内蒙古自治区巴彦淖尔市第一中学2024-2025学年高二下学期第一次学业诊断检测数学试题

2024—2025 学年第二学期高二年级第一次学业诊断检测 数学试题 考试时间：120 分钟 考试分值：150 分 一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。） 1．现有 3幅不同的油画，4幅不同的国画，5幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，则 不同的选法共有（ ） A．10种 B．12种 C．20种 D．36种 2．某同学为了让自己渐渐养成爱运动的习惯，制定一个十天的运动习惯养成计划，他决定第一 天运动 10分钟，从第二天起，每天运动的时长比前一天多 5分钟．根据这个计划，该同学第十 天的运动时长为（ ） A．45分钟 B．50分钟 C．55分钟 D．60分钟 3．若 5 4 3 2 5 4 3 2 0 5 1(2 1)x a x a x a x a x a x a- = + + + + + ，则 0 2 4a a a+ + = （ ） A．121 B．122 C． 121- D． 122- 4．抛掷一枚质地均匀且各个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6 的正方体玩具．设事件A 为“向上一面 点数为偶数”，事件 B 为“向上一面点数为 6的约数”，则 ( )P A BU 等于（ ） A． 1 3 B． 1 2 C． 2 3 D． 5 6 5．记 nS 为等差数列 na 的前 n 项和，已知 5 10S S= ， 5 1a = ，则 1a =（ ） A． 7 2 B． 7 3 C． 1 3 - D． 7 11 - 6．已知事件 A，B互斥，它们都不发生的概率为 1 3 ，且 ( ) 3 ( )P A P B= ，则 ( )P B =（ ） A． 1 6 B． 1 3 C． 2 3 D． 5 6 7．等比数列 na 的各项均为正数，且 5 6 4 7 6a a a a+ = ，则 3 1 3 2 3 10log log loga a a+ + + =L （ ）． A． 53 B．5 C． 3log 15 D．30 8．已知双曲线 C：   2 2 2 2 1 0, 0 x y a b a b - = > > 的左、右焦点分别为 1F ， 2F ，直线 l经过 2F ，且与 C交 于 A，B两点，若 2 2 1 3 AF F B= uuuur uuuur ， 1 2 0AF AF× = uuur uuuur ，则C 的离心率为（ ） A． 10 2 B． 5 C． 3 D． 2 二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．） 9．设数列 na 的前 n 项和为 nS ，已知 2 1n nS a= - ，则下列结论正确的是（ ） A． 2 2S = B．数列 na 为等比数列 C． 2nna = D．若 2 1 2 2 1 log logn n n b a a+ + = ，则数列 nb 的前 10项和为 10 11 10．已知直线  : 2 0l mx y m m+ + = Î R ，圆 2 2: 4 2 0C x y y+ - + = ，则（ ） A． l经过定点  2,0- B．圆C 与圆 1C ： 2 2 2x y+ = 外离 C．当 l与圆C 相切时， 3m = . D．圆心C 到直线 l距离的最大值为 2 2 11．在长方体 1 1 1 1ABCD A B C D- 中， 2AB = ， 1 1BC CC= = ，E是CD的中点，则（ ） A． 1 1 1 2 B E AD AA AB= - - uuur uuur uuur uuur B．异面直线 1A B 与 1B E 所成角的余弦值为 15 5 C．直线 1AB 与平面 1BB E 所成角的正弦值为 10 5 D．点 B 到平面 1AD E的距离为 2 3 3 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12．数列 na 满足 1 2 n n a a+ = ，且 1 4a = ，则 2023 2024a a+ = ． 13．中国是世界上最早发明雨伞的国家，伞是中国劳动人民一个重要的创造.如图所示的雨伞， 其伞面被伞骨分成8个区域，每个区域分别印有数字1， 2，3，…，8 .现准备给该伞面的每个区 域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，对称的两个区域（如区域 1与区域5）所涂颜色相同.若有6 种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有 种. 14．直线 2 0kx y+ - = 与椭圆 2 2 1 6 x y m + = 恒有公共点，则实数m 的取值范围是 . 四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（13分）某校高一年级进行数学计算能力大赛，数学备课组从全年级的 1000 名学生的成绩中 抽取容量为 n 的样本，构成频率分布直方图，且成绩在区间  50,60 的人数为 5． (1)求样本容量 n 以及频率分布直方图中的 x； (2)估计全年级学生竞赛成绩的平均数； (3)从样本中得分在[80,100]的学生中随机抽取两人，问所抽取的两人中至少有一人的得分在区间 [90,100]的概率是多少？ 16．（15分）已知数列 na 是递增的等比数列，满足 1 4 9a a+ = ， 2 3 8a a = ． (1)求数列 na 的通项公式； (2)若 2logn nb a= ，求数列   1 1 1 1n nb b + ì üï ï í ý+ +ï ïî þ 的前 n 项和 nS ． 17．（15分）如图，三棱柱 1 1 1ABC A B C- 中，四边形 1 1AA B B是边长为 2的正方形，D，E 分别为 AB ， 1BB 的中点， AE 与 1A B 交于点F ，若 1AE AC^ ，且平面 ABC ^ 平面 1 1AA B B . (1)求证：CD ^平面 1 1AA B B； (2)若三棱柱 1 1 1ABC A B C- 的体积为 4，求锐二面角 1A CF A- - 的余弦值. 18．（17分）已知数列 na 满足 1 1 2, 1, 2 1, n n n a n a a a n+ +ì = = í +î 为奇数 为偶数 ． (1)设 2n nb a= ，写出 1 2 3, ,b b b ； (2)证明数列 3nb + 为等比数列； (3)求数列 na 的前 2n项和 2nS ． 19．（17分）已知抛物线 C： 2 2y px= （ 0p > ）经过点  01,P y （ 0 0y > ），F为焦点，且 2PF = . (1)求 C的方程及 0y ； (2)设 O为原点，过 F作斜率不为 0的直线 l交 C于 M，N两点，直线 1x = - 分别交直线 OM，ON 于 A，B.证明：以 AB为直径的圆经过 x 轴上的两个定点. 2024-2025 学年第二学期高二年级第一次学业诊断检测 数学试题参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C C D B D B A BD AD 题号 11 答案 ACD 12． 9 2 13．630 14．   4,6 6,+¥U 15．(1) 25n = ， 0.012x = (2) 71.4 (3) 7 10 【详解】（1）成绩在区间  50,60 的频率为0.2 ， 5 25 0.2 n = = ， 由频率分布直方图可得第 4 组的频率为：1 0.2 0.24 0.36 0.08 0.12- - - - = ，故 0.012x = . （2）先估计所抽取的 25 名学生成绩的平均数为 (55 0.02 65 0.024 95 0.008) 10 71.475 0.036 85 0.012´ + ´ ´ ´+ =+ ´ ´ + （分）， 估计全年级学生竞赛成绩的平均数为71.4 ； （3）得分成绩在 80,90 有0.012 10 25 3´ ´ = （人），这组的 3 名学生分别为 a， b ， c， 得分在区间[90，100]有0.008 10 25 2´ ´ = （人），这组的 2 名学生分别为 d ， e， 随机抽取两人，所以可能的结果为                    , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,a b a c a d a e b c b d b e c d c e d e 共 10 种， 所抽取的两人中至少有一人的得分在区间[90，100]的结果为              , , , , , , , , , , , , , ,a d a e b d b e c d c e d e 共 7 种， 故所抽取的两人中至少有一人的得分在区间[90,100]的概率是 7 10 P = . 16．(1) 12nna -= (2) 1n nS n = + 【详解】（1）由 2 3 8a a = 可得 1 4 8a a = ，又 1 4 9a a+ = ， 故 1 4,a a 是方程 2 9 8 0x x- + = 的两个实数根，且 1 4a a< 故 1 41, 8a a= = ，进而 2q = ， 故 12nna -= ， （2）由题意得 12 2log log 2 1 n n nb a n -= = = - ，故     1 1 1 1 1 1 1 1 1n nb b n n n n+ = = - + + + + ， 因此 1 1 1 1 1 11 1 2 2 3 1 1 1n nS n n n n æ ö æ ö æ ö= - + - + + - = - =ç ÷ ç ÷ ç ÷+ + +è ø è ø è ø L 17（1）证明：由D，E 分别为 AB ， 1BB 的中点，由正方形易知： 1DAA ABE@V V , 所以 1BAE AA DÐ = Ð ，又 1 90BAE EAA °Ð + Ð = ,所以 1 1 90AA D EAA °Ð + Ð = ，所以 1AE A D^ ， 又 1AE AC^ ， 1 1 1A D AC A=I ， 1 1,AC A D Ì平面 1ACD 内， 因此 AE ^ 平面 1ACD ，又CD Ì 平面 1ACD ，故 AE CD^ . 由平面 ABC ^ 平面 1 1AA B B，平面 ABC I平面 11AA B B AB= ，且 1AA AB^ ， 1AA Ì平面 1 1AA B B， 从而 1AA ^ 平面 ABC ，CD Ì 平面 ABC ，故 1AA CD^ ；又 1AE AA A=I ，又 1,AE AA Ì 平面 1 1AA B B， 故CD ^平面 1 1AA B B . （2）因为三棱柱 1 1 1ABC A B C- 的体积为 4， 由（1）知：三棱柱 1 1 1ABC A B C- 的体积为 12 2 2 4 2ABC S CD´ = ´ ´ ´ =V 则 2CD = . 因为CD ^平面 1 1AA B B，四边形 1 1AA B B为正方形， 以点D为坐标原点，DA uuur 、 1AA uuur 、DC uuur 的方向分别为 x 、 y 、 z 轴的正方向建立如下图所示的空间 直角坐标系， 则𝐴(1,0,0)，  0,0,2C ， 1 2, ,03 3F æ ö-ç ÷ è ø ，  1 1,2,0A ，  1,0,2AC = - uuur ， 1 4 4, ,0 3 3 FA æ ö= ç ÷ è ø uuur ， 1 2, , 2 3 3 FC æ ö= -ç ÷ è ø uuur ， 设平面 ACF 的法向量为  , ,m x y z=r ，则 0, 0, m FC m AC ì × =ï í × =ïî uuurr uuurr 即 1 2 2 0, 3 3 2 0, x y z z x ì - + =ï í ï - =î 令 1z = ，则 2x = ， 4y = ，从而  2,4,1m =r . 设平面 1ACF 的法向量为  , ,n a b c= r ，则 1 0, 0, n FC n FA ì × =ï í × =ïî uuurr uuurr 即 1 2 2 0, 3 3 4 4 0, 3 3 a b c a b ì - + =ïï í ï + = ïî 令 1c = ，则 2a = - ， 2b = ，从而  2,2,1n = -r . 则 5 5 21cos< , 6321 9 m nm n m n × >= = = × r rr r r r ，即锐二面角 1A CF A- - 的余弦值为 5 21 63 . 18．（1）已知 1 1a = ，因为 2n nb a= ，所以 1 2b a= . 当 1n = 时， 2 1 2 1 2 3a a= + = + = ，即 1 3b = . 当 2n = 时， 2 4b a= . 先求 3a ，因为 2n = 为偶数， 3 22 1 2 3 1 7a a= + = ´ + = . 再求 4a ，因为 3n = 为奇数， 4 3 2 7 2 9a a= + = + = ，即 2 9b = . 当 3n = 时， 3 6b a= . 先求 5a ，因为 4n = 为偶数， 5 42 1 2 9 1 19a a= + = ´ + = . 再求 6a ，因为 5n = 为奇数， 6 5 2 19 2 21a a= + = + = ，即 3 21b = . （2）由 2n nb a= 可得 1 2( 1) 2 2n n nb a a+ + += = . 所以 1 2 1 22 2 1 2 2 3n n n nb a a b+ += + = + + = + . 则 1 3 2( 3)n nb b+ + = + . 又 1 3 3 3 6b + = + = . 所以数列{ 3}nb + 是以6 为首项， 2为公比的等比数列. （3）由（2）可知 13 6 2 3 2n nnb -+ = ´ = ´ ，则 3 2 3nnb = ´ - . 2 1 2 3 4 2 1 2( ) ( ) ( )n n nS a a a a a a-= + + + + + +L . 因为 2n nb a= ， 2 1 2 2 2n na a- -= + . 所以 2 1 2 3 4 2 1 2 2 2 4 4 2 2( ) ( ) ( ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )n n n n nS a a a a a a a a a a a a-= + + + + + + = - + + - + + + - +L L . 即 2 1 22( ) 2n nS b b b n= + + + -L . 由等比数列求和公式可得 1 2 2(1 2 )3 3 6 (2 1) 3 1 2 n n nb b b n n - + + + = ´ - = ´ - - - L . 所以 2 2 [6 (2 1) 3 ] 2 12 2 12 6 2 12 2 8 12 n n n nS n n n n n= ´ ´ - - - = ´ - - - = ´ - - . 19．（1）因为抛物线 C： 2 2y px= （ 0p > ）经过点  01,P y ，F 为抛物线的焦点，且 2PF = ， 所以由抛物线的定义，可得 1 2 2 p + = ，解得 2p = ，所以 2 4y x= ，又因为 P 的横坐标为 1， 所以 2 0 4 1 4y = ´ = ，解得 0 2y = ± ，又 0 0y > ，所以 0 2y = . （2）因为直线 l 的斜率不为 0，焦点坐标为(1,0)， 设直线 l 的方程为 1x my= + . 与抛物线方程 2 4y x= 联立可得 2 4 4 0y my- - = .故 1 2 4y y m+ = ， 1 2 4y y = - . 可得 1 2 1 2 1 2 1 1 y y m y y y y + + = = - ， 2 21 2 1 2 1 2 1 1 16 16 1 4 y y m m y y y y - + - = = = + ， 设 2 1 1,4 yM y æ ö ç ÷ è ø ， 2 2 2,4 yN y æ ö ç ÷ è ø ，则 1 4 OMk y = ， 2 4 ONk y = ，可得直线 OM 的方程为 1 4y x y = ， 与 1x = - 联立，可得 1 41,A y æ ö - -ç ÷ è ø ，同理可得 2 41,B y æ ö - -ç ÷ è ø . 易知以 AB 为直径的圆的圆心坐标为   1 2 2 21, 1,2m y y æ ö - - - = -ç ÷ è ø ，圆的半径为 2 1 2 2 2 2 1m y y - = + ， 则圆的方程为      2 2 21 2 4 1x y m m+ + - = + .令 0y = ，整理可得 2 2 3 0x x+ - = ，解得 1 3x = - ， 2 1x = 即以 AB 为直径的圆经过 x 轴上的两个定点  3,0- ，(1,0).