压轴题06 函数y= Asin(ωx + φ)的图像（六类压轴必考题型+压轴能力测评）-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学下册压轴题攻略（沪教版2020必修第二册）

压轴题06 函数y= Asin(ωx + φ)的图像 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 类型一、描述正（余）弦型函数图象的变换过程 2 类型二、求图象变化前（后）的解析式 3 类型三、结合三角函数的图象变换求三角函数的性质 21 类型四、由图象确定正（余）弦型函数解析式 26 类型五、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式） 33 类型六、正、余弦型三角函数图象的应用 39 压轴能力测评（9题） 43 知识点1. 图像：五点法 令分别等于，，，及，求出相应的和的值，列出表格，在直角坐标系中找到这五个关键点，用光滑的曲线连接起来. 知识点2. 核心名词 振幅：；周期：；频率：；圆频率：； 相位：；初相： 知识点3. 图像变换 函数的图像与图像间的关系： ①函数的图像纵坐标不变，横坐标向左（＞0）或向右（＜0）平移个单位得的图像； ②函数图像的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数的图像； ③函数图像的横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到函数的图像； ④函数图像的横坐标不变，纵坐标向上（）或向下（），得到的图像。 由的图像变换出的图像一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图像变换 途径一：先平移变换再伸缩变换 先将的图像向左(＞0)或向右(＜0)平移个单位，再将图像上各点的横坐标变为原来的倍()，便得的图像 途径二：先伸缩变换再平移变换 先将y＝sinx的图像上各点的横坐标变为原来的倍(ω＞0),再沿x轴向左(＞0)或向右（＜0）平移个单位，便得的图像 要特别注意，若由得到的图像，则向左或向右平移应平移个单位】 类型一、描述正（余）弦型函数图象的变换过程 1．（22-23高一下·上海青浦·期中）已知，关于该函数有下列四个说法： ①的最小正周期为； ②在上单调递增； ③当时，的取值范围为； ④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到． 以上四个说法中，正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24高一下·上海·期中）已知，关于该函数有下面两种说法， ①当时，的取值范围为 ②的图象可由的图象向右平移个单位长度得到. 下列判断正确的是（    ） A．①正确，②正确 B．①正确，②错误； C．①错误，②正确 D．①错误，②错误； 类型二、求图象变化前（后）的解析式 1．（23-24高一下·上海金山·期末）已知，下列结论错误的个数是（    ） ①若，且的最小值为，则；②存在，使得的图像向右平移个单位长度后得到的图像关于轴对称；③若在上恰有7个零点，则的取值范围是；④若在上单调递增，则的取值范围是. A．1 B．2 C．3 D．4 2．（22-23高一下·上海徐汇·期中）将函数的图像向下平移1个单位，得到的图像，若，其中，则的最大值为（    ）． A．9 B． C．3 D．11 3．（22-23高一下·上海闵行·期末）函数的图像可按向量方向平移到图像（平移距离为），的函数解析式为，当为奇函数时，向量可以等于（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·上海·期中）对于函数，给出下列结论： （1）函数的图象关于点对称； （2）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象； 则下列说法正确的是（    ） A．（1）（2）都正确 B．（1）正确（2）错误 C．（1）错误（2）正确 D．（1）（2）都错误 5．（22-23高一下·上海普陀·期中）将函数的图像向左平移个单位后得到函数，若函数是上的偶函数，则 ． 6．（22-23高一下·上海闵行·期中）已知函数（），其图像的一个对称中心是，将图像向左平移个单位长度后得到函数的图像.若对任意，当时，都有，则实数的最大值为 . 7．（22-23高一下·上海嘉定·期中）已知下列命题： ①函数的单调增区间是． ②要得到函数的图象，需把函数的图象上所有点向左平行移动个单位长度． ③已知函数，当时，函数的最小值为． ④已知角、、是锐角的三个内角，则点在第四象限． 其中正确命题的序号是 ． 8．（23-24高一下·上海·期中）已知函数，将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若关于的方程在上有5个实数根，，，，，则 ． 9．（22-23高一下·上海长宁·期中）某同学用“五点法”画函数在某一周期内的图像时，列表并填入的部分数据如下表： 0 0 1 0 0 0 0 0 (1)请写出表格中空格处的值，写出函数的解析式，并画出函数的大致图像； (2)将函数的图像向右平移个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求的单调减区间. 10．（22-23高一下·上海徐汇·期中）已知函数（，）的周期为，图像的一个对称中心为，将函数图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图像向右平移个单位长度后得到函数的图象. (1)求函数的解析式； (2)若与在轴右侧的前三个交点分别为、、，求的面积的值； (3)当，求实数与正整数，使在恰有2023个零点. 11．（22-23高一下·上海虹口·期中）已知数． (1)将函数解析式化为的形式； (2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围； (3)将的图象先向左平移个单位，再将各点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象.若关于的方程在上有且只有一个实数解，求实数的取值范围． 12．（22-23高一下·上海徐汇·期中）已知. (1)将化成； (2)求函数在区间上的单调减区间； (3)将函数的图像向右移动个单位，再将所得图像的上各点的横坐标缩短到原来的倍得到的图像，若在区间上至少有100个最大值，求实数a的取值范围. 13．（23-24高一下·上海·期中）已知 (1)某同学用“五点法”画出函数在某一周期内的图像，列表如下： 0 0 0 0 请填写表中的空格，并写出函数的表达式 (2)若，将函数的图像向右平移个单位长度，再向下平移10个单位长度后得到函数的图像，求函数的零点所组成的集合； (3)对于（2）中的函数，证明：存在无穷多个互不相等的正整数，使得 14．（23-24高一下·上海·期中）已知函数． (1)若不等式对任意时恒成立，求实数的取值范围； (2)将函数的图象向左平移个单位，然后保持图象上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数的图象，若存在非零常数，对任意，有成立，求实数的取值范围． 15．（23-24高一下·上海·期中）将函数的图像向右平移个单位，再将横坐标变为原来的，纵坐标不变得到函数的图像. (1)求函数的解析式； (2)若函数在上恰有两个零点，求实数m的取值范围. 16．（23-24高一下·上海徐汇·期中）将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，再把所得图象上各点纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，则最后得到的图象对应的函数解析式可以写为．其中． (1)分别求和的值． (2)对于正实数a，设函数在上恰有两个零点，求a的取值范围． 类型三、结合三角函数的图象变换求三角函数的性质 1．（22-23高一下·上海闵行·期中）将函数的图象向右平移个单位，再把所得函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则的单调递减区间为 . 2．（22-23高一下·上海奉贤·期中）如图所示为函数的部分图象，其中，则此函数的解析式为 ．    3．（23-24高一下·上海·期中）设若函数在区间内恰有7个零点，则的取值范围是 . 4．（22-23高一下·上海松江·期中）已知函数. (1)当，时，求函数的单调增区间； (2)当，时，设，且函数的图像关于直线对称，将函数的图像向右平移个单位，得到函数，求解不等式 ； (3)当，，时，若实数m，n，p使得对任意实数x恒成立，求的值. 类型四、由图象确定正（余）弦型函数解析式 1．（22-23高一下·上海浦东新·期末）已知，若函数的图像如图所示，则 ． 2．（22-23高一下·上海宝山·期末）函数的部分图象如图所示，则 .    3．（23-24高一下·上海静安·期末）函数的部分图像的示意图如图所示，已知，且，则 ． 4．（23-24高一下·上海·期末）设，，．如图所示，函数的图象与坐标轴依次交于、、三点，直线交函数的图象于点．若，且坐标原点为的重心，则 ． 5．（23-24高一下·上海宝山·期末）已知函数的部分图像如图所示： (1)求函数的表达式； (2)当时，求方程的所有根的和． 6．（22-23高一下·上海宝山·期中）在月亮和太阳的引力作用下，海水水面发生的周期性涨落现象叫做潮汐．一般早潮叫潮，晚潮叫汐．受潮汐影响，港口的水深也会相应发生变化．下图记录了某港口某一天整点时刻的水深y（单位：米）与时间x（单位：时）的大致关系： 假设4月份的每一天水深与时间的关系都符合上图所示． (1)请运用函数模型，根据以上数据写出水深y与时间x的函数的近似表达式； (2)根据该港口的安全条例，要求船底与水底的距离必须不小于3.5米，否则该船必须立即离港．一艘船满载货物，吃水（即船底到水面的距离）6米，计划明天进港卸货． ①求该船可以进港的时间段； ②该船今天会到达港口附近，明天0点可以及时进港并立即开始卸货，已知卸货时吃水深度以每小时0.3米的速度匀速减少，卸完货后空船吃水3米．请设计一个卸货方案，在保证严格遵守该港口安全条例的前提下，使该船明天尽早完成卸货（不计停靠码头和驶离码头所需时间）． 7．（23-24高一下·上海浦东新·期中）若函数的图象上任意两个相邻最高点之间的距离为. (1)求的值； (2)在中，若点是函数图象的一个对称中心，且，求外接圆的面积. 类型五、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式） 1．（23-24高一下·上海·期末）已知函数 的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为． (1)求的解析式和周期． (2)当 时，求的值域． 2．（23-24高一下·上海·期末）已知函数，其中，（，） (1)若，，在用“五点法”作出函数，的大致图象的过程中，第一步需要将五个关键点列表，请完成下表： 0 0 (2)若，，写出函数的最小正周期和单调增区间 (3)若的频率为，且恒成立，求函数的解析式. 3．（23-24高一下·上海·期中）已知 ，其中. (1)若对任意的恒成立，且，求的值： (2)若，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，若函数在（，且）上恰好有8个零点，求的最小值； (3)已知函数（），在第（2）问条件下，若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围. 4．（22-23高一下·上海闵行·期末）定义在上的函数，已知其在内只取到一个最大值和一个最小值，且当时函数取得最大值为3；当，函数取得最小值为. (1)求出此函数的解析式； (2)是否存在实数，满足不等式，若存在求出的取值范围，若不存在，请说明理由； (3)若将函数的图像保持横坐标不变，纵坐标变为原来的得到函数，再将函数的图像向左平移个单位得到函数，已知函数的最大值为10，求满足条件的的最小值. 类型六、正、余弦型三角函数图象的应用 1．（23-24高一下·上海·期末）设函数在上恰有两个零点，则 . 2．（22-23高一下·上海浦东新·期中）已知函数且，给出下列四个命题： （1）该函数的值域为； （2）当且仅当时，； （3）对任意，恒成立. 上述命题中正确的序号是 3．（23-24高一下·上海嘉定·期中）已知函数，其中． (1)若，求的值； (2)若，函数图像向右平移个单位，得到函数的图像，是的一个零点，若函数在（，且）上恰好有4个零点，求的最小值； (3)令，将函数为的图像向左平移个单位得到函数，已知函数的最大值为10，求满足条件的的最小值． 一、单选题 1．（22-23高一下·上海浦东新·期中）设函数，其中､为已知实常数，，有如下命题： （1）若，则对任意实数恒成立； （2）若，则函数为奇函数： （3）若，则函数为偶函数； （4）当时，若，则. 则所有正确命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 2．（22-23高一下·上海·期中）已知函数，，若方程在区间内无解，则的取值范围是 ． 三、解答题 3．（22-23高一下·上海普陀·期末）已知． (1)求函数的单调增区间； (2)设方程在上的两解为和，求的值； (3)在中，角的对边分别为．若，，且，求的面积． 4．（23-24高一下·上海静安·期末）已知函数． (1)某同学打算用“五点法”画出函数在某一周期内的图象，列表如下： 0 0 1 0 0 0 0 0 请在答题纸上填写上表的空格处数值，并写出函数的表达式和单调递增区间； (2)将（1）中函数的图象向下平移个单位得到的图象，若函数在闭区间上恰有两个零点，请直接写出实数的取值范围． 5．（23-24高一下·上海·期末）已知. (1)求函数的单调增区间； (2)求函数在区间上的最大值与最小值. (3)若函数在内有且只有一个零点，求实数m的取值范围. 6．（22-23高一下·上海浦东新·期中）已知函数. (1)把f（x）表示为的形式，并写出函数的振幅和初始相位； (2)求函数的单调递增区间； (3)记函数在上的值域为A，若，求实数a的取值范围． 7．（22-23高一下·上海杨浦·期中）对于函数，，如果存在一组常数，，…，（其中k为正整数，且）使得当x取任意值时，有则称函数为“k级周天函数”. (1)判断下列函数是否是“2级周天函数”，并说明理由：①；②； (2)求证：当时，是“3级周天函数”； (3)设函数，其中b，c，d是不全为0的实数且存在，使得，证明：存在，使得. 8．（23-24高一下·上海·期中）已知函数，其中． (1)若，，求的对称中心； (2)若，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，若函数在（，且）上恰好有8个零点，求的最小值； (3)已知函数，在第（2）问条件下，若对任意为，存在，使得成立，求实数的取值范围． 9．（23-24高一下·上海·期末）设，．已知函数的图像关于直线成轴对称． (1)求函数的表达式； (2)若，且为锐角，求； (3)设，．若函数在区间上恰有奇数个零点，求的值以及零点的个数． 试卷第1页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 压轴题06 函数y= Asin(ωx + φ)的图像 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 类型一、描述正（余）弦型函数图象的变换过程 2 类型二、求图象变化前（后）的解析式 3 类型三、结合三角函数的图象变换求三角函数的性质 21 类型四、由图象确定正（余）弦型函数解析式 26 类型五、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式） 33 类型六、正、余弦型三角函数图象的应用 39 压轴能力测评（9题） 43 知识点1. 图像：五点法 令分别等于，，，及，求出相应的和的值，列出表格，在直角坐标系中找到这五个关键点，用光滑的曲线连接起来. 知识点2. 核心名词 振幅：；周期：；频率：；圆频率：； 相位：；初相： 知识点3. 图像变换 函数的图像与图像间的关系： ①函数的图像纵坐标不变，横坐标向左（＞0）或向右（＜0）平移个单位得的图像； ②函数图像的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数的图像； ③函数图像的横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到函数的图像； ④函数图像的横坐标不变，纵坐标向上（）或向下（），得到的图像。 由的图像变换出的图像一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图像变换 途径一：先平移变换再伸缩变换 先将的图像向左(＞0)或向右(＜0)平移个单位，再将图像上各点的横坐标变为原来的倍()，便得的图像 途径二：先伸缩变换再平移变换 先将y＝sinx的图像上各点的横坐标变为原来的倍(ω＞0),再沿x轴向左(＞0)或向右（＜0）平移个单位，便得的图像 要特别注意，若由得到的图像，则向左或向右平移应平移个单位】 类型一、描述正（余）弦型函数图象的变换过程 1．（22-23高一下·上海青浦·期中）已知，关于该函数有下列四个说法： ①的最小正周期为； ②在上单调递增； ③当时，的取值范围为； ④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到． 以上四个说法中，正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的最小正周期、描述正（余）弦型函数图象的变换过程、求sinx型三角函数的单调性 【分析】由正弦型函数的性质判断最小正周期、区间单调性和值域，以及图象平移过程. 【详解】对于，它的最小正周期为，故①错误； 在上，，函数单调递增，故②正确； 当时，的取值范围为，故③错误； 的图象向右平移个单位长度得到，故④错误， 故选：A 2．（23-24高一下·上海·期中）已知，关于该函数有下面两种说法， ①当时，的取值范围为 ②的图象可由的图象向右平移个单位长度得到. 下列判断正确的是（    ） A．①正确，②正确 B．①正确，②错误； C．①错误，②正确 D．①错误，②错误； 【答案】C 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、描述正（余）弦型函数图象的变换过程、二倍角的正弦公式 【分析】首先化简函数的解析式，再根据函数值域的求解方法，以及平移规律，即可判断选项. 【详解】， 对于①，当时，，可得，可得的取值范围为，故①错误； 对于②，向右平移个单位长度得到，故②正确 故选：C 类型二、求图象变化前（后）的解析式 1．（23-24高一下·上海金山·期末）已知，下列结论错误的个数是（    ） ①若，且的最小值为，则；②存在，使得的图像向右平移个单位长度后得到的图像关于轴对称；③若在上恰有7个零点，则的取值范围是；④若在上单调递增，则的取值范围是. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用正弦型函数的单调性求参数、求图象变化前（后）的解析式、二倍角的余弦公式 【分析】由二倍角公式将三角函数化简，然后由三角函数的性质逐项判断即可. 【详解】， 周期， ①由条件知，周期为，故①错误； ②函数图象右移个单位长度后得到的函数为， 其图象关于轴对称，则， 故对任意整数，故②错误； ③由条件，得，故③错误； ④由条件，得，又，故④正确. 故选：C. 2．（22-23高一下·上海徐汇·期中）将函数的图像向下平移1个单位，得到的图像，若，其中，则的最大值为（    ）． A．9 B． C．3 D．11 【答案】A 【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、求图象变化前（后）的解析式 【分析】根据三角函数图象的平移求得的解析式，根据已知求得的最大值和的最小值，即可求得的最大值以及的最小值，即得答案. 【详解】将函数的图像向下平移1个单位，得到的图像, 即，则， 故由可得， 则， 因为，故， 所以需取到最大值，取到最小值， 即取到最大值，取到最小值，此时取最大值， 即最大值为， 故选：A 3．（22-23高一下·上海闵行·期末）函数的图像可按向量方向平移到图像（平移距离为），的函数解析式为，当为奇函数时，向量可以等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由余弦（型）函数的奇偶性求参数、求图象变化前（后）的解析式 【分析】根据平移变换得到的解析式，然后根据奇函数的性质求解即可. 【详解】设，所以， 因为为奇函数，所以， 令，整理得，所以可以等于. 故选：B. 4．（23-24高一下·上海·期中）对于函数，给出下列结论： （1）函数的图象关于点对称； （2）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象； 则下列说法正确的是（    ） A．（1）（2）都正确 B．（1）正确（2）错误 C．（1）错误（2）正确 D．（1）（2）都错误 【答案】C 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求图象变化前（后）的解析式、二倍角的余弦公式、辅助角公式 【分析】先化简解析式，再代入判断是否对称中心，再将函数的图象向左平移个单位长度，得到新解析式即可判断. 【详解】由题意知， ， 代入得，所以（1）错误； 将函数的图象向左平移个单位长度得到，所以（2）正确. 故选：C. 5．（22-23高一下·上海普陀·期中）将函数的图像向左平移个单位后得到函数，若函数是上的偶函数，则 ． 【答案】 【知识点】由正弦（型）函数的奇偶性求参数、求图象变化前（后）的解析式 【分析】先根据平移规律求出，然后再由为偶函数得出满足的关系式，从而求出结果. 【详解】因为将函数的图像向左平移个单位后得到函数， 所以， 因为函数是上的偶函数， 所以，得， 且，即，所以. 故答案为：. 6．（22-23高一下·上海闵行·期中）已知函数（），其图像的一个对称中心是，将图像向左平移个单位长度后得到函数的图像.若对任意，当时，都有，则实数的最大值为 . 【答案】 【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数、利用正弦函数的对称性求参数、求图象变化前（后）的解析式、结合三角函数的图象变换求三角函数的性质 【分析】根据函数的对称性求出的值，利用图象变换关系求出，构造函数，将条件转化为当,，为增函数，利用函数的单调性进行求解即可． 【详解】一个对称中心是， ，，即，， ，当时，，即， 将图像向左平移个单位长度后得到函数的图像， 即， 由，得， 设，则不等式等价为当时，， 即若对任意,，为增函数． ， 当,时，,，所以,， 因为对任意,，为增函数， 所以，所以，所以， 即的最大值为． 故答案为：． 7．（22-23高一下·上海嘉定·期中）已知下列命题： ①函数的单调增区间是． ②要得到函数的图象，需把函数的图象上所有点向左平行移动个单位长度． ③已知函数，当时，函数的最小值为． ④已知角、、是锐角的三个内角，则点在第四象限． 其中正确命题的序号是 ． 【答案】②③④ 【知识点】比较正弦值的大小、求含cosx的二次式的最值、求图象变化前（后）的解析式、求sinx型三角函数的单调性 【分析】求出函数的单调增区间判断①；利用平移变换求出解析式判断②；利用二次函数求出最小值判断③；利用正弦函数单调性推理判断④作答. 【详解】对于①，由，得， 所以函数的单调增区间是，①错误； 对于②，把函数的图象上所有点向左平行移动个单位长度，得的图象， 而，即得到函数的图象，②正确； 对于③，，，而，， 所以当时，函数的最小值为，③正确； 对于④，在锐角中，，且，因此， 而正弦函数在上单调递增，则，即，于是， 同理，即，所以点在第四象限，④正确， 所以正确命题的序号是②③④. 故答案为：②③④ 8．（23-24高一下·上海·期中）已知函数，将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若关于的方程在上有5个实数根，，，，，则 ． 【答案】 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求图象变化前（后）的解析式 【分析】首先根据函数的平移规则得到的解析式，画出函数图象，结合的对称性计算可得. 【详解】因为函数，将的图象向左平移个单位长度得到， 函数的对称轴为，对称中心为，且为偶函数， 又函数的图象是由的图象将轴下方的部分关于轴对称上去，轴及轴上方部分保持不变而得到， 所以的对称轴为， 又的图象是将的图象向上平移一个单位得到， 所以的图象如下所示： 因为关于的方程在上有个实数根， 即与在上有个交点， 又，，所以， 令与交点的横坐标从小到大依次为， 则关于对称，关于对称，关于对称，关于对称， 所以， 所以 . 故答案为：. 【点睛】方法点睛：函数零点问题，将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决. 9．（22-23高一下·上海长宁·期中）某同学用“五点法”画函数在某一周期内的图像时，列表并填入的部分数据如下表： 0 0 1 0 0 0 0 0 (1)请写出表格中空格处的值，写出函数的解析式，并画出函数的大致图像； (2)将函数的图像向右平移个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求的单调减区间. 【答案】(1)，，，图象见解析 (2) 【知识点】五点法画正弦函数的图象、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、求图象变化前（后）的解析式、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）根据表中的数据以及五点作图的规律直接求解即可； （2）根据平移变换及周期变换的规则可得函数的解析式,求出定义域，再由复合函数的单调性求解即可. 【详解】（1）设第一行两个数分别为，第四行待求数为， 依题意可知，，解得， 又，所以， 故由，，解得， 又， 综上：，，, 函数图象为： （2）函数的图象向右平移个单位，得到，再将所得图象上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数， 函数中，，即， 所以，即， 所以， 即函数的定义域为， 因为为减函数， 所以当为增函数时，即时， 函数为减函数. 即函数的单调减区间为. 10．（22-23高一下·上海徐汇·期中）已知函数（，）的周期为，图像的一个对称中心为，将函数图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图像向右平移个单位长度后得到函数的图象. (1)求函数的解析式； (2)若与在轴右侧的前三个交点分别为、、，求的面积的值； (3)当，求实数与正整数，使在恰有2023个零点. 【答案】(1) (2) (3)，. 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用正弦函数的对称性求参数、求图象变化前（后）的解析式 【分析】（1）由周期为求得，再根据图象的一个对称中心为求得； （2）利用伸缩变换和平移变换得到，再令得到A，B，C，然后利用三角形面积公式求解； （3）由，得到，设或（），再分，，求解. 【详解】（1）解：， 当时，（）， 取； （2）将函数图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）， 得到， 再将所得图像向右平移个单位长度后得到函数， 由，得，即， 解得或. 得、、， ； （3）由，. 令，对称轴， 不妨设或（），显然，， 若，则在上必有偶数个零点，得或， 当，则（舍去）； 当，则，此时在上有3个零点， 故， 综上所述，，. 11．（22-23高一下·上海虹口·期中）已知数． (1)将函数解析式化为的形式； (2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围； (3)将的图象先向左平移个单位，再将各点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象.若关于的方程在上有且只有一个实数解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】正弦函数图象的应用、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、求图象变化前（后）的解析式、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）利用降幂公式、诱导公式以及辅助角公式可化简函数的解析式； （2）利用正弦型函数的基本性质求出函数在上的最大值和最小值，由参变量分离法可得出，即可求得实数的取值范围； （3）利用三角函数图象变换求出函数的解析式，分析可知直线与函数在上的图象只有一个公共点，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）解： . （2）解：因为，则，所以，， 所以，，， 因为不等式对任意恒成立，则， 所以，对任意恒成立， 则，解得. 因此，实数的取值范围是. （3）解：将的图象向左平移个单位，可得到函数， 再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变）， 可得到函数的图象， 当时，， 因为关于的方程在上有且只有一个实数解， 所以，直线与函数在上的图象只有一个公共点，如下图所示： 由图可知，当时，直线与函数在上的图象只有一个公共点. 因此，实数的取值范围是. 12．（22-23高一下·上海徐汇·期中）已知. (1)将化成； (2)求函数在区间上的单调减区间； (3)将函数的图像向右移动个单位，再将所得图像的上各点的横坐标缩短到原来的倍得到的图像，若在区间上至少有100个最大值，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】由正弦（型）函数的周期性求值、求图象变化前（后）的解析式、三角恒等变换的化简问题、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）根据给定条件利用和角的余弦公式、二倍角的正弦、余弦公式，辅助角公式变形即可得解. （2）利用（1）的结论结合正弦函数的单调性列式计算作答. （3）利用（1）的结论结合给定的变换求出的解析式，再借助的性质列式计算作答. 【详解】（1）， 所以； （2）由（1）知，当时， 则由得，即在上单调递减， 所以函数在区间上的单调减区间是. （3）由（1）知，，将函数图像向右移动个单位所得函数为， 再将所得图像上各点的横坐标缩短到原来的倍得到的图像， 所以，则的周期为 因为在区间上至少有100个最大值， 所以在长为2的区间上至少有99.5个周期， 因此，，解得，而，于是得， 所以的取值范围 13．（23-24高一下·上海·期中）已知 (1)某同学用“五点法”画出函数在某一周期内的图像，列表如下： 0 0 0 0 请填写表中的空格，并写出函数的表达式 (2)若，将函数的图像向右平移个单位长度，再向下平移10个单位长度后得到函数的图像，求函数的零点所组成的集合； (3)对于（2）中的函数，证明：存在无穷多个互不相等的正整数，使得 【答案】(1)表格见解析，； (2)或 (3)证明见解析 【知识点】由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、三角函数图象的综合应用、求图象变化前（后）的解析式 【分析】（1）根据表格数据，建立方程组，即可不全表格数据，并求函数的解析式； （2）首先利用三角函数恒等变换求得函数的解析式，再根据平移规律求函数的解析式，再求函数的零点； （3）根据（2）的结果，不等式转化为，根据不等式的解集，即可证明. 【详解】（1）由表格数据可知，，得，， 所以，， 由时，，可知，， 所以由时，， 补全表格如下： 0 0 0 0 （2） 将函数的图像向右平移个单位长度，再向下平移10个单位长度后得到函数，或 则函数的零点所组成的集合为或； （3）证明：，即， 因为，所以对任意的，都存在正整数，使得， 即存在无穷多个互不相等的正整数，使得. 14．（23-24高一下·上海·期中）已知函数． (1)若不等式对任意时恒成立，求实数的取值范围； (2)将函数的图象向左平移个单位，然后保持图象上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数的图象，若存在非零常数，对任意，有成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】求cosx（型）函数的最值、由cosx（型）函数的值域（最值）求参数、求图象变化前（后）的解析式 【分析】（1）将题给不等式进行参变分离，再利用换元法和二次函数性质即可求得实数的取值范围； （2）先求得函数的解析式，再依据题给条件求得的值，进而利用三角函数的性质求得实数的取值范围． 【详解】（1）由题意得，对任意时， 不等式恒成立， 即不等式恒成立， 由，可得，则， 令，则， 则时，不等式， 即恒成立， 令，则，又在上单调递减， 则，则， 则，解之得 （2）由题意得，， 存在非零常数，对任意，有 即成立， 由， 则，则，解之得， 当时，，则2为的一个周期， 则2为的最小正周期的整数倍，即， 则. 当时，， 即恒成立， 则，即， 综上： 15．（23-24高一下·上海·期中）将函数的图像向右平移个单位，再将横坐标变为原来的，纵坐标不变得到函数的图像. (1)求函数的解析式； (2)若函数在上恰有两个零点，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用正弦函数的对称性求参数、求图象变化前（后）的解析式 【分析】（1）根据三角函数图象变换运算求解即可； （2）以为整体，结合正弦函数的零点列式求解即可. 【详解】（1）将函数的图像向右平移个单位，得到， 再将横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到， 所以函数的解析式为. （2）由（1）可知：， 因为，则， 若函数在上恰有两个零点， 则，解得， 所以实数m的取值范围为. 16．（23-24高一下·上海徐汇·期中）将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，再把所得图象上各点纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，则最后得到的图象对应的函数解析式可以写为．其中． (1)分别求和的值． (2)对于正实数a，设函数在上恰有两个零点，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求图象变化前（后）的解析式 【分析】（1）根据三角函数图象变换可得解析式，进而可得； （2）以为整体，结合正弦函数零点可得，运算求解即可. 【详解】（1）将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，得到； 再把所得图象上各点纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到； 所以. （2）由（1）可知：， 因为，则， 若函数在上恰有两个零点， 则，解得， 所以a的取值范围为. 类型三、结合三角函数的图象变换求三角函数的性质 1．（22-23高一下·上海闵行·期中）将函数的图象向右平移个单位，再把所得函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则的单调递减区间为 . 【答案】， 【知识点】结合三角函数的图象变换求三角函数的性质、求sinx型三角函数的单调性 【分析】根据三角函数图象的平移和伸缩变换即可求解函数，再由正弦函数的性质求解. 【详解】将函数的图象向右平移个单位可得：， 再把所得函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，可得， 令，， 解得，， 则的单调递减区间为，， 故答案为：， 2．（22-23高一下·上海奉贤·期中）如图所示为函数的部分图象，其中，则此函数的解析式为 ．    【答案】 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】设，其中，根据，求得，得到，得到函数，结合，即可求解． 【详解】由函数的部分图象，设，其中， 因为，可得，解得， 即，所以，可得，所以， 又由，可得，因为，所以． 故答案为：. 3．（23-24高一下·上海·期中）设若函数在区间内恰有7个零点，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】分段函数的性质及应用、结合三角函数的图象变换求三角函数的性质 【分析】先根据三角函数图象变换判断当时不成立，再分析当时，函数的零点个数分别为0，1，2时，根据三角函数的图象变换，讨论的零点个数即可. 【详解】由题意，当时，在内无零点，又不可能有7个零点，故当时不满足题意； 由基本不等式， 当且仅当，即时取等号，最小值为. ①当时，即时，无零点，则当时， 有7个零点，此时， 即，故零点分别为时取得. 故，解得； ②当，即时，有一个零点. 此时有6个零点，即， 即，故零点分别为时取得. 此时，解得. 又满足，故满足条件题意； ③当，即时，由对勾函数的性质可得在上有1个零点，又，则 1.当，即时，在上有1个零点， 故有2个零点， 此时有5个零点，即， 即，故零点分别为时取得. 此时，解得，综上有 2.当，即时，在上无零点， 故有1个零点， 此时有6个零点，即，不满足； 综上有或或. 故答案为： 4．（22-23高一下·上海松江·期中）已知函数. (1)当，时，求函数的单调增区间； (2)当，时，设，且函数的图像关于直线对称，将函数的图像向右平移个单位，得到函数，求解不等式 ； (3)当，，时，若实数m，n，p使得对任意实数x恒成立，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】三角函数综合、解正弦不等式、结合三角函数的图象变换求三角函数的性质、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）根据题意得到，结合正弦型函数的性质，即可求解； （2）根据题意得到，求得，得到，结合图象的变换求得，由不等式，即，即可求解； （3）化简得到，求得，转化为，得到方程组，分类讨论，即可求解. 【详解】（1）解：当，时，可得函数， 令，所以单调增区间为； （2）解：当，时，可得，其中， 因为关于直线对称 ， 可得，即，解得， 所以， 将函数的图像向右平移个单位，得到函数， 由，即，则 解得， 所以不等式的解集为； （3）解：当，，时，则， 可得，则， 其中且，于是， 可化为， 即， 所以. 由已知条件，上式对任意恒成立，故必有， 若，则由（1）知，显然不满足（3）式，故， 所以由（2）知，故或， 当时，，则（1）、（3）两式矛盾， 故，由（1）、（3）知， 所以. 类型四、由图象确定正（余）弦型函数解析式 1．（22-23高一下·上海浦东新·期末）已知，若函数的图像如图所示，则 ． 【答案】 【知识点】函数周期性的应用、由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】由函数的图像可得出，，，由此即可求出一个周期内，再利用周期性得出答案. 【详解】由图可知（同理），,解得：, 此时，又函数过点， 即，解得，取， 所以， ，，，，， ，，， 即， 所以 . 故答案为： 2．（22-23高一下·上海宝山·期末）函数的部分图象如图所示，则 .    【答案】0 【知识点】特殊角的三角函数值、三角函数的化简、求值——诱导公式、由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】根据函数图像确定以及的值，可得函数解析式，结合特殊角三角函数值，即可得答案. 【详解】由图象可知的最小正周期，故； 将代入可得，则， 故，而，故， 即，故， 故答案为：0 3．（23-24高一下·上海静安·期末）函数的部分图像的示意图如图所示，已知，且，则 ． 【答案】 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、三角函数图象的综合应用 【分析】借助图象结合三角函数的周期性可计算出函数解析式，再由所给条件可得，代入计算即可得解. 【详解】由图可得，又，故， ，又，故， 则有，，即，， 又，则，即， 由，则， 即， 故或，， 即或，， 又，故， 则. 故答案为：. 4．（23-24高一下·上海·期末）设，，．如图所示，函数的图象与坐标轴依次交于、、三点，直线交函数的图象于点．若，且坐标原点为的重心，则 ． 【答案】 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、由图象确定正（余）弦型函数解析式、余弦定理解三角形 【分析】由重心定义得为中点，且由重心性质求出，进而得，从而结合函数图像以及周期公式可求出的解析式，进而求出B点坐标，再利用B点坐标和余弦定理可求出，接着利用同角三角函数的基本关系即可得解. 【详解】由重心定义得为中点，且由重心坐标形式的性质得， 即，故， 所以函数周期满足，又，故， 所以，故， 所以由图以及正弦函数性质得即， 又，故， 所以，则，即， 所以， 故， 又，故， 又，所以， . 故答案为：. 5．（23-24高一下·上海宝山·期末）已知函数的部分图像如图所示： (1)求函数的表达式； (2)当时，求方程的所有根的和． 【答案】(1) (2) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、由图象确定正（余）弦型函数解析式、三角函数图象的综合应用 【分析】（1）由函数的图象，得到，求得，再由，求得，即可求解； （2）由，求得或，结合，分类讨论，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：由函数的图象，可得，可得，所以， 因为，即， 可得，即， 又因为，可得，所以. （2）解：由，可得或， 因为，可得， 当时，，设方程的解为， 则，可得； 当时，，则，可得， 综上所述，方程的所有根的和为. 6．（22-23高一下·上海宝山·期中）在月亮和太阳的引力作用下，海水水面发生的周期性涨落现象叫做潮汐．一般早潮叫潮，晚潮叫汐．受潮汐影响，港口的水深也会相应发生变化．下图记录了某港口某一天整点时刻的水深y（单位：米）与时间x（单位：时）的大致关系： 假设4月份的每一天水深与时间的关系都符合上图所示． (1)请运用函数模型，根据以上数据写出水深y与时间x的函数的近似表达式； (2)根据该港口的安全条例，要求船底与水底的距离必须不小于3.5米，否则该船必须立即离港．一艘船满载货物，吃水（即船底到水面的距离）6米，计划明天进港卸货． ①求该船可以进港的时间段； ②该船今天会到达港口附近，明天0点可以及时进港并立即开始卸货，已知卸货时吃水深度以每小时0.3米的速度匀速减少，卸完货后空船吃水3米．请设计一个卸货方案，在保证严格遵守该港口安全条例的前提下，使该船明天尽早完成卸货（不计停靠码头和驶离码头所需时间）． 【答案】(1)； (2)①0点到4点以及12点到16点进入港口；②该船在0点进港开始卸货，5点暂时驶离港口，11点返回港口继续卸货，16点完成卸货任务. 【知识点】解正弦不等式、由图象确定正（余）弦型函数解析式、三角函数在生活中的应用 【分析】（1）根据给定的图形，求出函数模型中的各个参数作答. （2）①根据给定条件，列出不等式求解作答；②求出最小水深的函数关系，数形结合求解作答. 【详解】（1）观察图形知，，解得，，，解得， 显然函数的图象过点，即，又，因此， 所以函数表达式为. （2）①依题意，，整理得， 即有，即， 解得或， 所以该船可以在0点到4点以及12点到16点进入港口. ②由①的结论知，该船明日0点即可进港开始卸货， 设自0点起卸货小时后，该船符合安全条例的最小水深为， 如图，函数与的图像交于点， 即卸货5小时后，在5点该船必须暂时驶离港口，此时该船的吃水深度为4.5米， 令，即，， 解得，显然， 该船在11点可返回港口继续卸货，5小时后完成卸货，此时为16点， 综上所述，方案如下：该船在0点进港开始卸货，5点暂时驶离港口，11点返回港口继续卸货，16点完成卸货任务. 【点睛】思路点睛：给定的部分图象求解解析式，一般是由函数图象的最高（低）点定A，求出周期定，由图象上特殊点求. 7．（23-24高一下·上海浦东新·期中）若函数的图象上任意两个相邻最高点之间的距离为. (1)求的值； (2)在中，若点是函数图象的一个对称中心，且，求外接圆的面积. 【答案】(1)1 (2) 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、由图象确定正（余）弦型函数解析式、三角恒等变换的化简问题、正弦定理求外接圆半径 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简，再由正弦函数图象的性质求得的值； （2）由是函数图象的一个对称中心求得值，再由正弦定理求得外接圆半径，则外接圆的面积可求． 【详解】（1） ， 由题，函数的图象上任意两个相邻最高点之间的距离为，即函数的最小正周期为， 且，所以. （2）点是函数图象的一个对称中心,所以, 又因为的内角, 则，可知， 可得，所以， 在中，设外接圆半径为， 由得， 所以的外接圆的面积. 类型五、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式） 1．（23-24高一下·上海·期末）已知函数 的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为． (1)求的解析式和周期． (2)当 时，求的值域． 【答案】(1)，周期为 (2) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式） 【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出，由周期求出，由特殊点的坐标求出的值，可得函数的解析式，即可求解； （2）当时，得到，利用正弦型函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：由函数的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为， 可得最小正周期，所以. 又由图象上一个最低点为，可得， 且，即，可得， 即，因为，所以， 所以函数的解析式为，且由最小正周期，可得的周期为. （2）解：由（1）知， 当时，可得， 所以，当时，即时，函数取得最小值为； 当时，即，函数取得最大值为， 所以函数的值域为. 2．（23-24高一下·上海·期末）已知函数，其中，（，） (1)若，，在用“五点法”作出函数，的大致图象的过程中，第一步需要将五个关键点列表，请完成下表： 0 0 (2)若，，写出函数的最小正周期和单调增区间 (3)若的频率为，且恒成立，求函数的解析式. 【答案】(1)答案见详解 (2)；， (3) 【知识点】求sinx型三角函数的单调性、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、求正弦（型）函数的最小正周期、五点法画正弦函数的图象 【分析】（1）根据题意，可得，完成五点法列表； （2）利用解析式结合正弦函数的单调递增区间，即可求出的单调递增区间； （3）根据题意可得，求得，又恒成立，可得，求得，得解. 【详解】（1）若，，则，，五点法列表如下： 0 0 1 0 0 （2）若，，则，所以最小正周期， 由的单调性可知，，即， 所以的单调增区间为，. （3）由题意可得的周期，则， 所以，又恒成立， 所以，即，即， 又，所以， 所以. 3．（23-24高一下·上海·期中）已知 ，其中. (1)若对任意的恒成立，且，求的值： (2)若，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，若函数在（，且）上恰好有8个零点，求的最小值； (3)已知函数（），在第（2）问条件下，若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、求图象变化前（后）的解析式、二倍角的正弦公式 【分析】（1）由题意可知与是相邻的最小值点和最大值点，从而可求出函数的最小正周期，再利用周期公式可求出； （2）根据三角函数图象变换规律得到，结合和求得，根据的零点个数得，则要使最小，则恰好是的零点，从而可求出的最小值； （3）根据题意可得的值域是值域的子集，求出这两个值域，列不等式组可求得结果. 【详解】（1）函数， 因为对任意的恒成立，且， 所以与是相邻的最小值点和最大值点， 所以的最小正周期为， 所以，得； （2）由题意可得， 因为是的一个零点， 所以， 所以， 所以，或， 得或， 因为，所以， 所以， 所以的最小正周期为， 令，则， 所以或， 得或， 因为函数在（，且）上恰好有8个零点， 所以, 要使最小，则恰好是的零点， 所以的最小值为； （3）由（2）知， 设在上的值域为，在上的值域为， 因为对任意，存在，使得成立， 所以， 当时，，所以， 所以，所以， 当时，，所以， 所以，所以, 因为，所以，解得， 所以实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：此题考查三角函数恒等变换公式的应用，考查利用正弦函数的性质求函数的解析式，考查三角函数图象变换规律，考查求三角函数的值域，第（3）问解题的关键是利用三角函数的性质求出两函数的值域，然后将问题转化为两个函数值域的包含关系，考查计算能力和数学转化思想，属于较难题. 4．（22-23高一下·上海闵行·期末）定义在上的函数，已知其在内只取到一个最大值和一个最小值，且当时函数取得最大值为3；当，函数取得最小值为. (1)求出此函数的解析式； (2)是否存在实数，满足不等式，若存在求出的取值范围，若不存在，请说明理由； (3)若将函数的图像保持横坐标不变，纵坐标变为原来的得到函数，再将函数的图像向左平移个单位得到函数，已知函数的最大值为10，求满足条件的的最小值. 【答案】(1) (2)存在， (3) 【知识点】解正弦不等式、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、求图象变化前（后）的解析式、复合函数的单调性 【分析】（1）先利用三角函数最值与周期的性质求得，再由求得，从而得解； （2）先根据根号的性质求得的取值范围，再结合的单调性得到关于的不等式，由此得解； （3）先利用三角函数平移的性质求得与，再利用复合函数的单调性确定满足条件时与的取值，从而求得的范围，由此得解. 【详解】（1），， 又在内只取到一个最大值和一个最小值， ，， ，， 则，又，， . （2）假设存在实数，满足题设不等式， 则满足，解得， ，， 同理， 当时，，故在上单调递增， 若有， 只需要，即成立即可， 存在，使成立. （3）由题意得， 函数与函数均为单调增函数，且， 当且仅当与同时取得才有的最大值为, 由，得， 则由，得， ，则， 又，的最小值为. 【点睛】关键点睛：本题第3小问的解决关键是利用复合函数的单调性，结合三角函数的性质确定满足条件时与的取值，从而得解. 类型六、正、余弦型三角函数图象的应用 1．（23-24高一下·上海·期末）设函数在上恰有两个零点，则 . 【答案】或 【知识点】正、余弦型三角函数图象的应用、辅助角公式、求零点的和 【分析】先将函数化简成，将函数有两个零点问题转化成函数与图象在上恰有两个交点问题，然后数形结合根据函数的图象性质即可得解. 【详解】由题得， 因为函数在上恰有两个零点， 所以方程在上恰有两个根， 所以函数与图象在上恰有两个交点， 令， 即函数的对称轴方程为， 所以在上有两条对称轴为和，如图， 所以由函数的图象性质可知或. 故答案为：或. 【点睛】思路点睛：研究三角函数问题，通常需要利用三角恒等变换公式化成一角一函数，故解决本题先利用辅助角公式将函数化简成，再将题中所给条件函数有两个零点问题转化成函数与图象在上恰有两个交点问题，然后作出有关函数图象，数形结合根据函数的图象性质即可得解. 2．（22-23高一下·上海浦东新·期中）已知函数且，给出下列四个命题： （1）该函数的值域为； （2）当且仅当时，； （3）对任意，恒成立. 上述命题中正确的序号是 【答案】（2）（3） 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求cosx(型)函数的值域、正、余弦型三角函数图象的应用、辅助角公式 【分析】根据解析式可得且，进而画出其一个周期内的图象，数形结合及其周期性判断各项的正误即可. 【详解】由，即， 所以， 由，即， 所以， 综上，且， 则在一个周期的图象如下： 由图知：值域为，该周期内的区间为， 故恒有，（1）错，（2）对； 当，时，； 当时，； 当时，； 综上，任意，恒成立，（3）对. 故答案为：（2）（3） 3．（23-24高一下·上海嘉定·期中）已知函数，其中． (1)若，求的值； (2)若，函数图像向右平移个单位，得到函数的图像，是的一个零点，若函数在（，且）上恰好有4个零点，求的最小值； (3)令，将函数为的图像向左平移个单位得到函数，已知函数的最大值为10，求满足条件的的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】正弦函数图象的应用、求含sinx(型)函数的值域和最值、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、求图象变化前（后）的解析式 【分析】（1）利用倍角公式化简函数解析式，由已知确定最小正周期，可得； （2）由图象平移变换得到函数，结合和，求得，根据的零点个数可得，要使最小，则恰好为的零点，由此求的最小值； （3）根据，可得，当且仅当时取等号，进而可求出. 【详解】（1）函数， 若， 则与是相邻的最小值点和最大值点， 所以的最小正周期为， 由，解得； （2）， ， ，所以或， 解得或，又， 得， 所以，函数最小正周期， 令，即，解得或， 若在上恰好有4个零点，要使最小，则恰好为的零点， 所以的最小值为； （3）由题意， 因为， 所以，当且仅当时取等号， 又因为函数的最大值为10， 所以同时取得最大值， 所以，所以， 所以满足条件的的最小值为． 【点睛】关键点点睛：根据，可得，当且仅当时取等号，是解决第三问的关键. 一、单选题 1．（22-23高一下·上海浦东新·期中）设函数，其中､为已知实常数，，有如下命题： （1）若，则对任意实数恒成立； （2）若，则函数为奇函数： （3）若，则函数为偶函数； （4）当时，若，则. 则所有正确命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求含sinx的函数的奇偶性、正弦函数对称性的其他应用 【分析】根据函数奇偶性的定义判断（1）（2）（3），对于（4），当时，由，结合三角函数的性质，故可得结论． 【详解】（1）若，则 则 函数为奇函数； 若，则， 函数偶函数，故既是奇函数又是偶函数， 故对任意实数恒成立，故（1）正确； （2）由（1）的证明过程可知当时，函数为奇函数，正确. （3）由（1）的证明过程可知当时，函数为偶函数，正确. （4）对于命题（4），当时， 令 则， 由辅助角公式得 其中，则是函数的两个对称中心点， 函数的最小正周期为，该函数的两个相邻对称中心之间的距离为周期的一半， 因此，，命题（4）正确. 故选：D. 二、填空题 2．（22-23高一下·上海·期中）已知函数，，若方程在区间内无解，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】诱导公式五、六、由正弦（型）函数的周期性求值、二倍角的正弦公式、给值求角型问题 【分析】恒等变换化简解析式，求出方程的根，由条件得出区间内不存在整数，再根据可得是或的子集，从而得出的取值范围. 【详解】 ， 令，有，解得， 令，解得， 方程在区间内无解，则区间内不存在整数， 又，得，又， 所以，或， 解得或， 则的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于，利用间接法得到区间内不存在整数，从而得解. 三、解答题 3．（22-23高一下·上海普陀·期末）已知． (1)求函数的单调增区间； (2)设方程在上的两解为和，求的值； (3)在中，角的对边分别为．若，，且，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】反三角函数、正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）利用辅助角公式及正弦函数的性质即求； （2）由题得，可解得，，再利用两角差的余弦公式及二倍角公式即求； （3）由题可求，再结合正余弦定理及面积公式即求. 【详解】（1）由题意知， 由，得到， 所以函数的单调增区间为 （2）令，化简得， 解得或． 由于，故，． 于是． 令，则， 因此． （3）由题意知， 由于，解得． 在中，由正弦定理知， 故，，又 所以， 在中，由余弦定理知， 所以，解得， 因此的面积． 4．（23-24高一下·上海静安·期末）已知函数． (1)某同学打算用“五点法”画出函数在某一周期内的图象，列表如下： 0 0 1 0 0 0 0 0 请在答题纸上填写上表的空格处数值，并写出函数的表达式和单调递增区间； (2)将（1）中函数的图象向下平移个单位得到的图象，若函数在闭区间上恰有两个零点，请直接写出实数的取值范围． 【答案】(1)，，单调递增区间 (2) 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）根据“五点法”完成表格，确定函数解析式，可求函数的单调增区间. （2）做出函数图象，根据图象求的取值范围. 【详解】（1）根据“五点法”，完成列表： 0 0 1 0 0 0 0 0 所以表中所填的数据为：． 由表格可知：，，. 所以. 由， 得， 所以函数单调递增区间． （2）根据列出得表格，可以做出函数得图象，如下： 该问题转化为方程在区间有两个交点，又，，， 所以的取值范围是． 5．（23-24高一下·上海·期末）已知. (1)求函数的单调增区间； (2)求函数在区间上的最大值与最小值. (3)若函数在内有且只有一个零点，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】求sinx型三角函数的单调性、三角函数图象的综合应用、求含sinx(型)函数的值域和最值、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】（1）运用二倍角公式，辅助角公式化简成正弦型函数，令函数，函数可以看作向下平移个单位，则的单调增区间与相同，用五点法作图解题即可； （2）将在图像留下来，直接看图求出来即可； （3）将在图像留下来，转化为交点问题即可. 【详解】（1） ， 令，最小正周期为.可以运用五点法画出的图像. 五点分别为： 由图像，结合函数周期性，可知道的单调递增区间为： 函数可以看作向下平移个单位，则的单调增区间与相同， 故的单调递增区间为： （2）先求出在区间上的最大值与最小值，由图知. ， 函数可以看作向下平移个单位，则 （3）若函数在内有且只有一个零点, 等价于在内有且只有一个根， 等价于在内有且只有一个根， 等价于在内有且只有一个根， 等价于与在内有且只有一个交点. 且，图像如下 则或者，解得或. 6．（22-23高一下·上海浦东新·期中）已知函数. (1)把f（x）表示为的形式，并写出函数的振幅和初始相位； (2)求函数的单调递增区间； (3)记函数在上的值域为A，若，求实数a的取值范围． 【答案】(1)振幅为，初始相位为； (2)， Z； (3) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、三角恒等变换的化简问题、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）利用二倍角公式以及两角和的正弦公式恒等变形即可求解； （2）利用整体法求函数的单调递增区间； （3）利用函数单调性求出的值域，再利用集合之间的关系求解即可. 【详解】（1）, 由此可知的振幅为，初始相位为； （2）令，Z， 解得，Z， 则函数的单调递增区间为， Z； （3）因为，所以， 因为函数在区间上单调递增，在上单调递减， 所以，， 所以的值域为， 又因为，所以， 解得， 即实数a的取值范围为. 7．（22-23高一下·上海杨浦·期中）对于函数，，如果存在一组常数，，…，（其中k为正整数，且）使得当x取任意值时，有则称函数为“k级周天函数”. (1)判断下列函数是否是“2级周天函数”，并说明理由：①；②； (2)求证：当时，是“3级周天函数”； (3)设函数，其中b，c，d是不全为0的实数且存在，使得，证明：存在，使得. 【答案】(1)是，不是；理由见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【知识点】三角函数综合、三角函数新定义、三角函数与解三角形综合 【分析】（1）令，，然后化简，根据定义可知； （2）令，，，然后化简，从而得证； （3）若，则，取，则；若，则利用反证法证明即可；若时，由，可得，从而可得结论 【详解】（1）令，，则， 所以是“2级周天函数”； ，不对任意x都成立， 所以不是“2级周天函数”； （2）令，，，则 所以是“3级周天函数”； （3）对其进行分类讨论： 1°若，则，此时取，则； 2°若，采用反证法，若不存在，使得，则恒成立， 由（2）可知是“3级周天函数”， 所以， 所以， 因为，，， 所以， 再由恒成立， 所以， 进而可得，这与b，c，d是不全为0矛盾， 故存在，使得； 3°若，由，， 得， 所以存在，使得， 所以命题成立. 8．（23-24高一下·上海·期中）已知函数，其中． (1)若，，求的对称中心； (2)若，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，若函数在（，且）上恰好有8个零点，求的最小值； (3)已知函数，在第（2）问条件下，若对任意为，存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求正弦（型）函数的最小正周期、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、由cosx（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】（1）由已知确定最小正周期，可得，即可求出函数解析式，再利用整体代入法求的对称中心； （2）由图象平移变换得到函数，结合和，得，根据的零点个数可得，要使最小，则恰好为的零点，由此求的最小值； （3）根据已知，在上，的值域是值域的子集，求出这两个值域，由包含关系构造不等式示结果. 【详解】（1）因为函数， 若，则与是相邻的最小值点和最大值点， 所以的最小正周期为，又，所以，解得， 所以， 令，解得，此时， 所以的对称中心为. （2）依题意可得， ， ，所以或 解得或，又， 得， 所以，函数最小正周期， 令，即，解得或， 若在上恰好有8个零点，则， 要使最小，则恰好为的零点， 的最小值为. （3）由（2）知，， 设在上的值域为，在上的值域为， 若对任意，存在，使得成立，则， 当， ，，则， 当，，，则， 由可得，又，解得， 所以实数a的取值范围为. 【点睛】方法点睛： 1. 若在上恰好有8个零点，要使最小，则需要恰好为的零点； 2. ，存在，使得，则在定义区间内的值域是值域的子集. 9．（23-24高一下·上海·期末）设，．已知函数的图像关于直线成轴对称． (1)求函数的表达式； (2)若，且为锐角，求； (3)设，．若函数在区间上恰有奇数个零点，求的值以及零点的个数． 【答案】(1) (2) (3)；函数在区间上恰有个零点 【知识点】由对称性求函数的解析式、根据零点求函数解析式中的参数、正、余弦齐次式的计算、求函数零点或方程根的个数 【分析】（1）根据正弦函数对称轴方程即可求解. （2）利用二倍角的正切公式求出，再利用正弦形式的倍角公式、分母为“1”将变形后弦化切即可求解. （3）根据零点定义令得，再数形结合根据函数图像性质可求解. 【详解】（1）由题意， 所以，故，又， 所以，故. （2）因为，且为锐角， 所以 故由（1）. （3）由（1）， 令， 则函数在区间上恰有奇数个零点 在区间有奇数个解， 因为，最小正周期为，如图， 故由图像特征以及周期性质可知， 只有当时其在区间才有奇数个解， 此时，两边平方解得， 故此时或， 由图可知时有个解；时，有个解， 所以函数在区间上恰有个零点. 【点睛】易错点睛：在算函数在区间上的零点个数时，易漏算时这一组解导致零点个数算错. 试卷第1页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$