2025年九年级中考数学复习导学案 第38课时 相似三角形的应用

第38课时 相似三角形的应用 班级 姓名 学号 【复习目标】 1.通过丰富的实例，了解中心投影和平行投影的概念. 2.会利用图形的相似解决一些简单的实际问题． 【知识梳理】 【基础检测】 1.（2024•镇江）如图，小杰从灯杆AB的底部点B处沿水平直线前进到达点C处，他在灯光下的影长CD＝3米，然后他转身按原路返回到点B处，返回过程中小杰在灯光下的影长可以是（　　） A．4.5米 B．4米 C．3.5米 D．2.5米 2.（2023•南充）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为1.6m，同时量得小菲与镜子的水平距离为2m，镜子与旗杆的水平距离为10m，则旗杆高度为（　　） A．6.4m B．8m C．9.6m D．12.5m 3.如图，正方形纸板的一条对角线垂直于地面，纸板上方的灯（看作一个点）与这条对角线所确定的平面垂直于纸板．在灯光照射下，正方形纸板在地面上形成的影子的形状可以是（　　） A． B． C． D． 4.某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB的高度，把标杆DE直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC＝8.72m，EF＝2.18m．已知B，C，E，F在同一直线上，AB⊥BC，DE⊥EF，DE＝2.47m，则AB＝　 　m． 5.（2024•扬州）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）AB经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像A′B′，设AB＝36cm，A′B′＝24cm，小孔O到AB的距离为30cm，则小孔O到A′B′的距离为 　 　cm． 6.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条边DF＝50cm，EF＝30cm，测得边DF离地面的高度为1.5m，CD＝12m，则树高AB＝ 　 　m． 【典型例题】 例1如图是凸透镜成像示意图，CD是蜡烛通过凸透镜MN所成的虚像，已知蜡烛AB的高度是5cm，蜡烛与凸透镜MN的水平距离OB＝6cm，该凸透镜的焦距OF＝8cm，且AE∥OB，则CD的长是 　 　cm． 例2如图所示，小红想利用竹竿来测量旗杆AB的高度，在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长2米，在同时刻测量旗杆的影长时，旗杆的影子一部分落在地面上（BC），另一部分落在斜坡上（CD），他测得落在地面上的影长为10米，落在斜坡上的影长为4米，∠DCE＝45°，求旗杆AB的高度？ 例3如图，小红正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度ED＝4m，点F到地面的高度FC＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m，墙到木板的水平距离为CD＝5m．已知光在镜面反射中的入射角∠GBH等于反射角∠EBH，图中点A、B、C、D在同一水平面上． （1）求BC的长； （2）求灯泡到地面的高度AG． 例4 数学实验小组学习了投影后，分别利用阳光和灯光下的影子进行了如下活动： （1）如图①所示，阳光下在某一时刻，身高1.6m的小军刚好站在路灯影子的顶端点A处，并做了标记．经测量发现O、A、M三点在同一直线上，此时小军的影子AM长是1.8m，且点A距离路灯底端O为18m．求路灯OP的高； （2）夜晚小军沿AO所在直线从点A走13.5米到点B，请在图②中分别画出小军在OP的灯光照射下A、B两点处的影子，并说明小军影子的长度变长了还是变短了？变长或变短了多少米？ 【针对训练】 一、基础训练 1.如图，身高1.6m的小亮站在某路灯下，发现自己的影长恰好是3m，经测量，此时小亮离路灯底部的距离是9m，则路灯离地面的高度AB是（　　） A．4.8m B．6m C．6.4m D．9m 2.如图，将一个装有水的杯子倾斜放置在水平桌面上，其截面可看作一个宽BC＝6cm，长CD＝16cm的矩形．当水面触到杯口边缘时，边CD恰有一半露出水面，那么此时水面高度是（　　） A．9.6cm B．9.3cm C．8.6cm D．7.2cm 3.图1是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图2是它的侧面示意图，AD与CB相交于点O，AB∥CD，根据图2中的数据可得x的值为（　　） A．0.8 B．0.96 C．1 D．1.08 4.如图，一条笔直的公路边有一路灯OP，距离路灯1.5米处有一棵垂直于地面的小树DE，影长EF＝3米．为了测量树高，小明在路灯的另一侧距离路灯9米远处的地面竖起一根1.5米的竹杆AB，经测量AB的影长BC＝3米，则小树的高度是 　 　． 5.九年级（1）班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，如图所示，已知标杆高度CD＝3m，标杆与旗杆的水平距离BD＝15m，人的眼睛与地面的高度EF＝1.6m，人与标杆CD的水平距离DF＝2m，则旗杆AB的高度为 　 　m． 6.已知，如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB＝5m，某一时刻AB在阳光下的投影BC＝3m． （1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影； （2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为6m，请你计算DE的长． 7.如图，一位同学通过调整自己的位置，设法使三角板的斜边保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知两条边DE＝0.4m，EF＝0.2m，测得边DF离地面AC＝1.5m，CD＝8m，求树高． 8.甲乙两位同学利用灯光下的影子来测量一路灯A的高度，如图，当甲走到点C处时乙测得甲直立身高CD与其影子长CE正好相等，接着甲沿BC方向继续向前走，走到点E处时，甲直立身高EF的影子恰好是线段EG，并测得EG＝2.5m．已知甲直立时的身高为1.5m，求路灯的高AB的长． 二、提升训练 9.如图，小华站在楼AB的底端A处，眺望楼CD的顶端D，发现视线MD与水平线ME的夹角为α；然后，小华保持身体姿势不变转身后退，当退到点F处时，发现视线BE与水平线EM的夹角也为α．已知点F恰好为AC的中点，点M在AB上，AB⊥AC，CD⊥AC，EF⊥AC，EM⊥AB，楼AB的高度为7米，小华眼睛距离地面的高度EF＝MA＝1.5米，根据以上数据计算出大楼CD的高度为 　 　米． 10.课本中有一道作业题： 有一块三角形余料ABC，它的边BC＝120mm，高AD＝80mm．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．问加工成的正方形零件的边长是多少mm？ 小颖解得此题的答案为48mm，小颖善于反思，她又提出了如下的问题． （1）如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少mm？请你计算． （2）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长． 三、拓展训练 11.（2023•南京）如图，玻璃桌面与地面平行，桌面上有一盏台灯和一支铅笔，点光源O与铅笔AB所确定的平面垂直于桌面．在灯光照射下，AB在地面上形成的影子为CD（不计折射），AB∥CD． （1）在桌面上沿着AB方向平移铅笔，试说明CD的长度不变． （2）桌面上一点P恰在点O的正下方，且OP＝36cm，PA＝18cm，AB＝18cm，桌面的高度为60cm．在点O与AB所确定的平面内，将AB绕点A旋转，使得CD的长度最大． ①画出此时AB所在位置的示意图； ②CD的长度的最大值为 　 　cm． 学科网（北京）股份有限公司 $$