5.1.1 数列的概念-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步课堂高效讲义配套课件（人教B版2019）

5.11　数列的概念 　 第五章　5.1　数列基础 知识目标 1.了解数列的概念及其表示方法．　 2.掌握数列的通项公式及应用．　 3.能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式．　 4.了解数列与函数的关系． 素养目标 通过数列概念的学习，培养数学抽象素养；通过数列通项公式的学习，提升逻辑推理素养；通过数列与函数关系的学习，提高直观想象、数学运算素养. 新知导学 1 课时测评 4 合作探究 2 内容索引 随堂演练 3 新知导学 返回 问题1.观察以下几列数： (1)古埃及“阿默斯”画了一个阶梯，上面的数字依次为：7，49，343，2 401，16 807； (2)2023年杭州亚运会中国获得的奖牌总数、金牌、银牌、铜牌依次为：383，201，111，71； 问题导思 提示：共同点：都是按照确定的顺序进行排列的．不同点：从项数上来看：(1)(2)(3)项数有限，(4)(5)项数无限；从项的变化上来看：每一项在依次变大， 提示：每一项在依次变小， (3)2 024，2 024，2 024，2 024，2 024； 提示：项没有发生变化， (4)小明为了记住刚设置的手机密码，只听他不停地说：2，0，2，5，2，0，2，5，2，0，2，5…； 提示：项呈现周期性的变化， (5)－ 的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂…依次排成一列数：－ ，，－ ， ，…. 你能找到上述例子中的共同点和不同点吗？ 提示：项的大小交替变化． 问题2.回顾函数的表示方法：列表、图象、解析法，数列可以用上面的方法表示吗？ 提示：可以，但是对于解析式来说，数列不同于连续函数的表示，需要重新作定义． 知识点一　数列的概念与一般形式 1．数列：一般地，我们把按照一定______排列的一列数称为数列．数列中的每一个数都称为这个数列的项，各项依次称为这个数列的第1项(或______)，第2项……. 2．一般形式：数列的一般形式是a1，a2，…，an，…，简记为________． 新知构建 次序 首项 {an} (1)数列与集合的关系 数列 集合 数列的各项必须是数 集合中的元素可以是数字，也可以是其他形式 数列中的数是有顺序的，如1，2，3与1，3，2代表不同的数列 集合中的元素具有无序性，如{1，2，3}＝{1，3，2} 同一个数在一个数列中可以重复出现，如1，1，1，1，… 集合中的元素具有互异性，如1，1，1，1…组成的集合只能写为{1} (2)数列{an}与an是不同的．{an}表示数列a1，a2，…，an，…，而an表示数列中的第n项． 微提醒 知识点二　数列的表示 1．数列的通项公式 一般地，如果数列的第n项an与n之间的关系可以用an＝f (n)来表示，其中 f (n)是关于n的不含其他未知数的表达式，则称上述关系式为这个数列的一个__________． 通项公式 (1)数列的通项公式实际上就是相应函数的解析式，即an＝f(n)，数列的通项公式必须适合数列中的任何一项． (2)已知通项公式an＝f(n)，那么只需依次用1，2，3，…代替公式中的n，就可以求出这个数列的各项． (3)一个数列的通项公式可以有不同的形式，如an＝(－1)n可以写成an＝ (－1)n＋2，还可以写成an＝ (k∈N*)，这些通项公式虽然形 式上不同，但都表示同一数列． (4)并不是所有的数列都有通项公式，就像并不是所有的函数都能用解析式表示一样． 微提醒 2．数列与函数的关系 数列{an}可以看成定义域为________________的函数，数列中的数就是自变量从小到大依次取__________时对应的函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式． 正整数集的子集 正整数值 3．数列的其他表示方法 数列是特殊的函数，所以与函数一样，数列可以用通项公式来表示，也可以用平面直角坐标系中的____直观地表示． (1)图象法 由于数列的定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})，因此，数列的图象是以_________为坐标的无限(或有限)个孤立的点． (n，an) 点 (2)数列的分类 ①按项数，分为______数列和______数列． ②按单调性   类别 含义 数列的 单调性 递增数列 从第2项起，每一项都______它的前一项的数列 递减数列 从第2项起，每一项都______它的前一项的数列 常数列 各项都______的数列 有穷 无穷 大于 小于 相等 (1)函数图象是连续的曲线，数列的图象是相应函数图象上横坐标为正整数的一系列孤立的点． (2)在画图时，平面直角坐标系中两条坐标轴上的单位长度可以不同． 微提醒 1．(多选)有下列四个结论，不正确的是 A．数列1，3，5，7与7，5，3，1是相同的数列 B．数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集)上的函数 C．数列的项数一定是无限的 D．数列的通项公式的形式是唯一的 自主检测 数列1，3，5，7与7，5，3，1是不同的数列，故A不正确；数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集)上的函数，故B正确；数列的项数可以是有限的，也可以是无限的，故C错误；数列的通项公式的形式不一定是唯一的，故D错误． √ √ √ 2．数列3，4，5，6，…的一个通项公式可能为 A．an＝n B．an＝n＋1 C．an＝n＋2 D．an＝2n 经验证可知，数列3，4，5，6，…符合an＝n＋2，故该数列的一个通项公式为an＝n＋2. √ 3．数列的通项公式为an＝ 则a2·a3等于 A．70 B．28 C．20 D．8 √ 根据规律可知通项为an＝ ，所以a5＝3. 3 5．600是数列1×2，2×3，3×4，4×5，…的第________项． an＝n(n＋1)＝600＝24×25，所以n＝24.　 返回 24 合作探究 返回 题型一　数列的概念与分类 (1)下列关于数列的说法正确的是 A．数列4，7，3，4的首项是4 B．数列{an}中，若a1＝3，则从第2项起，各项均不等于3 C．数列3，6，8可以表示为{3，6，8} D．a，－3，－1，1，b，5，7，9，11一定能构成数列 例1 [点拨] 数列的定义→结论 √ 根据数列的相关概念，可知数列4，7，3，4的第1项就是首项，即4，故A正确；同一个数在一个数列中可以重复出现，故B错误；数列和数的顺序有关，集合中的元素具有无序性，故C错误；当a，b都代表数时，能构成数列，当a，b中至少有一个不代表数时，不能构成数列，因为数列是按确定的顺序排列的一列数，故D错误．故选A． (2)已知下列数列： ①2 021，2 022，2 023，2 024，2 025，2 026； ⑤2，4，8，16，32，…； ⑥－1，－1，－1，－1. 其中，递增数列是_______，递减数列是________，常数列是_____．(填序号) ①⑤ ② ⑥ [点拨] 递增数列，递增数列，常数列的定义→结论 ①为递增数列；②为递减数列；⑤为递增数列；⑥为常数列．③④不具备单调性． 规律方法 数列及其分类的判定方法 1．判断所给的对象是否为数列，关键看它们是不是按一定次序排列的数． 2．有穷数列与无穷数列的判断 判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需看数列是有限项还是无限项．若数列含有限项，则是有穷数列，否则为无穷数列． 3．数列单调性的判断 判断数列的单调性，则需要从第2项起，观察每一项与它的前一项的大小关系，若满足an<an＋1，则是递增数列；若满足an>an＋1，则是递减数列；若满足an＝an＋1，则是常数列；若an与an＋1的大小不确定时，则是摆动数列．　　 对点练1.给出下列数列： (1)2017～2024年某市普通高中生人数(单位：万人)构成数列82，93，105，119，129，130，132，135； (2)无穷多个 (3)(－2)1，(－2)2，(－2)3，(－2)4，…构成数列－2，4，－8，16，－32，…. 其中，递增数列是________，常数列是________． (1)为递增数列；(2)为常数列；(3)不具备单调性． (1) (2) 题型二　由数列的前几项写通项公式 例2　 根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式： (1)3，5，7，9，11，13，…； 解：从3开始的奇数列，an＝2n＋1. [点拨] 观察分析各项的特征→符号→对项拆分、组合→写出通项公式 (3)0，1，0，1，0，1，…； (4)1，3，3，5，5，7，7，9，9， … ； (5)2，－6，12，－20，30，－42，…. 解：将数列变形为1×2，－2×3，3×4，－4×5，5×6，…，所以an＝ (－1)n＋1n(n＋1)． 规律方法 1．根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征： (1)分式中分子、分母的特征； (2)相邻项的变化特征； (3)拆项后的特征； (4)各项符号特征等，并对此进行归纳、联想． 2．观察、分析数列中各项的特点是最重要的，观察出项与序号之间的关系、规律，利用我们熟知的一些基本数列(如自然数列、奇偶数列等)或进行转换使问题得到解决，对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整． 对点练2.写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (3)9，99，999，9 999，…； 解：各项加1后，变为10，100，1 000，10 000，…，此数列的通项公式为10n，可得原数列的一个通项公式为an＝10n－1，n∈N*. (4)－2，0，－2，0，…. 解：这个数列的前4项构成一个摆动数列，奇数项是－2，偶数项是0，所以它的一个通项公式为an＝(－1)n－1，n∈N*. 题型三　数列通项公式的应用 例3　 已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n. (1)写出此数列的第4项和第6项； 解：a4＝3×42－28×4＝－64， a6＝3×62－28×6＝－60. 点拨 将n＝4，n＝6分别代入an → 求出数值 (2)问－49是否是该数列的一项？如果是，应是哪一项？68是否是该数列的一项呢？ 解：由3n2－28n＝－49解得n＝7或n＝ (舍去)， 所以－49是该数列的第7项； 由3n2－28n＝68解得n＝－2或n＝ ，均不符合题意，所以68不是该数列的项． 点拨 令3n2－28n＝－49和3n2－28n＝68→求得n→判断n是否为正整数 规律方法 1．求项或判断某数是否为数列项的方法 代入法 如果已知数列的通项公式，那么只要将相应序号代入通项公式，就可以求出数列的相应项 解方程法 判断某数值是否为该数列的项，先假设它是数列中的项，然后列出方程．若方程的解为正整数，则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列中的项 规律方法 2．判断数列单调性的方法 (1)判断数列的单调性通常是通过比较数列{an}中任意相邻两项an＋1和an的大小来判断，常用方法是定义法、作差法和作商法． (2)利用相应的函数性质判断，即函数单调，相应的数列必单调，如an＝3－2n，由一次函数y＝3－2x是减函数知，数列{an}是递减数列．但要注意，函数不单调时，相应的数列仍可能单调，如an＝2n2－5n，函数y＝2x2－5x在[1，＋∞)上不单调，而数列{an}是递增数列．　　 对点练3.(1)已知数列{an}的通项公式为an＝ (n∈N*)，那么 是这个数列的第________项． 10 (2)已知数列{an}中，an＝－n2＋25n(n∈N*)，则数列{an}的最大项是第________项． 12或13 对点练4.已知函数f(x)＝x－ .数列{an}满足f(an)＝－2n，且an>0. (1)求数列{an}的通项公式； (2)判断数列{an}的增减性． 解：方法一(作差法) 方法二(作商法) 所以an＋1<an.所以数列{an}是递减数列． 易错点　观察法求数列的通项公式 把1，3，6，10，15，21，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形(如图)． 则第7个三角形数是 A．27 B．28 C．29 D．30 易错精析 典例 √ 易错分析　本题易出现以下错误： 在解答过程中，误把三角形数看成三角形的个数，导致在看图时发现三角形的个数是0，1，2，3，…，与题设不符． 误区警示　解答此类问题时，一定要仔细读题，以免算到最后发现没答案再重新审题，耽误时间． 正解　根据三角形数的增长规律1，3，6，10，15，21，…可以发现从第二项起，每一项与前一项的差是这一项本身的序号，即a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，…，an－an－1＝n，根据这个规律可知a5＝15，a6＝a5＋6＝15＋6＝21，所以第7个三角形数是a7＝a6＋7＝28. 返回 随堂演练 返回 1．(2024·重庆永川高二检测)下面四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是 √ 2．(多选)(2024·湖北武汉高二检测)下列说法不正确的是 A．数列2，4，6，8可表示为{2，4，6，8} B．一个数列的任意两项均不可能相同 C．数列的通项可以有限，也可以无限 D．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列 {2，4，6，8}表示一个集合，不是数列，故A不正确；常数列的任意两项都相同，故B不正确；由数列按项的多少分类可知，数列的通项可以有限，也可以无限，故C正确；常数列既不是递增数列，也不是递减数列，故D不正确．故选ABD． √ √ √ 法一：将n＝1，2，3，4代入各选项验证易得答案．故选D． √ 4．已知数列{an}的通项公式an＝4n－1，则它的第7项是________，a2 024－a2 023＝________，199是数列的第________项． a7＝4×7－1＝27，a2 024－a2 023＝(4×2 024－1)－(4×2 023－1)＝4.令4n－1＝199，解得n＝50. 返回 27 　4　 50 课时测评 返回 1．下列叙述正确的是 A．数列1，3，5，7与数集{1，3，5，7}是一样的 B．数列0，1，2，3，…可以表示为{n} C．数列0，1，0，1，…是常数列 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2．已知数列{an}的通项公式为an＝ ，n∈N*，则该数列的前4项依次为 A．1，0，1，0　　　　　　　　 B．0，1，0，1 C． ，0， ，0 D．2，0，2，0 √ 当n分别等于1，2，3，4时，a1＝1，a2＝0，a3＝1，a4＝0.故选A． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－n－50，n∈N*，则－8是该数列的 A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．非任何一项 √ 令n2－n－50＝－8，解得n＝7或n＝－6(舍去)． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4．若数列{an}满足an＝ ，则此数列是 A．递增数列 B．递减数列 C．摆动数列 D．以上都不是 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5．(多选)已知数列{an}的通项公式为an＝n2－8n＋15，则下列结论正确的是 A．3不是数列{an}中的项 B．3是数列{an}的第2项 C．3是数列{an}的第6项 D．a3<0 令n2－8n＋15＝3，解此方程可得n＝2或n＝6，所以3可以是该数列的第2项，也可以是该数列的第6项，a3＝9－24＋15＝0.故选BC． √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 25 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7．数列{an}的通项公式为an＝ ，则数列的第2项是________， 3－2 是此数列的第________项． 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8．观察图中5个图形相应的小圆圈的个数的变化规律，猜想第n个图中有________个小圆圈． 观察图中5个图形小圆圈的个数分别为1，1×2＋1，2×3＋1，3×4＋1，4×5＋1.故第n个图中小圆圈的个数为(n－1)×n＋1＝n2－n＋1. n2－n＋1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9．(10分)在数列{an}中，a1＝2，a17＝66，通项公式an是n的一次函数． (1)求{an}的通项公式；(4分) 解：设an＝kn＋b，k≠0. 所以an＝4n－2，n∈N*. (2)判断224是不是数列{an}中的项．(6分) 解：令an＝224，即4n－2＝224，解得n＝56.5∉N*. 所以224不是数列{an}中的项． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10．(10分)在数列{an}中，an＝n(n－8)－20，n∈N*，请回答下列问题： (1)这个数列共有几项为负？(3分) 解：因为an＝n(n－8)－20＝(n＋2)(n－10)， 所以当0<n<10，n∈N*时，an<0， 所以数列{an}共有9项为负． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)这个数列从第几项开始递增？(3分) 解：因为an＋1－an＝2n－7， 所以当an＋1－an>0时，n> ， 故数列{an}从第4项开始递增． (3)这个数列中有无最小值？若有，求出最小值；若无，请说明理由．(4分) 解：an＝n(n－8)－20＝(n－4)2－36， 根据二次函数的性质知，当n＝4时，an取得最小值－36，即这个数列有最小值，最小值为－36. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11．(5分)(多选)数列{an}的通项公式为an＝n＋ ，则 A．当a＝2时，数列{an}的最小值是a1＝a2＝3 B．当a＝－1时，数列{an}的最小值是a1＝0 C．当0<a<4时，a是数列{an}中的项 D．当a<2时，{an}为递增数列 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 当a＝2时，an＝n＋ ，由f(x)＝x＋ 的单调性及a1＝3，a2＝3，可知A正确；当a＝－1时，an＝n－ ，显然是递增数列，故最小值为a1＝0，B正确；令an＝n＋ ＝a，得n2－an＋a＝0，当0<a<4时，Δ＝a2－4a<0，故方程无解，所以a不是数列{an}中的项，C错误；若{an}是递增数列，则an＋1>an，即n＋1＋ ，得a<n2＋n，又n2＋n≥2，所以a<2，D正确．故选ABD． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13．(10分)(一题多解)已知数列{an}的通项公式是an＝(n＋2)× (n∈N*)，试问数列{an}是否有最大项？若有，求出最大项；若没有，说明理由． 解：方法一　作差比较an＋1与an的大小，判断{an}的单调性． 当n<5时，an＋1－an>0，即an＋1>an； 当n＝5时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an； 当n>5时，an＋1－an<0，即an＋1<an. 故a1<a2<a3<a4<a5＝a6>a7>a8>…， 所以数列{an}有最大项，最大项为a5和a6，且a5＝a6＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 方法二　作商比较an＋1与an的大小，判断{an}的单调性． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14．(5分)(原创题)正整数的排列规则如图所示，其中排在第i行第j列的数记为ai，j，例如a4，3＝9，则a64，8等于 1 2　3 4　5　6 7　8　9　10 … A．2 022 B．2 023 C．2 024 D．2 025 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)判断数列中的项是否都在区间(0，1)内；(5分) 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 ！ 第 五 章 　 数 列 返回 构成数列，，，，…； 3．数列，－，，－，…的通项公式可能是 A．an＝(－1)n B．an＝(－1)n－1 C．an＝(－1)n D．an＝(－1)n－1 6．已知数列，，，，，…那么3是这个数列的第___项． － >n＋ 根据题意，第1行第1列的数为1，此时a1，1＝＋1＝1，第2行第1列的数为2，此时a2，1＝＋1＝2，第3行第1列的数为4，此时a3，1＝＋1＝4，据此分析可得：第64行第1列的数为 a64，1＝＋1＝2 017，则a64，8＝2 024.故选C． $$