精品解析：吉林省长春市东北师范大学西湖实验学校2024-2025学年九年级下学期开学考试数学试题

2024—2025学年下学期生涯前测——寒假作业验收 九年级数学学科试题 满分：120分 作答时间：120分钟 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 我国汉代数学家赵爽在他所著《勾股圆方图注》中，运用弦图（如图所示）巧妙地证明了勾股定理，下列关于“赵爽弦图”说法正确的是（ ） A. 是轴对称图形 B. 是中心对称图形 C. 既是轴对称图形又是中心对称图形 D. 既不是轴对称图形也不是中心对称图形 2. 下列四幅图片中的主体事物，在现实运动中属于翻折的是（ ） A. 工作中的雨刮器 B. 移动中的黑板 C. 折叠中的纸片 D. 骑行中的自行车 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 随着我国的发展与强大，中国文化与世界各国文化的交流与融合进一步加强．为了增进世界各国人民对中国语言和文化的理解，在世界各国建立孔子学院，推广汉语，传播中华文化．同时，各国学校之间的交流活动也逐年增加．在与国际友好学校交流活动中，小敏打算制做一个正方体礼盒送给外国朋友，每个面上分别书写一种中华传统美德，一共有“仁、义、礼、智、信、孝”六个字．如图是她设计的礼盒平面展开图，那么“礼”字对面的字是（ ）. A. 仁 B. 义 C. 智 D. 信 5. 如图，过直线外一点画已知直线的平行线的方法叫“推平行线”法（图中三角形是三角板），其依据是（ ） A. 同旁内角互补，两直线平行 B. 两直线平行，同旁内角互补 C. 同位角相等，两直线平行 D. 两直线平行，同位角相等 6. 如图是一间外观迷人的A型框架木屋，是年轻人户外度假住宿的理想选择．正如其名，A型木屋从正面来看呈现字母A的形状，两个侧边斜屋顶变成建筑的外立面，在顶部相交于点A．已知B、C两点间的距离为6米，，则木屋的侧边斜屋顶的长度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 7. 如图，在中，以点A为圆心，长为半径作弧，交于点D，再分别以点B，点D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于M，N两点，连接交于点E，已知，则的周长为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，交y轴于点A，，，，反比例函数恰好经过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 将多项式按的升幂排列的结果为________． 10. 如果二次根式，那么可以用含a和b的代数式表示为________． 11. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为_____________． 12. 如图1，要测量两堵围墙所形成的的度数，但人不能进入围墙，如图2，小轩分别延长至点C，BO至点D，则可得，小轩测量的依据是______． 13. 如图，与正五边形的边，分别交于点、，则劣弧所对的圆周角的大小为________. 14. 如图，在矩形中，E是边的中点，，垂足为点F，连接，分析下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有______． 三、解答题（本题共10小题；共78分） 15. 先化简，再求值：，其中. 16. 如图，有张分别印有版西游图案的卡片：唐僧、孙悟空、猪八戒、沙悟净． 现将这张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出张卡片求下列事件发生的概率： （1）第一次取出的卡片图案为“孙悟空”的概率为__________； （2）用画树状图或列表的方法，求两次取出的2张卡片中至少有张图案为“唐僧”的概率． 17. 2022年我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在保障能源安全，改善空气质量等方面较传统汽车都有明显优势．经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少0.6元．若充电费和加油费均为300元，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费． 18. 如图，在四边形中平分为的中点，连接． （1）求证：四边形为菱形； （2）若求的面积． 19. 某校为了解本校学生每天在校体育锻炼时间的情况，随机抽取了若干名学生进行调查，获得了他们每天在校体育锻炼时间的数据（单位：），并对数据进行了整理，描述，部分信息如下： a．每天在校体育锻炼时间分布情况： 每天在校体育锻炼时间x（） 频数（人） 百分比 14 40 m 35 n b．每天在校体育锻炼时间在这一组的是： 80 81 81 81 82 82 83 83 84 84 84 84 84 85 85 85 85 85 85 85 85 86 87 87 87 87 87 88 88 88 89 89 89 89 89 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中______，______； （2）若该校共有1000名学生，估计该校每天在校体育锻炼时间不低于80分钟的学生的人数； （3）该校准备确定一个时间标准p（单位：），对每天在校体育锻炼时间不低于p的学生进行表扬．若要使的学生得到表扬，则p的值可以是______． 20. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中，画出中边上的中线． （2）在图②中，在边上找到一点，连接，使． （3）在图③中，在边上找到一点，连接，使． 21. 综合与探究 我们知道：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角，一条弧所对的圆周角的度数等于它所对的圆心角度数的一半．类似地，我们定义：顶点在圆外，并且两边都和圆相交的角叫做圆外角． 【探究】 圆外角的度数与它所夹的弧所对的圆心角的度数之间有什么关系？ 【实验】 （1）如图1，当圆外角的两条边分别与有两个公共点时，改变的度数，测量得到如下数据： 的度数 所对的圆心角度数（） 所对的圆心角度数（） 猜想：_________．（用含，的式子表示） 【特例】 （2）当圆外角的其中一条边与只有一个公共点时，如图2，射线与相切于点A，射线经过圆心O，交于另一点C，设，所对的圆心角度数分别为，，写出的度数与，之间的数量关系，并证明． 【应用】 （3）在（2）的条件下，连接，若，，求的半径． 22. 如图，在矩形中，，，点以每秒个单位的速度从点沿向终点运动（点与点不重合），当点出发后，作，点在直线上，将沿翻折到处，设运动时间为（）． （1）的长为______； （2）用含的代数式表示的长度； （3）当点落在矩形的对角线上时，求的值； （4）连接，当直线经过矩形的边的中点时，直接写出的值． 23. 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线（b、c是常数）与坐标轴的交点为和． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）当时，y的取值范围是______； （3）已知点P在抛物线上，横坐标为，过点P作x轴的垂线，交直线于点Q，将Q为向右平移一个单位长度至点M，连接，构造（不重合）．完成以下问题： ①当点P在点Q下方时，求面积的最大值； ②当抛物线在的内部所对应的函数值y随x的增大而增大或y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年下学期生涯前测——寒假作业验收 九年级数学学科试题 满分：120分 作答时间：120分钟 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 我国汉代数学家赵爽在他所著《勾股圆方图注》中，运用弦图（如图所示）巧妙地证明了勾股定理，下列关于“赵爽弦图”说法正确的是（ ） A. 是轴对称图形 B. 是中心对称图形 C. 既是轴对称图形又是中心对称图形 D. 既不是轴对称图形也不是中心对称图形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形．熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念，是解决问题的关键．轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形：如果一个图形绕一个点旋转后，能和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐一判断，即得． 【详解】解：A、不是轴对称图形，A选不正确； B、是中心对称图形，B选不正确； C、不是轴对称图形是中心对称图形，C选不正确； D、不是轴对称图形是中心对称图形，D选不正确． 故选：B． 2. 下列四幅图片中的主体事物，在现实运动中属于翻折的是（ ） A. 工作中的雨刮器 B. 移动中的黑板 C. 折叠中的纸片 D. 骑行中的自行车 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了折叠，根据折叠的定义逐项判断即可求解，掌握折叠的定义是解题的关键． 【详解】解：、工作中的雨刮器，属于旋转，不合题意； 、移动中的黑板，属于平移，不合题意； 、折叠中的纸片，属于翻折，符合题意； 、骑行中的自行车，属于平移，不合题意； 故选：． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，关键是掌握同底数幂的乘法和除法，幂的乘方，积的乘方的运算法则． 根据同底数幂的乘法和除法，幂的乘方，积的乘方，分别根据相应的运算法则计算即可． 【详解】A、 ，故选项A错误； B、， 故选项B错误； C、 ，故选项C错误； D、，故选项D正确． 故选：D． 4. 随着我国的发展与强大，中国文化与世界各国文化的交流与融合进一步加强．为了增进世界各国人民对中国语言和文化的理解，在世界各国建立孔子学院，推广汉语，传播中华文化．同时，各国学校之间的交流活动也逐年增加．在与国际友好学校交流活动中，小敏打算制做一个正方体礼盒送给外国朋友，每个面上分别书写一种中华传统美德，一共有“仁、义、礼、智、信、孝”六个字．如图是她设计的礼盒平面展开图，那么“礼”字对面的字是（ ）. A. 仁 B. 义 C. 智 D. 信 【答案】A 【解析】 【分析】根据正方体的平面分解图知识求解. 【详解】正方体展开有六个面，“礼”与“智，信，义，孝”相邻，分别是都相邻的面，而与“仁”是相对.故答案选A. 【点睛】本题考查正方体的平面分解图知识.熟悉正方体的11种平面展开图是解题的关键. 5. 如图，过直线外一点画已知直线的平行线的方法叫“推平行线”法（图中三角形是三角板），其依据是（ ） A. 同旁内角互补，两直线平行 B. 两直线平行，同旁内角互补 C. 同位角相等，两直线平行 D. 两直线平行，同位角相等 【答案】C 【解析】 【分析】根据和是三角板中的同一个角，得，根据平行线的判定，即可． 【详解】∵， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴C正确． 故选：C． 【点睛】本题考查平行线的判定，解题的关键是掌握平行线的判定． 6. 如图是一间外观迷人的A型框架木屋，是年轻人户外度假住宿的理想选择．正如其名，A型木屋从正面来看呈现字母A的形状，两个侧边斜屋顶变成建筑的外立面，在顶部相交于点A．已知B、C两点间的距离为6米，，则木屋的侧边斜屋顶的长度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】过点A作于点D，可得米，在中，根据锐角三角函数，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作于点D， 根据题意得：，米，， ∴米， 在中， 米． 故选：D 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，熟练掌握锐角三角函数的意义是解题的关键． 7. 如图，在中，以点A为圆心，长为半径作弧，交于点D，再分别以点B，点D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于M，N两点，连接交于点E，已知，则的周长为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了作垂线，垂直平分线的性质等知识．熟练掌握作垂线，垂直平分线的性质是解题的关键． 解：由作图可知，，直线为线段的垂直平分线，则，根据的周长为，计算求解即可． 【详解】解：由作图可知，，直线为线段的垂直平分线， ∴， ∴的周长为． 故选：D． 8. 如图，在平面直角坐标系中，交y轴于点A，，，，反比例函数恰好经过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数与几何的综合及三角函数，熟练掌握反比例函数的图象与性质及三角函数是解题的关键；过点C作轴于点D，然后根据特殊三角函数值可进行求解． 【详解】解：过点C作轴于点D，如图所示： ∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选B． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 将多项式按的升幂排列的结果为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了升幂排列的定义：我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从小到大的顺序排列称为按这个字母的升幂排列．多项式能够重新排列的依据是加法的交换律．注意，在排列多项式各项时，要保持其原有的符号．先分清多项式的各项，再把各项按字母x的指数从小到大排列即可． 【详解】解：多项式的各项为，，，， 按字母x的升幂排列是：． 故答案为：． 10. 如果二次根式，那么可以用含a和b的代数式表示为________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据，即可得到答案． 【详解】解：， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是二次根式乘法运算及代数式的表示，熟练掌握二次根式运算法则是解题关键． 11. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键．利用一元二次方程根的判别式，即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 如图1，要测量两堵围墙所形成的的度数，但人不能进入围墙，如图2，小轩分别延长至点C，BO至点D，则可得，小轩测量的依据是______． 【答案】对顶角相等 【解析】 【分析】本题主要考查了对顶角的性质，根据对顶角相等进行求解即可． 【详解】解：由题意得，小轩测量的依据是对顶角相等， 故答案为：对顶角相等． 13. 如图，与正五边形的边，分别交于点、，则劣弧所对的圆周角的大小为________. 【答案】##54度 【解析】 【分析】本题考查了多边形内角和公式，圆周角定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先计算出正五边形的内角和，然后得到的度数，然后根据圆周角定理，求得答案． 【详解】解：五边形是正五边形， 其内角和为， ， ． 故答案为：． 14. 如图，在矩形中，E是边的中点，，垂足为点F，连接，分析下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有______． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、平行四边形的判定与性质等知识点，正确的作出辅助线构造平行四边形是解题的关键． 先证明，即可判定①；由，推出推出，由，推出，即可判定②；只要证明垂直平分，即可判定③；设，，则，由可得，即，可得，可判断④． 【详解】解：①如图：过D作交于N， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵于点F， ∴， ∴，故①正确； ②∵， ∴， ∴， ∵E是边的中点， ∴， ∴， ∴，故②正确； ③∵， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∴， ∵于点F，， ∴， ∴垂直平分， ∴，故③正确； 设，，则， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，故④错误． 综上所述，正确结论①②③． 故答案为：①②③． 三、解答题（本题共10小题；共78分） 15. 先化简，再求值：，其中. 【答案】2a+10，15 【解析】 【分析】先运用完全平方公式与平方差公式计算，再合并同类项即可化简，然后再把a值代入计算即可求解． 【详解】解： =a2+2a+1-a2+9 =2a+10， 当时，原式=2×+10=15． 【点睛】本题考查整式的化简求值，熟练掌握完全平方与平方差公式是解题的关键． 16. 如图，有张分别印有版西游图案的卡片：唐僧、孙悟空、猪八戒、沙悟净． 现将这张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出张卡片求下列事件发生的概率： （1）第一次取出的卡片图案为“孙悟空”的概率为__________； （2）用画树状图或列表的方法，求两次取出的2张卡片中至少有张图案为“唐僧”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率公式即可求解； （2）根据题意，画出树状图， 进而根据概率公式即可求解． 【小问1详解】 解：共有张卡片， 第一次取出的卡片图案为“孙悟空”的概率为 故答案为：． 【小问2详解】 树状图如图所示： 由图可以看出一共有16种等可能结果，其中至少一张卡片图案为“A唐僧”的结果有7种． ∴(至少一张卡片图案为“A唐僧”）． 答：两次取出的2张卡片中至少有一张图案为“A唐僧”的概率为． 【点睛】本题考查了概率公式求概率，画树状图法求概率，熟练掌握求概率的方法是解题的关键． 17. 2022年我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在保障能源安全，改善空气质量等方面较传统汽车都有明显优势．经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少0.6元．若充电费和加油费均为300元，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费． 【答案】0.2元 【解析】 【分析】设这款电动汽车平均每公里的充电费用为x元，由题意：若充电费和加油费均为300元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍，列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设这款电动汽车平均每公里的充电费用为x元，则燃油车平均每公里的加油费为 元， 根据题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：这款电动汽车平均每公里的充电费用为0.2元． 【点睛】本题主要考查分式方程的应用，理解题意并找到等量关系是解题的关键． 18. 如图，在四边形中平分为的中点，连接． （1）求证：四边形为菱形； （2）若求的面积． 【答案】（1）证明：∵E为的中点， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴四边形是平行四边形． ∵平分 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴平行四边形是菱形． （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先通过一组对边平行且相等证明四边形是平行四边形．再结合角平分线的定义以及边的等量代换，得邻边相等的平行四边形是菱形，即可作答． （2）先由菱形的性质，证明是等边三角形．再结合勾股定理得，根据三角形的面积公式建立式子，进行计算，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴ ∴． ∴是等边三角形． ∴． ∴． ∴ ∴． 19. 某校为了解本校学生每天在校体育锻炼时间的情况，随机抽取了若干名学生进行调查，获得了他们每天在校体育锻炼时间的数据（单位：），并对数据进行了整理，描述，部分信息如下： a．每天在校体育锻炼时间分布情况： 每天在校体育锻炼时间x（） 频数（人） 百分比 14 40 m 35 n b．每天在校体育锻炼时间在这一组的是： 80 81 81 81 82 82 83 83 84 84 84 84 84 85 85 85 85 85 85 85 85 86 87 87 87 87 87 88 88 88 89 89 89 89 89 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中______，______； （2）若该校共有1000名学生，估计该校每天在校体育锻炼时间不低于80分钟的学生的人数； （3）该校准备确定一个时间标准p（单位：），对每天在校体育锻炼时间不低于p的学生进行表扬．若要使的学生得到表扬，则p的值可以是______． 【答案】（1）， （2）人 （3）86（答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）根据所有组别的频率之和为1求出m即可；用组别的频数除以频率得到参与调查的学生人数，进而求出n的值即可； （2）用1000乘以样本中每天在校体育锻炼时间不低于80分钟的学生的人数占比即可得到答案； （3）把每天在校体育锻炼时间从低到高排列，找到处在第75名和第76名的锻炼时间即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得，， 人， ∴这次参与调查的学生人数为100人， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：人， ∴估计该校每天在校体育锻炼时间不低于80分钟的学生的人数为人； 【小问3详解】 解：把每天在校体育锻炼时间从低到高排列，处在第75名和第76名的锻炼时间分别为， ∵要使的学生得到表扬， ∴， ∴p的值可以为86， 故答案为：86（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了频率与频数分布表，用样本估计总体等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 20. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中，画出中边上的中线． （2）在图②中，在边上找到一点，连接，使． （3）在图③中，在边上找到一点，连接，使． 【答案】（1） 如图①，即为所求． （2） 如图②，点即为所求． （3） 如图③，点即为所求． 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接即可． （2）取格点，，使，，，连接交于点，则点即为所求． （3）取格点，使，，取与网格线的交点，连接交于点，则点即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：取格点，，使，，，连接交于点，连接， 则， ， ． 【小问3详解】 解：取格点，使，，取与网格线的交点， 则， 即， 连接交于点， ． 【点睛】本题考查作图—应用与设计作图、三角形的中线、相似三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键． 21. 综合与探究 我们知道：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角，一条弧所对的圆周角的度数等于它所对的圆心角度数的一半．类似地，我们定义：顶点在圆外，并且两边都和圆相交的角叫做圆外角． 【探究】 圆外角的度数与它所夹的弧所对的圆心角的度数之间有什么关系？ 【实验】 （1）如图1，当圆外角的两条边分别与有两个公共点时，改变的度数，测量得到如下数据： 的度数 所对的圆心角度数（） 所对的圆心角度数（） 猜想：_________．（用含，的式子表示） 【特例】 （2）当圆外角的其中一条边与只有一个公共点时，如图2，射线与相切于点A，射线经过圆心O，交于另一点C，设，所对的圆心角度数分别为，，写出的度数与，之间的数量关系，并证明． 【应用】 （3）在（2）的条件下，连接，若，，求的半径． 【答案】（1） （2）， 证明如下： 连接，如图所示， ∵与相切于点A， ∴． ∴，即． ∵，即， ∴． ∴．     （3） 【解析】 【分析】（1）通过分析表格中数据间的数量关系即可得出猜想； （2）连接，根据切线的性质推出，再由，即可推出； （3）过点C作于点D，根据，设，，再证明得出，求出，最后利用勾股定理即可求出圆的半径． 【详解】（1）根据表中数据可猜想， 故答案是：． （2）略 （3）过点C作于点D，如图所示． ∵， 可设，． ∴，． ∴． ∵，， ∴． ∴，即， 解得，． 在中，由勾股定理，得， 即， 解得（负值已舍去）． ∴． 的半径为． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握切线的性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 22. 如图，在矩形中，，，点以每秒个单位的速度从点沿向终点运动（点与点不重合），当点出发后，作，点在直线上，将沿翻折到处，设运动时间为（）． （1）的长为______； （2）用含的代数式表示的长度； （3）当点落在矩形的对角线上时，求的值； （4）连接，当直线经过矩形的边的中点时，直接写出的值． 【答案】（1）； （2）； （3）或 （4），． 【解析】 【分析】（）利用勾股定理即可求解； （2）根据点P运动的路程为，即可得到的长度； （3）分情况：当点落在矩形的对角线上时，当点落在矩形的对角线上时，分别求解； （4）分两种情况：当直线经过矩形的边的中点M时，当直线经过矩形的边的中点H时，根据相似三角形求解即可． 【小问1详解】 ∵四边形是矩形，，， ∴，， 根据勾股定理得， 故答案为； 【小问2详解】 当时，， 当时，， ∴ 【小问3详解】 当点落在矩形的对角线上时， ∵， ∴， 解得； 当点落在矩形的对角线上时，则， ∴， ∵， ∴ 又∵， ∴， ∴，即， 解得； 综上，当或时，点落在矩形的对角线上； 【小问4详解】 当直线经过矩形的边的中点M时， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得； 当直线经过矩形的边的中点H时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 得， ∴， ∵点A与点Q关于对称， ∴ ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得． 【点睛】此题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，轴对称的性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 23. 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线（b、c是常数）与坐标轴的交点为和． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）当时，y的取值范围是______； （3）已知点P在抛物线上，横坐标为，过点P作x轴的垂线，交直线于点Q，将Q为向右平移一个单位长度至点M，连接，构造（不重合）．完成以下问题： ①当点P在点Q下方时，求面积的最大值； ②当抛物线在的内部所对应的函数值y随x的增大而增大或y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围． 【答案】（1），顶点坐标 （2） （3）①；②或 【解析】 【分析】（1）把过点代入抛物线的解析式中，确定字母系数，得到具体解析式后化成顶点式解答即可； （2）根据函数的增减性，最值解答即可． （3）①设，则，利用二次函数的最值解答即可； ②当点P在Q的上方时，且P与Q都与直线与抛物线的交点重合时，三角形不存在，根据，确定交点坐标，可表示此时的范围为；当点P在Q的下方时，点M未落到抛物线上时，的内部都在抛物线的上方，二者无公共部分；当点P在Q的下方时，点M落到抛物线上时，此时，， 得到，求得，取，结合直线与抛物线的交点，确定范围即可． 【小问1详解】 解：将和代入， 得， ， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的解析式为，顶点坐标． 【小问2详解】 解：由（1）得函数解析式为， ∵抛物线开口向上， ∴函数有最小值，且当时，取得最小值，最小值为， ∵包含， ∴内的最小值为， 当时，， 当时，， ∴． 【小问3详解】 解：①由点P在抛物线上，点Q在直线上， 设， ∵点P在点Q下方， ∴， 当时，取最大值为， ∵Q为向右平移一个单位长度至点M， ∴，， ∴的面积最大值． ②解：如图1，设抛物线与直线的交点分别为G，H， 根据题意，得， 解得， ∴， 当P在Q上方，且P、Q、H三点不重合时，抛物线在的内部所对应的函数值y随x的增大而减小，符合题意，此时， ∴； 如图2，当点P在Q的下方时，点M未落到抛物线上时，的内部都在抛物线的上方，二者无公共部分； 如图3，当点P在Q的下方时，点M落到抛物线上时，此时，， 故得， 解得， ∴； 如图4，当P在Q下方，且P、Q、G三点不重合时，抛物线在的内部所对应的函数值y随x的增大而增大，符合题意，此时， ∴； 当点P在点G的上方时，在抛物线的外部，无公共部分， 综上所述，符合题意的m的取值范围是或． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，抛物线的最值，顶点坐标，增减性，抛物线与一次函数的交点，解方程，平移，分类思想，熟练掌握抛物线的性质，最值，分类思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $