重难点08 勾股定理中折叠问题-2024-2025学年八年级数学下册【重难点考点】专练（人教版）

重难点08 勾股定理中的折叠问题 【题型1 利用勾股定理解决三角形中的折叠问题】 【例题1】（2024•崂山区一模）如图，△ABC中，∠A＝90°，AB＝7，AC＝24，点D为边AC上一点，将△ABC沿BD折叠后，点A的对应点A′恰好落在BC边上，则线段AD的长为（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，点D是边BC上一点，若沿将△ACD翻折，点C刚好落在边上点E处，则BD等于（　　） A．2 B． C．3 D． 【变式1-2】（2024春•芜湖期中）如图所示，有一块直角三角形纸片，∠C＝90°，BC＝6cm，AB＝10cm，将斜边AB翻折，使得点B恰好落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则BD的长为（　　） A．2cm B． C． D．5cm 【变式1-3】如图，在△ABC中，，AC＝12，BC＝6，将△ABC折叠，得到折痕DE，且顶点B恰好与点A重合，点C落在点F处，则CE的长为（　　） A．4 B． C．5 D． 【变式1-4】如图的三角形纸片中，AB＝8，BC＝6，AC＝5，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长是（　　） A．7 B．8 C．11 D．14 【变式1-5】（2024秋•高邮市期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，点D、E分别在AC、BC边上．现将△DCE沿DE翻折，使点C落在点H处．连接AH，则AH长度的最小值为（　　） A．0 B．2 C．4 D．6 【变式1-6】（2024秋•秦淮区校级月考）如图，将三角形纸片ABC沿AD折叠，使点C落在BD边上的点E处．若BC＝12，BE＝2，则AB2﹣AC2的值为（　　） A．20 B．22 C．24 D．26 【变式1-7】（2024•天津模拟）如图，Rt△ABC中，AB＝8，BC＝6，∠B＝90°，M，N分别是边AC，AB上的两个动点．将△ABC沿直线MN折叠，使得点A的对应点D落在BC边的三等分点处，则线段BN的长为（　　） A．3 B． C．3或 D．3或 【变式1-8】（2024秋•溧阳市期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在斜边AB上，将△ACD沿CD折叠，使点A恰好落在BC边上的点E处，则△BDE的周长为 　 　． 【变式1-9】（2024春•丰都县校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，点D为斜边AB上一点，连接CD，将△BCD沿CD翻折，使B落在点E处，点F为直角边AC上一点，连接DF，将△ADF沿DF翻折，使点A与点E重合，则AF的长为 　 　． 【变式1-10】（2024•平果市模拟）如图，在△ABC中，AC＝5，BC＝8，∠C＝60°，BD＝3，点D在边BC上，连接AD，如果将△ABD沿AD翻折后，点B的对应点为点E，那么点E到直线DC的距离为　 　． A． B．4 C． D． 【变式1-11】在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D、E分别是斜边AB和直角边CB上的点，把△ABC沿着直线DE折叠，顶点B的对应点是B′． （1）如图（1），如果点B′和顶点A重合，求CE的长； （2）如图（2），如果点B′和落在AC的中点上，求CE的长． 【题型2 利用勾股定理解决长方形中的折叠问题】 【例题2】（2024秋•文山市期末）如图，折叠矩形ABCD的一边AD，点D落在BC边上的点F处，已知AB＝6cm，BC＝10cm，那么FC的长为（　　） A．cm B．4cm C．2cm D．5cm 【变式2-1】（2024春•东昌府区期末）如图，在矩形ABCD中，BC＝8，CD＝6，将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上F处，则EF的长是（　　） A．3 B． C．5 D． 【变式2-2】（2024春•道外区期末）如图，长方形ABCD中，AB＝3，AD＝9，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式2-3】如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，将矩形沿BD折叠，点A落在点E处，DE与BC交于点F，则重叠部分△BDF的面积是（　　） A．20 B．16 C．12 D．10 【变式2-4】（2024•番禺区一模）如图，将矩形ABCD的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，若EH＝12cm，EF＝16cm，则边AD的长是（　　） A．12cm B．16cm C．20cm D．28cm 【变式2-5】如图，在矩形ABCD中，连接BD，将△ABD沿BD进行折叠，使得点A落到点M处，DM交BC于点N，若AB＝2，BD＝5，则MN的长度为（　　） A． B． C．17 D．34 【变式2-6】（2024秋•梅县区校级期末）如图是一张矩形纸片ABCD，点E，G分别在边BC，AB上，把△DCE沿直线DE折叠，使点C落在对角线BD上的点F处；把△DAG沿直线DG折叠，使点A落在线段DF上的点H处，HF＝1，BF＝8，则矩形ABCD的面积为（　　） A．420 B．360 C． D． 【变式2-7】（2024•青岛一模）如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，将纸片折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，点D的对应点为G，连接DG，则图中阴影部分面积是（　　） A．5 B．3 C． D． 【变式2-8】把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF．若AB＝3cm，BC＝5cm，则重叠部分△DEF的面积是 　 　． 【变式2-9】如图，已知长方形纸片ABCD，点E在边AB上，且BE＝4，BC＝6，将△CBE沿直线CE翻折，使点B落在点G，延长EG交CD于点F，则线段FG的长为 　 　． 【变式2-10】在矩形ABCD中，将边AB翻折到对角线BD上，点A落在点M处，折痕BE交AD于点E．将边CD翻折到对角线BD上，点C落在点N处，折痕DF交BC于点F．AB＝5，MN＝3，则BC的长（　　） A．5 B．12或 2 C．12 D．12或13 【题型3 利用勾股定理解决正方形中的折叠问题】 【例题3】（2024春•永嘉县校级期末）如图，将边长为8cm正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长是（　　） A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm 【变式3-1】（2024•连南县校级一模）如图：将边长为6的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在AB边中点E处，点C落在点Q处，折痕为FH，则线段AF的长是（　　） A．2 B． C．3 D． 【变式3-2】（2024春•尧都区期末）如图，正方形ABCD的边长为3，将正方形折叠，使点D落到BC边上的点E处，折痕为GH，若EC：BE＝1：2，折痕GH的长为 　 ． 【变式3-3】（2024春•大连月考）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E是CD边的中点，将该纸片折叠，使点B与点E重合，折痕交AD，BC边于点M，N，连接ME，NE．则ME的长为　 ． 【变式3-4】如图，在正方形纸片ABCD中，E是CD的中点，将正方形纸片折叠，点B落在线段AE上的点G处，折痕为AF．若AD＝4cm，则CF的长为（　　）cm A．6﹣2 B．6﹣2 C． D． 【变式3-5】（2024秋•苍南县期中）如图，将一张边长为6分米的正方形纸片ABCD对折，使AB与DC重合，折痕为EF，展开铺平后在CD上找一点G，将该纸片沿着BG折叠，使点C恰好落在EF上，记为点C'，则FC'的长为（　　） A．5.5分米 B．分米 C．分米 D．分米 【变式3-6】（2024春•荔城区校级月考）如图，在边长为7的正方形ABCD中，E为BC边上一点，F为AD边上一点，连接AE、EF，将△ABE沿EF折叠，使点A恰好落在CD边上的A′处，若A′D＝2，则B′E的长度为（　　） A． B． C． D．2 【变式3-7】（2024春•社旗县期末）如图，点E和点F分别在正方形纸片ABCD的边CD和AD上，连接AE，BF，沿BF所在直线折叠该纸片，点A恰好落在线段AE上点G处．若正方形纸片边长12，DE＝5，则GE的长为（　　） A． B． C．4 D．3 【变式3-8】（2024春•长清区期末）如图1，将正方形纸片ABCD对折，使AB与CD重合，折痕为EF如图2，展开后再折叠一次，使点C与点E重合，折痕为GH，点B的对应点为点M，EM交AB于N，AD＝4，则CH的长为（　　） A． B． C． D． 【变式3-9】（2024秋•和平区期末）如图，已知正方形ABCD面积为2，将正方形ABCD沿直线EF折叠，则图中阴影部分的周长为（　　） A． B．2 C．8 D．4 【变式3-10】如图，正方形ABCD中，CD＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF． （1）求证：△ABG≌△AFG； （2）求GC的长； （3）求△FGC的面积． 1．（2024•西城区校级模拟）如图，Rt△ABC中，AB＝18，BC＝12，∠B＝90°，将△ABC折叠，使点A与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（　　） A．8 B．6 C．4 D．10 2．如图所示，有一块直角三角形纸片，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则CE的长为（　　） A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 3．如图所示，矩形纸片ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，则AF的长为 　 　． 4．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，把矩形折叠，使点D与点B重合，点C落在点E处，则折痕FG的长为（　　） A．2.5 B．3 C． D．2 5．如图，将正方形纸片ABCD折叠，使顶点B落在边AD上的点E处，折痕交AB于点F，交CD于点G，若AE＝1，∠AFE＝30°，则AB的长为（　　） A．2 B．1 C．2 D．2 6．（2024春•满洲里市校级期末）如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，将△AED沿着AE翻折得到△AEF，点D的对应点F恰好落在对角线AC上，连接BF．若EF＝2，则BF2＝（　　） A．44 B．6+4 C．12 D．8+4 7．（2024秋•大庆期末）数学活动课上，小慧同学用剪刀剪出一个△ABC 纸片，如图（1）所示，用直尺测量得 AC＝6cm，BC＝8cm，AB＝10cm． （1）判断△ABC的形状，并说明理由； （2）小慧同学将三角形纸片折叠，使点B与点A重合，如图（2）所示，折痕交AB于点M，交BC于点N，求AN的长度． 8．（2024秋•南明区期末）八年级数学小组以“直角三角形的折叠”为主题，开展数学探究活动． 如图①，已知，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，，点D是边BC上一动点，DE⊥AC于点E． （1）【操作判断】如图②，将△DCE沿直线DE折叠，点C恰好与点A重合，则CD与DA的数量关系是 　 　； （2）【问题解决】在（1）的条件下，求BD的长； （3）【问题探究】将△DCE沿直线DE折叠，点C落在边AC上的点F处，连接BF，当△ABF是等边三角形时，直接写出△CBF的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点08 勾股定理中的折叠问题 【题型1 利用勾股定理解决三角形中的折叠问题】 【例题1】（2024•崂山区一模）如图，△ABC中，∠A＝90°，AB＝7，AC＝24，点D为边AC上一点，将△ABC沿BD折叠后，点A的对应点A′恰好落在BC边上，则线段AD的长为（　　） A． B． C． D． 【分析】由∠A＝90°，AB＝7，AC＝24，根据勾股定理求得BC＝25，由折叠得∠BA′D＝∠A＝90°，A′D＝AD，则25AD7（24﹣AD）＝S△BCD，求得AD，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵∠A＝90°，AB＝7，AC＝24， ∴BC25， ∵将△ABC沿BD折叠后，点A的对应点A′恰好落在BC边上， ∴∠BA′D＝∠A＝90°，A′D＝AD， ∴AB⊥CD，A′D⊥BC， ∴BC•A′DCD•AB＝S△BCD， ∴25AD7（24﹣AD）， 解得AD， 故选：B． 【点评】此题重点考查勾股定理、轴对称的性质、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，根据BC•A′DCD•AB列出方程是解题的关键． 【变式1-1】如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，点D是边BC上一点，若沿将△ACD翻折，点C刚好落在边上点E处，则BD等于（　　） A．2 B． C．3 D． 【分析】由勾股定理可知BC＝4．由折叠的性质得：AE＝AC＝3，DE＝DC，∠AED＝∠C＝90˚，设BD＝x，由勾股定理可得出答案． 【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝3，AB＝5， ∴BC4， 设 BD＝x，则DC＝4﹣x， 由折叠可知DE＝DC＝4﹣x，AE＝AC＝3，∠AED＝∠C＝90°， ∴BE＝AB﹣AE＝2． 在 Rt△BDE 中，BD2＝BE2+DE2， ∴x2＝22+（4﹣x）2， 解得：x， 即BD． 故选：B． 【点评】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理，主要利用了翻折前后的两个图形对应边相等，对应角相等，利用勾股定理列出关于x的方程是解题的关键． 【变式1-2】（2024春•芜湖期中）如图所示，有一块直角三角形纸片，∠C＝90°，BC＝6cm，AB＝10cm，将斜边AB翻折，使得点B恰好落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则BD的长为（　　） A．2cm B． C． D．5cm 【分析】由∠ACB＝90°，BC＝6cm，AB＝10cm，求得AC＝8cm，由翻折得AE＝AB＝10cm，ED＝BD，∠DCE＝90°，则CE＝2cm，根据勾股定理得（6﹣BD）2+22＝BD2，解方程求出BD的值即得到问题的答案． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，BC＝6cm，AB＝10cm， ∴AC8（cm）， ∵将斜边AB翻折，点B落在直角边AC的延长线上的点E处， ∴AE＝AB＝10cm，ED＝BD，∠DCE＝180°﹣∠ACB＝90°， ∴CE＝AE﹣AC＝10﹣8＝2（cm）， ∵CD2+CE2＝ED2， ∴（6﹣BD）2+22＝BD2， 解得BD， ∴BD的长为cm， 故选：B． 【点评】此题重点考查轴对称的性质、勾股定理等知识，根据勾股定理正确地列出方程是解题的关键． 【变式1-3】如图，在△ABC中，，AC＝12，BC＝6，将△ABC折叠，得到折痕DE，且顶点B恰好与点A重合，点C落在点F处，则CE的长为（　　） A．4 B． C．5 D． 【分析】连接BE，由AB＝6，AC＝12，BC＝6，求得AC2+BC2＝AB2＝180，所以∠C＝90°，由BC2+CE2＝BE2，且BE＝AE＝12﹣CE，得62+CE2＝（12﹣CE）2，求得CE，于是得到问题的答案． 【解答】解：连接BE， ∵AB＝6，AC＝12，BC＝6， ∴AC2+BC2＝122+62＝180，AB2＝（6）2＝180， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形，且∠C＝90°， ∴BC2+CE2＝BE2， 由折叠得BE＝AE＝12﹣CE， ∴62+CE2＝（12﹣CE）2， 解得CE， 故选：B． 【点评】此题重点考查翻折变换的性质、勾股定理及勾股定理的逆定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 【变式1-4】如图的三角形纸片中，AB＝8，BC＝6，AC＝5，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长是（　　） A．7 B．8 C．11 D．14 【分析】根据翻折变换的性质得到DC＝DE，BE＝BC，根据已知求出AE的长，根据三角形周长公式计算即可． 【解答】解：由折叠的性质可知，DC＝DE，BE＝BC＝6， ∵AB＝8，∴AE＝AB﹣BE＝2， △AED的周长为：AD+AE+DE＝AC+AE＝7， 答：△AED的周长为7． 故选：A． 【点评】本题考查的是翻折变换的知识，掌握翻折变换的性质、找准对应关系是解题的关键． 【变式1-5】（2024秋•高邮市期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，点D、E分别在AC、BC边上．现将△DCE沿DE翻折，使点C落在点H处．连接AH，则AH长度的最小值为（　　） A．0 B．2 C．4 D．6 【分析】当H落在AB上，点D与B重合时，AH长度的值最小，根据勾股定理得到AB＝10cm，由折叠的性质知，BH＝BC＝6cm，于是得到结论． 【解答】解：当H落在AB上，点D与B重合时，AH长度的值最小， ∵∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm， ∴AB＝10cm， 由折叠的性质知，BH＝BC＝6cm， ∴AH＝AB﹣BH＝4cm． 故选：C． 【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 【变式1-6】（2024秋•秦淮区校级月考）如图，将三角形纸片ABC沿AD折叠，使点C落在BD边上的点E处．若BC＝12，BE＝2，则AB2﹣AC2的值为（　　） A．20 B．22 C．24 D．26 【分析】根据折叠，可得AC＝AE，ED＝CD，∠ADE＝90°，根据勾股定理可得AB2＝AD2+BD2，AE2＝AD2+DE2，根据AB2﹣AC2＝AB2﹣AE2＝BD2﹣DE2＝（BD+DE）（BD﹣DE）＝BC•BE，求解即可． 【解答】解：根据折叠，可得AC＝AE，ED＝CD，∠ADE＝90°， 在Rt△ABD中，根据勾股定理，得AB2＝AD2+BD2， 在Rt△AED中，根据勾股定理，得AE2＝AD2+DE2， ∴AB2﹣AC2＝AB2﹣AE2＝BD2﹣DE2＝（BD+DE）（BD﹣DE）＝BC•BE， ∵BC＝12，BE＝2， ∴AB2﹣AC2＝12×2＝24， 故选：C． 【点评】本题考查了折叠问题，勾股定理等，熟练掌握折叠变换是解题的关键． 【变式1-7】（2024•天津模拟）如图，Rt△ABC中，AB＝8，BC＝6，∠B＝90°，M，N分别是边AC，AB上的两个动点．将△ABC沿直线MN折叠，使得点A的对应点D落在BC边的三等分点处，则线段BN的长为（　　） A．3 B． C．3或 D．3或 【分析】由题意可知BD＝2或BD＝4，分两种情况由勾股定理可得出答案． 【解答】解：∵D为BC的三等分点， ∴BD＝2或BD＝4， 由折叠可知AN＝DN， ∴AN＝8﹣BN， 当BD＝2时， 在Rt△BDN中，DN2＝BD2+BN2， ∴（8﹣BN）2＝4+BN2， ∴BN； 当BD＝4时， 在Rt△BDN中，DN2＝BD2+BN2， ∴（8﹣BN）2＝4+BN2， ∴BN＝3； 综上所述：BN的长为3或， 故选：D． 【点评】本题考查折叠的性质，熟练掌握折叠的性质、灵活应用勾股定理是解题的关键． 【变式1-8】（2024秋•溧阳市期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在斜边AB上，将△ACD沿CD折叠，使点A恰好落在BC边上的点E处，则△BDE的周长为 　 　． 【分析】由折叠可得，AC＝CE，DE＝AD，则CE＝6，BE＝2，再由△BDE的周长＝AB+EB，即可求解 【解答】解：由折叠可得，AC＝CE，DE＝AD， ∵AC＝6，BC＝8， ∴CE＝6， ∴BE＝BC﹣CE＝2， ∵∠ACB＝90°， ∴AB10， ∴△BDE的周长＝DE+EB+BD＝AD+BD+EB＝AB+EB＝10+2＝12． 【点评】本题考查翻折变换（折叠问题），勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 【变式1-9】（2024春•丰都县校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，点D为斜边AB上一点，连接CD，将△BCD沿CD翻折，使B落在点E处，点F为直角边AC上一点，连接DF，将△ADF沿DF翻折，使点A与点E重合，则AF的长为 　 　． 【分析】由勾股定理求出AC＝4，再由翻折可得∠B＝∠DEC，∠A＝∠DEF，CE＝BC＝3，AF＝EF，从而可证∠FEC＝90°，设AF＝EF＝x，则CF＝AC﹣AF＝4﹣x，由勾股定理即可求得AF的长． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3， ∴， 由翻折可知：∠B＝∠DEC，∠A＝∠DEF，CE＝BC＝3，AF＝EF， ∵∠A+∠B＝90°， ∴∠DEF+∠DEC＝90°， 即∠FEC＝90°， ∴EF2+CE2＝CF2， 设AF＝EF＝x，则CF＝AC﹣AF＝4﹣x， ∴x2+32＝（4﹣x）2， 解得：， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查直角三角形中的翻折问题，勾股定理，解题的关键是掌握翻折的性质，证明∠FEC＝90°从而用勾股定理解决问题． 【变式1-10】（2024•平果市模拟）如图，在△ABC中，AC＝5，BC＝8，∠C＝60°，BD＝3，点D在边BC上，连接AD，如果将△ABD沿AD翻折后，点B的对应点为点E，那么点E到直线DC的距离为　 　． A． B．4 C． D． 【分析】先证△ACD是等边三角形，可得∠ADC＝60°，由折叠的性质可得∠ADB＝∠ADE＝120°，BD＝ED＝3，由直角三角形的性质可求解． 【解答】解：如图，过点E作EN⊥BC于N， ∵BC＝8，BD＝3， ∴CD＝5， ∵AC＝5， ∴AC＝DC， 又∵∠ACB＝60°， ∴△ACD是等边三角形， ∴∠ADC＝60°， ∴∠ADB＝120°， ∵将△ABD沿AD翻折后，点B的对应点为点E， ∴∠ADB＝∠ADE＝120°，BD＝ED＝3， ∴∠EDC＝60°， ∵EN⊥BC， ∴∠DEN＝30°， ∴DNDE，NEDN， ∴点E到直线DC的距离为， 故答案为：． 【点评】本题考查了翻折变换，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 【变式1-11】在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D、E分别是斜边AB和直角边CB上的点，把△ABC沿着直线DE折叠，顶点B的对应点是B′． （1）如图（1），如果点B′和顶点A重合，求CE的长； （2）如图（2），如果点B′和落在AC的中点上，求CE的长． 【分析】（1）如图（1），设CE＝x，则BE＝8﹣x；根据勾股定理列出关于x的方程，解方程即可解决问题． （2）如图（2），首先求出CB′＝3；类比（1）中的解法，设出未知数，列出方程即可解决问题． 【解答】解：（1）如图（1），设CE＝x，则BE＝8﹣x； 由题意得：AE＝BE＝8﹣x， 由勾股定理得：x2+62＝（8﹣x）2， 解得：x， 即CE的长为：． （2）如图（2）， ∵点B′落在AC的中点， ∴CB′AC＝3； 设CE＝x，类比（1）中的解法，可列出方程：x2+32＝（8﹣x）2 解得：x． 即CE的长为：． 【点评】该题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用翻折变换的性质，找出图形中隐含的等量关系；借助勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理或解答． 【题型2 利用勾股定理解决长方形中的折叠问题】 【例题2】（2024秋•文山市期末）如图，折叠矩形ABCD的一边AD，点D落在BC边上的点F处，已知AB＝6cm，BC＝10cm，那么FC的长为（　　） A．cm B．4cm C．2cm D．5cm 【分析】由四边形ABCD是矩形，可得∠B＝90°，AD＝BC＝10cm，根据折叠矩形ABCD的一边AD，点D落在BC边上的点F处，知AF＝AD＝10cm，用勾股定理得BF8（cm）；故FC＝BC﹣BF＝10﹣8＝2（cm）． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°，AD＝BC＝10cm， ∵折叠矩形ABCD的一边AD，点D落在BC边上的点F处， ∴AF＝AD＝10cm， 在Rt△ABF中， BF8（cm）； ∴FC＝BC﹣BF＝10﹣8＝2（cm）； 故选：C． 【点评】本题考查矩形中的翻折问题，解题的关键是掌握矩形性质和翻折的性质． 【变式2-1】（2024春•东昌府区期末）如图，在矩形ABCD中，BC＝8，CD＝6，将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上F处，则EF的长是（　　） A．3 B． C．5 D． 【分析】由折叠可得BF＝AB＝6，AE＝EF，可求DF＝4，根据勾股定理可求EF的长． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形 ∴AB＝CD＝8，∠A＝90° ∵AB＝6，AD＝8 ∴BD10 ∵将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上F处 ∴AB＝BF＝6，AE＝EF，∠A＝∠BFE＝90° ∴DF＝4 Rt△DEF中，DE2＝EF2+DF2 （8﹣AE）2＝AE2+16 ∴AE＝3即EF＝3 故选：A． 【点评】本题考查了折叠问题，矩形的性质，利用勾股定理求线段的长度是本题的关键． 【变式2-2】（2024春•道外区期末）如图，长方形ABCD中，AB＝3，AD＝9，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【分析】根据折叠的性质可得BE＝ED，设AE＝x，表示出BE＝9﹣x，然后在Rt△ABE中，利用勾股定理列式计算即可得解． 【解答】解：∵长方形折叠点B与点D重合， ∴BE＝ED， 设AE＝x，则ED＝9﹣x，BE＝9﹣x， 在Rt△ABE中，AB2+AE2＝BE2， 即32+x2＝（9﹣x）2， 解得x＝4， ∴AE的长是4， ∴△ABE的面积为：6． 故选：A． 【点评】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，根据勾股定理列出关于AE的长的方程是解题的关键． 【变式2-3】如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，将矩形沿BD折叠，点A落在点E处，DE与BC交于点F，则重叠部分△BDF的面积是（　　） A．20 B．16 C．12 D．10 【分析】由折叠可得∠ADB＝∠BDE，由题意可证∠DBC＝∠BDE，则可得∠BDE＝∠DBC即DF＝BF，在Rt△DFC中，根据勾股定理可列方程，解得DF的长度，即可求△BDF的面积． 【解答】解：∵折叠， ∴∠ADB＝∠BDE，BE＝AB＝4， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，AD＝BC＝8，CD＝AB＝4， ∴∠ADB＝∠DBC， ∴∠BDE＝∠DBC， ∴BF＝DF， 在Rt△DFC中，DF2＝FC2+CD2， ∴DF2＝（8﹣DF）2+16， ∴DF＝5， ∴S△BDFDF×BE＝10， 故选：D． 【点评】本题考查了折叠问题，矩形的性质，关键是根据勾股定理列出方程． 【变式2-4】（2024•番禺区一模）如图，将矩形ABCD的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，若EH＝12cm，EF＝16cm，则边AD的长是（　　） A．12cm B．16cm C．20cm D．28cm 【分析】利用三个角是直角的四边形是矩形易证四边形EFGH为矩形，那么由折叠可得HF的长即为边AD的长． 【解答】解：∵∠HEM＝∠AEH，∠BEF＝∠FEM， ∴∠HEF＝∠HEM+∠FEM180°＝90°， 同理可得：∠EHG＝∠HGF＝∠EFG＝90°， ∴四边形EFGH为矩形， ∴GH∥EF，GH＝EF， ∴∠GHN＝∠EFM， 在△GHN和△EFM中， ， ∴△GHN≌△EFM（AAS）， ∴HN＝MF＝HD， ∴AD＝AH+HD＝HM+MF＝HF， 在Rt△EHF中， HF20， ∴AD＝20厘米． 故选：C． 【点评】此题主要考查了翻折变换的性质以及勾股定理等知识，得出四边形EFGH为矩形是解题关键． 【变式2-5】如图，在矩形ABCD中，连接BD，将△ABD沿BD进行折叠，使得点A落到点M处，DM交BC于点N，若AB＝2，BD＝5，则MN的长度为（　　） A． B． C．17 D．34 【分析】先根据勾股定理求得AD的长，再设MN＝x，求得BN＝DNx，最后在Rt△BMN中根据勾股定理列出关于x的方程，求得x的值即可． 【解答】解：在矩形ABCD中，AB＝2，BD＝5，∠A＝90°， ∴AD，BM＝2， ∴DM， 设MN＝x，则DNx， 由题得，∠ADB＝∠MDB，∠ADB＝∠DBC， ∴∠MDB＝∠DBC， ∴BN＝DNx， 在Rt△BMN中，BM2+MN2＝BN2 ∴22+x2＝（x）2 解得x， 即MN的长度为． 故选：A． 【点评】本题以折叠问题为背景，主要考查了矩形的性质以及勾股定理的运用，解决问题的关键是依据直角三角形的三边数量关系，列出关于x的方程求得线段的长，这是方程思想的应用． 【变式2-6】（2024秋•梅县区校级期末）如图是一张矩形纸片ABCD，点E，G分别在边BC，AB上，把△DCE沿直线DE折叠，使点C落在对角线BD上的点F处；把△DAG沿直线DG折叠，使点A落在线段DF上的点H处，HF＝1，BF＝8，则矩形ABCD的面积为（　　） A．420 B．360 C． D． 【分析】由折叠的性质得HD＝AD，FD＝CD，设AD＝x，则HD＝x，得AB＝CD＝x+1，BD＝x+9，再在Rt△ABD中，由勾股定理得出方程，解方程，即可解决问题． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，∠A＝90°， 由折叠的性质得：HD＝AD，FD＝CD， 设AD＝x，则HD＝x， ∴AB＝CD＝FD＝HD+HF＝x+1， ∴BD＝FD+BF＝x+9， 在Rt△ABD中，由勾股定理得：x2+（x+1）2＝（x+9）2， 解得：x＝20或x＝﹣4（舍去）， ∴AD＝20，AB＝21，BD＝x+9＝29， ∴矩形ABCD的面积＝AD•AB＝20×21＝420， 故选：A． 【点评】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握翻折变换的性质和矩形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键． 【变式2-7】（2024•青岛一模）如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，将纸片折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，点D的对应点为G，连接DG，则图中阴影部分面积是（　　） A．5 B．3 C． D． 【分析】由于AF＝CF，则在Rt△ABF中由勾股定理求得AF的值，证得△ABF≌△AGE，有AE＝AF，即ED＝AD﹣AE，再由直角三角形的面积公式求得Rt△AGE中边AE上的高的值，即可计算阴影部分的面积． 【解答】解：由题意知，AF＝FC，AB＝CD＝AG＝4，BC＝AD＝8 在Rt△ABF中，由勾股定理知AB2+BF2＝AF2，即42+（8﹣AF）2＝AF2， 解得AF＝5 ∵∠BAF+∠FAE＝∠FAE+∠EAG＝90° ∴∠BAF＝∠EAG ∵∠B＝∠AGE＝90°，AB＝AG ∴△BAF≌△GAE， ∴AE＝AF＝5，ED＝GE＝3 ∵S△GAEAG•GEAE•AE边上的高 ∴AE边上的高 ∴S△GEDED•AE边上的高3． 故选：D． 【点评】本题利用了矩形的性质和翻折的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质求解． 【变式2-8】把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF．若AB＝3cm，BC＝5cm，则重叠部分△DEF的面积是 　 　． 【分析】根据图形折叠前后图形不发生大小变化，得出AE＝A′E，再利用勾股定理得出A′E2+A′D2＝ED2，从而求出x，进而得出DE的长，再求出△DEF的面积． 【解答】解：∵按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF， ∵AB＝3cm，BC＝5cm， ∴A′D＝AB＝3cm，假设AE＝x，则A′E＝xcm，DE＝5﹣x（cm）， ∴A′E2+A′D2＝ED2， ∴x2+9＝（5﹣x）2， 解得：x＝1.6， ∴DE＝5﹣1.6＝3.4（cm）， ∴△DEF的面积是：3.4×3＝5.1（cm2）． 故答案为：5.1cm2． 【点评】此题主要考查了折叠问题，得出AE＝A′E，根据勾股定理列出关于x的方程是解决问题的关键． 【变式2-9】如图，已知长方形纸片ABCD，点E在边AB上，且BE＝4，BC＝6，将△CBE沿直线CE翻折，使点B落在点G，延长EG交CD于点F，则线段FG的长为 　 　． 【分析】由折叠的性质可得BE＝GE＝4，∠CEB＝∠CEG，BC＝CG＝6，∠B＝∠CGE＝90°，由勾股定理可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD，∠B＝90°， ∵将△CBE沿直线CE翻折， ∴BE＝GE＝4，∠CEB＝∠CEG，BC＝CG＝6，∠B＝∠CGE＝90°， ∵CD∥AB， ∴∠DCE＝∠CEB， ∴∠DCE＝∠CEG， ∴EF＝FC， ∵FC2＝FG2+CG2， ∴（FG+4）2＝FG2+36， ∴FG， 故答案为：． 【点评】本题考查了翻折变换，矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握折叠的性质是解题的关键． 【变式2-10】在矩形ABCD中，将边AB翻折到对角线BD上，点A落在点M处，折痕BE交AD于点E．将边CD翻折到对角线BD上，点C落在点N处，折痕DF交BC于点F．AB＝5，MN＝3，则BC的长（　　） A．5 B．12或 2 C．12 D．12或13 【分析】分两种情况：点M在线段AN时，点M在线段DN上时，由折叠性质和线段和差分别求得BD，进而由勾股定理求得BC． 【解答】解：当点M在线段AN上时，如下图， 由折叠性质得AB＝BM＝BC＝DN＝5， ∴BD＝BM+MN+DN＝13， ∵∠C＝90°， ∴BC； 当点M点在线段DN上时，如下图， 由折叠性质得AB＝BM＝BC＝DN＝5， ∴MD＝DN﹣MN＝5﹣3＝2， ∴BD＝AM+DM＝5+2＝7， ∵∠C＝90°， ∴BC； 综上，BC＝12或2， 故选：B． 【点评】本题主要考查了矩形的性质，折叠性质，勾股定理，关键是由折叠性质求得BD的长度． 【题型3 利用勾股定理解决正方形中的折叠问题】 【例题3】（2024春•永嘉县校级期末）如图，将边长为8cm正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长是（　　） A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm 【分析】根据折叠的性质，只要求出DN就可以求出NE，在直角△CEN中，若设CN＝x，则DN＝NE＝8﹣x，CE＝4cm，根据勾股定理就可以列出方程，从而解出CN的长． 【解答】解：由题意设CN＝x cm，则EN＝（8﹣x）cm， 又∵CEDC＝4cm， ∴在Rt△ECN中，EN2＝EC2+CN2，即（8﹣x）2＝42+x2， 解得：x＝3，即CN＝3cm． 故选：D． 【点评】本题考查翻折变换的问题，折叠问题其实质是轴对称，对应线段相等，对应角相等，找到相应的直角三角形利用勾股定理求解是解决本题的关键． 【变式3-1】（2024•连南县校级一模）如图：将边长为6的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在AB边中点E处，点C落在点Q处，折痕为FH，则线段AF的长是（　　） A．2 B． C．3 D． 【分析】设EF＝FD＝x，在Rt△AEF中利用勾股定理即可解决问题． 【解答】解：如图： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝6， ∵AE＝EB＝3，EF＝FD，设EF＝DF＝x．则AF＝6﹣x， 在Rt△AEF中，∵AE2+AF2＝EF2， ∴32+（6﹣x）2＝x2， ∴x， ∴AF＝6， 故选：B． 【点评】本题考查翻折变换、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是设未知数利用勾股定理列出方程解决问题． 【变式3-2】（2024春•尧都区期末）如图，正方形ABCD的边长为3，将正方形折叠，使点D落到BC边上的点E处，折痕为GH，若EC：BE＝1：2，折痕GH的长为 　 ． 【分析】据折叠可得DH＝EH，ED⊥GH，DM＝EM，根据勾股定理求出CH、ED的长．继而求出，，最后在△GHD中由面积法，根据求出GH． 【解答】解：如图，连接ED交GH于M，连接GD． 设CH＝x，则DH＝EH＝3﹣x， ∵BE：EC＝2：1，BC＝3， ∴， ∴在Rt△ECH中，EH2＝EC2+CH2， 即（3﹣x）2＝12+x2， 解得：，即． ∴ 连接ED、GD， ∴在Rt△ECD中，， 由折叠可知：ED⊥GH， ∵， ∴， ∴． 故答案为． 【点评】本题主要考查正方形的性质，勾股定理，翻折变换，熟练掌握各知识点是解题的关键． 【变式3-3】（2024春•大连月考）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E是CD边的中点，将该纸片折叠，使点B与点E重合，折痕交AD，BC边于点M，N，连接ME，NE．则ME的长为　 ． 【分析】连接BM，由折叠性质可得ME＝BE，由正方形的性质可得∠A＝∠D＝90°，由勾股定理可得BM2＝AB2+AM2，ME2＝DE2+DM2，设AM＝x，则DM＝4﹣x，即可求解． 【解答】解：如图，连接BM， ∵四边形ABCD为正方形，AB＝4， ∴∠A＝∠D＝90°，AD＝CD＝AB＝4， ∵点E是CD边的中点， ∴DE＝2， 在Rt△ABM和Rt△DEM中，由勾股定理可得： BM2＝AB2+AM2，ME2＝DE2+DM2， 设AM＝x，则DM＝4﹣x， ∴BM2＝42+x2，ME2＝22+（4﹣x）2， 由折叠性质可得ME＝BE， ∴42+x2＝22+（4﹣x）2， 解得：x， ∴DM＝AD﹣AM， ∴ME， 故答案为：． 【点评】本题考查正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，解题的关键是明确折叠前后对应图形全等． 【变式3-4】如图，在正方形纸片ABCD中，E是CD的中点，将正方形纸片折叠，点B落在线段AE上的点G处，折痕为AF．若AD＝4cm，则CF的长为（　　）cm A．6﹣2 B．6﹣2 C． D． 【分析】设BF＝x，则FG＝x，CF＝4﹣x，在Rt△GEF中，利用勾股定理可得EF2＝（24）2+x2，在Rt△FCE中，利用勾股定理可得EF2＝（4﹣x）2+22，从而得到关于x方程，求解x，最后用4﹣x即可． 【解答】解：设BF＝x，则FG＝x，CF＝4﹣x． 在Rt△ADE中，利用勾股定理可得AE＝2． 根据折叠的性质可知AG＝AB＝4，所以GE＝24． 在Rt△GEF中，利用勾股定理可得EF2＝（24）2+x2， 在Rt△FCE中，利用勾股定理可得EF2＝（4﹣x）2+22， 所以（24）2+x2＝（4﹣x）2+22， 解得x＝22． 则FC＝4﹣x＝6﹣2． 故选：A． 【点评】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理．折叠问题主要是抓住折叠的不变量，在直角三角形中利用勾股定理求解是解题的关键． 【变式3-5】（2024秋•苍南县期中）如图，将一张边长为6分米的正方形纸片ABCD对折，使AB与DC重合，折痕为EF，展开铺平后在CD上找一点G，将该纸片沿着BG折叠，使点C恰好落在EF上，记为点C'，则FC'的长为（　　） A．5.5分米 B．分米 C．分米 D．分米 【分析】连接CC′，因为四边形ABCD是边长为6分米的正方形，所以AB＝BC＝6分米，由折叠得EF垂直平分BC，BG垂直平分CC′，则∠BFC′＝90°，BF＝CFBC＝3分米，BC′＝BC＝6分米，由勾股定理得FC′3分米，于是得到问题的答案． 【解答】解：连接CC′， ∵四边形ABCD是边长为6分米的正方形， ∴AB＝BC＝6分米， 由折叠得点B与点C关于直线EF对称，点C′与点C关于直线BG对称， ∴EF垂直平分BC，BG垂直平分CC′， ∴∠BFC′＝90°，BF＝CFBC＝3分米，BC′＝BC＝6分米， ∴FC′3（分米）， ∴FC'的长为3分米， 故选：C． 【点评】此题重点考查正方形的性质、轴对称的性质、线段的垂直平分线的性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 【变式3-6】（2024春•荔城区校级月考）如图，在边长为7的正方形ABCD中，E为BC边上一点，F为AD边上一点，连接AE、EF，将△ABE沿EF折叠，使点A恰好落在CD边上的A′处，若A′D＝2，则B′E的长度为（　　） A． B． C． D．2 【分析】由正方形的性质和折叠的性质可得AB＝BC＝CD＝7，∠B＝∠C＝90°，A'C＝CD﹣A'D＝5，AE＝AE'，BE＝B'E，由勾股定理可求B'E的长度． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝7，∠B＝∠C＝90°， ∴A'C＝CD﹣A'D＝5， ∵△ABE沿EF折叠，使点A恰好落在CD边上的A′处， ∴AE＝A'E，BE＝B'E， 在Rt△ABE中，AE2＝AB2+BE2， 在Rt△A'CE中，A'E2＝A'C2+EC2， ∴49+BE2＝25+（7﹣BE）2， ∴BEB'E， 故选：C． 【点评】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，利用勾股定理列出方程是解决问题的关键． 【变式3-7】（2024春•社旗县期末）如图，点E和点F分别在正方形纸片ABCD的边CD和AD上，连接AE，BF，沿BF所在直线折叠该纸片，点A恰好落在线段AE上点G处．若正方形纸片边长12，DE＝5，则GE的长为（　　） A． B． C．4 D．3 【分析】由折叠及轴对称的性质可知，△ABF≌△GBF，BF垂直平分AG，先证△ABF≌△DAE，推出AF的长，再利用勾股定理求出BF的长，最后在Rt△ABF中利用面积法可求出AH的长，可进一步求出AG的长，GE的长． 【解答】解：设BF与AE的交点为H， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝AD＝12，∠BAD＝∠D＝90°， 由折叠及轴对称的性质可知，△ABF≌△GBF，BF垂直平分AG， ∴BF⊥AE，AH＝GH， ∴∠BAH+∠ABH＝90°， 又∵∠FAH+∠BAH＝90°， ∴∠ABH＝∠FAH， ∴△ABF≌△DAE（ASA）， ∴AF＝DE＝5， ∴BF13， ∵S△ABFAB•AFBF•AH， ∴12×5＝13AH， ∴AH， ∴AG＝2AH， ∵AE＝BF＝13， ∴GE＝AE﹣AG＝13． 故选：A． 【点评】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，面积法求线段的长度等，解题关键是能够灵活运用正方形的性质和轴对称的性质． 【变式3-8】（2024春•长清区期末）如图1，将正方形纸片ABCD对折，使AB与CD重合，折痕为EF如图2，展开后再折叠一次，使点C与点E重合，折痕为GH，点B的对应点为点M，EM交AB于N，AD＝4，则CH的长为（　　） A． B． C． D． 【分析】设DH＝x，表示出CH，再根据翻折变换的性质表示出DE、EH，然后利用勾股定理列出方程求出x，即可得出答案． 【解答】解：设DH＝x，CH＝2﹣x， 由翻折的性质，DEAD＝2，EH＝CH＝4﹣x， 在Rt△DEH中，DE2+DH2＝EH2， 即22+x2＝（4﹣x）2， 解得x， ∴CH＝4﹣x； 故选：A． 【点评】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，设出DH边长，然后利用勾股定理列出方程是解题的关键． 【变式3-9】（2024秋•和平区期末）如图，已知正方形ABCD面积为2，将正方形ABCD沿直线EF折叠，则图中阴影部分的周长为（　　） A． B．2 C．8 D．4 【分析】根据正方形的性质和折叠的性质，可以将图中阴影部分的周长表示出来，然后根据正方形ABCD面积为2，即可求得图中阴影部分的周长． 【解答】解：设EF交AB于点G，交CD于点O，A′D′交AB于点H，交BC于点M，OD′交BC于点N， 由图可知：A′G+GB＝AG+GB＝AB，A′D′＝AD，BC，CD＝DO+OC+D′O+OC＝CD， ∴阴影部分的周长为：（A′G+GH+HA′）+（HB+BM+HM）+（MN+MD′+D′N）+（NC+CO+NO） ＝A′G+GH+HA′+HB+BM+HM+MN+MD′+D′N+NC+CO+NO ＝（A′G+GH+HB）+（HA′+HM+MD′）+（BM+MN+NC）+（D′N+NO+CO） ＝AB+A′D′+BC+CD ＝4， 故选：D． 【点评】本题考查正方形的性质、折叠变化，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【变式3-10】如图，正方形ABCD中，CD＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF． （1）求证：△ABG≌△AFG； （2）求GC的长； （3）求△FGC的面积． 【分析】（1）利用翻折变换对应边关系得出AB＝AF，∠B＝∠AFG＝90°，利用HL定理得出△ABG≌△AFG即可； （2）利用勾股定理得出GE2＝CG2+CE2，进而求出BG即可； （3）首先过C作CM⊥GF于M，由勾股定理以及由面积法得，CM＝2.4，进而得出答案． 【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AD＝AB＝BC＝CD，∠D＝∠B＝∠BCD＝90°， ∵将△ADE沿AE对折至△AFE， ∴AD＝AF，DE＝EF，∠D＝∠AFE＝90°， ∴AB＝AF，∠B＝∠AFG＝90°， 又∵AG＝AG， 在Rt△ABG和Rt△AFG中， ， ∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）； （2）解：∵CD＝3DE， ∴DE＝2，CE＝4， 设BG＝x，则CG＝6﹣x，GE＝x+2， ∵GE2＝CG2+CE2， ∴（x+2）2＝（6﹣x）2+42， 解得x＝3， ∴CG＝6﹣3＝3； （3）解：如图，过C作CM⊥GF于M， ∵BG＝GF＝3， ∴CG＝3，EC＝6﹣2＝4， ∴GE5， CM•GE＝GC•EC， ∴CM×5＝3×4， ∴CM＝2.4， ∴S△FGCGF×CM3×2.4＝3.6． 【点评】本题主要考查了勾股定理的综合应用以及翻折变换的性质，根据翻折变换的性质得出对应线段相等是解题关键． 1．（2024•西城区校级模拟）如图，Rt△ABC中，AB＝18，BC＝12，∠B＝90°，将△ABC折叠，使点A与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（　　） A．8 B．6 C．4 D．10 【分析】设BN＝x，则由折叠的性质可得DN＝AN＝18﹣x，根据中点的定义可得BD＝6，在Rt△BND中，根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解． 【解答】解：设BN＝x，由折叠的性质可得DN＝AN＝18﹣x， ∵D是BC的中点， ∴BD＝6， 在Rt△NBD中，x2+62＝（18﹣x）2， 解得x＝8． 即BN＝8． 故选：A． 【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方程思想，综合性较强． 2．如图所示，有一块直角三角形纸片，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则CE的长为（　　） A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 【分析】根据勾股定理可将斜边AB的长求出，根据折叠的性质知，AE＝AB，已知AC的长，可将CE的长求出． 【解答】解：在Rt△ABC中，AB， 根据折叠的性质可知：AE＝AB＝10 ∵AC＝8 ∴CE＝AE﹣AC＝2 即CE的长为2 故选：B． 【点评】此题考查翻折问题，将图形进行折叠后，两个图形全等，是解决折叠问题的突破口． 3．如图所示，矩形纸片ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，则AF的长为 　 　． 【分析】设AF＝xcm，则DF＝（8﹣x）cm，利用矩形纸片ABCD中，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，由勾股定理求AF即可． 【解答】解：设AF＝xcm，则DF＝（8﹣x）cm， ∵矩形纸片ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合， ∴DF＝D′F， 在Rt△AD′F中，∵AF2＝AD′2+D′F2， ∴x2＝42+（8﹣x）2， 解得：x＝5（cm）． 故答案为：5cm 【点评】本题考查了图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变是解题关键． 4．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，把矩形折叠，使点D与点B重合，点C落在点E处，则折痕FG的长为（　　） A．2.5 B．3 C． D．2 【分析】先连接BD，在Rt△ABD中，求得BD的长，在Rt△ABE中运用勾股定理求得BF的长，即可得到DF长，最后在Rt△DOF中求得FO的长，即可得到FG的长． 【解答】解：如图，连接BD，交EF于O，则由轴对称的性质可知，FG垂直平分BD， Rt△ABD中，BD2 ∴DO， 由折叠可得，∠BFO＝∠DFO， 由AD∥BC可得，∠DFO＝∠BGO， ∴∠BFO＝∠BGO， ∴BF＝BG，即△BFG是等腰三角形， ∴BD平分FG， 设BF＝DF＝x，则AF＝4﹣x， 在Rt△ABF中，（4﹣x）2+22＝x2， 解得x，即DF， ∴Rt△DOF中，OF， ∴FG＝2FO． 故选：C． 【点评】本题是折叠问题，主要考查了折叠的性质，勾股定理以及矩形的性质的综合应用，解决问题的关键是根据勾股定理列方程求解．本题也可以运用面积法求得FO的长． 5．如图，将正方形纸片ABCD折叠，使顶点B落在边AD上的点E处，折痕交AB于点F，交CD于点G，若AE＝1，∠AFE＝30°，则AB的长为（　　） A．2 B．1 C．2 D．2 【分析】先求出AF和EF的长，再根据翻折变换的知识得到EF＝BF，进而求出AB的长． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A＝90°， ∵AE＝1，∠AFE＝30°， ∴EF＝2， ∴AF， ∵正方形纸片ABCD折叠，使顶点B落在边AD上的点E处， ∴EF＝BF， ∴BF＝2， ∴AB＝AF+BF＝2， 故选：D． 【点评】本题主要考查了翻折变换以及正方形的性质，解题的关键是根据翻折变换得到EF＝BF，此题难度不大． 6．（2024春•满洲里市校级期末）如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，将△AED沿着AE翻折得到△AEF，点D的对应点F恰好落在对角线AC上，连接BF．若EF＝2，则BF2＝（　　） A．44 B．6+4 C．12 D．8+4 【分析】点F作FG⊥BC交于G点，设正方形的边长为x，则ACx，由折叠可知，DE＝EF，AD＝AF，∠D＝∠DFA＝90°，可得DE＝2，EC＝x﹣2，在Rt△EFC中，由勾股定理可得（x﹣2）2＝4+（x﹣x）2，解得x，即为正方形的边长为22，再求出FC＝2，由∠ACB＝45°，可求FG＝CG＝2，BG2，在Rt△BFG中，由勾股定理可得BF2＝（2）2+2＝8+4． 【解答】解：过点F作FG⊥BC交于G点， 由折叠可知，DE＝EF，AD＝AF，∠D＝∠DFA＝90°， 设正方形的边长为x， ∵EF＝2， ∴DE＝2，EC＝x﹣2，ACx， 在Rt△EFC中，EC2＝FE2+FC2， ∴（x﹣2）2＝4+（2x﹣x）2， 解得x＝22， ∴FC＝2x﹣x＝2， ∵∠ACB＝45°， ∴FG＝CG， ∴BG2， 在Rt△BFG中，BF2＝BG2+GF2＝（2）2+2＝8+4， 故选：D． 【点评】本题考查正方形的性质，翻折的性质，熟练掌握翻折的性质，灵活应用勾股定理是解题的关键． 7．（2024秋•大庆期末）数学活动课上，小慧同学用剪刀剪出一个△ABC 纸片，如图（1）所示，用直尺测量得 AC＝6cm，BC＝8cm，AB＝10cm． （1）判断△ABC的形状，并说明理由； （2）小慧同学将三角形纸片折叠，使点B与点A重合，如图（2）所示，折痕交AB于点M，交BC于点N，求AN的长度． 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证明即可； （2）由折叠的性质可知AN＝BN，设AN＝BN＝x cm，利用勾股定理构建方程求解． 【解答】解：（1）结论：△ABC是直角三角形． 理由：∵AC＝6cm，BC＝8cm，AB＝10cm， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴∠C＝90°， ∴△ABC是直角三角形； （2）由折叠的性质可知AN＝BN，设AN＝BN＝x cm， 在Rt△ACN中，AN2＝AC2+CN2， ∴x2＝62+（8﹣x）2， ∴x， ∴ANcm． 【点评】本题考查翻折变换，勾股定理的应用，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 8．（2024秋•南明区期末）八年级数学小组以“直角三角形的折叠”为主题，开展数学探究活动． 如图①，已知，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，，点D是边BC上一动点，DE⊥AC于点E． （1）【操作判断】如图②，将△DCE沿直线DE折叠，点C恰好与点A重合，则CD与DA的数量关系是 　 　； （2）【问题解决】在（1）的条件下，求BD的长； （3）【问题探究】将△DCE沿直线DE折叠，点C落在边AC上的点F处，连接BF，当△ABF是等边三角形时，直接写出△CBF的面积． 【分析】（1）由折叠的性质可得CD＝DA； （2）由勾股定理可求BD的长； （3）由直角三角形的性质可求AC＝2AB，可得AF＝CF，由三角形的面积公式可求解． 【解答】解：（1）∵将△DCE沿直线DE折叠， ∴CD＝DA， 故答案为：CD＝DA； （2）∵∠B＝90°， ∴AD2＝BD2+AB2， ∴（2BD）2＝BD2+AB2， ∴BD； （3）如图， ∵△ABF是等边三角形， ∴∠A＝60°，AB＝AF， ∴∠C＝30°， ∴AC＝2AB＝4， ∴CF＝AF＝2， ∴△CBF的面积S△ABC2×2． 【点评】本题是几何综合题，考查了折叠的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，灵活运用这些性质是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$