专题9.7 图形的变换（全章中考常考点分类专题）-2024-2025学年七年级数学下册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题9.7 图形的变换（全章中考常考点分类专题） 第一部分【题型目录】 【考点1】平移、旋转、轴对称图形的识别.............................................1 【考点2】利用平移的性质求解.......................................................2 【考点3】利用平移的性质证明.......................................................3 【考点4】利用轴对称的性质求解.....................................................4 【考点5】利用轴对称的性质求最值...................................................5 【考点6】利用轴对称的性质解决折叠问题.............................................6 【考点7】根据旋转的性质求解.......................................................7 【考点8】根据旋转的性质证明.......................................................7 【考点9】图形旋转的规律探究.......................................................8 【考点10】图形变换综合探究.......................................................10 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点1】平移、旋转、轴对称图形的识别 1．（2024·江苏徐州·中考真题）古汉字“雷”的下列四种写法，可以看作轴对称图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   2．（2024·江苏盐城·中考真题）下列四幅图片中的主体事物，在现实运动中属于翻折的是（    ） A．工作中的雨刮器 B．移动中的黑板 C．折叠中的纸片 D．骑行中的自行车 3．（2020·山东枣庄·中考真题）如图的四个三角形中，不能由经过旋转或平移得到的是（    ） A． B． C． D． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，是由经过变换得到的，则这个变换过程可能是（   ） A．平移 B．轴对称 C．旋转 D．平移后轴对称 【考点2】利用平移的性质求解 1．（2024·山东东营·中考真题）如图，将沿方向平移得到，若的周长为，则四边形的周长为 ． 2．（2023·内蒙古通辽·中考真题）如图，用平移方法说明平行四边形的面积公式时，若平移到，，，则的平移距离为（    ）    A．3 B．4 C．5 D．12 3．（2023·四川南充·中考真题）如图，将沿向右平移得到，若，，则的长是（    ）    A．2 B． C．3 D．5 4．（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，在锐角中，，将沿着射线方向平移得到（平移后点A，B，C的对应点分别是点（，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则不可能的值为（　　） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·云南大理·期中）如图，将直角三角形沿方向平移得到直角三角形，已知，，，则图中阴影部分的面积为 ． 【考点3】利用平移的性质证明 1．（22-23八年级下·全国·假期作业）如图，△ABC是等边三角形，将△ABC沿直线BC向右平移，使点B与点C重合得到△DCE，连接BD交AC于点F．猜想AC与BD的位置关系，并证明你的结论． 2．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）1.实践与操作：如图，平移三角形，使点平移到点，画出平移后的三角形 （点平移到，点平移到，保留画图痕迹，在图中标明相应字母，不写作法）； 推理与证明： （1）由平移可知，且．其依据是： ； （2）证明：． 3．（22-23七年级下·江西南昌·期末）将三角形沿射线方向平移到三角形的位置．  （1）如图1，当点D与点B重合时． 判断：_______；（用“＞”、“＝”、“＜”填空） （2）如图2，当点D与点B不重合时，连接，．试探究，，三个角之间的数量关系，并证明你的结论． 【考点4】利用轴对称的性质求解 1．（2024·河北·中考真题）如图，与交于点O，和关于直线对称，点A，B的对称点分别是点C，D．下列不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，与关于所在的直线成轴对称，B，D，C三点共线．若，则的周长为 ． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，的边关于的对称线段是，边关于的对称线段是，连接．若点落在所在的直线上，，求的度数． 4．（24-25八年级上·全国·期末）如图，点是外的一点，点，分别是两边上的点，点关于的对称点落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上，若，，其中，试求的值．（用和表示） 【考点5】利用轴对称的性质求最值 1．（23-24九年级上·山东淄博·阶段练习）如图，在锐角三角形中，，的面积为10，平分，若M、N分别是、上的动点，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．4.5 D．6 2．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在中，，，，，点是上的一个动点（点与点不重合），连接，作点关于直线的对称点，当点在的下方时，连接、，则面积的最大值为 ． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，点在的外部，作点关于的对称点，关于的对称点，连接并延长，交于点，交于点，连接，． （1）若，，求的度数； （2）若，，，为射线上的任意一点，求周长的最小值． 【考点6】利用轴对称的性质解决折叠问题 1．（2022·江苏镇江·中考真题）如图，有一张平行四边形纸片，，，将这张纸片折叠，使得点落在边上，点的对应点为点，折痕为，若点在边上，则长的最小值等于 ． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，点D，E分别在的边上，将沿直线折叠后，点C与点A重合．若，的周长为17，则线段的长为 ． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图①所示的是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图②，再沿折叠成图③． （1）求图②中的度数； （2）探索图③中与的位置关系，并说明理由． 【考点7】根据旋转的性质求解 1．（2023·湖南张家界·中考真题）如图，为的平分线，且，将四边形绕点逆时针方向旋转后，得到四边形，且，则四边形旋转的角度是 ．    2．（24-25九年级上·北京·期中）如图，将长方形绕其顶点顺时针转到如图所示的位置，则旋转角可以为（   ） A． B． C． D． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）如下图，将绕点O按逆时针方向旋转得到，． （1）写出点A，B的对应点； （2）求的度数． 【考点8】根据旋转的性质证明 1．（24-25九年级上·广东·期中）如图，由绕点旋转而得到，则下列结论不成立的是（      ） A．点与点是对应点 B． C． D． 2．（22-23七年级上·上海闵行·阶段练习）在直角三角形ABC中，，，将绕若点B旋转，使点C落在直线上的点D处，则线段 ． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）如图1，将一副三角板的两个直角顶点重合在一起放置． （1）当时，______；当时，______； （2）如图1，与的大小关系如何？请说明理由； （3）若把三角板绕点O顺时针旋转到图2的位置时，（2）中的结论还成立吗？为什么？ 【考点9】图形旋转的规律探究 1．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图是一个装饰灯，每绕对称中心顺时针旋转度就闪烁一次，此图为第一次闪烁，照此规律闪烁，第次闪烁呈现出来的图形是（　　）    A．   B．   C．   D．   2．（21-22七年级下·四川宜宾·期末）如图，在直角三角形中，，，，且在直线上，将绕点顺时针旋转到位置①得到点，将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②得到点，，按此规律继续旋转，直到得到点为止（，，在直线上）．则： ． 3．（23-24七年级上·河南郑州·期末）将一副直角三角板（分别含，，和，，的角）叠放在量角器上，、分别平分和． 特例感知： （1）如图1，若点A、O、D在同一直线上，边与量角器（刻度线重合，边与量角器刻度线重合，则_________； 规律探究： （2）如图2，若两直角三角板有重叠时， ①当时，求的度数； ②当，则_________（含的式子表示）； 解决问题： （3）图1的条件下，将三角板绕点O顺时针旋转，平均每秒旋转，将三角板绕点O逆时针旋转，平均每秒旋转，两三角板同时旋转，当第一次与重合，两三角板同时停止旋转，设旋转时间为t秒，在旋转过程中，是否存在某一时刻与两角平分线的夹角为，若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【考点10】图形变换综合探究 1．（2024·天津·三模）如图，将 沿射线的方向平移，得到， 再将绕点逆时针旋转 一定角度后，得到，点B的对应点为C，  点的对应点为点D，  则下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D．平分 2．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在中，，，将沿折叠，点A落在点处，，再将绕点D逆时针旋转，旋转角为，当旋转至与的一边平行时，α的度数为 ． 3．（22-23七年级上·广东佛山·期末）如图，中与交于点D，E是边上的一个动点，将沿着进行折叠后射线与边交于点F，将射线绕点D逆时针旋转后与边交于点G，若，则 ． 4．（22-23七年级下·浙江嘉兴·阶段练习）如图，在三角形中，点，分别在边，上，将三角形沿折叠，使点落在点处，将线段沿着向右平移若干单位长度后恰好能与边重合，连接．若，则阴影部分的周长为 ．    1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题9.7 图形的变换（全章中考常考点分类专题） 第一部分【题型目录】 【考点1】平移、旋转、轴对称图形的识别.............................................1 【考点2】利用平移的性质求解.......................................................3 【考点3】利用平移的性质证明.......................................................7 【考点4】利用轴对称的性质求解....................................................10 【考点5】利用轴对称的性质求最值..................................................12 【考点6】利用轴对称的性质解决折叠问题............................................16 【考点7】根据旋转的性质求解......................................................18 【考点8】根据旋转的性质证明......................................................20 【考点9】图形旋转的规律探究......................................................23 【考点10】图形变换综合探究.......................................................26 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点1】平移、旋转、轴对称图形的识别 1．（2024·江苏徐州·中考真题）古汉字“雷”的下列四种写法，可以看作轴对称图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 2．（2024·江苏盐城·中考真题）下列四幅图片中的主体事物，在现实运动中属于翻折的是（    ） A．工作中的雨刮器 B．移动中的黑板 C．折叠中的纸片 D．骑行中的自行车 【答案】C 【分析】本题考查了折叠，根据折叠的定义逐项判断即可求解，掌握折叠的定义是解题的关键． 解：、工作中的雨刮器，属于旋转，不合题意； 、移动中的黑板，属于平移，不合题意； 、折叠中的纸片，属于翻折，符合题意； 、骑行中的自行车，属于平移，不合题意； 故选：． 3．（2020·山东枣庄·中考真题）如图的四个三角形中，不能由经过旋转或平移得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转和平移的性质逐个判断即可． 解：A选项可以通过旋转得到，不符合题意； B选项通过轴对称得到，不能通过旋转或平移得到，符合题意； C选项可以通过旋转和平移得到，不符合题意； D选项可以通过旋转和平移得到，不符合题意． 故选：B 【点拨】本题考查了几何变换，解题关键是熟练掌握几何变换图形，树立空间观念，准确识图． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，是由经过变换得到的，则这个变换过程可能是（   ） A．平移 B．轴对称 C．旋转 D．平移后轴对称 【答案】D 【分析】本题考查了平移的性质和轴对称的性质．需要注意的是：平移前后图形的大小、形状都不改变．根据平移的性质和轴对称的性质，结合图形的变换特点进行判断即可． 解：根据图形的变换特点可知，是由先平移，再作轴对称得到的． 故选D． 【考点2】利用平移的性质求解 1．（2024·山东东营·中考真题）如图，将沿方向平移得到，若的周长为，则四边形的周长为 ． 【答案】30 【分析】本题主要考查了平移的性质、三角形周长等知识点，掌握平移的性质及等量代换成为解题的关键． 由平移的性质可得,,再根据的周长为可得，然后根据四边形的周长公式及等量代换即可解答． 解：∵将沿方向平移得到， ∴,, ∵的周长为， ∴,即， ∴四边形的周长为． 故答案为：30． 2．（2023·内蒙古通辽·中考真题）如图，用平移方法说明平行四边形的面积公式时，若平移到，，，则的平移距离为（    ）    A．3 B．4 C．5 D．12 【答案】B 【分析】根据平移的方向可得，平移到，则点与点重合，故的平移距离为的长． 解：用平移方法说明平行四边形的面积公式时，将平移到， 故平移后点与点重合，则的平移距离为， 故选：B． 【点拨】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 3．（2023·四川南充·中考真题）如图，将沿向右平移得到，若，，则的长是（    ）    A．2 B． C．3 D．5 【答案】A 【分析】利用平移的性质得到，即可得到的长． 解：∵沿方向平移至处． ∴， 故选：A． 【点拨】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等． 4．（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，在锐角中，，将沿着射线方向平移得到（平移后点A，B，C的对应点分别是点（，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则不可能的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，一元一次方程的应用．根据的平移过程，分点在上和点在外两种情况，根据平移的性质得到，根据平行线的性质得到和和之间的等量关系，列出方程求解即可． 解：第一种情况：如图，当点在上时，过点作， 由平移得到， ， ， ， ①当时， 设，则， ∵ ， ， ， 解得：， ， ②当时， 设，则， ， ， ， 解得：， ； 第二种情况：当点在外时，过点作， 由平移得到， ， ， ， ①当时， 设，则， ， ， ， 解得：， ②当时， 由图可知，，故不存在这种情况， 综上所述，或或． 故选：C． 5．（24-25八年级上·云南大理·期中）如图，将直角三角形沿方向平移得到直角三角形，已知，，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】22 【分析】本题主要考查平移的性质，根据平移的性质可得，，，推出阴影部分的面积，即可求解． 解：由平移的性质得，，，， 为和的公共部分， 阴影部分的面积， ，， ， ， 阴影部分的面积为22． 故答案为：22． 【考点3】利用平移的性质证明 1．（22-23八年级下·全国·假期作业）如图，△ABC是等边三角形，将△ABC沿直线BC向右平移，使点B与点C重合得到△DCE，连接BD交AC于点F．猜想AC与BD的位置关系，并证明你的结论． 【答案】AC⊥BD．证明见分析 解：AC⊥BD．证明如下： ∵△ABC是等边三角形， ，． ∵△DCE是由△ABC平移得到的， ，， ． 又， ， ，． 2．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）1.实践与操作：如图，平移三角形，使点平移到点，画出平移后的三角形 （点平移到，点平移到，保留画图痕迹，在图中标明相应字母，不写作法）； 推理与证明： （1）由平移可知，且．其依据是： ； （2）证明：． 【答案】实践与操作：见分析；推理与证明：（1）对应点连线平行且相等；（2）见分析 【分析】此题考查作图—平移变换，关键是利用平移的性质解答． 实践与操作：根据平移变换的定义画图可得． 推理与证明：（1）根据平移变换的性质可得答案； （2）根据平移的性质得，推出即由可得结论 解：实践与操作： 如图所示，即为所求， 推理与证明： （1）由平移可知，且． 其依据是：对应点连线平行且相等； 故答案为：对应点连线平行且相等； （2）证明：由， ∴ ∴ 又 ∴， ∴ ∴． 3．（22-23七年级下·江西南昌·期末）将三角形沿射线方向平移到三角形的位置．  （1）如图1，当点D与点B重合时． 判断：_______；（用“＞”、“＝”、“＜”填空） （2）如图2，当点D与点B不重合时，连接，．试探究，，三个角之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）=；（2）或，见分析 【分析】（1）根据平移的性质得出结论； （2）根据点D的位置可分为点D在点左边和点在点右边两种情形，利用平行线的性质得出结果． 解：（1）解：，理由如下： ∵三角形是由三角形平移得到， ∴， ∴； （2）解：根据点D的位置可分为两种情形， ① 若点D在点左边，如图．      由平移的性质可得：，，， ∵， ∴， ∴． ②    若点在点右边，如图：    由平移的性质可得：，，， ∵， ∴， ∴． 【点拨】本题主要考查图形的平移和平行线的性质，灵活运用这些性质和特点是解题的关键. 【考点4】利用轴对称的性质求解 1．（2024·河北·中考真题）如图，与交于点O，和关于直线对称，点A，B的对称点分别是点C，D．下列不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形的性质，平行线的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据轴对称图形的性质即可判断B、C选项，再根据垂直于同一条直线的两条直线平行即可判断选项D． 解：由轴对称图形的性质得到，， ∴， ∴B、C、D选项不符合题意， 故选：A． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，与关于所在的直线成轴对称，B，D，C三点共线．若，则的周长为 ． 【答案】10 【分析】本题考查的是轴对称的性质，根据轴对称的性质可得，，再进一步求解即可． 解：∵与关于所在的直线成轴对称，， ∴，， ∴的周长为． 故答案为：10． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，的边关于的对称线段是，边关于的对称线段是，连接．若点落在所在的直线上，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查轴对称的性质，及三角形全等的判定及性质，根据对称性可判断出，先求出，再根据对称的性质判断，最后根据即可求解． 解：如图，连接，设与的交点为O． 因为关于的对称线段是， 所以． 因为， 所以 因为边关于的对称线段是， 所以， 所以， 所以， 所以． 又因为点落在所在的直线上，， 所以， 所以， 所以． 4．（24-25八年级上·全国·期末）如图，点是外的一点，点，分别是两边上的点，点关于的对称点落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上，若，，其中，试求的值．（用和表示） 【答案】 【分析】本题考查轴对称的性质，掌握轴对称的性质是解题的关键．由轴对称的性质可得，，推出，即可得到答案． 解：点关于的对称点落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上 ， 【考点5】利用轴对称的性质求最值 1．（23-24九年级上·山东淄博·阶段练习）如图，在锐角三角形中，，的面积为10，平分，若M、N分别是、上的动点，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．4.5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了利用轴对称解决线段最短问题， 垂线段最短． 作N关于的对称点，连结，与交于点O，过点C作于点E，根据角平分线的性质可得，则，根据两点之间线段最短可得的最小值为，再根据垂线段最短，的最小值为C点到的垂线段的长度，最后由的面积求出，即可求解． 解：如图，作N关于的对称点，连结，与交于点O，过C作于E， ∵平分 ∴在上，且 ∴， ∴根据两点之间线段最短可得 的最小值为，即C点到线段某点的连线， ∴根据垂线段最短，的最小值为C点到的垂线段的长度， ∵ 的面积为 10 ∴ ∴ 故选B． 2．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在中，，，，，点是上的一个动点（点与点不重合），连接，作点关于直线的对称点，当点在的下方时，连接、，则面积的最大值为 ． 【答案】16 【分析】连接交于，利用对称性质可得，根据垂线段最短，当时，最小，则最大，即点到的距离最大，此时面积最大，利用三角形的面积求解即可． 解：连接交于，如图，    ∵点B关于直线的对称点是E， ∴， 当时，最小，则最大，即点到的距离最大，此时面积最大， 由得， ∴， ∴面积的最大值为． 故答案为：． 【点拨】本题考查轴对称性质、垂线段最短、三角形的面积等知识，能得出当时面积最大是解答的关键． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，点在的外部，作点关于的对称点，关于的对称点，连接并延长，交于点，交于点，连接，． （1）若，，求的度数； （2）若，，，为射线上的任意一点，求周长的最小值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查轴对称的性质，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等： （1）设与的交点为点，根据轴对称的性质得，由可得结论； （2）连接，，，根据轴对称的性质知，当，，三点共线时，有最小值，为的长，从而可求周长的最小值． 解：（1）解：设与的交点为点， ∵点，关于对称， ∴，， ∴， ∴． ∵点，关于对称， ∴， ∴， ∴． （2）解：连接，，，如图所示． ∵点，关于对称， ∴，， ∴． ∵为定值， ∴要使周长最小，即的值最小． ∵， ∴当，，三点共线时，有最小值，为的长， ∴此时点与点重合． ∵点，关于对称， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴周长的最小值为． 【考点6】利用轴对称的性质解决折叠问题 1．（2022·江苏镇江·中考真题）如图，有一张平行四边形纸片，，，将这张纸片折叠，使得点落在边上，点的对应点为点，折痕为，若点在边上，则长的最小值等于 ． 【答案】2 【分析】根据题意，，当点与点重合时，符合题意，据此即可求解． 解：∵将这张纸片折叠，使得点落在边上，点的对应点为点， ∴， 而, 当点与点重合时，，此时的长最小， ∴． 故答案为：2． 【点拨】本题考查了折叠的性质，理解当点与点重合时的长最小是解题的关键． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，点D，E分别在的边上，将沿直线折叠后，点C与点A重合．若，的周长为17，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换，三角形的周长，由翻折可得，进而得到，即可求解，根据题意得出是解题的关键． 解：∵点D，E分别在的边上，将沿直线折叠后，点C与点A重合， ∴， ∵，的周长为17， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图①所示的是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图②，再沿折叠成图③． （1）求图②中的度数； （2）探索图③中与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2），理由见分析 【分析】本题考查了平行线的性质和折叠的性质，能灵活运用平行线的性质进行推理和计算是解此题的关键． （1）根据平行线的性质得出，再求出答案即可； （2）由，根据平行线的性质得出，，根据折叠的性质以及角的和差可得，即可得与的位置关系． 解：（1）解：由折叠可知，， 因为， 所以， 所以； （2）解：．理由如下： 因为，， 所以， 由（1）可知，， 所以， 所以， 所以． 【考点7】根据旋转的性质求解 1．（2023·湖南张家界·中考真题）如图，为的平分线，且，将四边形绕点逆时针方向旋转后，得到四边形，且，则四边形旋转的角度是 ．    【答案】 【分析】根据角平分线的性质可得，根据旋转的性质可得，，求得，即可求得旋转的角度． 解：∵为的平分线，， ∴， ∵将四边形绕点逆时针方向旋转后，得到四边形， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点拨】本题考查了角平分线的性质，旋转的性质，熟练掌握以上性质是解题的关键． 2．（24-25九年级上·北京·期中）如图，将长方形绕其顶点顺时针转到如图所示的位置，则旋转角可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，由四边形是长方形，，由旋转性质可知，，旋转角为，然后根据角度和差即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键． 解：如图， ∵四边形是长方形， ∴， 由旋转性质可知，，旋转角为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）如下图，将绕点O按逆时针方向旋转得到，． （1）写出点A，B的对应点； （2）求的度数． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是本题的关键． （1）由旋转的性质可得； （2）由旋转的性质可得，即可求解． 解：（1）解：将绕点按逆时针方向旋转后得到， 点的对应点，点的对应点； （2）解：因为将绕点按逆时针方向旋转得到，所以， 所以． 【考点8】根据旋转的性质证明 1．（24-25九年级上·广东·期中）如图，由绕点旋转而得到，则下列结论不成立的是（      ） A．点与点是对应点 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是旋转变换图形所具有的性质—不变性质，解题的关键是掌握旋转的性质． 根据旋转的性质可得，即可解答本题． 解：根据旋转的性质，由绕点旋转而得到，的对应角是，因此C不正确， 故选：C． 2．（22-23七年级上·上海闵行·阶段练习）在直角三角形ABC中，，，将绕若点B旋转，使点C落在直线上的点D处，则线段 ． 【答案】2或10/10或2 【分析】分点C落在线段上的点D处和点C落在线段延长线上的点D处两种情况讨论，根据旋转性质求出，即可求出线段． 解：如图1，当点C落在线段上的点D处时， ∵绕若点B旋转得到， ∴， ∴； 如图2，当点C落在线段延长线上的点D处时， ∵绕若点B旋转得到， ∴， ∴． 故答案为：2或10 【点拨】本题考查了旋转的性质，旋转前后的对应点到旋转中心的距离相等，熟知旋转的性质是解题关键，注意本题要分类讨论． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）如图1，将一副三角板的两个直角顶点重合在一起放置． （1）当时，______；当时，______； （2）如图1，与的大小关系如何？请说明理由； （3）若把三角板绕点O顺时针旋转到图2的位置时，（2）中的结论还成立吗？为什么？ 【答案】（1），；（2）．理由见分析；（3）成立．理由见分析 【分析】本题主要考查了余角和补角、角的计算，熟练掌握角之间的关系是解题的关键． （1），于是，然后把代入计算即可； （2）由互余两角的关系得出结论即可； （3）由角的关系即可得出结论． 解：（1）解：根据题意得：， ， 当时，； 当时，； 故答案为：，； （2）解：，理由如下： ； （3）解：成立，，理由如下： ， ， ． 【考点9】图形旋转的规律探究 1．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图是一个装饰灯，每绕对称中心顺时针旋转度就闪烁一次，此图为第一次闪烁，照此规律闪烁，第次闪烁呈现出来的图形是（　　）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】考查了图形的旋转，首先观察图案得出每旋转一次的度数， 然后得出每几次旋转一周，由2024÷4即可由阴影所处的位置可得相应选项，注意通过特殊例子发现规律是解题关键． 解：由题意，得每旋转一次，旋转角为，即每4次旋转一周． ∵， 即第次与第1次的图案相同． 故选：C． 2．（21-22七年级下·四川宜宾·期末）如图，在直角三角形中，，，，且在直线上，将绕点顺时针旋转到位置①得到点，将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②得到点，，按此规律继续旋转，直到得到点为止（，，在直线上）．则： ． 【答案】8093 【分析】观察发现，每旋转3次为一个循环组依次循环，用2021除以3求出循环组数，然后列式计算即可得解． 解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，AB=5， ∴将△ABC绕点A顺时针旋转到①，可得到点，此时； 将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，可得到点，此时； 将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③，可得到点，此时； 又∵2023÷3=， ∴， 故答案为：8093． 【点拨】本题考查了旋转的性质及图形的规律问题，得到AP的长度依次增加5，4，3，且三次一循环是解题的关键． 3．（23-24七年级上·河南郑州·期末）将一副直角三角板（分别含，，和，，的角）叠放在量角器上，、分别平分和． 特例感知： （1）如图1，若点A、O、D在同一直线上，边与量角器（刻度线重合，边与量角器刻度线重合，则_________； 规律探究： （2）如图2，若两直角三角板有重叠时， ①当时，求的度数； ②当，则_________（含的式子表示）； 解决问题： （3）图1的条件下，将三角板绕点O顺时针旋转，平均每秒旋转，将三角板绕点O逆时针旋转，平均每秒旋转，两三角板同时旋转，当第一次与重合，两三角板同时停止旋转，设旋转时间为t秒，在旋转过程中，是否存在某一时刻与两角平分线的夹角为，若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）①，②，（3）存在，t的值为或秒，理由见分析． 【分析】（1）本题由角平分线性质可知，，再利用，即可解题． （2）①本题由题意得到，根据，，得到，，再利用，即可解题． ②本题求解过程与①类似． （3）本题根据与两角平分线的夹角为，分为以下两种情况①与相遇前，②与相遇后，再根据旋转过程中的等量关系，建立等式求解，即可解题． 解：（1）解：、分别平分和 ，， ， 故答案为：． （2）解：①， ， ，， ． ②， ， ，， ， 故答案为：． （3）解：存在，t的值为或秒，理由如下： 由题知， 与两角平分线的夹角为， ①与相遇前， 由（2）②可知， 即，解得秒， ②与相遇后， 记旋转到，旋转到，且， 有， 即有，解得秒， 综上所述， t的值为或秒． 【点拨】本题考查角平分线的性质、代数式的相关知识、角的运算、旋转的性质，解题的关键在于找出几何图形中角度的数量关系． 【考点10】图形变换综合探究 1．（2024·天津·三模）如图，将 沿射线的方向平移，得到， 再将绕点逆时针旋转 一定角度后，得到，点B的对应点为C，  点的对应点为点D，  则下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D．平分 【答案】A 【分析】本题主要考查了平移和旋转的性质，解决问题的关键是掌握：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． 据图形平移和旋转的性质进行判断，即可得出结论． 解：A、由旋转的性质可得，，，，又与不一定相等，与不一定相等，与不一定平行，故此选项不一定正确，符合题意； B、由平移的性质可得，，，故此选项正确，不合题意； C、由旋转的性质可得，，，故此选项正确，不合题意； D、由旋转的性质可得，，，，，平分，故此选项正确，不合题意； 故选：A． 2．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在中，，，将沿折叠，点A落在点处，，再将绕点D逆时针旋转，旋转角为，当旋转至与的一边平行时，α的度数为 ． 【答案】或． 【分析】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，先求出图1中，再和分两种情况，根据平行线的性质求解即可． 解：如图所示，由折叠的性质可得， ∴； 如图所示，当时， ∴ ∴； 如图所示，当时， ∴ ∴ 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 3．（22-23七年级上·广东佛山·期末）如图，中与交于点D，E是边上的一个动点，将沿着进行折叠后射线与边交于点F，将射线绕点D逆时针旋转后与边交于点G，若，则 ． 【答案】或/或 【分析】本题主要考几何变换中旋转和轴对称的综合题目，抓住旋转角和轴对称的性质是解题的关键，抓住AD是的角平分线和， 再利用方程思想求解，最后注意点G可能在线段上，也可能在线段上，分类讨论即可． 解：如图，当点G在线段上， ∵， ∴设，则， ∴， ∵将沿着进行折叠后射线与边交于点F， ∴， ∵将射线绕点D逆时针旋转， ∴， ∵， ∴7， ∴， ∴． 如下图所示：当点G在线段上时， 同理可得：， ∴， ∴， 故答案为：或． 4．（22-23七年级下·浙江嘉兴·阶段练习）如图，在三角形中，点，分别在边，上，将三角形沿折叠，使点落在点处，将线段沿着向右平移若干单位长度后恰好能与边重合，连接．若，则阴影部分的周长为 ．    【答案】 【分析】由折叠性质得，由平移的性质可得，，，再由，可得四边形的周长为：． 解：∵沿折叠点落在点处， ∴， ∵沿向右平移若干单位长度后恰好能与边重合， ∴， ∵， ∴，， ∴阴影部分的周长为：， 故答案为：． 【点拨】此题考查了翻折和平移变换的性质，解题的关键是要能够根据折叠和平移的性质得到对应的线段相等，从而求得阴影部分周长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$