第十七章 勾股定理与几何辅助线压轴题精选30道（必考点分类集训）-2024-2025学年八年级数学下册必考点分类集训系列（人教版）

第十七章 勾股定理与几何辅助线压轴题精选30道 【人教版】 一．选择题（共10小题） 1．已知，如图在三角形ABC中，AC＝4，∠A＝30°，∠ABC＝15°，延长AC到点D，使得DC＝AC，则BD的长为（　　） A．5 B． C． D． 2．四边形ABCD的边长如图所示，对角线AC的长度随四边形形状的改变而变化．当△ABC为等腰三角形时，△ABC的面积为（　　） A． B． C．或 D．15 3．如图，在△ABC中，AB＝AC，E是边AB上一点，连接CE，在BC的左侧作BF∥AC，且BF＝AE，连接CF．若AC＝26，BC＝20，则四边形EBFC的面积为（　　） A．120 B．240 C．360 D．480 4．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，若，AE：EC＝3：2，则AB的长为（　　） A． B． C． D．3 5．如图，在Rt△ABC中，斜边AB＝6，以AC为边向△ABC外作等边三角形ACD，以BC为腰作等腰Rt△BCE，连结DE．若AC为a，BC为b，DE为c，则下列关系式成立的是（　　） A．ab+8＝c2 B．a2+b2＝2c2 C．a2+c2＝3b2 D．ab+36＝c2 6．如图，在△ABC和△ABD中，AB＝AC＝AD，AC⊥AD，AE⊥BC于点E，AE的反向延长线与BD交于点F，连结CD，则线段BF，DF，CD三者之间的关系为（　　） A．BF﹣DF＝CD B．BF+DF＝CD C．BF2+DF2＝CD2 D．2BF﹣2DF＝CD 7．如图，△ABC与△ACD均为直角三角形，且∠ACB＝∠CAD＝90°，AD＝2BC＝12，AB：BC＝5：3，点E是BD的中点，则AE的长为（　　） A．3 B．5 C．4 D．6 8．如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，点F为CD上一点，连接AF交BD于点E，AF⊥AB，DE＝DF，∠BAG＝∠ABC＝45°，，AE＝2EF，则AF＝（　　） A．12 B． C．10 D． 9．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BF平分∠ABC交AD与点E，交AC于点F，AC＝13，AD＝12，BC＝14，则DE的长等于（　　） A． B．5 C． D．7 10．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB'C'的位置，连接C'B，则C'B的长为（　　） A． B． C． D．1 二．填空题（共10小题） 11．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在边AC上，且AD＝BD，过点A作AE⊥BD，交BD的延长线于点E，若AE＝6，，则BD的长为　 　． 12．如图，在△ABC中，BD⊥AC，点E是AB的中点，BD于CE交于F点，且FB＝FC，AC＝EC＝10时，则BC的长是 　 　． 13．如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＞90°，AC⊥BC，若AB＝2，，则BD的长为 　 　． 14．如图，在△ABC中，∠B＝90°，点D在线段BC上，点E在线段AD上，∠BAC＝∠DEC∠ADB，CD＝6，AB＝12，则线段BD的长为 　 　． 15．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BC上有一点D，连接AD，作AE⊥AD，且AE＝AD，连接BE交AC于点F，使，当CD＝6时，则CF＝ 　 　． 16．如图，在四边形ABCD中和，AB＝BC＝6，∠ABC＝60°，∠ADC＝90°．对角线AC与BD相交于点E，若BE＝3DE，则ED＝　 　． 17．如图，在△ABC中，BD是AC边上的中线，AE是△ABD中BD边上的中线，若∠CBD＝60°，∠AEB＝150°，BD＝4，则AB＝ 　 　． 18．如图，△ABC中，BC＝8，AC﹣AB＝3，D是△ABC外一点，且∠ACD+∠ABD＝180°，CD＝BD．若AD⊥CD，则△BCD的面积是 　 　． 19．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD为△ABC的中线，FE垂直平分AB交AD于点G，则GD＝　 　． 20．如图，在△ABC中，，则BD的长为 　 　． 三．解答题（共10小题） 21．在△ABC和△ADE中，点D在BC边上，∠BAC＝∠DAE＝α，AD＝AE． （1）若AB＝AC． i）如图1，当α＝90°时，连接EC，猜想并求线段DB，DC，DE之间的数量关系； ii）如图2，当α＝60°时，过点A作DE的垂线，交BC边于点F，若BC＝8，BD＝2，求线段CF的长； （2）如图3，已知α＝90°，过点A作DE的垂线，交BC边于点F，若，，当CF＝1时，则线段BD的长为 　 　． 22．已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°． （1）如图1，点M在斜边AB上，且AC＝1，MA，则线段MB＝　 　，MC＝　 　． （2）如图2，点M在△ABC外，MA＝2，MC＝5，∠AMC＝45°，求MB； （3）如图3，点M在△ABC外，MA＝3，MB＝3，MC＝6，求AC． 23．已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC． （1）如图1，当B、C、M、N在同一直线上，且∠MAN＝45°，BM＝1，CN＝2时，MN＝　 　；（直接写出计算结果） （2）如图2，当B、C、M、N在同一直线上，且∠MAN＝135°时，写出线段BM、CN、MN之间的数量关系，并加以证明； （3）如图3，当BM⊥AB于点B，CN⊥AC于点C，BM＝CN＝2，且∠MAN＝135°时，直接写出线段MN的值． 24．（1）如图1，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，且点D在BC边上滑动（点D不与点B，C重合），连接EC．求证：BD2+CD2＝2AD2； [拓展延伸] （2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°．若BD＝17cm，CD＝8cm，求AD的长； （3）如图3，把斜边长都为18cm的一副三角板的斜边重叠摆放在一起，则两块三角板的直角顶点之间的距离AB长为 　 　cm． 25．如图，等腰△ABC和等腰△ADE，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝α． （1）如图1，α＝60°，∠ADC＝30°，AD＝6，CD＝8，求线段BD的长度； （2）如图2，α＝120°，点M、N在线段BC上，∠MAN＝60°，BM＝MN，求证：MN＝CN； （3）如图3，a＝90°，连接BE和CD，若AC＝6，AD＝4，BE＝5，直接写出CD的长为 　 　． 26．学完勾股定理后，小宇碰到了一道题：如图1，在四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，若AB＝5，CD＝4，BC＝6，则AD的长为　 　． 他不会做，去问同桌小轩，小轩通过思考后，耐心地对小宇讲道：“因为AC⊥BD，垂足为O，那么在四边形ABCD中有四个直角三角形，利用勾股定理可得AD2＝OA2+OD2，BC2＝OB2+OC2，AB2＝OA2+OB2，CD2＝OC2+OD2…”小轩话没讲完，小宇就讲道：“我知道了，原来AD2+BC2与AB2+CD2之间有某种数量关系．”并对小轩表示感谢． （1）请你直接写出AD的长． （2）如图2，分别在△ABC的边BC和边AB上向外作等腰Rt△BCQ和等腰Rt△ABP，连接PC，PQ． ①若AC＝4，BC＝8，连接AQ，交PC于点D，当∠ACB＝90°时，求PQ的长； ②如图3，若AB＝10，BC＝8，PC＝8，当∠ACB≠90°时，求△ABC的面积． 27．如图，点D为等边△ABC边AC上一点，点E为射线BC上一点 （1）若点E在边BC上且CE＝AD，求证：∠BFE＝60°； （2）若点E在线段BC的延长线上，连接AE交BD的延长线于点G，当BG＝BC时，求证：BD＝AD+CE； （3）在（2）的条件下，若CD＝5，BE＝12，则AB＝　 　． 28．已知△ACB是等腰直角三角形，CA＝CB， （1）如图1，△CDE是等腰直角三角形，点D在AB的延长线上，CD＝CE，连接BD，求证：BE⊥AB； （2）如图2，点F是斜边AB上动点，点G是AB延长线上动点，总有∠FCB＝∠CGF，探究AF，GF，BG的数量关系，并说明理由； （3）如图3，点H是AC一点，连接FH，若∠HFC＝45°，AF＝m，BF＝n，直接写出△CHF的面积为 　 　（用m，n表示）． 29．在等腰△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，E为AD上一点，连接BE，CE，∠BAC＝∠CED＝2∠BED＝2x． （1）如图1，若x＝45°，求证：CE＝2AE； （2）如图2，若x＝30°，AB＝AC．求CE的长； （3）如图3，若x＝60°，AB＝AC＝2，点Q为△ABC外一点，且∠BQA＝60°，AQ＝2，求线段QC的长． 30．（1）如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC＝120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系． 解题思路：延长DC到点E，使CE＝BD，连接AE，根据∠BAC+∠BDC＝180°，可证∠ABD＝∠ACE，易证得△ABD≌△ACE，得出△ADE是等边三角形，所以AD＝DE；从而探寻线段DA、DB、DC之间的数量关系． 根据上述解题思路，请直接写出DA、DB、DC之间的数量关系是 　 　． 【拓展延伸】 （2）如图2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．若点D是边BC下方一点，∠BDC＝90°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系，并说明理由； 【知识应用】 （3）如图3，两块斜边长都为12cm的三角板，把斜边重叠摆放在一起，则两块三角板的直角顶点之间的距离PQ的长分别为 　 　cm． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十七章 勾股定理与几何辅助线压轴题精选30道 【人教版】 一．选择题（共10小题） 1．已知，如图在三角形ABC中，AC＝4，∠A＝30°，∠ABC＝15°，延长AC到点D，使得DC＝AC，则BD的长为（　　） A．5 B． C． D． 【分析】先作BE⊥AD，交AD的延长线于点E，然后根据勾股定理可以得到BE和AE的关系，再根据等腰三角形的性质，可以得到CE和BE的关系，然后计算出BE和DE的值，最后根据勾股定理即可求得BD的长即可． 【解答】解：作BE⊥AD，交AD的延长线于点E，如图， 设BE＝x， ∵∠A＝30°， ∴AB＝2BE＝2x， ∴AE， ∵∠BEC＝90°，∠A＝30°，∠ABC＝15°， ∴∠BCE＝∠A+∠ABC＝45°， ∴∠BCE＝∠CBE＝45°， ∴BE＝CE＝x， ∵AE，AE＝AC+CE，AC＝CD＝4， ∴4+x， 解得x＝22， ∴DE＝CE﹣CD＝x﹣4＝22﹣4＝22， ∴BD4， 故选：C． 2．四边形ABCD的边长如图所示，对角线AC的长度随四边形形状的改变而变化．当△ABC为等腰三角形时，△ABC的面积为（　　） A． B． C．或 D．15 【分析】分AC＝AB、CA＝CB两种情况讨论． 【解答】解：当AC＝AB＝4时， 过A作AE⊥BC，交BC于点E， ， ∵BC＝6， ∴BE＝CE＝3， 由勾股定理，AE， S△ABCAE×BC＝3， 当CA＝CB＝6时， ∵AC不满足小于AD+CD， ∴此种情况不存在， 故选：B． 3．如图，在△ABC中，AB＝AC，E是边AB上一点，连接CE，在BC的左侧作BF∥AC，且BF＝AE，连接CF．若AC＝26，BC＝20，则四边形EBFC的面积为（　　） A．120 B．240 C．360 D．480 【分析】将四边形EBFC的面积转化为S△CBF+S△CBE，然后进行求解． 【解答】解：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵BF∥AC， ∴∠ACB＝∠CBF， ∴∠ABC＝∠CBF， ∴BC平分∠ABF， 过点C作CM⊥AB，CN⊥BF， ∴CM＝CN， ∵S△ACEAE•CM，S△CBFBF•CN，BF＝AE， ∴S△CBF＝S△ACE， ∴四边形EBFC的面积＝S△CBF+S△CBE＝S△ACE+S△CBE＝S△CBA， ∵AC＝26， ∴AB＝26， 设AM＝x，则BM＝26﹣x， 由勾股定理，得：CM2＝AC2﹣AM2＝BC2﹣BM2， ∴262﹣x2＝202﹣（26﹣x）2， 解得x， ∴CM， ∴S△ABCAB•CM26240， ∴四边形EBFC的面积为240， 故选：B． 4．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，若，AE：EC＝3：2，则AB的长为（　　） A． B． C． D．3 【分析】连接BE，根据线段垂直平分线的性质得到AE＝BE，再根据勾股定理计算即可． 【解答】解：如图，连接BE， ∵DE是AB的垂直平分线， ∴AE＝BE， 设AE＝BE＝3x， ∵AE：EC＝3：2， ∴EC＝2x， 在Rt△EBC中，BE2＝BC2+EC2，即（3x）2＝（）2+（2x）2， 解得：x＝1（负值舍去）， 则AE＝3x＝3，EC＝2x＝2， ∴AC＝AE+EC＝5， ∴AB， 故选：B． 5．如图，在Rt△ABC中，斜边AB＝6，以AC为边向△ABC外作等边三角形ACD，以BC为腰作等腰Rt△BCE，连结DE．若AC为a，BC为b，DE为c，则下列关系式成立的是（　　） A．ab+8＝c2 B．a2+b2＝2c2 C．a2+c2＝3b2 D．ab+36＝c2 【分析】过点E作EG⊥DC交DC的延长线于点G，证明∠CEG＝30°，利用勾股定理即可解决问题． 【解答】解：如图，过点E作EG⊥DC交DC的延长线于点G， ∵在Rt△ABC中，斜边AB＝6， ∴∠ACB＝90°， ∵△ACD是等边三角形，Rt△BCE是以BC为腰的等腰直角三角形， ∴∠ACD＝60°，∠BCE＝90°， ∴∠DCE＝360°﹣60°﹣90°﹣90°＝120°， ∴∠ECG＝180°﹣120°＝60°， ∴∠CEG＝30°， ∵CD＝AC＝a，CE＝BC＝b，DE＝c， ∴CGCEb， ∴EGCGb， 在Rt△DGE中，DG＝DC+CG＝ab， 根据勾股定理得：DG2+EG2＝DE2，且AC2+BC2＝a2+b2＝AB2＝36， ∴（ab）2+（b）2＝c2， 化简得，ab+36＝c2， 故选：D． 6．如图，在△ABC和△ABD中，AB＝AC＝AD，AC⊥AD，AE⊥BC于点E，AE的反向延长线与BD交于点F，连结CD，则线段BF，DF，CD三者之间的关系为（　　） A．BF﹣DF＝CD B．BF+DF＝CD C．BF2+DF2＝CD2 D．2BF﹣2DF＝CD 【分析】由题意可得∠ACD＝∠ADC＝45°，由AB＝AC＝AD可得∠ABC+∠ABD＝45°＝∠CBD，由AB＝AC，AE⊥BC可得AE是BC的垂直平分线，可得BF＝CF，根据勾股定理可求BF2+DF2的值． 【解答】解：如图，连接CF， ∵AC＝AD，AC⊥AD， ∴∠ACD＝45°＝∠ADC， ∵AB＝AC＝AD， ∴∠ABC＝∠ACB，∠ADB＝∠ABD， ∵∠ABC+∠ACB+∠ADB+∠ABD+∠ACD+∠ADC＝180°， ∴∠CBD＝45°， ∵AB＝AC，AE⊥BC， ∴AE是线段BC的垂直平分线， ∴BF＝CF， ∴∠CBD＝∠BCF＝45°，即∠CFD＝90°， ∴BF2+DF2＝CD2＝AC2+AD2． 故选：C． 7．如图，△ABC与△ACD均为直角三角形，且∠ACB＝∠CAD＝90°，AD＝2BC＝12，AB：BC＝5：3，点E是BD的中点，则AE的长为（　　） A．3 B．5 C．4 D．6 【分析】延长AE交BC的延长线于点F，先证明△DAE≌△BFE（AAS），得出BF＝AD＝12，AE＝FE，则CF＝6，再在Rt△ABC中利用勾股定理求出AC的长，然后在Rt△ACF中利用勾股定理求出AF的长，即可得出结论． 【解答】解：如图，延长AE交BC的延长线于点F， ∵∠ACB＝∠CAD＝90°， ∴AD∥BF， ∴∠DAE＝∠F， ∵点E是BD的中点， ∴DE＝BE， 在△DAE和△BFE中， ， ∴△DAE≌△BFE（AAS）， ∴BF＝AD＝12，AE＝FE， ∵AD＝2BC＝12， ∴BC＝6， ∴CF＝BF﹣BC＝12﹣6＝6， ∵AB：BC＝5：3， ∴AB＝10， ∵∠ACB＝90°， ∴AC8，∠ACF＝90°， 在Rt△ACF中，由勾股定理得：AF10， ∴AE＝FEAF＝5， 故选：B． 8．如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，点F为CD上一点，连接AF交BD于点E，AF⊥AB，DE＝DF，∠BAG＝∠ABC＝45°，，AE＝2EF，则AF＝（　　） A．12 B． C．10 D． 【分析】延长AF、BC，交于点H，先证明△ABH为等腰直角三角形，再判定△ABG≌△HAC（ASA），然后在等腰直角△ABH中，由勾股定理得AB与AH的值，设EF＝x，则AE＝2x，判定△AGE≌△HCF（AAS），从而FH＝AE＝2x，解得x的值，最后根据AF＝AE+EF，可得答案． 【解答】解：延长AF、BC，交于点H，如图： ∵AF⊥AB，∠ABC＝45°， ∴∠BAH＝90°，∠AHB＝90°﹣45°＝45°， ∴△ABH为等腰直角三角形， ∴AH＝AB， ∵∠BAH＝90°，∠BAG＝45°，∠AHB＝45°， ∴∠GAE＝∠BAG＝∠AHB＝45°， ∵AC⊥BD， ∴∠ABC+∠BAC＝90°， ∵∠BAC+∠HAC＝∠BAH＝90°， ∴∠ABG＝∠HAC， 在△ABG和△HAC中， ， ∴△ABG≌△HAC（ASA）， ∴AG＝HC， ∴， 在等腰直角△ABH中，AH＝AB，∠BAH＝90°，由勾股定理得：AB2+AH2＝BH2， ∴AB＝AH＝20， ∵AE＝2EF， ∴设EF＝x，则AE＝2x， ∵DE＝DF， ∴∠DEF＝∠DFE， ∴∠AEG＝∠HFC， ∵∠AHB＝∠GAE＝45°， ∴∠AGE＝135°﹣∠HFC＝∠FCH， 在△AGE和△HCF中， ， ∴△AGE≌△HCF（AAS）， ∴FH＝AE＝2x， ∴AH＝AE+EF+FH＝5x＝20， 解得：x＝4， ∴AF＝AE+EF＝3x＝12， 故选：A． 9．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BF平分∠ABC交AD与点E，交AC于点F，AC＝13，AD＝12，BC＝14，则DE的长等于（　　） A． B．5 C． D．7 【分析】利用勾股定理可得CD和AB的长，进而由角平分线性质得EG＝ED，再证明Rt△BDE≌Rt△BGE（HL），得BG＝BD＝9，设AE＝x，则ED＝12﹣x，然后根据勾股定理列方程可得结论． 【解答】解：∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝∠ADB＝90°， ∴CD5， ∴BD＝BC﹣CD＝14﹣5＝9， ∴AB15， 过点E作EG⊥AB于点G， ∵BF平分∠ABC，AD⊥BC， ∴EG＝ED， 在Rt△BDE和Rt△BGE中， ， ∴Rt△BDE≌Rt△BGE（HL）， ∴BG＝BD＝9， ∴AG＝AB﹣BG＝15﹣9＝6， 设AE＝x，则ED＝12﹣x， ∴EG＝12﹣x， Rt△AGE中，由勾股定理得：AG2+EG2＝AE2， 即62+（12﹣x）2＝x2， 解得：x， ∴AE， ∴DE＝AD﹣AE＝12 故选：A． 10．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB'C'的位置，连接C'B，则C'B的长为（　　） A． B． C． D．1 【分析】连接BB′，延长BC′交AB′于点M，证明△ABC′≌△B′BC′，得到∠MBB′＝∠MBA＝30°；求出BM、C′M的长，即可解决问题． 【解答】解：如图，连接BB′，延长BC′交AB′于点M； 由题意得：∠BAB′＝60°，BA＝B′A， ∴△ABB′为等边三角形， ∴∠ABB′＝60°，AB＝B′B； 在△ABC′与△B′BC′中， ， ∴△ABC′≌△B′BC′（SSS）， ∴∠MBB′＝∠MBA＝30°， ∴BM⊥AB′，且AM＝B′M； 由题意得：AB2＝4， ∴AB′＝AB＝2，AM＝1， ∴C′MAB′＝1； 由勾股定理得：BM， ∴C′B1， 故选：C． 二．填空题（共10小题） 11．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在边AC上，且AD＝BD，过点A作AE⊥BD，交BD的延长线于点E，若AE＝6，，则BD的长为　　． 【分析】过B作BH⊥AC于H，得到∠E＝∠BHD＝90°，根据全等三角形的性质得到BH＝AE＝6，DE＝CH，根据勾股定理得到CH2，求得AH＝AC﹣2，根据勾股定理得到AH＝8，再根据勾股定理得到结论． 【解答】解：过B作BH⊥AC于H， ∴∠E＝∠BHD＝90°， 在△ADE与△BDH中， ， ∴△ADE≌△BDH（AAS）， ∴BH＝AE＝6， ∵BC＝2， ∴CH2， ∴AH＝AC﹣2， ∵AH2+BH2＝AB2，AB＝AC， ∴（AC﹣2）2+62＝AC2， ∴AC＝10， ∴AH＝8， ∵BD2＝BH2+DH2， ∴BD2＝62+（8﹣BD）2， ∴BD． 故答案为：． 12．如图，在△ABC中，BD⊥AC，点E是AB的中点，BD于CE交于F点，且FB＝FC，AC＝EC＝10时，则BC的长是 　6　． 【分析】过C作CM⊥AB于M，根据等腰三角形的性质，可得∠ECM为∠A的余角，AM＝EM，再根据BD⊥AC，可得∠ABD也是∠A的余角，所以这两个角相等，再根据BF＝CF，可得∠FBC和∠FCB相等，所以∠ABC和∠MCB相等，均为45°，设AM＝EM＝x，则可以用x表示出BM，在△ACM中用勾股定理求出x的值，进而求解BC的长即可． 【解答】解：过C作CM⊥AB于M，如图： ∵AC＝EC， ∴AM＝EM，∠ACM＝∠ECM＝90°﹣∠A， ∵BD⊥AC， ∴∠ABD＝90°﹣∠A， ∴∠ABD＝∠ECM， ∵BF＝CF， ∴∠FBC＝∠FCB， ∴∠MBC＝∠MCB＝45°， ∴BM＝CM， 设AM＝EM＝x，则AE＝2x， ∵E是AB的中点， ∴BE＝AE＝2x， ∴BM＝CM＝3x， 在Rt△ACM中，x2+9x2＝100， ∴x， ∴BM＝3x＝3， ∴BCBM＝6． 故答案为：6． 13．如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＞90°，AC⊥BC，若AB＝2，，则BD的长为 　1　． 【分析】过点A作AE⊥CD于点E，过点D作DF⊥BC交BC的延长线于点F，在Rt△ADE中，求出DE，AE，在Rt△ABC中，求出BC，AC，可知AE＝CE，得到∠ACD＝45°，∠DCF＝45°，再在Rt△CDF中，求出DF，CF，最后在Rt△BDF中，可求出BD． 【解答】解：过点A作AE⊥CD于点E，过点D作DF⊥BC交BC的延长线于点F， 在Rt△ADE中， ∵∠ADC＝60°，， ∴DEAD，AE， 在Rt△ABC中， ∵∠ABC＝60°，AB＝2， ∴BCAB＝1，AC， 在Rt△ACE中， CE， ∴CE＝AE，CD＝CE+DE， ∴∠ACD＝45°， ∴∠DCF＝180°﹣∠ACB﹣∠ACD＝180°﹣90°﹣45°＝45°， 在Rt△CDF中， CF＝DFCD， ∴BF＝BC+CF＝1， 在Rt△BDF中， BD1． 故答案为：1． 14．如图，在△ABC中，∠B＝90°，点D在线段BC上，点E在线段AD上，∠BAC＝∠DEC∠ADB，CD＝6，AB＝12，则线段BD的长为 　6　． 【分析】如图，延长CB到T，使得BT＝CB．证明DE＝DC＝6，设BD＝x，则DT＝2x+6，再证明AD＝DT＝2x+6，根据勾股定理构建方程求解即可． 【解答】解：如图，延长CB到T，使得BT＝CB． ∵∠ABC＝90°， ∴AB⊥CT， ∵BT＝BC， ∴AT＝AC， ∴∠BAT＝∠BAC， ∵∠DEC∠ADB，∠ADB＝∠DEC+∠DCE， ∴∠DEC＝∠DCE， ∴DE＝CD＝6， 设BD＝x，则BT＝BC＝x+6，DT＝2x＝6， ∵∠BAC＝∠DEC， ∴∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠ACE， ∴∠BAD＝∠ACE， ∵AT﹣AC， ∴∠T＝∠ACD＝∠DCE+∠ACE＝∠BAC+∠BAD＝∠BAT+∠BAD＝∠DAT， ∴DT＝AD＝2x+6， 在Rt△ABD中，AD2＝AB2+BD2， ∴（2x+6）2＝（12）2+x2， 解得x＝6（负根已经舍去）． ∴BD＝6． 故答案为：6． 15．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BC上有一点D，连接AD，作AE⊥AD，且AE＝AD，连接BE交AC于点F，使，当CD＝6时，则CF＝ 　2　． 【分析】设CF＝x，作EG⊥AC于点G，证明△DAC≌△AEG（AAS），推出AG＝CD＝6，AC＝EG，再证明△CFB≌△GFE（AAS），求得FG＝CF＝x，得到EG＝AC＝6+2x，在Rt△EFG中，利用勾股定理列式计算即可求解． 【解答】解：设CF＝x，作EG⊥AC于点G， ∴， ∵AE⊥AD，∠ACB＝90°， ∴∠DAE＝90°＝∠EGA， ∴∠DAC＝90°﹣∠GAE＝∠AEG， ∵AE＝AD， ∴△DAC≌△AEG（AAS）， ∴AC＝EG，AG＝CD＝6， ∵AC＝BC， ∴EG＝AC＝BC， ∵∠ACB＝90°，EG⊥AC， ∴∠FCB＝∠FGE＝90°， ∵∠CFB＝∠GFE， ∴△CFB≌△GFE（AAS）， ∴FG＝CF＝x， ∴EG＝AC＝6+2x， 在Rt△EFG中，EF2＝FG2+EG2，即， 整理得7x2﹣8x﹣12＝0， 解得x1＝2，（舍去）， 故答案为：2． 16．如图，在四边形ABCD中和，AB＝BC＝6，∠ABC＝60°，∠ADC＝90°．对角线AC与BD相交于点E，若BE＝3DE，则ED＝　　． 【分析】过点B作BM⊥AC于点M，过点D作DN⊥BM于点N，连接DM并延长到H，使得MH＝MD，连接AH，先证明∴△ABC为等边三角形，得到AC＝AB＝6，再由三线合一定理得到．则由勾股定理可得；证明△AHM≌△CDM（SAS），得到AH＝CD，∠MAH＝∠MCD，再证明△ADH≌△DAC，得到DH＝AC，则；由BE＝3DE，得到，则，据此得到，设ME＝3x，DN＝4x，BE＝3y，BD＝4y在Rt△BME中，由勾股定理得BE2﹣ME2＝BM2，可推出y2﹣x2＝3， 在Rt△BDN中，由勾股定理得BN2＝16y2﹣16x2＝48，则，．利用勾股定理得到．则． 【解答】解：过点B作BM⊥AC于点M，过点D作DN⊥BM于点N，连接DM并延长到H，使得MH＝MD，连接AH， ∵AB＝BC＝6，∠ABC＝60°， ∴△ABC为等边三角形， ∴AC＝AB＝6， ∵BM⊥AC， ∴． ∴； 在△AHM和△CDM中． ， ∴△AHM≌△CDM（SAS）， ∴∠MAH＝∠MCD，AH＝CD， ∵∠ADC＝90°， ∴∠ACD+∠CAD＝90°， ∴∠CAD+∠CAH＝90°， ∴DAH＝90°＝∠ADC， 在△ADH和△DAC中， ， ∴△ADH≌△DAC（SAS）， ∴DH＝AC， ∴； ∵BE＝3DE， ∴， ∴， ∴， ∴， 设BE＝3y，BD＝4y，ME＝3x，DN＝4x， ∵BE2﹣ME2＝BM2， ∴9y2﹣9x2＝27， ∴y2﹣x2＝3， ∵BN2＝BD2﹣DN2， ∴BN2＝16y2﹣16x2＝48， ∴， ∴． ∴． ∴． 故答案为：． 17．如图，在△ABC中，BD是AC边上的中线，AE是△ABD中BD边上的中线，若∠CBD＝60°，∠AEB＝150°，BD＝4，则AB＝ 　7　． 【分析】延长AE交BC于点F，延长BD，使BD＝DG，连接AG，根据题意可得∠BEF＝30°，∠BFE＝90°，进而可求出，根据勾股定理求出，证明△BDC≌△GDA，得到∠G＝∠CBD＝60°，推出BC∥AG，得到∠GAE＝∠BFE＝90°，根据勾股定理求出AE，在Rt△ABF中，由勾股定理即可求解． 【解答】解：如图，延长AE交BC于点F，延长BD，使BD＝DG，连接AG， ∵∠AEB＝150°， ∴∠BEF＝180°﹣∠AEB＝30°， ∵∠CBD＝60°， ∴∠BFE＝180°﹣∠CBD﹣∠BEF＝90°， ∵BD＝4，AE是△ABD中BD边上的中线， ∴， ∴， 在Rt△BEF中，由勾股定理得：， ∵BD是AC边上的中线， ∴AD＝CD， 在△BDC和△GDA中， ， ∴△BDC≌△GDA（SAS）， ∴∠G＝∠CBD＝60°， ∴BC∥AG， ∴∠GAE＝∠BFE＝90°， ∴GE＝DE+GD＝2+4＝6， ∴， 在Rt△AGE中，由勾股定理得：， ∴， 在Rt△ABF中，由勾股定理得：， 故答案为：7． 18．如图，△ABC中，BC＝8，AC﹣AB＝3，D是△ABC外一点，且∠ACD+∠ABD＝180°，CD＝BD．若AD⊥CD，则△BCD的面积是 　6　． 【分析】延长CD至E，使得DE＝CD，连接BE，AE，过点B作BF⊥CD于点F，证明AB⊥BC进而可得BE＝3，然后根勾股定理求得CE，等面积法求得BF，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【解答】解：延长CD至E，使得DE＝CD，连接BE，AE，过点B作BF⊥CD于点F， ∵DC＝DE＝DB， ∴∠DCB＝∠DBC，∠DBE＝∠E， 又∵∠DCB+∠DBC+∠DBE+∠E＝180°， ∴∠CBE＝∠CBD+∠DBE＝90°， 设∠DCB＝∠DBC＝α， 又∵AD⊥CD，AB⊥BC， ∴∠ADC＝∠ABC＝90°， ∴∠DCB＝∠DAB＝α，∠ADC＝∠ADE＝90°， ∴∠DAB+∠E＝90°， ∴点B在AE上， ∵∠ACD+∠ABD＝∠DBE+∠ABD＝180°， ∴∠ACD＝∠DBE， ∴∠ACD＝∠E， ∴AE＝AC， ∵AC﹣AB＝3， ∴BE＝3， ∴CE， ∴， ∵BF⊥CE，BC⊥AB， ∴ ∴， ∴， 故答案为：6． 19．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD为△ABC的中线，FE垂直平分AB交AD于点G，则GD＝　　． 【分析】连接BG，根据等腰三角形的性质得到BDBC＝6，AD⊥BC，根据勾股定理得到AD＝8，最后根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：连接BG， ∵FE是AB的垂直平分线， ∴AG＝BG， ∵AB＝AC＝10，BC＝12，AD为△ABC的中线， ∴BDBC＝6，AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∴AD8， 设DG＝x，则BG＝AG＝8﹣x， 由勾股定理得：BG2＝BD2+DG2， ∴（8﹣x）2＝x2+62， ∴x， ∴DG． 故答案为：． 20．如图，在△ABC中，，则BD的长为 　　． 【分析】设∠BAD＝α，根据导角得出∠CBD＝60°+α，以AB为边向右作等边△BPA，以BC为边作等边△BCQ，连接AQ，PC，得出BE∥QC进而可得∠BCE＝30°，进而根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，即可求解． 【解答】解：∵AB＝AC，∠CAD＝3∠BAD， 设∠BAD＝α，则∠CAD＝3α，， ∵∠AFB＝∠FAC+∠FCA＝∠FBD+∠BFD， ∴3α+90°﹣2α＝∠CBD+30°， ∴∠CBD＝60°+α， 以AB为边向右作等边△BPA，以BC为边作等边△BCQ，连接AQ，PC， ∵AB＝AC，BQ＝CQ，AQ＝AQ， ∴△ABQ≌△ACQ（SSS）， ∴， ∠ABQ＝180°﹣150°﹣2α＝30°﹣2α， ∠PBC＝∠ABC﹣60°＝90°﹣2α﹣60°＝30°﹣2α， 又∵AB＝BP，BQ＝BC， ∴△ABQ≌△PBC（SAS）， ∴∠BCP＝∠BQA＝150°，∠BPC＝∠BAQ＝2α， ∵AC＝AB＝AP， ∴∠APC＝∠ACP＝60°+∠BPC＝60°+2α， 又∵∠ACQ＝∠ABQ＝30°﹣α， ∴∠QCP＝∠QCA+∠ACP＝90°， 过点B作BE⊥DC于点E，则BE∥QC， 则∠CBE＝∠ACB＝60°， ∴∠BCE＝30°， ∴，， ∴DE＝DC﹣EC＝2， 在Rt△BDE中，， 故答案为：． 三．解答题（共10小题） 21．在△ABC和△ADE中，点D在BC边上，∠BAC＝∠DAE＝α，AD＝AE． （1）若AB＝AC． i）如图1，当α＝90°时，连接EC，猜想并求线段DB，DC，DE之间的数量关系； ii）如图2，当α＝60°时，过点A作DE的垂线，交BC边于点F，若BC＝8，BD＝2，求线段CF的长； （2）如图3，已知α＝90°，过点A作DE的垂线，交BC边于点F，若，，当CF＝1时，则线段BD的长为 　5.6　． 【分析】（1）i）根据题意可证△ABD≌△ACE，△CDE是直角三角形，根据勾股定理即可求解；ii）连接EF，CE，过点E作EG⊥BC延长线于点G，可得AF是DE的垂直平分线，设CF＝x，在Rt△EFG中根据勾股定理即可求解； （2）如图所示，延长AC到N，使得，连接EN，延长BC交EN于点M，可证△ABD≌△ANE，BD＝EN，可得△CMN是直角三角形，可求出MN的值，由ii）的证明可得DF＝EF，在Rt△EFM中，可求出DF，EM的值，根据EN＝EM+MN即可求解． 【解答】解：（1）i）∠BAC＝∠DAE＝α＝90°，AD＝AE，AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB＝∠ADE＝∠AED＝45°， ∵∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠CAE＝90°， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△ABD，△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD＝CE，∠B＝∠ACE＝45°， ∴∠ACB+∠ACE＝45°+45°＝90°， ∴△CDE是直角三角形， ∴DE2＝DC2+CE2，且CE＝DB， ∴DB2+DC2＝DE2； ii）AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝α＝60°， ∴△ABC，△ADE是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC＝8，则CD＝BC﹣BD＝8﹣2＝6， 如图所示，连接CE，EF，过点E作EG⊥BC延长线于点G， 由上述证明可得，△ABD≌△ACE， ∴BD＝CE＝2，∠B＝∠ACE＝60°， ∴∠ACB+∠ACE＝60°+60°＝120°，则∠ECG＝180°﹣∠ECB＝60°， 在Rt△ACF中，∠ECG＝60°，CE＝2， ∴，， ∵△ADE是等边三角形，AF⊥DE， ∴AF是DE的垂直平分线， ∴DF＝EF， 设CF＝x，则DF＝EF＝BC﹣CF＝6﹣x，FG＝CF+CG＝x+1， 在Rt△EFG中，EF2＝FG2+EG2， ∴， 解得，， ∴CF的长为； （2）解：如图所示，延长AC到N，使得，连接EN，延长BC交EN于点M，过点A作AP⊥BC于点P， ∴， ∵∠BAC＝∠DAE＝α＝90°，AD＝AE， ∴∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠NAE＝90°， ∴∠BAD＝∠NAE， 在△ABD，△NAE中， ， ∴△ABD≌△NAE（SAS）， ∴∠B＝∠N，BD＝NE， ∵∠ACB＝∠NCM，∠B+∠ACB＝90°， ∴∠NCM+∠N＝90°， ∴∠CMN＝90°，即CM⊥MN，△CMN是直角三角形， 在Rt△ABC中，，， ∴， ∵AP⊥BC， ∴， ∴， ∵∠CMN＝∠APC＝90°，∠ACP＝∠MCN，AC＝NC， ∴△APC≌△NMC（AAS）， ∴MN＝AP＝4， 在Rt△CMN中，CM2+MN2＝CN2， 解得，CM＝2，MN＝4， ∵CF＝1， ∴FM＝FC+CM＝1+2＝3， 设DF＝y，则BD＝EN＝BC﹣DF﹣CF＝10﹣y﹣1＝9﹣y，DM＝DF+FM＝y+3， ∴EM＝EN﹣MN＝9﹣y﹣4＝5﹣y， ∵△ADE是等边三角形，AF⊥DE， ∴AF是DE的垂直平分线， ∴DF＝EF＝y， 在Rt△EFM中，EF2＝FM2+EM2， ∴y2＝32+（5﹣y）2， 解得，y＝3.4， ∴EM＝5﹣y＝5﹣3.4＝1.6，则EN＝EM+MN＝1.6+4＝5.6， ∴BD＝5.6， 故答案为：5.6． 22．已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°． （1）如图1，点M在斜边AB上，且AC＝1，MA，则线段MB＝　　，MC＝　2　． （2）如图2，点M在△ABC外，MA＝2，MC＝5，∠AMC＝45°，求MB； （3）如图3，点M在△ABC外，MA＝3，MB＝3，MC＝6，求AC． 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质求出AB，过点C作CD⊥AB于点D，然后根据勾股定理即可解决问题； （2）过点C作CN⊥CM，交MA的延长线于点N，连接BN，得△CMN是等腰直角三角形，得MC＝NC＝5，MN＝5，证明△ACM≌△BCN（SAS），得BN＝MA＝2，∠AMC＝∠BNC＝45°，证明∠MNB＝90°，然后利用勾股定理即可解决问题； （3）C作CD⊥CM且CD＝CM，连接BD、MD，延长AM，DB交于点E，证明△ACM≌△BCD（SAS），得BD＝MA＝3，∠AMC＝∠BDC，然后证明∠E＝90°，设BE＝x，再根据勾股定理列出方程求出x的值，进而可以解决问题． 【解答】解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°， ∴BC＝AC＝1， ∴ABAC， 如图1，过点C作CD⊥AB于点D， ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴CD垂直平分AB， ∴AD＝CD＝BDAB， ∵MA， ∴MD＝AD﹣MA， ∴MC2， MB＝MD+BD， 故答案为：，2； （2）过点C作CN⊥CM，交MA的延长线于点N，连接BN， ∵CN⊥CM，∠AMC＝45°， ∴∠MNC＝45°， ∴△CMN是等腰直角三角形， ∴MC＝NC＝5， ∴MNMC＝5， ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴CA＝CB，∠ACB＝90°， ∴∠MCN﹣∠ACN＝∠ACB﹣∠ACN， ∴∠ACM＝∠BCN， ∴△ACM≌△BCN（SAS）， ∴BN＝MA＝2，∠AMC＝∠BNC＝45°， ∴∠MNB＝90°， 在Rt△MNB中，根据勾股定理得：MB3； （3）如图3，C作CD⊥CM且CD＝CM，连接BD、MD，延长AM，DB交于点E， ∴∠MCD＝90°，MDMC＝6， ∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°， ∴AC＝BC， ∴∠MCD﹣∠MCB＝∠ACB﹣∠MCB， ∴∠ACM＝∠BCD， ∴△ACM≌△BCD（SAS）， ∴BD＝MA＝3，∠AMC＝∠BDC， ∵∠AMC+∠CME＝180°， ∴∠BDC+∠CME＝180°， ∵∠MCD＝90°， ∴∠E＝360°﹣（∠MCD+∠BDC+∠CME）＝90°， 在Rt△MEB和Rt△MED中，根据勾股定理得： ME2＝BM2﹣BE2＝DM2﹣DE2， 设BE＝x， ∵DB＝3，MB＝3，MD＝6， ∴DE＝x+3， ∴（3）2﹣x2＝62﹣（x+3）2， ∴x＝3， ∴ME6， ∴AE＝AM+ME＝3+6＝9， ∴AB3， ∴ACAB＝3． 23．已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC． （1）如图1，当B、C、M、N在同一直线上，且∠MAN＝45°，BM＝1，CN＝2时，MN＝　　；（直接写出计算结果） （2）如图2，当B、C、M、N在同一直线上，且∠MAN＝135°时，写出线段BM、CN、MN之间的数量关系，并加以证明； （3）如图3，当BM⊥AB于点B，CN⊥AC于点C，BM＝CN＝2，且∠MAN＝135°时，直接写出线段MN的值． 【分析】（1）将△ABM绕点A逆时针旋转90°，使AB与AC重合，点M与点Q重合，连接NQ，得出∠NCQ＝90°，NQ，证明△QAN≌△MAN（SAS），得出MN＝NQ； （2）将△ACN绕点A顺时针旋转90°，使AC与AB重合，点N与点P重合，连接PM，得出∠PBM＝90°，PM2＝BM2+CN2，证明△PAM≌△NAM（SAS），得出PM＝MN，得到MN2＝BM2+CN2； （3）将△MBA绕点A逆时针旋转90°，使AB与AC重合，点M与点H重合，证明△HAN≌△MAN（SAS），得出MN＝HN＝CN+CH． 【解答】解：（1）将△ABM绕点A逆时针旋转90°，使AB与AC重合，点M与点Q重合，连接NQ， ∴△ABM≌△ACQ， ∴∠BAM＝∠CAQ，AM＝AQ，∠ACQ＝∠ABM＝45°，BM＝CQ＝1， ∴∠NCQ＝90°， ∴NQ， ∵∠BAC＝90°，∠MAN＝45°， ∴∠BAM+∠CAN＝45°， ∴∠CAQ+∠CAN＝45°， ∴∠QAN＝45°＝∠MAN， 在△QAN和△MAN中， ， ∴△QAN≌△MAN（SAS）， ∴MN＝NQ， 故答案为：； （2）将△ACN绕点A顺时针旋转90°，使AC与AB重合，点N与点P重合，连接PM， ∴△PAB≌△NAC， ∴PB＝CN，∠PBA＝∠NCA＝45°＝∠ABC，AP＝AN，∠PAN＝90°， ∴∠PBM＝90°， ∴PM2＝BM2+PB2， ∴PM2＝BM2+CN2， ∵∠MAN+∠PAN+∠PAM＝360°， ∴135°+90°+∠PAM＝360°， ∴∠PAM＝135°＝∠MAN， 在△PAM和△NAM中， ， ∴△PAM≌△NAM（SAS）， ∴PM＝MN， ∴MN2＝BM2+CN2； （3）将△MBA绕点A逆时针旋转90°，使AB与AC重合，点M与点H重合， ∴△MBA≌△HCA， ∴AM＝AH，∠MAH＝90°，BM＝CH， ∵∠MAH+∠MAN+∠HAN＝360°， ∴90°+135°+∠HAN＝360°， ∴∠HAN＝135°＝∠MAN， 在△HAN和△MAN中， ， ∴△HAN≌△MAN（SAS）， ∴MN＝HN＝CN+CH． 24．（1）如图1，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，且点D在BC边上滑动（点D不与点B，C重合），连接EC．求证：BD2+CD2＝2AD2； [拓展延伸] （2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°．若BD＝17cm，CD＝8cm，求AD的长； （3）如图3，把斜边长都为18cm的一副三角板的斜边重叠摆放在一起，则两块三角板的直角顶点之间的距离AB长为 　　cm． 【分析】（1）证明△BAD≌△CAE（SAS），根据全等三角形的性质得到BD＝CE，∠ACE＝∠B，得到∠DCE＝90°，根据勾股定理计算即可； （2）作AE⊥AD，使AE＝AD，连接CE，DE，证明△BAD≌△CAE，得到BD＝CE＝17cm，根据勾股定理计算即可． （3）延长BN到点P，使NP＝MB，先证△AMB≌△ANP得AB＝AP，∠NAM＝∠BAP，据此可得∠BAP＝∠MAN＝90°，由勾股定理知AB2+AP2＝BP2，继而可得2AB2＝（MB+BN）2；由直角三角形的性质知，代入计算即可得答案． 【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE， 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴BD＝CE，∠ACE＝∠B， ∴∠DCE＝90°， ∴CE2+CD2＝ED2， 在Rt△ADE中，AD2+AE2＝ED2， 又AD＝AE， ∴BD2+CD2＝2AD2； （2）解：作AE⊥AD，使AE＝AD，连接CE，DE，如图2， ∵∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD， 即∠BAD＝∠CAE， 在△BAD与△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴BD＝CE＝17cm， ∵∠ADC＝45°，∠EDA＝45°， ∴∠EDC＝90°， ∴， ∵∠DAE＝90°， ∴． （3）解：如图3，延长BN到点P，使NP＝MB， ∵∠MAB＝90°，∠MBN＝90°， ∴∠AMB+∠ANB＝180°， ∵∠ANP+∠ANB＝180°， ∴∠AMB＝∠ANP， ∵AM＝AN，NP＝MB， ∴△AMB≌△ANP（SAS）， ∴AB＝AP，∠MAB＝∠NAP， ∴∠BAP＝∠BAM＝90°， ∴BA2+AP2＝BP2， ∴2AB2＝（MB+BN）2，即； ∵MN＝18cm，∠BMN＝30°， ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 25．如图，等腰△ABC和等腰△ADE，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝α． （1）如图1，α＝60°，∠ADC＝30°，AD＝6，CD＝8，求线段BD的长度； （2）如图2，α＝120°，点M、N在线段BC上，∠MAN＝60°，BM＝MN，求证：MN＝CN； （3）如图3，a＝90°，连接BE和CD，若AC＝6，AD＝4，BE＝5，直接写出CD的长为 　　． 【分析】（1）证明△ADE为等边三角形，得出DE＝AD＝6，∠EDA＝60°，根据勾股定理求出，证明△ACE≌△ABD（SAS），得出BD＝CE＝10； （2）根据等腰三角形的性质求出，将△ACN绕点A顺时针旋转120°得到△ABP，连接PM，根据旋转的性质，求出∠PBM＝∠ABP+∠ABC＝60°，证明△APM≌△ANM（SAS），得出MP＝MN，证明△PBM为等边三角形，得出BM＝BP＝CN，即可求出结果； （3）根据勾股定理得出BC2＝AB2+AC2＝72，DE2＝AD2+AE2＝32，连接BD，CE交于点O，根据△ABD≌△ACE，得出∠ACE＝∠ABD，证明∠COD＝∠DOE＝∠BOE＝∠BOC＝90°，根据勾股定理得出OB2+OC2＝BC2＝72，OE2+OD2＝DE2＝32，OB2+OE2＝BE2＝52＝25，CD2＝OC2+OD2，求出OC2+OD2＝79，即可得出答案． 【解答】（1）解：∵α＝60°，AD＝AE， ∴△ADE为等边三角形， ∴DE＝AD＝6，∠EDA＝60°， ∵∠ADC＝30°， ∴∠EDC＝60°+30°＝90°， 根据勾股定理得：， ∵∠BAC＝∠DAE＝α， ∴∠EAD+∠DAC＝∠BAC+∠DAC， 即∠CAE＝∠BAD， ∵AB＝AC，AE＝AD， ∴△ACE≌△ABD（SAS）， ∴BD＝CE＝10； （2）证明：∵∠BAC＝α＝120°，AB＝AC， ∴， ∵∠MAN＝60°， ∴∠BAM+∠CAN＝60°， 将△ACN绕点A顺时针旋转120°得到△ABP，连接PM，如图所示： 则BP＝CN，∠ABP＝∠ACB＝30°， ∠BAP＝∠CAN，AP＝AN， ∴∠PBM＝∠ABP+∠ABC＝60°， ∠MAP＝∠BAM+∠BAP＝∠BAM+∠CAN＝60°＝∠MAN， ∵AM＝AM， ∴△APM≌△ANM（SAS）， ∴MP＝MN， ∵BM＝MN， ∴MP＝BM， ∵∠PBM＝60°， ∴△PBM为等边三角形， ∴BM＝BP＝CN， ∴MN＝CN． （3）解：∵α＝90°，AD＝4，AC＝6， ∴∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝6，AE＝AD＝4， ∴BC2＝AB2+AC2＝72，DE2＝AD2+AE2＝32， ∠ABC+∠ACB＝90°， 连接BD，CE交于点O，如图所示： 则与解析（1）同理可证△ABD≌△ACE， ∴∠ACE＝∠ABD， ∴∠OBC+∠OCB＝∠OBA+∠ABC+∠OCB ＝∠ABC+∠ACE+∠OCB ＝∠ABC+∠ACB ＝90°， ∴∠COD＝∠DOE＝∠BOE＝∠BOC＝90°， ∴OB2+OC2＝BC2＝72，OE2+OD2＝DE2＝32， OB2+OE2＝BE2＝52＝25，CD2＝OC2+OD2， ∴OC2+OD2＝BC2+DE2﹣（OE2+OB2） ＝BC2+DE2﹣BE2 ＝72+32﹣25 ＝79， ∴CD2＝79， ∴（负值舍去）． 26．学完勾股定理后，小宇碰到了一道题：如图1，在四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，若AB＝5，CD＝4，BC＝6，则AD的长为　　． 他不会做，去问同桌小轩，小轩通过思考后，耐心地对小宇讲道：“因为AC⊥BD，垂足为O，那么在四边形ABCD中有四个直角三角形，利用勾股定理可得AD2＝OA2+OD2，BC2＝OB2+OC2，AB2＝OA2+OB2，CD2＝OC2+OD2…”小轩话没讲完，小宇就讲道：“我知道了，原来AD2+BC2与AB2+CD2之间有某种数量关系．”并对小轩表示感谢． （1）请你直接写出AD的长． （2）如图2，分别在△ABC的边BC和边AB上向外作等腰Rt△BCQ和等腰Rt△ABP，连接PC，PQ． ①若AC＝4，BC＝8，连接AQ，交PC于点D，当∠ACB＝90°时，求PQ的长； ②如图3，若AB＝10，BC＝8，PC＝8，当∠ACB≠90°时，求△ABC的面积． 【分析】（1）由AC与BD垂直，得到四个直角三角形，分别利用勾股定理求出所求即可． （2）①根据SAS可证明△PBC≌△ABQ，得∠BPC＝∠BAQ，得∠PDA＝90°，可求出PQ的长； ②连接PC、AQ交于点D，同①可证△PBC≌△ABQ，则AQ＝PC＝8，且AQ⊥PC，延长QB作AE⊥QE，求出BE的长，则答案可求出． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O， ∴△AOB，△BOC，△COD，△AOD都为直角三角形， ∵AB＝5，CD＝4，BC＝6， 根据勾股定理得： OA2+OB2＝AB2，OB2+OC2＝BC2，OC2+OD2＝CD2，OA2+OD2＝AD2， ∴AB2+CD2＝OA2+OB2+OC2+OD2，AD2+BC2＝OA2+OD2+OB2+OC2， ∴AB2+CD2＝AD2+BC2， ∴52+42＝AD2+62， ∴AD2＝5， ∵AD＞0， ∴AD； 故答案为：． （2）①如图2，∵△ABP和△CBQ都是等腰直角三角形， ∴PB＝AB，CB＝BQ，∠ABP＝∠CBQ＝90°， ∴∠PBC＝∠ABQ， ∴△PBC≌△ABQ（SAS）， ∴∠BPC＝∠BAQ， 又∵∠BPC+∠CPA+∠BAP＝90°， 即∠BAQ+∠CPA+∠BAP＝90°， ∴∠PDA＝90°， ∴PC⊥AQ， 利用（1）中的结论：AP2+CQ2＝AC2+PQ2 ∵AC＝4，BC＝8，∠ACB＝90°， ∴AB4， ∴APAB44，CQBC＝8， ∴（4）2+（8）2＝42+PQ2， ∴PQ＝4． ②连接AQ交PC于点D，如图3， 同①可证△PBC≌△ABQ（SAS），AQ＝PC且AQ⊥PC， ∴AQ＝PC＝8， 延长QB作AE⊥QE， ∵AB＝10，BC＝8， ∴AE2+BE2＝100，AE2+QE2＝192， ∵EQ＝8+BE， ∴（8+BE）2﹣BE2＝92， 解得BE， ∴S△ABCBC×BE87． 27．如图，点D为等边△ABC边AC上一点，点E为射线BC上一点 （1）若点E在边BC上且CE＝AD，求证：∠BFE＝60°； （2）若点E在线段BC的延长线上，连接AE交BD的延长线于点G，当BG＝BC时，求证：BD＝AD+CE； （3）在（2）的条件下，若CD＝5，BE＝12，则AB＝　8　． 【分析】（1）根据边角边证明三角形BAD与三角形ACE，即可证明∠BFE＝60°； （2）延长CA至点F，使AF＝CE，易证△BAF≌△ACE（SAS），因此∠F＝∠E，∠CAE＝∠ABF，然后利用外角性质以及证明三角形DFB为等腰三角形，于是DB＝DF，最后通过等量代换得出BD＝AD+CE； （3）过点B作BH⊥AC于点H，设AB长为x，则BC＝x，CE＝12﹣x，AD＝x﹣5，BD＝AD+CE＝x﹣5+12﹣x＝7，在Rt△BHD中，由勾股定理求出x的值即可． 【解答】解：（1）∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠BCA＝∠ABC＝60°， 在△BAD与△ACE中，AB＝CA，∠C＝∠BAD，AD＝CE， ∴△BAD≌△ACE（SAS）， ∴∠ABD＝∠CAE， ∠BFE＝∠BAF+∠ABD＝BAF+∠CAE＝∠BAC＝60°； （2）如图2，延长CA至点F，使AF＝CE， 易证△BAF≌△ACE（SAS）， ∴∠F＝∠E，∠CAE＝∠ABF， ∵BG＝BC＝AB， ∴∠BAG＝∠BGA， ∵∠BAG＝∠BAC+∠CAE＝∠ABC+∠ACF＝∠FBC， ∠BGA＝∠E+∠GBE， ∴∠FBC＝∠E+∠GBE， ∠FBC﹣∠GBE＝∠E， 即∠FBD＝∠E， ∵∠E＝∠F， ∴∠FBD＝∠F， ∴BD＝DF＝AD+AF＝AD+CE， 即BD＝AD+CE； （3）如图2，过点B作BH⊥AC于点H，设AB长为x， 则BC＝x，CE＝12﹣x，AD＝x﹣5，BD＝AD+CE＝x﹣5+12﹣x＝7， ∵BH⊥AC， ∴CHx，BHx，DH＝CD﹣CH＝5x， 在Rt△BHD中，BH2+DH2＝BD2， （ x）2+（5x）2＝72， 解得 x1＝﹣3，x2＝8， ∴AB＝8 故答案为8． 28．已知△ACB是等腰直角三角形，CA＝CB， （1）如图1，△CDE是等腰直角三角形，点D在AB的延长线上，CD＝CE，连接BD，求证：BE⊥AB； （2）如图2，点F是斜边AB上动点，点G是AB延长线上动点，总有∠FCB＝∠CGF，探究AF，GF，BG的数量关系，并说明理由； （3）如图3，点H是AC一点，连接FH，若∠HFC＝45°，AF＝m，BF＝n，直接写出△CHF的面积为 　　（用m，n表示）． 【分析】（1）设BE、CD交于O，证明△ACD≌△BCE，得到∠ADC＝∠BEC，再由∠COE＝∠BOD，可得∠OBD＝∠OCE＝90°，即可证明BE⊥AB； （2）如图所示，将△ACF绕点C逆时针旋转90°得到△BCH，连接HG，先求出∠A＝∠ABC＝45°，由旋转的性质得FA＝BH，∠A＝∠CBH＝45°，即可推出∠HBG＝90°，再证明△CFG≌△CHG，得到FG＝GH，由勾股定理得到GH2＝BH2+BG2，即可得到FG2＝AF2+BG2； （3）如图所示，将△CFB绕点C顺时针旋转90°得到△CMA，连接MF，AM，则∠CMF＝∠CFM＝45°，进而证明M、H、F三点共线，同理可证∠MAF＝90°，由勾股定理得：，则，求出，过点H作HQ⊥AM于Q，HP⊥AF于P，利用角平分线的性质HQ＝HP，即可推出S△MAH：S△FAH＝n：m，进而得到MH：HF＝n：m，则． 【解答】（1）证明：设BE、CD交于O， ∵△ABC，△CDE都是等腰直角三角形，CD＝CE，CA＝CB， ∴∠ACB＝∠ECD＝90°， ∴∠ACB+∠BCD＝∠ECD+∠BCD，即∠ACD＝∠BCE， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴∠ADC＝∠BEC， 又∵∠COE＝∠BOD， ∴∠OBD＝∠OCE＝90°， ∴BE⊥AB； （2）解：FG2＝AF2+BG2，理由如下： 如图所示，将△ACF绕点C逆时针旋转90°得到△BCH，连接HG， ∵AC＝BC，∠ACB＝90°， ∴∠A＝∠ABC＝45°， 由旋转的性质得FA＝BH，∠A＝∠CBH＝45°， ∴∠ABH＝∠ABC+∠CBH＝90°， ∴∠HBG＝90°， ∵∠FCB＝∠CGF，∠ABC＝∠BCG+∠CGF＝45°， ∴∠FCB+∠BCG＝45°， ∴∠FCG＝∠HCG＝45°， 又∵CF＝CH，CG＝CG， ∴△CFG≌△CHG（SAS）， ∴FG＝GH， 在Rt△HBG中，由勾股定理得：GH2＝BH2+BG2， ∴FG2＝AF2+BG2； （3）解：如图所示，将△CFB绕点C顺时针旋转90°得到△CMA，连接MF，AM， ∴△MCF为等腰直角三角形，AM＝BF， ∴∠CMF＝∠CFM＝45°， 又∵∠CFH＝45°， ∴M、H、F三点共线， 同理可证∠MAF＝90°， 在Rt△MAF中，由勾股定理得：， ∴， ∴， 过点H作HQ⊥AM于Q，HP⊥AF于P， ∵∠MAC＝∠BAC＝45°， ∴HQ＝HP， ∴， ∴MH：HF＝n：m ∴， 故答案为：； 29．在等腰△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，E为AD上一点，连接BE，CE，∠BAC＝∠CED＝2∠BED＝2x． （1）如图1，若x＝45°，求证：CE＝2AE； （2）如图2，若x＝30°，AB＝AC．求CE的长； （3）如图3，若x＝60°，AB＝AC＝2，点Q为△ABC外一点，且∠BQA＝60°，AQ＝2，求线段QC的长． 【分析】（1）作BH⊥AD，交AD的延长线于H，利用AAS证明△ACE≌△BAH，得BH＝AE，CE＝AH，从而证明结论； （2）在AD上取点H，使BH＝EH，作BF⊥AD于F，由（1）同理得，△ACE≌△BAH（AAS），得CE＝AH，AE＝BH，设BH＝EH＝AE＝2x，在Rt△ABF中，利用勾股定理列出方程，从而解决问题； （3）以AQ为边作等腰三角形AQM，使∠QAM＝120°，AQ＝AM，连接BM，证明△BAM≌△CAQ（SAS），由全等三角形的性质得出BM＝CQ，求出∠BQM＝90°，过点A作AN⊥BQ于点N，由勾股定理可求出BQ，QM，BM的长，则可得出答案． 【解答】（1）证明：作BH⊥AD，交AD的延长线于H， ∵∠CED＝∠EAC+∠ACE，∠BAC＝∠EAC+∠BAE， ∴∠BAH＝∠ACE， ∵∠AEC＝∠H，AB＝AC， ∴△ACE≌△BAH（AAS）， ∴BH＝AE，CE＝AH， ∵∠BEH＝45°，∠H＝90°， ∴BH＝EH， ∴AE＝EHCE， ∴CE＝2AE； （2）解：在AD上取点H，使BH＝EH，作BF⊥AD于F， 则∠BHE＝∠AEC＝120°， 由（1）同理得，△ACE≌△BAH（AAS）， ∴CE＝AH，AE＝BH， 设BH＝EH＝AE＝2x， ∵∠BHF＝60°， ∴HF＝x，BFx， 在Rt△ABF中，由勾股定理得， （x）2+（5x）2＝（）2， 解得x（负值舍去）， ∴CE＝AH＝4x＝2； （3）解：以AQ为边作等腰三角形AQM，使∠QAM＝120°，AQ＝AM，连接BM， ∵∠BAC＝∠QAM＝120°， ∴∠BAC+∠CAM＝∠QAM+∠CAM， 即∠BAM＝∠CAQ， 又∵AB＝AC， ∴△BAM≌△CAQ（SAS）， ∴BM＝CQ， ∵AQ＝AM，∠QAM＝120°， ∴∠AQM＝30°， ∵∠BQA＝60°， ∴∠BQM＝∠BQA+∠AQM＝60°+30°＝90°， 过点A作AN⊥BQ于点N， ∵AQ＝2，∠AQN＝60°， ∴NQ＝，AN， ∵AB＝2， ∴BN3， ∴BQ＝BN+NQ＝3+1＝4， 过点A作AG⊥QM于点G， ∵∠AQG＝30°，AQ＝2， ∴AG＝1，GQ， ∴QM＝2， ∴BM2， ∴CQ＝2． 30．（1）如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC＝120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系． 解题思路：延长DC到点E，使CE＝BD，连接AE，根据∠BAC+∠BDC＝180°，可证∠ABD＝∠ACE，易证得△ABD≌△ACE，得出△ADE是等边三角形，所以AD＝DE；从而探寻线段DA、DB、DC之间的数量关系． 根据上述解题思路，请直接写出DA、DB、DC之间的数量关系是 　DA＝DC+DB　． 【拓展延伸】 （2）如图2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．若点D是边BC下方一点，∠BDC＝90°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系，并说明理由； 【知识应用】 （3）如图3，两块斜边长都为12cm的三角板，把斜边重叠摆放在一起，则两块三角板的直角顶点之间的距离PQ的长分别为 　　cm． 【分析】（1）由等边三角形知AB＝AC，∠BAC＝60°，结合∠BDC＝120°知∠ABD+∠ACD＝180°，由∠ACE+∠ACD＝180°知∠ABD＝∠ACE，证△ABD≌△ACE（SAS）得AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，再证△ADE是等边三角形得DA＝DE＝DC+CE＝DC+DB； （2）延长DC到点E，使CE＝BD，连接AE，先证△ABD≌△ACE得AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，据此可得∠DAE＝∠BAC＝90°，由勾股定理知DA2+AE2＝DE2，继而可得2DA2＝（DB+DC）2； （3）由直角三角形的性质知，，利用（2）中的结论知，据此可得答案． 【解答】解：（1）结论：DA＝DC+DB； 理由：如图1，延长DC到点E，使CE＝BD，连接AE， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠BAC＝60°， ∵∠BDC＝120°， ∴∠ABD+∠ACD＝180°， 又∵∠ACE+∠ACD＝180°， ∴∠ABD＝∠ACE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE， ∵∠ABC＝60°，即∠BAD+∠DAC＝60°， ∴∠DAC+∠CAE＝60°，即∠DAE＝60°， ∴△ADE是等边三角形， ∴DA＝DE＝DC+CE＝DC+DB，即DA＝DC+DB， 故答案为：DA＝DC+DB； （2）结论：， 理由：如图2，延长DC到点E，使CE＝BD，连接AE， ∵∠BAC＝90°，∠BDC＝90°， ∴∠ABD+∠ACD＝180°， ∵∠ACE+∠ACD＝180°， ∴∠ABD＝∠ACE， ∵AB＝AC，CE＝BD， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE， ∴∠DAE＝∠BAC＝90°， ∴DA2+AE2＝DE2， ∴2DA2＝（DB+DC）2， ∴； （3）如图3，连接PQ， ∵MN＝12cm，∠QMN＝30°， ∴（cm）， ∴（cm）， 由（2）知PQ＝QM+QN＝（66）（cm）， ∴， 故答案为：． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$