精品解析：内蒙古鄂伦春自治旗大杨树第一中学2024-2025学年九年级上学期第二次阶段性测试数学试题

九年级上学期第二次阶段测试数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列电视台的台标，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件中，必然事件是（ ） A. 抛掷一枚硬币，正面朝上 B. 打开电视，正在播放广告 C. 从一副扑克牌中抽到红桃A D. 三角形内角和为180° 3. 用配方法解方程时，配方后所得的方程为（　　） A. B. C. D. 4. 某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送2070张照片，如果全班有名同学，根据题意，列出方程为（ ） A. B. C. D. 5. 小明想用一个圆心角为，半径为的扇形做一个圆锥的侧面（接缝处忽略不计），则做成的圆锥底面半径为（ ） A. B. C. D. 6. 二次函数的顶点坐标是（） A. （-3，7） B. （3，7） C. （-3，-7） D. （3，-7） 7. 把抛物线向下平移2个单位，再向左平移1个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，； ； ； ； ； 中正确的个数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点ABC在⊙O上，OA∥BC，∠OAC=19°，则∠AOB的大小为（　　） A. 19° B. 29° C. 38° D. 52° 10. 抛物线和直线在同一坐标系内的图象可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是__________． 12. 如图所示的五角星绕中心点旋转一定的角度后能与自身完全重合，则其旋转的角度至少为_______； 13. 某品牌手机两年内由每台2500元降低到每台1600元，则这款手机平均每年降低的百分率为_________； 14. 若正方形的边长为6cm，则其外接圆半径是___________ cm. 15. 已知圆周长为的圆周上一段弧所对的圆心角为，则此弧长为___________． 16. 如图，是的直径，，点A在上，，B为弧的中点，P是直径上一动点．则的最小值为______． 三、解答题（共52分） 17. 解方程 （1） （2） 18. 如图，为的直径，，垂足为点F，，垂足为点E，，． （1）求的长； （2）求阴影部分的面积． 19. 商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价元．据此规律，请回答： （1）销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？ （2）如何降价，商场可获得最大利润？ 20. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点的坐标为． （1）把向上平移5个单位后得到对应的，画出，并写出的坐标； （2）以原点为对称中心，再画出与关于原点对称的，并写出点的坐标． 21. 如图，为举办毕业联欢会，小颖设计了一个游戏：游戏者分别转动如图的两个可以自由转动的转盘各一次，当两个转盘上的指针所指字母都相同时，他就获得一次指定一位到会者为大家表演节目的机会． （1）利用树状图或列表的方法表示出游戏可能出现的所有结果． （2）若小明参加一次游戏，则他能获得这种指定机会的概率是多少？ 22. 如图，在中，，是的平分线，O是上一点， 以为半径的经过点D． （1）求证：是切线； （2）若，，求的长． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过三点，，，已知，直线与抛物线交于另一点E． （1）求抛物线和直线的解析式； （2）若是直线上方抛物线上的一动点，当为何值时面积有最大值，最大值是多少． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级上学期第二次阶段测试数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列电视台的台标，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案。 【详解】根据中心对称图形的概念，四个选项中只有D符合． 故选：D． 【点睛】本题考查了中心对称图形，掌握中心对称图形的概念是解题的关键。 2. 下列事件中，必然事件是（ ） A. 抛掷一枚硬币，正面朝上 B. 打开电视，正在播放广告 C. 从一副扑克牌中抽到红桃A D. 三角形内角和为180° 【答案】D 【解析】 【分析】根据所学知识，结合事件的定义判断即可． 【详解】因为抛掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件， 故A不符合题意； 因为打开电视，正在播放广告，是随机事件， 故B不符合题意； 因为从一副扑克牌中抽到红桃A，是随机事件， 故C不符合题意； 因为三角形内角和为180°，是必然事件， 故D符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查了事件的判断，熟练掌握随机事件、必然事件、不可能事件的判断是解题的关键． 3. 用配方法解方程时，配方后所得的方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，移项后把左边配成完全平方式，右边化为常数即可得出结果． 【详解】解：， ， ， ， 故选：A． 4. 某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送2070张照片，如果全班有名同学，根据题意，列出方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如果全班有x名同学，那么每名同学要送出（x-1）张，总共送出的张数应该是x(x-1)张，即可列出方程． 【详解】解：∵全班有x名同学， ∴每名同学要送出（x-1）张， ∴总共送出的张数应该是x(x-1)=2070， 故选：A 【点睛】本题主要考查的是一元二次方程的实际应用，根据题目意思正确的列出方程是解题的关键． 5. 小明想用一个圆心角为，半径为的扇形做一个圆锥的侧面（接缝处忽略不计），则做成的圆锥底面半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长即可求解． 本题主要考查扇形弧长公式和圆锥底面周长， 掌握弧长公式是解题的关键． 【详解】解：设圆锥底面圆的半径是r， 根据题意有 解得：． ∴做成的圆锥底面半径为． 故选：C． 6. 二次函数的顶点坐标是（） A. （-3，7） B. （3，7） C. （-3，-7） D. （3，-7） 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用配方法将原式化为顶点式，进而求出二次函数的顶点坐标． 【详解】y=x2+6x+16 =（x2+6x+9）+7 =（x+3）2+7， 故抛物线y=x2+6x+16的顶点坐标是：（-3，7）． 故选：A． 【点睛】此题考查二次函数的性质，正确进行配方法求出二次函数顶点坐标是解题关键． 7. 把抛物线向下平移2个单位，再向左平移1个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线的平移，熟练掌握平移的规律是解题的关键．根据平移的规律，左加右减，上加下减即可得到答案． 【详解】解:把抛物线向下平移2个单位，再向左平移1个单位， 得到的抛物线是． 故选：B． 8. 如图，； ； ； ； ； 中正确的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，根的判别式的熟练运用，由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线开口方向向上， ∴， ∵抛物线对称轴位于轴右侧， ∴、异号，即， ∴， ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴，故正确； ∵抛物线与轴有两个交点， ∴，故正确； 根据图象可知，当时，，故正确； 根据图象不能判断与大小关系，故错误； 综上可知：正确，共个， 故选：． 9. 如图，点ABC在⊙O上，OA∥BC，∠OAC=19°，则∠AOB的大小为（　　） A. 19° B. 29° C. 38° D. 52° 【答案】C 【解析】 【分析】由AO∥BC，得到∠ACB=∠OAC=19°，根据圆周角定理得到∠AOB=2∠ACB=38°. 【详解】∵AO∥BC， ∴∠ACB=∠OAC， 而∠OAC=19°， ∴∠ACB=19°， ∴∠AOB=2∠ACB=38°． 故选C． 【点睛】本题考查了圆周角定理与平行线的性质．解题的关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用是解此题的关键. 10. 抛物线和直线在同一坐标系内的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质、一次函数的图像与性质，本题中首先根据一次函数的图像确定、的取值范围，再根据、的取值范围确定抛物线的开口方向和对称轴的大致位置． 【详解】解：A选项： 直线经过第一、三、四象限， 可知，， 抛物线的开口方向向上，故A选项不符合题意； B选项： 直线经过第二、三、四象限， 可知，， 抛物线的开口方向向下，抛物线的对称轴为应在轴的左侧，故B选项不符合题意； C选项： 直线经过第二、三、四象限， 可知，， 抛物线的开口方向向下，抛物线的对称轴为应在轴的左侧，故C选项不符合题意； D选项： 直线经过第一、三、四象限， 可知，， 抛物线的开口方向向上，抛物线的对称轴为应在轴的右侧，故D选项不符合题意； 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是__________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式．掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根是解题关键． 根据一元二次方程的定义和根的判别式计算即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：， ∴实数的取值范围是且． 故答案为：且． 12. 如图所示的五角星绕中心点旋转一定的角度后能与自身完全重合，则其旋转的角度至少为_______； 【答案】72° 【解析】 【详解】五角星绕中心点旋转一定的角度后能与自身完全重合,则其旋转的角度至少为=72°. 故答案为72°. 13. 某品牌手机两年内由每台2500元降低到每台1600元，则这款手机平均每年降低的百分率为_________； 【答案】20% 【解析】 【详解】设降价的百分率为x,由题意得2500(1−x)2=1600， 解得x1=0.2，x2=−1.8(舍). 所以平均每次降价的百分率为20%. 故答案为20%. 14. 若正方形的边长为6cm，则其外接圆半径是___________ cm. 【答案】3 【解析】 【分析】根据垂径定理，正方形的性质，构造直角三角形，用勾股定理解题即可. 【详解】如图所示：作OE⊥BC， ∵四边形ABCD是O的内接正方形， ∴∠OBE=45°，而OE⊥BC， ∴BE=CE， ∴EB=OE=3， ∴BO=3. 故其半径等于3. 故答案为3. 【点睛】本题考查多边形与圆.构造直角三角形是解题的关键. 15. 已知圆周长为的圆周上一段弧所对的圆心角为，则此弧长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求弧长，根据圆心角为的弧长为所在圆的周长的，进行求解即可． 【详解】解：由题意，此弧长为：； 故答案为：． 16. 如图，是的直径，，点A在上，，B为弧的中点，P是直径上一动点．则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，最短路径问题，熟练掌握圆周角定理，即一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，是解答本题的关键． 作点关于的对称点，连接交于点，则点就是所求作的点，然后根据垂径定理得到，然后利用勾股定理解题即可． 【详解】解：作点关于的对称点，连接交于点，则点就是所求作的点． 此时最小，且等于的长. 连接, ， ∴， ∴弧的度数是， 则弧的度数是 ， 根据垂径定理得弧的度数是：， 则 又， 则 故答案为：． 三、解答题（共52分） 17. 解方程 （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解: 解得，； 【小问2详解】 ，， 解得，． 18. 如图，为的直径，，垂足为点F，，垂足为点E，，． （1）求的长； （2）求阴影部分的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先根据三角形内角和定理得到，然后求出，进而求解即可； （2）连接，得，则，即可求得和，结合扇形面积和三角形面积即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴； 【小问2详解】 如图，连接， ∵ ∴， ∴， 在中，， 则， ∴． 【点睛】此题考查了求扇形面积，三角形内角和定理，含角直角三角形的性质，垂径定理和勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 19. 商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价元．据此规律，请回答： （1）销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？ （2）如何降价，商场可获得最大利润？ 【答案】（1）每件商品应降价20元 （2）每件商品降价17.5元时，商场可获得最大利润 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、二次函数的最值． （1）利用总利润=每件商品的销售利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合商场要尽快减少库存，即可得出每件商品应降价20元； （2）由抛物线在顶点处取得最大值，即可求解． 【小问1详解】 当每件商品降价x元时，每件商品盈利元，日销售量增加件． 依题意得：， 整理得：， 解得：， 又∵商场要尽快减少库存， ∴． 答：每件商品应降价20元． 【小问2详解】 设利润为w元， 依题意得：， ∵，故w有最大值，为2112.5元，此时， 所以，每件商品降价17.5元时，商场可获得最大利润 20. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点的坐标为． （1）把向上平移5个单位后得到对应的，画出，并写出的坐标； （2）以原点为对称中心，再画出与关于原点对称的，并写出点的坐标． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； ∴ （2） 如图所示，即为所求． ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移和中心对称： （1）根据“上加下减，左减右加”的平移规律找到A、B、C对应点的位置，在顺次连接，并写出对应点坐标即可； （2）根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数得到对应点的坐标，再顺次连接即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 如图，为举办毕业联欢会，小颖设计了一个游戏：游戏者分别转动如图的两个可以自由转动的转盘各一次，当两个转盘上的指针所指字母都相同时，他就获得一次指定一位到会者为大家表演节目的机会． （1）利用树状图或列表的方法表示出游戏可能出现的所有结果． （2）若小明参加一次游戏，则他能获得这种指定机会的概率是多少？ 【答案】（1）画树状图得： 则共有6种等可能的结果； （2） 【解析】 【分析】（1）列树状图即可得到所有结果； （2）根据（1）的结果可知共有１种这种机会，根据概率公式计算即可． 【详解】(1)略 (2) 可能出现的结果共6种，即AC，AD，BC，BD，CC，CD. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 在所有可能的6种结果中只有CC这一种情况获得指定机会． ∵小明参加一次游戏，则他能获得这种机会的有1种情况， ∴小明参加一次游戏,则他能获得这种机会的概率是： 【点睛】此题考查了列举法求事件的概率，正确掌握列举法的方法（树状图或表格法）及概率的计算公式是解题的关键． 22. 如图，在中，，是的平分线，O是上一点， 以为半径的经过点D． （1）求证：是切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 解：证明：连接， 是的平分线， ． ， ． ． ． ． ． 是切线． （2）6 【解析】 【分析】（1）连接，根据角平分线和等边对等角得到，再证即可． （2）过点作，根据角平分线的性质可知，由勾股定理得到的长，再通过证明，根据相似三角形的性质得出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过点作， 是的平分线， ． 在中，， 由勾股定理得：， ，， ． ． ． ． 【点睛】本题考查了切线的判定，角平分线的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过三点，，，已知，直线与抛物线交于另一点E． （1）求抛物线和直线的解析式； （2）若是直线上方抛物线上的一动点，当为何值时面积有最大值，最大值是多少． 【答案】（1）， （2）当时，最大为 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）过点作轴，交于点，利用分割法，将的面积转化为二次函数求最值即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过三点，，， ∴设抛物线的解析式为：，把代入，得：， ∴， ∴； ∵， ∴设直线的解析式为，把代入，得：， ∴； 【小问2详解】 是直线上方抛物线上的一动点， ∴， 联立，解得：或， ∴， 过点作轴，交于点，则：， ∴， ∴， ∴当时，最大为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $