精品解析：四川省攀枝花市仁和区2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

攀枝花市仁和区2024－2025学年九年级上期期末教学质量监测 数 学 注意事项： 1.答卷前考生务必把自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；回答非选择题时，用0.5毫米黑色墨迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3.试卷满分150分，考试时间120分钟，考试结束后将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题） 一、单选题（每题5分，共60分） 1. 下列各式是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 某小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，到第三天统计得出三天共揽件662件，设该快递店揽件日平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 5. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 任意画一个圆，它是轴对称图形 B. 任意画一个三角形，其内角和是 C. 如果，那么 D. 甲、乙两人9次跳高成绩的方差分别为，，乙的成绩比甲的稳定 6. 不透明的袋子中装有两个颜色分别为红、蓝的小球，除颜色外两个小球无其他差别从中随机摸出一个小球，记录其颜色，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其颜色，那么两次都摸到蓝色小球的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 若A（0，y1），B（﹣3，y2），C（3，y3）为二次函数y=﹣x2+4x﹣k的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A. y1＜y2＜y3 B. y2＜y1＜y3 C. y3＜y1＜y2 D. y1＜y3＜y2 8. ，是的切线，A，B是切点，点C是上不同于A、B的一个点，若，则的度数是（ ） A. B. C. 或 D. 80°或 9. 如图，点是等边三角形的重心，，是边上一点，当时，则的长为（ ） A. 1 B. C. D. 2 10. 如图，菱形的对角线、交于点，将绕着点C旋转得到，连接，则的长是(　　) A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 11. 如图，是等边三角形，点分别在边上，且与相交于点．若，则的边长等于（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在平面直角坐标系中，的圆心坐标是，半径为3，函数的图象被截得的弦的长为，则a的值是（　　） A. 4 B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题（共20分） 13. 若关于的一元二次方程的一个根为，则另一个根为______． 14. 如图，⊙O的半径为10，弦AB的长为12，OD⊥AB，交AB于点D，交⊙O于点C，则CD=______． 15. 如图，菱形的对角线交于原点O，若点B的坐标为，点D的坐标为，则的值为________． 16. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，P是以点为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段的中点，连接，则线段的最大值是 ________． 三、解答题（共70分） 17. 计算： 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 在学校开展的“学习交通安全知识，争做文明中学生”主题活动月中，学校德工处随机选取了该校部分学生，对闯红灯情况进行了一次调查，调查结果有三种情况：A．从不闯红灯；B．偶尔闯红灯；C经常闯红灯．德工处将调查的数据进行了整理，并绘制了尚不完整的统计图如下，请根据相关信息，回答下列问题： （1）本次活动共调查了多少名学生； （2）请补全（图二），并求（图一）中 B区域的圆心角的度数； （3）若该校有2400名学生，请估算该校不严格遵守信号灯指示的人数． 20. 如图，圆内接四边形是的直径，交于点，． （1）求证：点为的中点； （2）若，求． 21. 如图，某研究性学习小组在一次综合实践活动中发现如下问题：在距大楼BG底部45米的A处，测得大厦DH上悬挂的条幅底端C的仰角为55°，在楼顶B处测得条幅顶端D的仰角为45°，若条幅CD的长度为33米，楼BG的高为10米，请你帮助他们求出大厦的高度DH(结果精确到0.1米)．(参考数据：tan55°≈1.4，sin55°≈0.8) 22. 某乡镇实施产业扶贫，帮助贫困户销售某种农产品，成本为8元/千克，每天销售y（千克）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示． （1）求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）如果规定每天农产品的销售量不低于120千克，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？ （3）调查市场行情发现，因农产品属于季节性产品，需从每天的销售利润中拿出50元用于农产品的储存，为了保证每天剩余利润不低于1000元，试确定该农产品销售单价的范围． 23. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，过A、B两点的抛物线与x轴交于另一点． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线上是否存在一点P，使？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； （3）点M为直线下方抛物线上一点，点N为y轴上一点，当的面积最大时，求的最小值． 24. （1）如图1，在矩形中，，，点E是上的一点，连接，，若，则的值为______； （2）如图2，在四边形中，，点E为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点G，交的延长线于点F，求证：； （3）如图3，在中，，，，将沿翻折，点A落在点C处，得到，点E，F分别在边，上，连接，，若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 攀枝花市仁和区2024－2025学年九年级上期期末教学质量监测 数 学 注意事项： 1.答卷前考生务必把自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；回答非选择题时，用0.5毫米黑色墨迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3.试卷满分150分，考试时间120分钟，考试结束后将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题） 一、单选题（每题5分，共60分） 1. 下列各式是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：选项A中，被开方数，满足定义，故A是二次根式； 选项B中，被开方数，二次根号下负数无意义，故B不是二次根式； 选项C中，，可得，二次根号下负数无意义，故C不是二次根式； 选项D中，是三次根式，不满足定义，故D不是二次根式． 2. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的运算，完全平方公式，负整数次幂，二次根式的化简等知识点，熟练掌握二次根式的化简是解决此题的关键．根据同底数幂的除法法则，合并同类项法则，二次根式的性质，完全平方公式进行运算即可得解． 【详解】解：，此选项正确，符合题意； ，此选项错误，不符合题意； ，此选项错误，不符合题意； ，此选项错误，不符合题意；   故选：A ． 3. 某小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，到第三天统计得出三天共揽件662件，设该快递店揽件日平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出第二天、第三天的揽件数，根据“三天共揽件662件”即可列出方程． 【详解】解：第二天的揽件数为： 第三天的揽件数为： ∵三天共揽件662件 ∴ 故选：D 【点睛】本题考查了一元二次方程与增长率问题．注意“三天共揽件662件”，而不是“第三天揽件662件”． 4. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查一元二次方程根的判别式，根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于的不等式，解得即可，同时还应注意二次项系数不能为0．解题的关键是熟知根的判别式的运用． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， 即：， 解得：， ∵关于x的一元二次方程中， 则k的取值范围是且． 故选：D． 5. 下列事件中，是必然事件的是（ ） A. 任意画一个圆，它是轴对称图形 B. 任意画一个三角形，其内角和是 C. 如果，那么 D. 甲、乙两人9次跳高成绩的方差分别为，，乙的成绩比甲的稳定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查事件的分类，根据必然事件，不可能事件，随机事件的定义结合轴对称图形定义、三角形内角和定理、不等式性质、方差等相关概念，对选项进行判断，即可解题． 【详解】解：A、任意画一个圆，它是轴对称图形，是必然事件的，符合题意； B、任意画一个三角形，其内角和是，（三角形内角和）则B项是不可能事件，不符合题意； C、如果，那么，是随机事件，不符合题意； D、甲、乙两人9次跳高成绩的方差分别为，，乙的成绩比甲的稳定，（方差越小越稳定）则D项是不可能事件，不符合题意； 故选：A． 6. 不透明的袋子中装有两个颜色分别为红、蓝的小球，除颜色外两个小球无其他差别从中随机摸出一个小球，记录其颜色，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其颜色，那么两次都摸到蓝色小球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图．根据题意，可以画出相应的树状图，然后即可求得相应的概率． 【详解】解：树状图如下所示， 由上可得，一共有种等可能性，其中两次都摸到蓝色小球的可能性有种， 两次都摸到蓝色小球的概率为， 故选：． 7. 若A（0，y1），B（﹣3，y2），C（3，y3）为二次函数y=﹣x2+4x﹣k的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A. y1＜y2＜y3 B. y2＜y1＜y3 C. y3＜y1＜y2 D. y1＜y3＜y2 【答案】B 【解析】 【分析】分别计算自变量为0、3、-3时的函数值，然后比较函数值的大小即可． 【详解】当x=0时，y1=-x2+4x-k=-k； 当x=-3时，y2=-x2+4x-k=-21-k； 当x=3时，y3=-x2+4x-k=3-k， 所以y2＜y1＜y3． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质． 8. ，是的切线，A，B是切点，点C是上不同于A、B的一个点，若，则的度数是（ ） A. B. C. 或 D. 80°或 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查圆的切线的性质、四边形的内角和、同弧所对的圆心角与圆周角的关系等知识．分情况讨论：C点在劣弧上或点C点在优弧上．连接过切点的半径，发现四边形，根据四边形的内角和定理求得的度数，进一步根据圆周角定理进行计算． 【详解】解：如图，连接、，在弧上任取一点C； ∵，是的切线，A、B为切点， 连接、， ∴， ∵， ∴在四边形中，可得； 则有①若C点在优弧上，则； ②若C点在优劣弧上，则． 故选C． 9. 如图，点是等边三角形的重心，，是边上一点，当时，则的长为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，三角形的重心性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形三线合一的性质和三角形的重心性质是解题的关键． 先由等边三角形的性质和三角形重心定义得，，是等边三角形的中线且，得出，再利用相似三角形的判定和性质即可求解． 【详解】解：∵点是等边三角形的重心，， ∴， ∵，是等边三角形的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 10. 如图，菱形的对角线、交于点，将绕着点C旋转得到，连接，则的长是(　　) A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、图形旋转的性质及勾股定理，解题的关键是利用菱形对角线互相垂直且平分的性质求出相关线段长度，结合旋转的性质确定直角三角形的直角边，再用勾股定理计算的长． 先根据菱形性质得，且、，求出、；再由旋转180°的性质得、、，计算；最后在中，用勾股定理求出的长． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∵绕着点C旋转得到， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 11. 如图，是等边三角形，点分别在边上，且与相交于点．若，则的边长等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先证明△ABD△BCE，推出∠BDA=∠FDB，BE= DA=8，再证明△BDA△FDB，利用相似三角形的性质求得BD=CE=，作EG⊥BC于G，根据解直角三角形的知识即可求解 【详解】∵是等边三角形，， ∴AB=BC，∠ABD=∠C=60， 在△ABD和△BCE中，， ∴△ABD△BCE， ∴∠BAD=∠CBE，BE= DA=1+7=8， ∵∠BDA=∠FDB， ∴△BDA△FDB， ∴，即， ∴BD=，则CE=BD=， 作EG⊥BC于G， ∵∠C=60， ∴CG=CE，EG=CE， 在Rt△BEG中，BG=， ∴BC= BG+ CG=， 故选：C 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，特殊角的三角函数值，等边三角形各边长相等、各内角为60°的性质．关键是利用了等边三角形的性质和相似三角形的判定和性质求解，有一定的综合性． 12. 如图，在平面直角坐标系中，的圆心坐标是，半径为3，函数的图象被截得的弦的长为，则a的值是（　　） A. 4 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】轴于C，交于D，作于E，连接，由于，，易得D点坐标为，则为等腰直角三角形，也为等腰直角三角形．由，根据垂径定理得，在中，利用勾股定理求得的长，即可求解． 【详解】作轴于C，交于D，作于E，连接，如图， ∵的圆心坐标是， ∴，， 把代入得， ∴D点坐标为， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴也为等腰直角三角形， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用，涉及圆的性质、垂径定理、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识点．求出P到x轴的距离、求得D点的坐标是解题的关键． 第II卷（非选择题） 二、填空题（共20分） 13. 若关于的一元二次方程的一个根为，则另一个根为______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据根与系数的关系求解即可． 【详解】解：设另一个根为，由题意得 ， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若为方程（a≠0）的两个根，则与系数的关系式：，． 14. 如图，⊙O的半径为10，弦AB的长为12，OD⊥AB，交AB于点D，交⊙O于点C，则CD=______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据垂径定理和勾股定理计算即可； 【详解】∵OD⊥AB，OD过圆心O， ∴， 由勾股定理可得： ， ∴； 故答案是2． 【点睛】本题主要考查了垂径定理和勾股定理的应用，准确计算是解题的关键． 15. 如图，菱形的对角线交于原点O，若点B的坐标为，点D的坐标为，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、中心对称的性质，根据菱形是中心对称图形，可得点D与点B关于原点成中心对称，根据中心对称的性质（横坐标与纵坐标互为相反数）可得结论． 【详解】解：∵四边形是菱形，且对角线交于原点O， ∴点与点关于原点成中心对称， ， ． 故答案为：． 16. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，P是以点为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段的中点，连接，则线段的最大值是 ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与轨迹圆综合，中位线定理以及勾股定理，熟练掌握二次函数与轨迹圆最值问题是解题的关键．连接、，利用勾股定理可得，可知是的中位线，则，当B、C、P三点共线，且点C在之间时，最大，则此时最大，求解即可． 【详解】解：如图，连接、， 令，则， 故点， ∵， ∴， 设圆的半径为，则， ∵点Q、O分别为、的中点， ∴是的中位线， ∴， 当B、C、P三点共线，且点C在之间时，最大， 则此时最大， 此时， 故答案为：． 三、解答题（共70分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，掌握运算顺序和计算法则正确计算是解题关键．根据绝对值的意义，零指数幂及锐角三角函数分别化简，然后进行计算． 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，以及分母有理化，先通分括号内，再运算除法，得，再把代入，即可作答． 【详解】解： 把代入 得 19. 在学校开展的“学习交通安全知识，争做文明中学生”主题活动月中，学校德工处随机选取了该校部分学生，对闯红灯情况进行了一次调查，调查结果有三种情况：A．从不闯红灯；B．偶尔闯红灯；C经常闯红灯．德工处将调查的数据进行了整理，并绘制了尚不完整的统计图如下，请根据相关信息，回答下列问题： （1）本次活动共调查了多少名学生； （2）请补全（图二），并求（图一）中 B区域的圆心角的度数； （3）若该校有2400名学生，请估算该校不严格遵守信号灯指示的人数． 【答案】（1）200名； （2）补全图二： 108°． （3）960人 【解析】 【分析】（1）根据总数=频数÷百分比，可得共调查的学生数. （2）B区域的学生数=总数减去A、C区域的人数即可；再根据百分比=频数÷总数计算可得最喜爱甲类图书的人数所占百分比，从而求出B区域的圆心角的度数. （3）用总人数乘以样本的百分比即可解答. 【详解】（1）∵（名）， ∴本次活动共调查了200名学生． （2）∵200﹣120﹣20=60（名）， ∴B区域的圆心角的度数是108°． （3）∵（人）， ∴估计该校不严格遵守信号等指示的人数为960人. 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 20. 如图，圆内接四边形是的直径，交于点，． （1）求证：点为的中点； （2）若，求． 【答案】（1） 证明：是的直径，， ，即点为的中点． （2）2 【解析】 【分析】（1）利用垂径定理的推论证明即可． （2）利用垂径定理，勾股定理解答即可． 本题考查了垂径定理，勾股定理，圆的性质，熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：是的直径，， ， ， ， ， ， ． 21. 如图，某研究性学习小组在一次综合实践活动中发现如下问题：在距大楼BG底部45米的A处，测得大厦DH上悬挂的条幅底端C的仰角为55°，在楼顶B处测得条幅顶端D的仰角为45°，若条幅CD的长度为33米，楼BG的高为10米，请你帮助他们求出大厦的高度DH(结果精确到0.1米)．(参考数据：tan55°≈1.4，sin55°≈0.8) 【答案】110.0m 【解析】 【分析】过点B作BE⊥DH，垂足为E，则∠BEH=90°．推出四边形BGHE为矩形，根据矩形的性质得到BG=EH=10m，BE=GH，AG=45m．设BE=xm，则BE=GH=xm，AH=(x-45)m，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：如图：过点B作BE⊥DH，垂足为E，则∠BEH=90°． ∵BG⊥GH，EH⊥GH，∠BEH=∠DHG=90°， ∴四边形BGHE为矩形， ∴BG=EH=10m，BE=GH，AG=45m． 设BE=xm，则BE=GH=xm，AH=(x-45)m． ∵在Rt△BED中，∠DBE=45°， ∴DE=BE=xm， 则CE=(x-33)m，CH=(x-23)m， 在Rt△AHC中，∠CAH=55°， ， ∴， 解得x=100， 经检验x=100是原方程的解， ∴DH=DE+EH=110.0(m)， 答：大厦的高度DH约为110.0m． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用--仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 22. 某乡镇实施产业扶贫，帮助贫困户销售某种农产品，成本为8元/千克，每天销售y（千克）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示． （1）求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）如果规定每天农产品的销售量不低于120千克，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？ （3）调查市场行情发现，因农产品属于季节性产品，需从每天的销售利润中拿出50元用于农产品的储存，为了保证每天剩余利润不低于1000元，试确定该农产品销售单价的范围． 【答案】（1） （2）当销售单价为18元时，每天获取的利润最大，最大利润是元； （3）当时，拿出50元后每天剩余利润不低于元． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用、一次函数的应用和一元二次方程的应用，利用函数增减性得出最值是解题关键，能从实际问题中抽象出二次函数模型是解答本题的重点和难点． （1）可用待定系数法来确定与之间的函数关系式； （2）根据利润销售量单件的利润，然后将（1）中的函数式代入其中，求出利润和销售单件之间的关系式，然后根据其性质来判断出最大利润； （3）首先得出与的函数关系式，进而利用所获利润等于元时，对应的值，根据增减性，求出的取值范围即可． 【小问1详解】 解：设y与x之间的函数关系式为， ∴ ． 故与之间的函数关系式为：， 由，可得， 解得：， ∴； 【小问2详解】 由题意，得 ， 解得， ∴， 设利润为， ， ∵， ∴时，w随x的增大而增大， ∴时，， 答：当销售单价为18元时，每天获取的利润最大，最大利润是元； 【小问3详解】 拿出50元每天剩余利润， 依题意得：， ∴， 解得：，， 当时：如图， ∴当时，捐款后每天剩余利润不低于元． 23. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，过A、B两点的抛物线与x轴交于另一点． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线上是否存在一点P，使？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； （3）点M为直线下方抛物线上一点，点N为y轴上一点，当的面积最大时，求的最小值． 【答案】（1）；（2）存在点P，点P坐标为（2＋，1＋）或（2−，1−）或（2，−3）；（3）＋ 【解析】 【分析】（1）分别求出A、B坐标，然后将A、B、C三点坐标代入抛物线，即可得出其解析式； （2）首先假设存在点P，然后分点P在直线AB上方时和点P在直线AB下方时两种情况讨论，即可得解； （3）过点M作MF⊥AC，交AB于F，设点M（m，），则点F（m，m−2），可求MF的长，由三角形面积公式可求△MAB的面积＝−（m−2）2＋4，利用二次函数的性质可求点M坐标，过点O作∠KOB＝30°，过点N作KN⊥OK于K点，过点M作MP⊥OK于P，延长MF交直线KO于Q，由直角三角形的性质可得KN＝ON，可得MN＋ON＝MN＋KN，则当点M，点N，点K三点共线，且垂直于OK时，MN＋ON有最小值，即最小值为MP，由直角三角形的性质可求解． 【详解】（1）由题意，令，即 ∴A的坐标为（4,0） 令，即 ∴B的坐标为（0，-2） 将A、B、C三点坐标代入抛物线，得 解得 ∴抛物线解析式为：； （2）如图1，当点P在直线AB上方时，过点O作OP∥AB，交抛物线于点P， ∵OP∥AB， ∴△ABP和△ABO是等底等高的两个三角形， ∴S△PAB＝S△ABO， ∵OP∥AB， ∴直线PO的解析式为y＝x， 联立方程组可得， 解得：或， ∴点P（2＋，1＋）或（2−，1−）； 当点P"在直线AB下方时，在OB的延长线上截取BE＝OB＝2，过点E作EP"∥AB，交抛物线于点P"，连接AP"，BP"， ∴AB∥EP"∥OP，OB＝BE， ∴S△AP"B＝S△ABO， ∵EP"∥AB，且过点E（0，−4）， ∴直线EP"解析式为y＝x−4， 联立方程组可得， 解得， ∴点P"（2，−3）， 综上所述：点P坐标为（2＋，1＋）或（2−，1−）或（2，−3）； （3）如图2，过点M作MF⊥AC，交AB于F， 设点M（m，），则点F（m，m−2）， ∴MF＝m−2−（）＝−（m−2）2＋2， ∴△MAB的面积＝×4×[−（m−2）2＋2]＝−（m−2）2＋4， ∴当m＝2时，△MAB的面积有最大值， ∴点M（2，−3）， 如图3，过点O作∠KOB＝30°，过点N作KN⊥OK于K点，过点M作MP⊥OK于P，延长MF交直线KO于Q， ∵∠KOB＝30°，KN⊥OK， ∴KN＝ON， ∴MN＋ON＝MN＋KN， ∴当点M，点N，点K三点共线，且垂直于OK时，MN＋ON有最小值，即最小值为MP， ∵∠KOB＝30°， ∴直线OK解析式为y＝x， 当x＝2时，点Q（2，2）， ∴QM＝2＋3， ∵OB∥QM， ∴∠PQM＝∠PON＝30°， ∴PM＝QM＝＋， ∴MN＋ON的最小值为＋． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，直角三角形的性质，平行线的性质，垂线段最短等知识，利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来是本题的关键． 24. （1）如图1，在矩形中，，，点E是上的一点，连接，，若，则的值为______； （2）如图2，在四边形中，，点E为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点G，交的延长线于点F，求证：； （3）如图3，在中，，，，将沿翻折，点A落在点C处，得到，点E，F分别在边，上，连接，，若，求的值． 【答案】（1）； （2）如图2，过点C作交的延长线于点H， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）证明，根据相似三角形的性质计算即可； （2）过点C作交的延长线于点H，证明，列出比例式，即可求解； （3）过点C作于点G，连接交于点H，与相交于点O，根据正切的定义得到，根据勾股定理分别求出，根据三角形的面积公式求出，计算即可． 【详解】解：（1）如图，设与交于点G， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，而，， ∴； （2）略 （3）如图，过点C作于点G，连接交于点H，与相交于点O， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，，，， ∴， 由轴对称的性质可得：，， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴（负值已舍去）， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是相似综合题，考查的是相似三角形的判定和性质以及矩形的判定与性质，锐角三角函数的应用，灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理及作出合理的辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $