴题，难度稍大。简答题部分，一般会把切线的判定和相似三角形、锐角三角函数等结合考察，此时难度变大，综合性较强，需要认真应对。 考向一：垂径定理及其应用 【题型1 垂径定理及其推论】 1.圆中模型“知2得3” 由图可得以下5点： ①AB⊥CD；②AE=EB；③AD过圆心O；④；⑤； 以上5个结论，知道其中任意2个，剩余的3个都可以作为结论使用。 2.常做辅助线：连半径、作弦心距、见直接连弦长得直径所对圆周角 1．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在中，弦的长为8，圆心O到的距离，则的半径长为（    ） A．4 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，先根据垂径定理得到，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵在中，弦的长为8，圆心O到的距离， ∴，， 在中，， 故选：B． 2．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，圆形拱门最下端在地面上，为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，若，，则拱门所在圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是垂径定理的实际应用。勾股定理的应用，如图，连接，先证明，，再进一步的利用勾股定理计算即可； 【详解】解：如图，连接， ∵为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，， ∴，， 设拱门所在圆的半径为， ∴，而， ∴， ∴， 解得：， ∴拱门所在圆的半径为； 故选B 3．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，是的直径，是的弦，半径，连接，交于点E，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理以及三角形的外角性质．先根据垂径定理，求得，利用圆周角定理求得，再利用三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：∵半径， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 4．（2024·新疆·中考真题）如图，是的直径，是的弦，，垂足为E．若，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理的应用，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据垂径定理求得，再对运用勾股定理即可求，最后即可求解． 【详解】解：∵，是的直径， ∴，， ∴在中，由勾股定理得， ∴， 故选：B． 5．（2024·四川遂宁·中考真题）工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积．如图所示，排污管道的横截面是直径为米的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面（图中阴影部分）宽为米，请计算出淤泥横截面的面积（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，等边三角形的判定和性质，求不规则图形的面积，过点作于，由垂径定理得，由勾股定理得，又根据圆的直径为米可得，得到为等边三角形，即得，再根据淤泥横截面的面积即可求解，掌握垂径定理及扇形面积计算公式是解题的关键． 【详解】解：过点作于，则，， ∵圆的直径为米， ∴， ∴在中，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴淤泥横截面的面积， 故选：． 6．（2024·江西·中考真题）如图，是的直径，，点C在线段上运动，过点C的弦，将沿翻折交直线于点F，当的长为正整数时，线段的长为 ． 【答案】或或2 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，折叠的性质，根据，可得或2，利用勾股定理进行解答即可，进行分类讨论是解题的关键． 【详解】解：为直径，为弦， ， 当的长为正整数时，或2， 当时，即为直径， 将沿翻折交直线于点F，此时与点重合， 故； 当时，且在点在线段之间， 如图，连接， 此时， ， ， ， ， ； 当时，且点在线段之间，连接， 同理可得， ， 综上，可得线段的长为或或2， 故答案为：或或2． 7．（2023·浙江衢州·中考真题）如图是一个圆形餐盘的正面及其固定支架的截面图，凹槽是矩形．当餐盘正立且紧靠支架于点A，D时，恰好与边相切，则此餐盘的半径等于 cm．    【答案】10 【分析】连接，过点作，交于点，交于点，则点为餐盘与边的切点，由矩形的性质得，，，则四边形是矩形，，得，，，设餐盘的半径为 ，则，，然后由勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】由题意得：，， 如图，连接，过点作，交于点，交于点，   则， 餐盘与边相切， 点为切点， 四边形是矩形， ，，， 四边形是矩形，， ，，， 设餐盘的半径为， 则， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 餐盘的半径为， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了切线的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 8．（2023·青海·中考真题）综合与实践 车轮设计成圆形的数学道理 小青发现路上行驶的各种车辆，车轮都是圆形的.为什么车轮要做成圆形的呢？这里面有什么数学道理吗？带着这样的疑问，小青做了如下的探究活动： 将车轮设计成不同的正多边形，在水平地面上模拟行驶.      (1)探究一：将车轮设计成等边三角形，转动过程如图1，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是，，圆心角.此时中心轨迹最高点是C（即的中点），转动一次前后中心的连线是（水平线），请在图2中计算C到的距离. (2)探究二：将车轮设计成正方形，转动过程如图3，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是，，圆心角.此时中心轨迹最高点是C（即的中点），转动一次前后中心的连线是（水平线），请在图4中计算C到的距离（结果保留根号）. (3)探究三：将车轮设计成正六边形，转动过程如图5，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是，圆心角______.此时中心轨迹最高点是C（即的中点），转动一次前后中心的连线是（水平线），在图6中计算C到的距离______（结果保留根号）. (4)归纳推理：比较，，大小：______，按此规律推理，车轮设计成的正多边形边数越多，其中心轨迹最高点与转动一次前后中心连线（水平线）的距离______（填“越大”或“越小”）. (5)得出结论：将车轮设计成圆形，转动过程如图7，其中心（即圆心）的轨迹与水平地面平行，此时中心轨迹最高点与转动前后中心连线（水平线）的距离______.这样车辆行驶平稳、没有颠簸感.所以，将车轮设计成圆形. 【答案】(1)1 (2) (3) (4)，越小 (5)0 【分析】（1）是等边三角形，进而求得，进一步得出结果； （2）是等腰直角三角形，进而求得，进一步得出结果； （3）是等边三角形，进而求得，进一步得出结果； （4）比较大小得出结果； （5）圆的半径相等，从而得出结果． 【详解】（1）解：图1， ，， ， ， 是等边三角形， ， ∵C为的中点，为半径， ∴， ； （2）解：如图2，   ，，， ， ， ； （3）解：如图3，   ，， 是等边三角形， ， 在中， ， ， 故答案为：，； （4）解：， ，则其中心轨迹最高点与转动一次前后中心连线（水平线）的距离越小； 故答案为：；越小． （5）解：圆的半径相等， ， 故答案为：0． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，正方形的性质，圆的定义，解直角三角形等知识，解决问题的关键是弄清数量间的关系． 考向二：圆周角定理 【题型2 圆周角定理及其推论】 圆中模型“知1得4” 由图可得以下5点： ①AB=CD；②；③OM=ON；④；⑤； 以上5个结论，知道其中任意1个，剩余的4个都可以作为结论使用 1．（2024·西藏·中考真题）如图，为的直径，点B，D在上，，，则的长为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理及勾股定理，根据同弧所对圆周角相等及直径所对圆周角是直角得到，，根据得到，最后根据勾股定理求解即可得到答案 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 2．（2024·山东青岛·中考真题）如图，是上的点，半径，，，连接，则扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定义，扇形的面积，连接，由圆周角定理可得，进而得，再根据扇形的面积计算公式计算即可求解，掌握圆周角定理及扇形的面积计算公式是解题的关键． 【详解】解：连接，则， ∵， ∴， ∴， 故选：． 3．（2024·海南·中考真题）如图，是半圆O的直径，点B、C在半圆上，且，点P在上，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质．连接，，证明和都是等边三角形，求得，利用三角形内角和定理求得，据此求解即可． 【详解】解：连接，， ∵是半圆O的直径，， ∴， ∴和都是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 4．（2024·山西·中考真题）如图，已知，以为直径的交于点D，与相切于点A，连接．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆的切线定理，直角三角形两锐角互余，有圆周角定理可得出，有圆的切线定理可得出，由直角三角形两锐角互余即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴． ∵以为直径的与相切于点A， ∴， ∴． 故选：D． 5．（2024·湖北·中考真题）如图，是半圆O的直径，C为半圆O上一点，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点D，画射线，连接．若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查尺规作图，圆周角定理，熟练掌握角平分线的作图步骤以及圆周角定理是解答本题的关键．由圆周角定理得到，由直角三角形的性质得到，根据角平分线的定义即可求得答案． 【详解】解：是半圆的直径， ， ， ， 由题意得，为的平分线， ． 故选：． 6．（2024·山东泰安·中考真题）如图，是的直径，，是上两点，平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆周角定理、角平分线的定义、三角形的内角和定理，先根据角平分线的定义得到根据圆周角定理得到，再根据圆周角定理得到，，然后利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵是的直径，， ∴，，则， ∴ ， 故选：A． 7．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，是的内接正n边形的一边，点C在上，，则 ．    【答案】10 【分析】本题考查了正多边形和圆、圆周角定理等知识，求出中心角的度数是解题的关键．由圆周角定理得，再根据正边形的边数中心角，即可得出结论． 【详解】解：， ， ， 故答案为：10． 8．（2024·江苏常州·中考真题）如图，是的直径，是的弦，连接．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查圆周角定理，根据同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角，结合三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵是的直径，，， ∴， ∴； 故答案为：． 考向三：圆内接四边形 【题型3 圆内接四边形的性质及其推论】 1、性质：圆内接四边形对角互补； 2、推论：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角； 1．（2024·山东济宁·中考真题）如图，分别延长圆内接四边形的两组对边，延长线相交于点E，F．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“圆的内接四边形对角互补”可得，．根据三角形外角定理可得，，由此可得，又由，可得，即可得解． 本题主要考查了“圆的内接四边形对角互补”和三角形外角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】∵四边形是的内接四边形 ∴， ，， ， ，，， ， 解得， ， ． 故选：C 2．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，若，则的度数为（    ）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，连接，由是的直径得到，根据圆周角定理得到，得到，再由圆内接四边形对角互补得到答案. 【详解】解：如图，连接，    ∵是的直径， ∴， ∵， ∴ ∴ ∵四边形是的内接四边形， ∴， 故选：B 3．（2024·吉林·中考真题）如图，四边形内接于，过点B作，交于点E．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，圆的内接四边形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 先根据得到，再由四边形内接于得到，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴, 故选：C． 4．（2024·四川泸州·中考真题）如图，，是的切线，切点为A，D，点B，C在上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆的内接四边形的性质，切线长定理，等腰三角形的性质等知识点，正确作辅助线是解题关键． 根据圆的内接四边形的性质得，由得，由切线长定理得，即可求得结果． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∵，是的切线，根据切线长定理得， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 5．（2024·四川眉山·中考真题）如图，内接于，点在上，平分交于，连接．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，角平分线的定义全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，延长，交于，由圆周角定理可得，，进而可证明，得到，即得，利用勾股定理得，再证明，得到，据此即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：延长，交于， 是的直径， ，， 平分， ， 又∵， ∴， ， ， ，， ， ， 又∵， ∴， ， ， ， ， ， 故答案为：． 6．（2024·山东滨州·中考真题）如图，四边形内接于，若四边形是菱形，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质，菱形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键； 根据圆内接四边形的性质得到，根据菱形的性质，圆周角定理列式计算即可求解． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 7．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，四边形是的内接四边形，点在四边形内部，过点作的切线交的延长线于点，连接．若，，则的度数为 ． 【答案】/105度 【分析】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质等知识，连接，利用等边对等角得出，，利用切线的性质可求出，然后利用圆内接四边形的性质求解即可． 【详解】解∶连接， ∵，， ∴，， ∵是切线， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， 故答案为：． 8．（2024·浙江·中考真题）如图，在圆内接四边形中，，延长至点E，使，延长至点F，连结，使． (1)若，为直径，求的度数． (2)求证：①；②． 【答案】(1) (2)①见详解；②见详解 【分析】（1）根据圆周角定理即可求解，由为直径，得到，故，由，得到； （2）①由四点共圆得，而，等量代换得到，故； ②过点D作平行线交于点G，可证明，，因此得到，由，得到． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明①：∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴； ②过点D作平行线交于点G， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵由（1）知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆的内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 考向四：三角形的外接圆与外心 【题型4 外心的确定及其性质】 1、三角形的外心：三角形三边中垂线的交点； 实际画图时只需要画两条中垂线的交点即可！ 2、三角形外心的性质：三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等； 常做辅助线：连结三角形内心和顶点的线段 1．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，在中，已知，，是的中点，点是的外接圆圆心，则（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形外接圆，等腰三角形的性质，圆周角定理，解直角三角形的应用，连接，以为半径作的外接圆，由等腰三角形的性质可得，，，进而由圆周角定理可得，即得，得到，再利用勾股定理得到，解之即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接，以为半径作的外接圆，    ∵是的外接圆， ∴， ∵是的中点，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 故选：． 2．（2024·山东淄博·二模）如图，在中，，于点，且，则面积的最小值为 ．    【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形的外接圆的半径，垂径定理，作的外接圆，连接，，，过点作于点，根据圆周角定理可得，则，设的半径为，则，，根据得出，求得半径的范围，进而根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】作的外接圆，连接，，，过点作于点，    ， ， ， ， 设的半径为，则，， ， ， ， 解得：， ， ， 的面积的最小值为， 故答案为：. 3．（2024·安徽合肥·一模）如图，内接于，为的直径，，，则 ． 【答案】15 【分析】本题考查了三角形外接圆与外心，等腰三角形的性质，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．连接，根据圆周角定理得到，根据三角形的内角和定理得到，根据等腰三角形的性质得到，于是得到结论． 【详解】解：连接， 为的直径， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：15． 4．（2024·江苏徐州·二模）如图，为等边三角形，，若P为内一动点，且满足，则线段长度的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正三角形的性质、勾股定理的应用，三角形的外接圆的含义，圆周角定理的应用，菱形的判定与性质，难度较大．如图，作的外接圆，当三点在同一直线上时最小．连接交于点M，在优弧上找一点D，连接，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，作的外接圆，    ∴当三点在同一直线上时最小．连接交于点M，在优弧上找一点D， 连接， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∵为等边三角形， ∴四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：； 5．（2024·陕西西安·一模）如图，在三角形中，，用尺规作图，在三角形内作点，使得．（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】见解析 【分析】本题考查了作图基本作图，也考查了圆周角定理．作和的垂直平分线，它们的交点为，再以点为圆心，为半径作圆，则根据圆周角定理得到． 【详解】解：如图，点为所作． ． 6．（2024·湖北武汉·模拟预测）【问题背景】（1）如图，在四边形中，和相交于点，，求证：． 【理解运用】（2）如图，在等腰中，，，点是上一点，，，与相交于点，过点作于点，交于点，若，求的长． 【迁移拓展】（3）如图，在中，，，点是上一点，，直接写出线段的最小值． 【答案】（1）见详解，（2），（3） 【分析】（1）根据已有的相似可得，再结合即可证明； （2）先证明，根据（1）得结论有：，进而可得，再证明，可得，求出，再在中，有，问题随之得解； （3）作出得外接圆，圆心为点O，过C点作，使得，连接，，，，，先证明是等边三角形，结合 ， ，可得，即可得，根据，可知当B、D、E三点共线时，最小，问题得解． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴； （2）∵在等腰中，，，， ∴，，， ∵在中，，， ∴， ∵，， ∴， ∴根据（1）得结论有：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）作出得外接圆，圆心为点O，过C点作，使得，连接，，，，，如图， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， 当B、D、E三点共线时，最小，最小为：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，圆的外接三角形，等腰三角形的判定与性质等知识，问题的难点在第（3）问，作出合理的辅助线，构造相似三角形，是解答本题的关键． 考向五：直线与圆的位置关系 【题型5 直线与圆的位置关系的确定】 直线与圆的位置关系主要有三种:相交、相切和相离。 ①相交:直线和圆有两个公共点，这时直线叫做圆的割线。 ②相切:直线和圆只有一个公共点，这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点 ③相离:直线和圆没有公共点 1．（2023·湖北孝感·一模）已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心O到直线l的距离，则直线与的位置关系是（    ） A．相切 B．相离 C．相交 D．相切或相交 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的解法，直线与圆的位置关系等知识与方法，求出一元一次方程的解并且判断圆心到直线的距离与的半径之间的大小关系是解题的关键． 设的半径为，解一元一次方程得，，则，所以，可知直线与圆相离，于是得到问题的答案． 【详解】解：设的半径为， 解一元一次方程得，， ∵的半径是一元二次方程的一个根， ∴， ∵圆心到直线的距离， ∴， ∴直线与相离， 故选：B． 2．（2023·江苏苏州·模拟预测）已知中，，，以点为圆心，以长为半径作圆，则与的位置关系是（    ）    A．相离 B．相切 C．相交 D．外离 【答案】D 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系与数量之间的关系：圆心到直线的距离大于半径时，直线与圆相离．过点A作于点D，根据等腰三角形三线合一求得的值，再利用勾股定理可求得的长，把与圆的半径4比较大小，根据直线与圆的位置关系即可求解． 【详解】过点A作于点D，    根据等腰三角形三线合一得：， 根据勾股定理得：， 以长为半径的与的位置关系是相离， 故选：D． 3．（2024·上海·模拟预测）如图，在梯形中，，，，，如果以为直径的圆与梯形各边共有3个公共点（C，D两点除外），那么长的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】考查了直线和圆的位置关系与数量之间的联系．此题首先能够根据公共点的个数得到直线和圆的位置关系；再进一步计算出相切时圆心到直线的距离，从而根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系，得到答案． 【详解】解：根据题意，得圆必须和直线相交，设直线和圆相切于点E， 连接，则，， 又∵， ∴此时． 根据梯形的中位线定理，得 ， ∴， ∴， ∴直线要和圆相交，则． 故选D． 4．（2024·江苏南京·二模）如图，一辆汽车的轮胎因为漏气瘪掉了，将轮胎外轮廓看作一个圆，则这个圆和与它在同一平面内的地面（看作一条直线）的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．包含 【答案】A 【分析】本题主要考查直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题的关键；因此此题可直接根据图形进行求解即可． 【详解】解：由图可知：这个圆与这条直线的位置关系是相交； 故选：A． 5．（2024·青海西宁·二模）已知的半径等于，圆心到直线上某点的距离为，则直线与的公共点的个数为（    ） A．0 B．1 C．1或2 D．0或1 【答案】C 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，利用直线与圆的位置关系的判断方法得到直线l和相交或相切，然后根据相切与相交的定义对各选项进行判断． 【详解】 的半径为，圆心到直线上某点的距离为， 圆心到直线的距离 即圆心到直线的距离圆的半径， 直线和相切或相交， 直线与有个或个公共点． 故选：C． 考向六：切线的性质与判定 【题型6 切线的性质】 1、 切线的性质：经过切点的半径垂直于圆的切线； 延伸：经过切点的直径也垂直于圆的这条切线 常用辅助线及规律：见切点，连半径，得垂直！ 2、切线长定理：过圆外一点所作的圆的两条切线长相等； 1．（2024·福建·中考真题）如图，已知点在上，，直线与相切，切点为，且为的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了切线的性质，三角形内角和以及等腰三角形的性质，根据C为的中点，三角形内角和可求出，再根据切线的性质即可求解． 【详解】∵，为的中点， ∴ ∵ ∴ ∵直线与相切， ∴， ∴ 故选：A． 2．（21-22九年级上·北京东城·期末）如图，，是的切线，，为切点，点为上一点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，多边形内角和定理，掌握切线的性质，圆周角定理是解题的关键．如图所示，连接，根据切线的性质可得，根据圆周角定理可得，根据多边形的内角和定理即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的切线，为切点， ∴，即， ∵点为上一点，， ∴， 在四边形中，， 故选：D． 3．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，是的直径，点在的延长线上，与相切于点，若，则 °． 【答案】35 【分析】本题利用了切线的性质，三角形的外角与内角的关系，等边对等角求解．连接，构造直角三角形，利用，从而得出的度数． 【详解】解：连接， 与相切于点， ， ， ； ， ， 故答案为：35 4．（2024·山东青岛·中考真题）如图，中，，以为直径的半圆O分别交于点D，E，过点E作半圆O的切线，交于点M，交的延长线于点N．若，，则半径的长为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了切线的性质，解直角三角形，等边对等角，平行线的性质与判定等等，解题的关键在于证明，根据等边对等角推出，则可证明得到，再由切线的性质得到，则解求出的长即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴在中，， ∴， ∴半径的长为6， 故答案为：． 5．（2024·浙江·中考真题）如图，是的直径，与相切，A为切点，连接．已知，则的度数为    【答案】/40度 【分析】本题考查切线的性质，掌握圆的切线垂直于过切点的半径是解题的关键． 【详解】解：∵与相切， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 【题型7 切线的判定】 切线的判定方法1：圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线； 切线的判定方法2：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线； 切线证明常见辅助线及规律：有切点，连半径，证垂直；无切点，作垂直，证半径； 1．（2023·江苏扬州·中考真题）如图，在中，，点D是上一点，且，点O在上，以点O为圆心的圆经过C、D两点．    (1)试判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若的半径为3，求的长． 【答案】(1)直线与相切，理由见解析 (2)6 【分析】（1）连接，根据圆周角定理，得到，进而得到，即可得出与相切； （2）解直角三角形，求出的长，进而求出的长，再解直角三角形，求出的长即可． 【详解】（1）解：直线与相切，理由如下： 连接，则：，    ∵，即：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴直线与相切； （2）解：∵，的半径为3， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设：， 则：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查切线的判定，解直角三角形．熟练掌握切线的判定方法，正弦的定义，是解题的关键． 2．（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，为的直径，C为上一点，D为的中点，过C作的切线交的延长线于E，交的延长线于F，连． (1)求证：与相切； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查三线合一、切线的判定和性质、全等三角形的判定和性质，掌握相关定理并能利用等面积法解决问题是关键． （1）连接，由三线合一得，根据垂直平分线的性质可得，证明，利用全等三角形的性质可得即可； （2）先利用勾股定理求得，设，再根据等面积法列即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接，    是的切线， ， 为的中点，， ，则垂直平分， ， ，， ， ， 与相切； （2）解：，， ， 由（1）可知，， ， 设， ， ， ， 解得， 故的半径为． 3．（2024·云南昆明·模拟预测）如图，在中，，以为直径的交于点D（点D与点A不重合），交于点E，过点E作于点F，交的延长线于点G． (1)求证：是的切线； (2)如图1，若；求的半径； (3)如图2，连接，交点为H，当时，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接，由圆周角定理可得，即，再根据等腰三角形性质可得，由半径相等和等边对顶角得出，推出，根据平行线的判定可得，由得出半径，再运用切线的判定即可证得结论； （2）先证得，得出，求得，即可求得答案； （3）先证得是等边三角形，可得，，再利用直角三角形性质可得，推出，进而得出． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的直径， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴的半径为； （3）解：如图2，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，切线的判定，等腰三角形性质，等边三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，相似三角形的判定和性质等，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造基本图形解决问题，属于中考常考题型． 4．（2024·山西吕梁·模拟预测）如图，直角内接于，点是直角斜边上的一点，过点作的垂线交于，过点作交的延长线于点，连结交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】（1）连接，欲证明是的切线，只要证明即可； （2）延长交圆于点，由切割线定理求出即可解决问题． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， 又， ， ， ， ， 是切线； （2）解：延长交圆于点，连接 是切线， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ， ， ． 【点睛】本题考查切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角 三角形的性质，熟练掌握切线的判定定理和相似三角形的判定与性质是解题的关键． 5．（2024·贵州贵阳·二模）如图，在的边上取一点O，以O为圆心，为半径画，与边相切于点D，，连接OA交于点E，连接，并延长交线段于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径；． 【答案】(1)证明见解析 (2)半径为 【分析】（1）连，由切线的性质得出，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出，可得出结论； （2）由锐角三角函数可求的长，由勾股定理可求的长，由锐角三角函数可求的长，即可求解． 【详解】（1）证明：连OD， 与相切于点D， ， ， 在和中， ， ， ， ， 为半径， 是切线； （2）解：连接OD， ，， ， ， ， ， ， ， ， 半径为； 【点睛】本题考查了圆与三角形综合．熟练掌握全等三角形的判定与性质，切线的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数定义是解题关键． 6．（2024·广西玉林·一模）如图，内接于，是的直径，与相切于点，交的延长线于点，为的中点，连接、． (1)求证：是的切线； (2)已知，，求． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由等腰三角形的性质可得，由圆周角定理可得，由直角三角形的性质可得，可得，由切线的性质可得可证即可证明结论； （2）通过证明，可得，可求的帐，由三角形中位线定理可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接． ， ． 是直径， ， ， 为的中点， ， ， 与相切于点， ， ， ， ， ， 又为半径， 是的切线 （2）解：，， ， ， ， ， ． 为的中点，为中点， ， 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、圆的有关知识、等腰三角形的性质、直角三角形的性质等知点，利用相似三角形的性质求出的长是本题的关键． 7．（2024·云南昆明·三模）如图，在中，是的平分线，交于点O，以点O为圆心，为半径的与边相切，与边相交于点D，连接． (1)求证：是的切线； (2)若时，的半径为3，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查了切线的判定和性质，解直角三角形，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． （1）过点O作于点E，由切线的性质得到，根据角平分线的性质得到，再根据切线的判定定理即可证明结论成立； （2）根据直角三角形的性质角平分线的定义求得，在中，利用正切函数的定义求得的长，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：过点O作于点E． 与相切于点B， ， ， 平分，， ， 是的半径， 是的半径， ， 是的切线； （2）解：，， ， 平分， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， 在中，，， 根据勾股定理可得：． 8．（2024·广西桂林·一模）如图，为的切线，为切点，直线交于点E，F，过点作的垂线，垂足为，交于点，连接，延长与交于点，连接，． (1)求证为的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）如图1，连接，则，证明，则，证明，则，进而结论得证； （2）由是直径，可知，证明，则，即，可求，如图2，连接，由，可得，则，即，可得，，设，则，，由勾股定理得，，即，计算求解满足要求的解，然后根据，计算求解即可． 【详解】（1）证明：如图1，连接， ∵为的切线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵是半径， ∴为的切线； （2）解：∵是直径， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得，， 如图2，连接， ∵， ∴， ∴，即， ∴，， 设，则，， 由勾股定理得，，即， 解得，或（舍去）， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查了垂径定理，切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正切，同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握垂径定理，切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正切，同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角，相似三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 9．（2024·广东中山·一模）如图，内接于，是的直径，点D是上一点，连接、，过点B作，交的延长线于点E，平分． (1)求证：是的切线； (2)若，的半径为6，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查切线的判定定理，等边三角形的判定及性质，所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上知识点． （1）连接，求出即可； （2）证明是等边三角形，利用所对的直角边等于斜边的一半得到，再由勾股定理，进行求解即可． 【详解】（1）证明：连接． ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴． ∴， ∴，即， 又∵是的半径， ∴是的切线． （2）解：， ∴． 又∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴． 由勾股定理，得． 考向七：三角形的内切圆与内心 【题型8 内心的确定及其性质】 1、 三角形的内心：三角形条角平分线的交点； 实际画图时只需要画两条角分线的交点即可！ 2、三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等； 常做辅助线：作内心到三边的垂线段 1．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，，，，为的内切圆，过O作分别交、于D、E，则的长为（    ） A． B．4 C．5 D． 【答案】B 【分析】如图，为的内切圆，切点分别为，连接，，，过作于，利用内切圆的性质求解，，再利用相似三角形的性质解得即可． 【详解】解：如图，为的内切圆，切点分别为，连接，，，过作于， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选:B 【点睛】本题考查的是三角形的内切圆的性质，三角形的面积，相似三角形的判定与性质，切线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 2．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在一张纸片中，，，，是它的内切圆．小明用剪刀沿着的切线DE剪下一块三角形，则的周长为（    ） A．9 B．12 C．15 D．18 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，切线的性质，解直角三角形．设的内切圆切三边于点，连接，得四边形是正方形，由切线长定理可知，根据是的切线，可得，，根据勾股定理可得，再求出内切圆的半径，进而可得的周长． 【详解】解：如图，设的内切圆切三边于点、、，连接、、， ∴四边形是正方形，    由切线长定理可知， ∵是的切线， ∴，， ∵，，， ∴， 解得， ∴， ∵是的内切圆，、为切点， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， 设内切圆的半径为， ∴， ∴，， ∴， 解得， ∴， ∴的周长为： ． 故选：B． 3．（2024·山东济宁·二模）如图，四边形接于，点I是的内心，，点E在的延长线上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由点I是的内心知，从而求得，再进行角的等量代换，再利用圆内接四边形的外角等于内对角可得答案．本题主要考查三角形的内切圆与内心，解题的关键是掌握三角形的内心的性质及圆内接四边形的性质． 【详解】解：∵点I是的内心， ∴ ∵， ∴ ， 又四边形内接于， ∴， 故选：D． 4．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，已知在中，，，，点是的内心．点到边的距离为 ； 【答案】2 【分析】本题考查了三角形内切圆与内心，角平分线的性质．连接，，，过点分别作，，于点，，，根据，，可得，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，，，过点分别作，，于点，，， 在中， ，，， ， 是的内心， ， ， ， ， 点到边的距离为2； 故答案为：2． 5．（2023·湖北·中考真题）如图，在中，的内切圆与分别相切于点，，连接的延长线交于点，则 ．    【答案】/度 【分析】如图所示，连接，设交于H，由内切圆的定义结合三角形内角和定理求出，再由切线长定理得到，进而推出是的垂直平分线，即，则． 【详解】解：如图所示，连接，设交于H， ∵是的内切圆， ∴分别是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵与分别相切于点，， ∴， 又∵， ∴是的垂直平分线， ∴，即， ∴， 故答案为：．    【点睛】本题主要考查了三角形内切圆，切线长定理，三角形内角和定理，线段垂直平分线的判定，三角形外角的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 6．（2024·江苏泰州·一模）已知，是半径为的的内接三角形，点是的内心，射线分别交、于点． (1)如图，连接，求证：； (2)如图，； 若，求的长； 若，求的值； (3)如图，，射线分别交于点，点在直线上方的圆弧上运动，无论点如何移动，线段中有一个为定值，请判断是哪一个线段，并求出此定值． 【答案】(1)证明见解析； (2) ； ； (3)线段为定值，且． 【分析】（）由点是的内心，则，再由圆周角定理可得，从而求证； （）连接，，过点作于点，由点是的内心，得，再由勾股定理即可求解； 连接，过点作于点，过点作于点，由内心和线段和差即可求解； （）连接，，，，通过性质和圆周角定理证明为等边三角形即可． 【详解】（1）∵点是的内心， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）由题意知，，直径， ∴由勾股定理得， 连接，，过点作于点， ∵点是的内心， ∴， ∴， 在中， ， ； 连接，过点作于点，过点作于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵点是的内心， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）连接，，，， ∵点是的内心， ， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴ ∴， 连接，， 同理可得，，， 但，随着点的运动而变化， ∴线段为定值，且． 【点睛】本题考查了圆周角定理，内心的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键． 7．（2023·山东滨州·中考真题）如图，点是的内心，的延长线与边相交于点，与的外接圆相交于点．    (1)求证：； (2)求证：； (3)求证：； (4)猜想：线段三者之间存在的等量关系．（直接写出，不需证明．） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4) 【分析】（1）过点F作，垂足分别为，则，进而表示出两个三角形的面积，即可求解； （2）过点A作于点，表示出两三角形的面积，即可求解； （3）连接，证明得出，证明，得出，即可，恒等式变形即可求解； （4）连接，证明，得出，证明，得出，即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示，过点F作，垂足分别为， ∵点是的内心， ∴是的角平分线， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）证明：如图所示，过点A作于点，    ∵， ∴， 由（1）可得， ∴； （3）证明：连接，    ∵ ∴ ∴ ∴， ∴ ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴； ∴， ∴， （4）解：如图所示，连接，    ∵点是的内心， ∴是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形内心的定义，同弧所对的圆周角相等，角平分线的性质与定义，相似三角形的性质与判定，三角形的外角性质，三角形的面积公式等知识，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 考向八：正多边形与圆 【题型9 几个必记正多边形】 （1）正三角形 在⊙中△是正三角形，有关计算在中进行：； （2）正四边形 同理，四边形的有关计算在中进行，： （3）正六边形 同理，六边形的有关计算在中进行，. 1．（2024·云南昭通·一模）如图，正八边形内接于，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正多边形的性质．根据题意，由正八边形内接于知，． 【详解】解：正八边形内接于 ． 故选：C． 2．（2020·河北石家庄·模拟预测）如图，正五边形内接于，点是劣弧上一点(点不与点重合)，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正多边形和圆、圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键； 根据正多边形的边数求出圆心角的度数．求出的度数，再根据圆周角定理即可解决问题． 【详解】解：连接，， 为正五边形， ， ； 故选：B 3．（2024·内蒙古·中考真题）如图，正四边形和正五边形内接于，和相交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆内接正多边形的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，对顶角的性质，直角三角形的性质，连接，设与相交于点，由圆的内接正多边形的性质可得，，即得，即可由圆周角定理得，进而由三角形内角和定理得，再由直角三角形两锐角互余得到，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接，设与相交于点， ∵正四边形和正五边形内接于， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 4．（2024·四川·中考真题）如图，正六边形内接于，，则的长为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查了正六边形的性质，等边三角形的判定和性质，由正六边形的性质得到，得到为等边三角形，进而得到，判断出为等边三角形是解题的关键． 【详解】解： ∵是正六边形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 故选：C． 5．（2024·江苏连云港·中考真题）【问题情境】 （1）如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转45°（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的__________倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略； 【操作实践】 （2）如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边a、b、c、d之间存在某种数量关系．小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点P为端点的四条线段之间的数量关系； 【探究应用】 （3）如图5，在图3中“④”的基础上，小昕将绕点逆时针旋转，他发现旋转过程中存在最大值．若，，当最大时，求AD的长； （4）如图6，在中，，点D、E分别在边AC和BC上，连接DE、AE、BD．若，，求的最小值． 【答案】（1）2（2）（3）（4） 【分析】（1）利用圆与正多边形的性质分别计算两个正方形的面积可得答案； （2）如图，由，证明，再结合图形变换可得答案； （3）如图，将绕点逆时针旋转，可得在以为圆心，为半径的圆上运动，可得当与相切时，最大，再进一步解答即可； （4）如图，将沿对折，的对应点为，将沿对折，的对应点为，连接，再将沿方向平移，使与重合，如图，得，由（2）可得：，当三点共线时，最短，再进一步解答即可. 【详解】解：如图， ∵正方形，及圆为正方形的内切圆，为正方形的外接正方形， ∴设，， ∴，， ∴，， ∴大正方形面积是小正方形面积的2倍． （2）如图，∵， ∴，， ，， ∴， 如图， 结合图形变换可得：； （3）如图，∵将绕点逆时针旋转， ∴在以为圆心，为半径的圆上运动， ∵为圆外一个定点， ∴当与相切时，最大， ∴， ∴， 由（2）可得：， ∵，， ∴ ， ∴； （4）如图，将沿对折，的对应点为，将沿对折，的对应点为，连接， ∴，， 再将沿方向平移，使与重合，如图，得， 由（2）可得：， ∴当三点共线时，最短， ∵，， ∴，， ∴； ∴的最小值为； 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，轴对称的性质，平移的性质，旋转的性质，圆与正多边形的关系，切线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键. 考向九：弧长与扇形面积的计算 【题型10 弧长及扇形面积的公式及其计算】 ； 公式可以直接应用，也可以由弧长（或面积）的数值求解对应的圆心角或者半径 1．（2024·山西·中考真题）如图1是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图是其几何示意图（阴影部分为花窗）．通过测量得到扇形的圆心角为，，点，分别为，的中点，则花窗的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，熟知扇形的面积公式是解题的关键．用扇形的面积减去的面积即可解决问题． 【详解】解：由题知， （）， ∵点，分别是，的中点， ∴ （）， ∴（）， ∴花窗的面积为 故答案为：． 2．（2024·吉林·中考真题）某新建学校因场地限制，要合理规划体育场地，小明绘制的铅球场地设计图如图所示，该场地由和扇形组成，分别与交于点A，D．，，，则阴影部分的面积为 （结果保留）． 【答案】 【分析】本题考查了扇形面积公式，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键． 利用阴影部分面积等于大扇形减去小扇形面积，结合扇形面积公式即可求解． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 考向十：圆锥的计算 【题型11圆锥的公式及其计算】 ； 1．（2024·山东·模拟预测）如图，大圆柱上挖了一个小圆柱．已知大圆柱的底面和小圆柱的底面是同心圆，、分别是大圆柱和小圆柱的底面半径．若大圆柱的底面周长为，，小圆柱的体积为，小圆柱中放一个最大的圆锥，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆柱体积、圆锥侧面积和勾股定理，根据大圆柱柱的底面周长为和可求得圆柱的高，再结合小圆柱的体积为可求得小圆柱的底面半径，从而求得圆锥的母线，再根据圆锥侧面积公式解题即可． 【详解】解：大圆柱的底面周长为， 大圆柱的底面半径， ， 大圆柱的高， 又小圆柱的体积为， 小圆柱的底面面积为， 小圆柱的底面半径， 小圆柱中放了一个最大的圆锥， 圆锥的母线长， 该圆锥的侧面积为， 故选：A． 2．（2024·甘肃武威·三模） 如图，将半径为的圆形纸片沿折叠后，圆弧恰好能经过圆心，用图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆锥的计算，解直角三角形；作于，如图，根据折叠的性质得等于半径的一半，即 ，再根据特殊角的三角函数值得出，则，所以，则利用弧长公式可计算出弧的长，再求出底面圆的半径为，然后根据勾股定理计算这个圆锥的高． 【详解】如图，过点作，垂足为，交于点， 由折叠的性质可知， ，则 由此可得，在中，， 同理可得， 在中，由三角形内角和定理，得． 弧的长为． 设围成的圆锥的底面半径为，则， ． 圆锥的高为． 故选A． 3．（2024·江苏南通·中考真题）已知圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查求圆锥的侧面积，根据圆锥的侧面积公式进行计算即可． 【详解】解：圆锥的侧面积为 ； 故答案为：． 4．（2024·山东日照·模拟预测）如图，该几何体是由一个大圆锥截去上部的小圆锥后剩下的部分．若该几何体上、下两个圆的半径分别为和，原大圆锥高的剩余部分为，则其侧面展开图的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、圆锥的侧面积计算，三角形相似的判定和性质，熟练掌握圆锥的侧面积计算是解题的关键．根据展开面积大圆锥侧面积与小圆锥侧面积之差计算即可． 【详解】解：根据题意，补图如下：    ∵是原大圆锥剩余部分的高， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴，即 ∴， ∴， ∴侧面展开图的面积为， 故答案为：． 4．（2024·宁夏银川·模拟预测）如图，某圆锥形山峰，圆锥底面半径为，母线长为，欲从A处修一条最近的盘山公路到景点B（B位于母线的中点处），那么这条盘山公路的长度是 ． 【答案】 【分析】此题考查了圆锥的计算，勾股定理的应用，熟练掌握圆锥的底面圆的周长和扇形弧长相等是解题关键．将圆锥沿母线展开，根据两点之间线段最短可知：即为盘山公路的长度；设展开图的圆心角为，根据圆锥的底面周长是展开的扇形的弧长，可得，从而求得n的值；再利用勾股定理即可求得的长，从而完成解答． 【详解】解：如图，将圆锥展开得展开图，为的中点，连接，则是这条盘山公路的长度，设展开图的圆心角为． ∴， ∵圆锥的底面半径是， ∴的长为， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 5．（2024·广东·中考真题）综合与实践 【主题】滤纸与漏斗 【素材】如图1所示： ①一张直径为的圆形滤纸； ②一只漏斗口直径与母线均为的圆锥形过滤漏斗． 【实践操作】 步骤1：取一张滤纸； 步骤2：按如图2所示步骤折叠好滤纸； 步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形； 步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图1所示漏斗中． 【实践探索】 (1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁（忽略漏斗管口处）？用你所学的数学知识说明． (2)当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积．（结果保留） 【答案】(1)能，见解析 (2) 【分析】本题考查了圆锥，解题的关键是： （1）利用圆锥的底面周长＝侧面展开扇形的弧长求出圆锥展开图的扇形圆心角，即可判断； （2）利用圆锥的底面周长＝侧面展开扇形的弧长，求出滤纸围成圆锥形底面圆的半径，利用勾股定理求出圆锥的高，然后利用圆锥体积公式求解即可． 【详解】（1）解：能， 理由：设圆锥展开图的扇形圆心角为， 根据题意，得， 解得， ∴将圆形滤纸对折，将其中一层撑开，围成圆锥形，此时滤纸能紧贴此漏斗内壁； （2）解：设滤纸围成圆锥形底面圆的半径为，高为， 根据题意，得， 解得， ∴， ∴圆锥的体积为． （建议用时：35分钟） 1．（2024·四川凉山·中考真题）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，则圆形工件的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识．由垂径定理，可得出的长；设圆心为O，连接，在中，可用半径表示出的长，进而可根据勾股定理求出得出轮子的半径，即可得出轮子的直径长． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴直线经过圆心，设圆心为，连接．   中，， 根据勾股定理得： ，即： ， 解得：； 故轮子的半径为， 故选：C． 2．（2024·湖南·中考真题）如图，，为的两条弦，连接，，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半是解题的关键．根据圆周角定理可知，即可得到答案． 【详解】根据题意，圆周角和圆心角同对着， ， ， ． 故选：C． 3．（2024·河南许昌·二模）如图，平面直角坐标系中，经过三点，点D 是上的一动点．当点 D 到弦的距离最大时，点D 的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点P作于点E，作于点F，延长交于点D，此时 点 D 到弦的距离最大，利用垂径定理，勾股定理计算即可． 本题考查了直线与圆的位置关系，矩形的判定和性质，勾股定理，垂径定理，熟练掌握直线与圆的位置关系，勾股定理，垂径定理是解题的关键． 【详解】解：∵点, ∴, 过点P作于点E，作于点F，延长交于点D，此时点 D 到弦的距离最大， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴点 D 到弦的距离最大为， ∴点D的坐标为， 故选A． ． 4．（2024·四川泸州·模拟预测）如图，中，，点O为的外心，，，是的内切圆．则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了直角三角形的内心与外心．熟练掌握三角形内心性质，三角形外心性质，切线长定理，勾股定理解直角三角形，是解题的关键． 过点P作，，，根据三角形的内心性质得到，根据切线长定理得到，，，得到四边形是正方形，根据勾股定理求出，得到，求出，得到，得到，即得． 【详解】过点P作，，， ∵点P是内切圆的圆心， ∴，，，， ∴四边形是正方形， ∵中，， ，， ∴， 设，，， 则， ，得， ∴， ∴， ∵点O为的外心， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 5．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，在中，直径于点E，，则弦的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键． 由垂径定理得，设的半径为，则，在中，由勾股定理得出方程，求出，即可得出，在中，由勾股定理即可求解． 【详解】解：∵， ， 设的半径为，则， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：， ， ， 在中，由勾股定理得：， 故答案为：． 4 6．（2024·四川巴中·中考真题）如图，四边形ABCD是的内接四边形，若四边形OABC为菱形，则的度数是 ． 【答案】60° 【分析】根据菱形的性质得到∠AOC＝∠ABC，根据圆周角定理得到∠ADC＝∠AOC，根据圆内接四边形的性质得到∠ADC＋∠ABC＝180°，计算即可． 【详解】解：∵四边形OABC为菱形， ∴∠AOC＝∠ABC， 由圆周角定理得：∠ADC＝∠AOC， ∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形， ∴∠ADC＋∠ABC＝180°， ∴∠ADC＋2∠ADC＝180°，解得：∠ADC＝60°， 故答案为：60°． 【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理、菱形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 7．（2024·上海青浦·二模）在矩形中，与相交于点O．经过点B，如果与有公共点，且与边没有公共点，那么的半径长r的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】过点O作于点E，根据勾股定理得到，然后根据，得到，根据题意分两种情况，当线段在外时和当线段在内时，分别得到r的取值范围即可． 【详解】解：过点O作于点E， ∵是矩形， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵与有公共点，且与边没有公共点， 当线段在外时，如图，此时， 当线段在内时，如图，此时    ∴的半径r的取值范围是：或 故答案为：或． 【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，圆与圆的位置关系和直线和圆的位置关系，相似三角形的判定以及性质，掌握圆与圆的位置关系和直线和圆的位置关系是解题的关键． 8．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，在中，，是上一点，以为圆心，长为半径的圆与相切，切点为，与相交于点．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的计算，平行线分线段成比例，切线的性质，勾股定理，作于点M，连接，由切线得到，利用勾股定理求出半径，再依次求出，，，的长，最后根据，得到，代入求值即可． 【详解】解：如图，作于点M，连接， 设圆的半径为r，则， ∵，，， ∴， ∴， ∵长为半径的圆与相切， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∵长为半径的圆与相切，切点为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 9．（2024·河南鹤壁·模拟预测）如图，与相切于点A，与弦相交于点C，，若，，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了切线的性质，连接，如图，先根据切线的性质得到，再证明得到，设，则，，利用勾股定理得到，然后解方程即可，熟知切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 【详解】解：连接，如图， 与相切于点， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 设，则，， ， ， 解得， 即的长为4． 故答案为：4． 10．（2024·湖北·模拟预测）如图，是的切线，A，B为切点，是的直径，已知，则的大小是 ． 【答案】 【分析】本题考查圆周角的性质，切线的性质，多边形内角和； 连接，根据圆周角的性质可得，进而求出，最后根据多边形内角和即可求解． 【详解】连接，如图， ∵ ∴ ∴ ∵是的切线， ∴ ∴ 故答案为：． 11．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在中，以边上一点O为圆心，为半径作，与相切于点A．作交的延长线于点D，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求⊙O的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）过O点作于点E，推导出，然后根据角平分线的性质即可得到，证明结论； （2）先利用勾股定理求出长，然后利用全等三角形得到，然后再在中利用勾股定理解题即可． 【详解】（1）证明：过O点作于点E， ∵与相切于点A， ∴ 又∵， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴是的切线； （2）解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在中，，即， 解得：． 【点睛】本题考查切线的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握切线的判定和性质． 12．（2024·山东滨州·三模）如图，是以等腰的腰为直径所作的圆，点是与底边的交点，自点作，垂足为点，过点作的切线，交于 (1)求证：是的切线； (2)若的半径为5，，求此时的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先根据等腰三角形的性质得，再根据“同角的余角相等”得，然后根据等腰三角形的性质得，即可得，进而得出答案； （2）作，根据等腰三角形的性质得平分，再根据角平分线的性质得，接下来根据勾股定理求出，进而得出，，再根据勾股定理求出，最后根据平行线分线段成比例得出答案． 【详解】（1）∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵是的直径， ∴， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线； （2）过点D作，交于点G， ∵，， ∴平分． ∵，， ∴． 在中，，， ∴， ∴，． 在中，，， 根据勾股定理，得． ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， 即， 解得． 【点睛】本题主要考查了切线的性质和判定，等腰三角形的性质，直径所对的圆周角是直角，平行线分线段成比例，勾股定理，角平分线的性质等，勾股定理是求线段长的常用方法． 13．（2024·广东东莞·二模）【综合与实践】 主题：制作圆锥形生日帽． 素材：一张圆形纸板、装饰彩带． 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽，       (1)现在需要制作一个，的生日帽，请帮忙计算出所需扇形纸板的圆心角度数； (2)为了使（1）中所制作的生日帽更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），求彩带长度的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数，勾股定理求最值问题，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据扇形的两个面积公式可得，再代入求解即可； （2）连接，过点P作，线段就是彩带长度的最小值，根据等腰三角形性质及解直角三角形即可求解． 【详解】（1），， ， ， 扇形纸板的圆心角度数为； （2）如图所示．连接，过点P作，线段就是彩带长度的最小值， 由（1）得， , 彩带长度的最小值为． 15 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点04 圆的基本性质及直线与圆的位置关系综合训练 中考数学中《圆的基本性质及直线与圆的位置关系》部分主要考向分为十类： 一、垂径定理及其应用 二、圆周角定理 三、圆内接四边形 四、三角形的外接圆与外心 五、直线与圆的位置关系 六、切线的性质与判定 七、三角形内切圆与内心 八、正多边形和圆 九、弧长与扇形面积的计算 十、圆锥的计算 中考数学中，圆的基本性质与直线与圆的位置关系一直都是必考的考点，难度从基础到综合都有，通常选择、填空题会出圆的基本性质，如垂径定理、圆周角定理、弧长与面积的求法、切线的性质等，基本都是基础应用，难度不大，个别会出选择题的压轴题，难度稍大。简答题部分，一般会把切线的判定和相似三角形、锐角三角函数等结合考察，此时难度变大，综合性较强，需要认真应对。 考向一：垂径定理及其应用 【题型1 垂径定理及其推论】 1.圆中模型“知2得3” 由图可得以下5点： ①AB⊥CD；②AE=EB；③AD过圆心O；④；⑤； 以上5个结论，知道其中任意2个，剩余的3个都可以作为结论使用。 2.常做辅助线：连半径、作弦心距、见直接连弦长得直径所对圆周角 1．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在中，弦的长为8，圆心O到的距离，则的半径长为（    ） A．4 B． C．5 D． 2．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，圆形拱门最下端在地面上，为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，若，，则拱门所在圆的半径为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，是的直径，是的弦，半径，连接，交于点E，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 4．（2024·新疆·中考真题）如图，是的直径，是的弦，，垂足为E．若，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2024·四川遂宁·中考真题）工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积．如图所示，排污管道的横截面是直径为米的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面（图中阴影部分）宽为米，请计算出淤泥横截面的面积（    ） A． B． C． D． 6．（2024·江西·中考真题）如图，是的直径，，点C在线段上运动，过点C的弦，将沿翻折交直线于点F，当的长为正整数时，线段的长为 ． 7．（2023·浙江衢州·中考真题）如图是一个圆形餐盘的正面及其固定支架的截面图，凹槽是矩形．当餐盘正立且紧靠支架于点A，D时，恰好与边相切，则此餐盘的半径等于 cm．    8．（2023·青海·中考真题）综合与实践 车轮设计成圆形的数学道理 小青发现路上行驶的各种车辆，车轮都是圆形的.为什么车轮要做成圆形的呢？这里面有什么数学道理吗？带着这样的疑问，小青做了如下的探究活动： 将车轮设计成不同的正多边形，在水平地面上模拟行驶.      (1)探究一：将车轮设计成等边三角形，转动过程如图1，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是，，圆心角.此时中心轨迹最高点是C（即的中点），转动一次前后中心的连线是（水平线），请在图2中计算C到的距离. (2)探究二：将车轮设计成正方形，转动过程如图3，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是，，圆心角.此时中心轨迹最高点是C（即的中点），转动一次前后中心的连线是（水平线），请在图4中计算C到的距离（结果保留根号）. (3)探究三：将车轮设计成正六边形，转动过程如图5，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是，圆心角______.此时中心轨迹最高点是C（即的中点），转动一次前后中心的连线是（水平线），在图6中计算C到的距离______（结果保留根号）. (4)归纳推理：比较，，大小：______，按此规律推理，车轮设计成的正多边形边数越多，其中心轨迹最高点与转动一次前后中心连线（水平线）的距离______（填“越大”或“越小”）. (5)得出结论：将车轮设计成圆形，转动过程如图7，其中心（即圆心）的轨迹与水平地面平行，此时中心轨迹最高点与转动前后中心连线（水平线）的距离______.这样车辆行驶平稳、没有颠簸感.所以，将车轮设计成圆形. 考向二：圆周角定理 【题型2 圆周角定理及其推论】 圆中模型“知1得4” 由图可得以下5点： ①AB=CD；②；③OM=ON；④；⑤； 以上5个结论，知道其中任意1个，剩余的4个都可以作为结论使用 1．（2024·西藏·中考真题）如图，为的直径，点B，D在上，，，则的长为（    ） A．2 B． C． D．4 2．（2024·山东青岛·中考真题）如图，是上的点，半径，，，连接，则扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·海南·中考真题）如图，是半圆O的直径，点B、C在半圆上，且，点P在上，若，则等于（    ） A． B． C． D． 4．（2024·山西·中考真题）如图，已知，以为直径的交于点D，与相切于点A，连接．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 5．（2024·湖北·中考真题）如图，是半圆O的直径，C为半圆O上一点，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点D，画射线，连接．若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 6．（2024·山东泰安·中考真题）如图，是的直径，，是上两点，平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，是的内接正n边形的一边，点C在上，，则 ．    8．（2024·江苏常州·中考真题）如图，是的直径，是的弦，连接．若，则 ． 考向三：圆内接四边形 【题型3 圆内接四边形的性质及其推论】 1、性质：圆内接四边形对角互补； 2、推论：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角； 1．（2024·山东济宁·中考真题）如图，分别延长圆内接四边形的两组对边，延长线相交于点E，F．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，若，则的度数为（    ）      A． B． C． D． 3．（2024·吉林·中考真题）如图，四边形内接于，过点B作，交于点E．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·四川泸州·中考真题）如图，，是的切线，切点为A，D，点B，C在上，若，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·四川眉山·中考真题）如图，内接于，点在上，平分交于，连接．若，，则的长为 ． 6．（2024·山东滨州·中考真题）如图，四边形内接于，若四边形是菱形，则 ． 7．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，四边形是的内接四边形，点在四边形内部，过点作的切线交的延长线于点，连接．若，，则的度数为 ． 8．（2024·浙江·中考真题）如图，在圆内接四边形中，，延长至点E，使，延长至点F，连结，使． (1)若，为直径，求的度数． (2)求证：①；②． 考向四：三角形的外接圆与外心 【题型4 外心的确定及其性质】 1、三角形的外心：三角形三边中垂线的交点； 实际画图时只需要画两条中垂线的交点即可！ 2、三角形外心的性质：三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等； 常做辅助线：连结三角形内心和顶点的线段 1．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，在中，已知，，是的中点，点是的外接圆圆心，则（　　）    A． B． C． D． 2．（2024·山东淄博·二模）如图，在中，，于点，且，则面积的最小值为 ．    3．（2024·安徽合肥·一模）如图，内接于，为的直径，，，则 ． 4．（2024·江苏徐州·二模）如图，为等边三角形，，若P为内一动点，且满足，则线段长度的最小值为 ． 5．（2024·陕西西安·一模）如图，在三角形中，，用尺规作图，在三角形内作点，使得．（保留作图痕迹，不写作法）． 6．（2024·湖北武汉·模拟预测）【问题背景】（1）如图，在四边形中，和相交于点，，求证：． 【理解运用】（2）如图，在等腰中，，，点是上一点，，，与相交于点，过点作于点，交于点，若，求的长． 【迁移拓展】（3）如图，在中，，，点是上一点，，直接写出线段的最小值． 考向五：直线与圆的位置关系 【题型5 直线与圆的位置关系的确定】 直线与圆的位置关系主要有三种:相交、相切和相离。 ①相交:直线和圆有两个公共点，这时直线叫做圆的割线。 ②相切:直线和圆只有一个公共点，这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点 ③相离:直线和圆没有公共点 1．（2023·湖北孝感·一模）已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心O到直线l的距离，则直线与的位置关系是（    ） A．相切 B．相离 C．相交 D．相切或相交 2．（2023·江苏苏州·模拟预测）已知中，，，以点为圆心，以长为半径作圆，则与的位置关系是（    ）    A．相离 B．相切 C．相交 D．外离 3．（2024·上海·模拟预测）如图，在梯形中，，，，，如果以为直径的圆与梯形各边共有3个公共点（C，D两点除外），那么长的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（2024·江苏南京·二模）如图，一辆汽车的轮胎因为漏气瘪掉了，将轮胎外轮廓看作一个圆，则这个圆和与它在同一平面内的地面（看作一条直线）的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．包含 5．（2024·青海西宁·二模）已知的半径等于，圆心到直线上某点的距离为，则直线与的公共点的个数为（    ） A．0 B．1 C．1或2 D．0或1 考向六：切线的性质与判定 【题型6 切线的性质】 1、 切线的性质：经过切点的半径垂直于圆的切线； 延伸：经过切点的直径也垂直于圆的这条切线 常用辅助线及规律：见切点，连半径，得垂直！ 2、切线长定理：过圆外一点所作的圆的两条切线长相等； 1．（2024·福建·中考真题）如图，已知点在上，，直线与相切，切点为，且为的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（21-22九年级上·北京东城·期末）如图，，是的切线，，为切点，点为上一点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，是的直径，点在的延长线上，与相切于点，若，则 °． 4．（2024·山东青岛·中考真题）如图，中，，以为直径的半圆O分别交于点D，E，过点E作半圆O的切线，交于点M，交的延长线于点N．若，，则半径的长为 ． 5．（2024·浙江·中考真题）如图，是的直径，与相切，A为切点，连接．已知，则的度数为    【题型7 切线的判定】 切线的判定方法1：圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线； 切线的判定方法2：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线； 切线证明常见辅助线及规律：有切点，连半径，证垂直；无切点，作垂直，证半径； 1．（2023·江苏扬州·中考真题）如图，在中，，点D是上一点，且，点O在上，以点O为圆心的圆经过C、D两点．    (1)试判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若的半径为3，求的长． 2．（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，为的直径，C为上一点，D为的中点，过C作的切线交的延长线于E，交的延长线于F，连． (1)求证：与相切； (2)若，，求的半径． 3．（2024·云南昆明·模拟预测）如图，在中，，以为直径的交于点D（点D与点A不重合），交于点E，过点E作于点F，交的延长线于点G． (1)求证：是的切线； (2)如图1，若；求的半径； (3)如图2，连接，交点为H，当时，求线段的长． 4．（2024·山西吕梁·模拟预测）如图，直角内接于，点是直角斜边上的一点，过点作的垂线交于，过点作交的延长线于点，连结交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 5．（2024·贵州贵阳·二模）如图，在的边上取一点O，以O为圆心，为半径画，与边相切于点D，，连接OA交于点E，连接，并延长交线段于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径；． 6．（2024·广西玉林·一模）如图，内接于，是的直径，与相切于点，交的延长线于点，为的中点，连接、． (1)求证：是的切线； (2)已知，，求． 7．（2024·云南昆明·三模）如图，在中，是的平分线，交于点O，以点O为圆心，为半径的与边相切，与边相交于点D，连接． (1)求证：是的切线； (2)若时，的半径为3，求的长． 8．（2024·广西桂林·一模）如图，为的切线，为切点，直线交于点E，F，过点作的垂线，垂足为，交于点，连接，延长与交于点，连接，． (1)求证为的切线； (2)若，求的长． 9．（2024·广东中山·一模）如图，内接于，是的直径，点D是上一点，连接、，过点B作，交的延长线于点E，平分． (1)求证：是的切线； (2)若，的半径为6，求的长． 考向七：三角形的内切圆与内心 【题型8 内心的确定及其性质】 1、 三角形的内心：三角形条角平分线的交点； 实际画图时只需要画两条角分线的交点即可！ 2、三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等； 常做辅助线：作内心到三边的垂线段 1．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，，，，为的内切圆，过O作分别交、于D、E，则的长为（    ） A． B．4 C．5 D． 2．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在一张纸片中，，，，是它的内切圆．小明用剪刀沿着的切线DE剪下一块三角形，则的周长为（    ） A．9 B．12 C．15 D．18 3．（2024·山东济宁·二模）如图，四边形接于，点I是的内心，，点E在的延长线上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，已知在中，，，，点是的内心．点到边的距离为 ； 5．（2023·湖北·中考真题）如图，在中，的内切圆与分别相切于点，，连接的延长线交于点，则 ．    6．（2024·江苏泰州·一模）已知，是半径为的的内接三角形，点是的内心，射线分别交、于点． (1)如图，连接，求证：； (2)如图，； 若，求的长； 若，求的值； (3)如图，，射线分别交于点，点在直线上方的圆弧上运动，无论点如何移动，线段中有一个为定值，请判断是哪一个线段，并求出此定值． 7．（2023·山东滨州·中考真题）如图，点是的内心，的延长线与边相交于点，与的外接圆相交于点．    (1)求证：； (2)求证：； (3)求证：； (4)猜想：线段三者之间存在的等量关系．（直接写出，不需证明．） 考向八：正多边形与圆 【题型9 几个必记正多边形】 （1）正三角形 在⊙中△是正三角形，有关计算在中进行：； （2）正四边形 同理，四边形的有关计算在中进行，： （3）正六边形 同理，六边形的有关计算在中进行，. 1．（2024·云南昭通·一模）如图，正八边形内接于，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（2020·河北石家庄·模拟预测）如图，正五边形内接于，点是劣弧上一点(点不与点重合)，则（   ） A． B． C． D． 3．（2024·内蒙古·中考真题）如图，正四边形和正五边形内接于，和相交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·四川·中考真题）如图，正六边形内接于，，则的长为（    ） A．2 B． C．1 D． 5．（2024·江苏连云港·中考真题）【问题情境】 （1）如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转45°（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的__________倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略； 【操作实践】 （2）如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边a、b、c、d之间存在某种数量关系．小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点P为端点的四条线段之间的数量关系； 【探究应用】 （3）如图5，在图3中“④”的基础上，小昕将绕点逆时针旋转，他发现旋转过程中存在最大值．若，，当最大时，求AD的长； （4）如图6，在中，，点D、E分别在边AC和BC上，连接DE、AE、BD．若，，求的最小值． 考向九：弧长与扇形面积的计算 【题型10 弧长及扇形面积的公式及其计算】 ； 公式可以直接应用，也可以由弧长（或面积）的数值求解对应的圆心角或者半径 1．（2024·山西·中考真题）如图1是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图是其几何示意图（阴影部分为花窗）．通过测量得到扇形的圆心角为，，点，分别为，的中点，则花窗的面积为 ． 2．（2024·吉林·中考真题）某新建学校因场地限制，要合理规划体育场地，小明绘制的铅球场地设计图如图所示，该场地由和扇形组成，分别与交于点A，D．，，，则阴影部分的面积为 （结果保留）． 考向十：圆锥的计算 【题型11 圆锥的公式及其计算】 ； 1．（2024·山东·模拟预测）如图，大圆柱上挖了一个小圆柱．已知大圆柱的底面和小圆柱的底面是同心圆，、分别是大圆柱和小圆柱的底面半径．若大圆柱的底面周长为，，小圆柱的体积为，小圆柱中放一个最大的圆锥，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·甘肃武威·三模） 如图，将半径为的圆形纸片沿折叠后，圆弧恰好能经过圆心，用图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（　　） A． B． C． D． 3．（2024·江苏南通·中考真题）已知圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积为 ． 4．（2024·山东日照·模拟预测）如图，该几何体是由一个大圆锥截去上部的小圆锥后剩下的部分．若该几何体上、下两个圆的半径分别为和，原大圆锥高的剩余部分为，则其侧面展开图的面积为 ． 4．（2024·宁夏银川·模拟预测）如图，某圆锥形山峰，圆锥底面半径为，母线长为，欲从A处修一条最近的盘山公路到景点B（B位于母线的中点处），那么这条盘山公路的长度是 ． 5．（2024·广东·中考真题）综合与实践 【主题】滤纸与漏斗 【素材】如图1所示： ①一张直径为的圆形滤纸； ②一只漏斗口直径与母线均为的圆锥形过滤漏斗． 【实践操作】 步骤1：取一张滤纸； 步骤2：按如图2所示步骤折叠好滤纸； 步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形； 步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图1所示漏斗中． 【实践探索】 (1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁（忽略漏斗管口处）？用你所学的数学知识说明． (2)当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积．（结果保留） （建议用时：35分钟） 1．（2024·四川凉山·中考真题）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，则圆形工件的半径为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·湖南·中考真题）如图，，为的两条弦，连接，，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 3．（2024·河南许昌·二模）如图，平面直角坐标系中，经过三点，点D 是上的一动点．当点 D 到弦的距离最大时，点D 的坐标是（   ） A． B． C． D． 4．（2024·四川泸州·模拟预测）如图，中，，点O为的外心，，，是的内切圆．则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 5．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，在中，直径于点E，，则弦的长为 ． 6．（2024·四川巴中·中考真题）如图，四边形ABCD是的内接四边形，若四边形OABC为菱形，则的度数是 ． 7．（2024·上海青浦·二模）在矩形中，与相交于点O．经过点B，如果与有公共点，且与边没有公共点，那么的半径长r的取值范围是 ． 8．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，在中，，是上一点，以为圆心，长为半径的圆与相切，切点为，与相交于点．若，，则的长为 ． 9．（2024·河南鹤壁·模拟预测）如图，与相切于点A，与弦相交于点C，，若，，则的长为 ． 10．（2024·湖北·模拟预测）如图，是的切线，A，B为切点，是的直径，已知，则的大小是 ． 11．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在中，以边上一点O为圆心，为半径作，与相切于点A．作交的延长线于点D，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求⊙O的半径． 12．（2024·山东滨州·三模）如图，是以等腰的腰为直径所作的圆，点是与底边的交点，自点作，垂足为点，过点作的切线，交于 (1)求证：是的切线； (2)若的半径为5，，求此时的长． 13．（2024·广东东莞·二模）【综合与实践】 主题：制作圆锥形生日帽． 素材：一张圆形纸板、装饰彩带． 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽，       (1)现在需要制作一个，的生日帽，请帮忙计算出所需扇形纸板的圆心角度数； (2)为了使（1）中所制作的生日帽更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），求彩带长度的最小值． 15 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$