精品解析：贵州省毕节市2024-2025学年高三下学期第二次模拟（3月）数学试题

毕节市2025届高三年级高考第二次适应性考试 数学 注意事项： 本试卷满分150分.考试用时120分钟. 1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡相应位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答填空题和解答题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 4.请保持答题卡平整，不能折叠.考试结束，监考员将答题卡收回. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知，则（ ） A. B. C. 1 D. 3 2. 已知集合，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，且的最小值为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 在中，点是的中点，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 正四棱台中，与底面所成的角为，则此四棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数是定义域为奇函数，是的导函数，，当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知圆，圆，则（ ） A 当时，圆与圆相切 B. 当时，圆与圆相交于两点，且直线的方程为 C 当时，圆与圆相交 D. 当时，圆与圆相交于两点，且 10. 甲，乙两个盒子中装有除颜色外完全相同的球，其中甲盒子中有3个红球，4个白球，乙盒子中有2个红球，3个白球.先从甲盒子中随机取出一球放入乙盒子，再从乙盒子中随机取出一球.事件“从甲盒子中取出的球是红球”，事件“从甲盒子中取出的球是白球”，事件“从乙盒子中取出的球是红球”.则（ ） A. B. C. D. 11. 在中，内角、、所对的边分别为、、，已知，，则（ ） A. B. 的周长的最大值为 C. 当最大时，的面积为 D. 的取值范围为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数且的图象过定点，则点的坐标是__________. 13. 的展开式中的系数为__________.（用数字作答） 14. 定义：表示不大于的最大整数，表示大于的最小整数，如，.设函数在定义域上的值域为，记中元素的个数为，则__________，__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知椭圆的一个顶点为，右焦点为，且，其中为坐标原点. （1）求椭圆的方程； （2）若过点作直线交于两点，且的面积为，求直线的方程. 16. 瑜伽锻炼能够增强身体的柔韧性和平衡性，同时也有助于减轻压力.为了了解人们对瑜伽的喜欢是否与性别有关，某调查机构在一社区随机调查了60人，得到成对样本观测数据的分类统计结果如下表所示. 喜欢 不喜欢 合计 男 10 20 30 女 20 10 30 合计 30 30 60 （1）依据的独立性检验，能否认为人们对瑜伽的喜欢与性别有关联？ 附：，其中. 0.1 0.05 001 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 （2）该社区居民刘女士每天选择在家瑜伽锻炼或去健身房锻炼.刘女士选择在家瑜伽锻炼并完成全部锻炼计划的概率为，未能完成全部锻炼计划的概率为.刘女士对于周一至周五的锻炼方式作出如下安排：周一在家瑜伽锻炼，周五去健身房锻炼；周二至周四，若前一天完成全部瑜伽锻炼计划，当天就继续在家瑜伽锻炼，否则自当天起都去健身房锻炼.设从周一至周五刘女士第一次去健身房锻炼前在家瑜伽锻炼的天数为，求的概率分布列及数学期望. 17. 已知数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）令，记数列的前项和为，求证：. 18. 已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若方程有两个根，求取值范围. 19. 如图，三棱锥中，，且，. （1）当三棱锥的体积最大时， ①求证：； ②求其外接球的表面积； （2）设为的中点，记平面与平面的夹角为，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 毕节市2025届高三年级高考第二次适应性考试 数学 注意事项： 本试卷满分150分.考试用时120分钟. 1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡相应位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答填空题和解答题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 4.请保持答题卡平整，不能折叠.考试结束，监考员将答题卡收回. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知，则（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】可先将展开并化简，根据复数相等的条件求出、的值，进而求得的值. 【详解】 已知，即. 则可得.由可得，将代入中， 得到，解得或. 当时，，； 当时，，. 所以.  故选：C. 2. 已知集合，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合，由求出实数的取值范围. 【详解】集合； ，. . 则实数的取值范围是. 故选：D. 3. 已知函数，且的最小值为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由的最小值为可得最小正周期，即可得答案. 【详解】因， 则的一个对称中心为，一条对称轴为， 又最小值为，则相邻对称中心与对称轴距离，即最小正周期的为， 则最小正周期为，则. 故选：B 4. 在中，点是的中点，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判断三角形为直角三角形，根据投影向量的定义，即可求得答案. 【详解】由题意知在中，点是的中点，且， 故， 则在上的投影向量为 . 故选：C 5. 已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，利用复合函数的单调性可得出，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】令， 则函数的减区间为，增区间为， 又因为函数在区间上单调递增，且外层函数在上为增函数， 所以，，可得，解得， 因此，实数的取值范围是. 故选：A. 6. 已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线和抛物线的定义求解. 【详解】因为，所以所以抛物线的焦点坐标为， 所以双曲线的一个焦点为， 所以，解得， 所以双曲线的方程为， 故选：A. 7. 正四棱台中，与底面所成的角为，则此四棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，分别取的中点，过作交于，确定，由线面角，求得棱台高，代入体积公式即可求解； 【详解】 ∵，，∴上、下底面的面积分别为， 设正四棱台的高为， 连接，分别取的中点， 由正四棱台性质可知：面，面，∴， 过作交于，则，面， ∴，为与底面所成的角， ∵， 由， 可得：，即， 所以. 故选：B. 8. 已知函数是定义域为的奇函数，是的导函数，，当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】当时，，可得在上单调递增，结合函数是定义域为的奇函数，，从而得到不等式，求出答案. 【详解】令，则， 由题意知当时，，故在上单调递增， 因为函数是定义域为的奇函数， 所以， 所以， 所以是定义域为的偶函数， 所以在上单调递减， 又因为，所以， 所以， 所以当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则. 则不等式的解集为. 故选：D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知圆，圆，则（ ） A. 当时，圆与圆相切 B. 当时，圆与圆相交于两点，且直线的方程为 C. 当时，圆与圆相交 D. 当时，圆与圆相交于两点，且 【答案】AB 【解析】 【分析】利用距离和半径的关系判断两圆的位置关系. 【详解】圆，则， 圆的圆心，半径为；圆的圆心，半径为， 则，，， 对于A，当时， ，，则，故两圆内切，故A正确； 对于B， 当时，，，则，故两圆相交，又圆，故直线的方程为，故B正确； 对于D，由选项B可知，此时圆心到直线的距离为，则，故D错误； 对于C，两圆相交，则，即，解得，故C错误. 故选：AB. 10. 甲，乙两个盒子中装有除颜色外完全相同的球，其中甲盒子中有3个红球，4个白球，乙盒子中有2个红球，3个白球.先从甲盒子中随机取出一球放入乙盒子，再从乙盒子中随机取出一球.事件“从甲盒子中取出的球是红球”，事件“从甲盒子中取出的球是白球”，事件“从乙盒子中取出的球是红球”.则（ ） A B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用条件概率的公式计算后可判断AC的正误，根据对立事件可判断B的正误，根据全概率公式可判断D的正误. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，为对立事件，故，故B错误； 对于C，，故， 故C错误； 对于D， ， 故D正确； 故选：AD. 11. 在中，内角、、所对的边分别为、、，已知，，则（ ） A. B. 的周长的最大值为 C. 当最大时，的面积为 D. 的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用正弦定理结合余弦定理可求出的值，结合角的取值范围可求得角的值，可判断A选项；利用余弦定理结合基本不等式可求出的周长的最大值为，可判断B选项；利用正弦定理结合三角形的面积公式可判断C选项；利用正弦定理、三角恒等变换结合正弦型函数的值域可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为， 由正弦定理可得，整理可得， 由余弦定理可得， 因为，故，A错； 对于B选项，因为，由余弦定理和基本不等式可得 ，即， 当且仅当时，等号成立，故的周长为， 即的周长的最大值为，B对； 对于C选项，由正弦定理可得，则， 当且仅当时，取最大值，此时，，，C对； 对于D选项，由正弦定理可得，则，， 所以， ， 因为，则，可得，则，D对. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：求三角形有关代数式的取值范围也是一种常见的类型，主要方法有两类： （1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解； （2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数且的图象过定点，则点的坐标是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用可得的坐标. 【详解】由函数解析式可得：当且仅当时，的值与无关， 故定点的横坐标为，故纵坐标为，故. 故答案为：. 13. 的展开式中的系数为__________.（用数字作答） 【答案】-30 【解析】 【分析】先求出的展开式的通项公式，再结合两个二项式相乘，即可求得答案. 【详解】展开式的通项公式为， 故的展开式中的系数为， 故答案为：-30 14. 定义：表示不大于的最大整数，表示大于的最小整数，如，.设函数在定义域上的值域为，记中元素的个数为，则__________，__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】以为单位长度逐段讨论，求出时的函数表达式，再分析其中包含的元素个数即可得. 【详解】①时， ，故； ② 若， 因， 则， 因，则包含， 其中， 此时共包含个元素， 则时，共包含个元素， 故中元素的个数为， 而也符合上式，则 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题是取整函数与数列的综合题，取整的关键在于对于中的每一个数向下或向上取整都有着相同的规律. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知椭圆的一个顶点为，右焦点为，且，其中为坐标原点. （1）求椭圆的方程； （2）若过点作直线交于两点，且的面积为，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的性质求出椭圆方程 （2）联立直线与椭圆方程，结合三角形面积公式求解直线方程. 【小问1详解】 由于椭圆的一个顶点为，所以， ，即，所以， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 由（1）可知右焦点， 依题意可知直线与轴不重合，设直线的方程为， 设，. 将直线的方程代入椭圆方程可得： ，展开并整理得. 所以，. 根据，可得： 所以. 的面积，，则： , 即，解得. 将代入直线的方程，可得直线的方程为， 即. 16. 瑜伽锻炼能够增强身体的柔韧性和平衡性，同时也有助于减轻压力.为了了解人们对瑜伽的喜欢是否与性别有关，某调查机构在一社区随机调查了60人，得到成对样本观测数据的分类统计结果如下表所示. 喜欢 不喜欢 合计 男 10 20 30 女 20 10 30 合计 30 30 60 （1）依据的独立性检验，能否认为人们对瑜伽的喜欢与性别有关联？ 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 （2）该社区居民刘女士每天选择在家瑜伽锻炼或去健身房锻炼.刘女士选择在家瑜伽锻炼并完成全部锻炼计划的概率为，未能完成全部锻炼计划的概率为.刘女士对于周一至周五的锻炼方式作出如下安排：周一在家瑜伽锻炼，周五去健身房锻炼；周二至周四，若前一天完成全部瑜伽锻炼计划，当天就继续在家瑜伽锻炼，否则自当天起都去健身房锻炼.设从周一至周五刘女士第一次去健身房锻炼前在家瑜伽锻炼的天数为，求的概率分布列及数学期望. 【答案】（1）依据的独立性检验，可认为人们对瑜伽的喜欢与性别有关联. （2）分布列见解析；. 【解析】 【分析】（1）计算，根据所给的数据进行判断. （2）列出的所有可能的值，并求出其对应的概率，可得的分布列，进而求. 【小问1详解】 因为， 因为， 所以依据的独立性检验，可认为人们对瑜伽的喜欢与性别有关联. 小问2详解】 由题意，可能的值为1,2,3,4 且，，，. 所以的分布列为： 1 2 3 4 所以. 17. 已知数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）令，记数列的前项和为，求证：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据数列的递推式即可求数列的通项公式. （2）利用错位相减求和法求数列的前项和. 【小问1详解】 当时，， 当时，，， 故. 时，上式亦成立. 所以数列的通项公式为： 【小问2详解】 因为， 所以， 所以 两式相减得：， 所以： 18. 已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若方程有两个根，求的取值范围. 【答案】（1）函数的单调递增区间为和，递减区间为 （2）的取值范围为 【解析】 【分析】（1）求导数，解不等式和，可求得单调区间； （2）因为不是的根，参变分离可得，令，求导可得的单调区间，进而可求得的取值范围. 【小问1详解】 当时，， 所以， 由，得或，由，得， 所以函数的单调递增区间为和，递减区间为； 【小问2详解】 因为不是的根，当时， 由，可得， 设， 则， ， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，， 当时，且， 当时，， 要使有两个根，则，解得， 所以的取值范围为. 19. 如图，三棱锥中，，且，. （1）当三棱锥的体积最大时， ①求证：； ②求其外接球的表面积； （2）设为的中点，记平面与平面的夹角为，求的最小值. 【答案】（1）①证明见解析；② （2） 【解析】 【分析】（1）①由于三角形的面积为定值，当三棱锥 的体积最大时， 平面，从而可证；② 先证 平面 ，可得，而 到的距离相等，所以为三棱锥 的外接球的球心. 求出外接球半径，利用外接球的表面积公式即可求解. （2）如图建立空间直角坐标系，设为的中点，，可设，得 ，利用空间向量法可得的表达式，再构造函数，利用导数研究函数的单调性即可求得的最小值. 【小问1详解】 ① 三角形的面积为定值，且 ， 当三棱锥 的体积最大时， 平面， 平面 ，； ②由①知，当三棱锥的体积最大时，平面 ， 平面 ， 平面 ，， 又 为的中点， 到的距离相等， 即为三棱锥 的外接球的球心. 设外接球半径为，则， 三棱锥的外接球的表面积为 ； 【小问2详解】 以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 ， 设为的中点，， 可设 ，由 ，得， 又 ，设平面的法向量 ， 则，即，令则 ， 可得平面的法向量 又 ，设平面的法向量 ， 则 ，即，令，则 ， 可得平面的法向量 , 则 ； 设 ，则 ， 易知 单调递减： 单调递增， 当 时， ， 所以 的最小值为. 【点睛】关键点点睛：第二小问中，如何设点 坐标是解题关键，利用空间向量法表达出，通过构造函数，求出函数的最小值是难点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$