精品解析：河南省安阳市文源高级中学2024-2025学年高一下学期开学考试数学试题

安阳市文源高级中学2024—2025学年（下）高一开学考试 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．回答非选择题时，将答案写在答题纸上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷与答题卡一并由监考人员收回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 已知集合则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的并集运算可得答案. 【详解】因为集合 所以. 故选:C 【点睛】本题考查了并集的运算,属于基础题. 2. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的有意义，列式运算得解. 【详解】由，则，解得. 所以函数的定义域为. 故选：C． 3. 已知扇形的圆心角为，周长为，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将角度化为弧度，再由弧长公式求出扇形的半径，最后由扇形面积公式计算可得. 【详解】因为，设扇形的半径为，所以，解得， 所以该扇形的面积． 故选：B． 4. 若正数a，b满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求解即得. 【详解】正数a，b满足，则， 当且仅当时取等号， 所以当时，取得最小值8. 故选：C 5. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数函数、指数函数的单调性，判断大致范围即可得解. 【详解】因为，所以， 因为，， 所以. 故选：C 6. 设偶函数的定义域为，当时，是增函数，则，，的大小关系是（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据偶函数的性质，结合单调性即可求解. 【详解】由于为偶函数，故，， 由于时，是增函数，， 故， 故选：A. 7. 已知表示，中的最大数，则的最小值为（ ） A. B. C. 0 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】令，根据所给定义求出的解析式，画出函数图象，数形结合即可得解. 【详解】令，由，解得或， 由，解得， 所以， 则的图象如下所示： 由图可知当时取得最小值，即， 所以的最小值为. 故选：C 8. 已知函数，则函数的零点个数为（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】令，求出方程的根，再结合图象求出的解的个数即可. 【详解】依题意，函数零点的个数，即为方程解的个数， 令，则，当时，，令，， 函数在上单调递增，于是函数在上单调递增， 又，，则存在，使得； 当时，，解得或， 作函数的大致图象，如图： 又，则， 当时，，由的图象知，方程有两个解； 当时，，由的图象知，方程有两个解； 当，时，，由的图象知，方程有一个解， 综上所述，函数的零点个数为5. 故选：B 【点睛】方法点睛：函数零点个数判断方法：(1)直接法：直接求出f(x)=0的解；(2)图象法：作出函数f(x)的图象，观察与x轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某数学小组在进行“数学建模活动——探究茶水温度与时间的关系”时，根据所收集的数据，得到时间（分钟）与水温（℃）的散点图（如图），则下列不可能作为该散点图对应的函数模型的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据常见函数的增长规律判定即可. 【详解】，单调递增，故A， C错误；，单调递减，满足题意. 故选：AC. 10. 下面关于叙述中正确的是（ ） A. 关于点对称 B. 关于直线对称 C. 在区间上单调 D. 函数的零点为（） 【答案】AC 【解析】 【分析】由题意利用正弦函数的对称性，单调性及零点逐项判断，得出结论 【详解】对于函数， 令，求得，可得它的图象关于点对称，故正确、不正确． 区间上，,单调递增，故正确． 令，得函数的零点为，故不正确， 故选：AC． 11. 下列命题是真命题的有（ ） A. 函数的值域为 B. 的定义域为 C. 若，则 D. 对于命题，使得，则，均有 【答案】AC 【解析】 【分析】根据三角函数值域的求解，具体函数定义域的求解，三角不等式的求解以及命题的否定的求解，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对A：， 又当时，，故，故A正确； 对B：要使得函数有意义，则且， 解得：且，故的定义域为，故错误； 对C：， 则，故正确； 对D：命题的否定，均有，故错误. 故选：. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则_____________. 【答案】 【解析】 【分析】直接根据三角函数的定义求解即可． 【详解】解：∵角的终边经过点， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查三角函数的定义，属于基础题． 13. 若是奇函数，则实数___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用可求得，验证可知满足题意. 【详解】定义域为，且为奇函数，，解得：； 当时，，， 为上的奇函数，满足题意； 综上所述：. 故答案为：. 14. 若正数，满足，则的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用基本不等式中“1”的妙用求得的取值范围，从而求得的最大值. 【详解】因为正数，满足，所以，即， 则， 当且仅当且，即时取等号， 此时取得最小值9，则的最大值为． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，. （1）当时，求集合； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据两个集合的交集的定义求出. （2）根据，分时和时两种情况，分别求得的范围，再取并集，即得所求. 【小问1详解】 当时，集合，， 故. 【小问2详解】 ，则， 当时，，即，满足，故； 当时，，即时，则，解得， 于是得， 综上所述：，所以实数的取值范围是. 16. 已知函数，记集合A为的定义域. （1）求集合A； （2）判断函数的奇偶性并证明； （3）当时，求函数的值域. 【答案】（1） （2）为奇函数，证明如下： 由（1）知的定义域关于原点对称， 又， 故为奇函数. （3） 【解析】 【分析】（1）利用对数型复合函数定义域的求法即可得解； （2）利用函数的奇偶性判断即可； （3）令，利用二次函数与指数函数的单调性求复合函数的值域即可. 【小问1详解】 对于， 有，解得，故. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 令，则其图象开口向上，对称轴为，又， 所以在上单调递增， 当时，；当时，； 所以，又在上递减， 所以，即 故的值域为. 17. 已知函数，，，的图象如图所示． （1）求的解析式； （2）设若关于的不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦函数的图象与性质结合题目所给图象得到和周期，从而求出，再代入点，求得即可； （2）根据（1）得到的解析式，从而求得的值域，再利用换元法令，得到关于的一元二次不等式，结合二次函数的性质即可求解. 【小问1详解】 由图象可得：，， 所以，又，则， 所以， 代入得：， 则，，解得：，， 又，所以， 故． 【小问2详解】 由（1）知：， 所以， 即，又，所以，则， 令，则有恒成立， 所以， 解得：， 故的取值范围为． 18. 已知函数． （1）求的最小正周期及的值； （2）求的最值及取得最值时对应x的值； （3）直线与函数的图象分别交于M，N两点，求的最大值． 【答案】（1）的最小正周期为； （2）答案见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式及二倍角公式化简解析式，求解最小正周期和函数值即可； （2）根据题意结合余弦函数最值分析求解； （3）利用题意把线段长度表示为三角函数，利用三角函数的性质求解最值即可. 【小问1详解】 因为， 所以，的最小正周期为. 【小问2详解】 因为， 当，即时，取到最大值1； 当，即时，取到最小值. 【小问3详解】 由题意可知，两点的坐标为，， 则，即， 故 ， 因为，所以， 所以， 所以在时的最大值为. 19. 设是非空实数集，且.若对于任意的，都有，则称集合具有性质；若对于任意的，都有，则称集合具有性质. （1）写出一个恰含有两个元素且具有性质的集合，并证明； （2）若非空实数集具有性质，求证：集合具有性质； （3）设全集，是否存在具有性质的非空实数集，使得集合具有性质？若存在，写出这样的一个集合；若不存在，说明理由. 【答案】（1），证明见解析 （2）证明见解析 （3）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意直接写出根据定义证明即可； （2）根据性质可知，分别说明集合中元素为1个、2个、大于2个时，集合中元素满足性质即可； （3）令集合，设，可得，令，且，①， ，这与矛盾；②，得，因此，这与矛盾综上可得到结论． 【小问1详解】 恰含有两个元素且具有性质的集合； 证明：； 【小问2详解】 若集合具有性质，不妨设，由非空数集具有性质，有. ①，易知此时集合具有性质. ②数集只含有两个元素，不妨设， 由，且，解得：，此时集合具有性质. ③实数集含有两个以上的元素，不妨设不为1的元素， 则有，由于集合具有性质， 所以有，这说明集合具有性质； 【小问3详解】 不存在具有性质的非空实数集，使得集合具有性质， 由于非空实数集具有性质，令集合， 依题意不妨设， 因为集合具有性质，所以， 若，则， 因为非空实数集具有性质，故，这与矛盾， 故集合不是单元素集， 令，且， ①，可得，即，这与矛盾； ②，由于，所以，因此，这与矛盾 综上可得：不存在具有性质的非空实数集，使得集合具有性质. 【点睛】方法点睛：集合新定义问题，命题新颖，且存在知识点交叉，常常会和函数的性质，包括单调性，值域等进行结合，很好的考虑了知识迁移，逻辑推理，综合运用能力，对于此类问题，一定要解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安阳市文源高级中学2024—2025学年（下）高一开学考试 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．回答非选择题时，将答案写在答题纸上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷与答题卡一并由监考人员收回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 已知集合则 A. B. C. D. 2. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 3. 已知扇形的圆心角为，周长为，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 若正数a，b满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 5. 设，则（ ） A. B. C. D. 6. 设偶函数的定义域为，当时，是增函数，则，，的大小关系是（   ） A. B. C. D. 7. 已知表示，中的最大数，则的最小值为（ ） A. B. C. 0 D. 2 8. 已知函数，则函数的零点个数为（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 8 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某数学小组在进行“数学建模活动——探究茶水温度与时间的关系”时，根据所收集的数据，得到时间（分钟）与水温（℃）的散点图（如图），则下列不可能作为该散点图对应的函数模型的是（ ） A. B. C. D. 10. 下面关于叙述中正确的是（ ） A. 关于点对称 B. 关于直线对称 C. 在区间上单调 D. 函数的零点为（） 11. 下列命题是真命题的有（ ） A. 函数的值域为 B. 的定义域为 C. 若，则 D. 对于命题，使得，则，均有 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则_____________. 13. 若是奇函数，则实数___________. 14. 若正数，满足，则的最大值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，. （1）当时，求集合； （2）若，求实数的取值范围. 16. 已知函数，记集合A为的定义域. （1）求集合A； （2）判断函数的奇偶性并证明； （3）当时，求函数的值域. 17. 已知函数，，，的图象如图所示． （1）求的解析式； （2）设若关于的不等式恒成立，求的取值范围． 18. 已知函数． （1）求的最小正周期及的值； （2）求的最值及取得最值时对应x的值； （3）直线与函数的图象分别交于M，N两点，求的最大值． 19. 设是非空实数集，且.若对于任意的，都有，则称集合具有性质；若对于任意的，都有，则称集合具有性质. （1）写出一个恰含有两个元素且具有性质的集合，并证明； （2）若非空实数集具有性质，求证：集合具有性质； （3）设全集，是否存在具有性质的非空实数集，使得集合具有性质？若存在，写出这样的一个集合；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $