精品解析：河南省许昌市襄城县2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

2024—2025学年第一学期期末教学质量检测 九年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 纹样是我国古代艺术中的瑰宝．下列四幅纹样图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：B． 2. 二次函数图象的顶点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【详解】根据抛物线，可以写出该抛物线的顶点坐标，从而可以得到顶点在第几象限． 解：， 顶点坐标为， 顶点在第二象限． 故选： ． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 3. 一元二次方程的解是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法求解即可． 【详解】解∶ ， ∴， ∴或， ∴，， 故选∶B． 4. 已知蓄电池两端电压 为定值，电流与成反比例函数关系．当时，，则当时，的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用待定系数法求出 的值，由此即可得． 【详解】解：由题意得：， ∵当时，， ， 解得， ， 则当时，， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数，熟练掌握待定系数法是解题关键． 5. 已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为4，则圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的侧面积展开图公式，解题的关键是掌握圆锥的侧面积的计算公式：圆锥的侧面积底面半径母线长． 【详解】解：， 故选：B． 6. 如图，点A的坐标是，将线段绕点O顺时针旋转，点A的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化旋转，全等三角形的判定和性质，熟知图形旋转的性质是解题的关键． 根据题意画出旋转后的图形，再结合全等三角形的判定与性质即可解决问题． 【详解】解：如图所示， 分别过点 和点 作 轴的垂线，垂足分别为和， 由旋转可知， ，， ， ． 在和中， ， ， ，． 点 的坐标为， ，， 点 的坐标为． 故选：B． 7. 如图，把一根长的竹竿斜靠在石坝旁，量出竿长处离地面的高度为，则石坝的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】证明，可得，即，即可求出结果． 【详解】解：过点B作，交的延长线于点 ， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即，解得，即石坝的高度为2.7m， 故选A． 【点睛】本题考查相似三角形的实际应用，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 8. 如图，在扇形中，，点 是的中点．过点 作交于点 ，过点 作，垂足为点 ．在扇形内随机选取一点，则点落在阴影部分的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是求不规则图形的面积，几何概率，根据阴影部分面积等于扇形的面积，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴四边形是矩形， ∴ ∴ ∵点 是的中点 ∴ ∴ ∴ ∴，， 点落在阴影部分的概率是 故选：B． 9. 陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”（ 图①）的形状示意图．是的一部分， 是的中点，连接，与弦交于点 ，连接 ，．已知cm，碗深，则的半径 为（ ） A. 13cm B. 16cm C. 17cm D. 26cm 【答案】A 【解析】 【分析】首先利用垂径定理的推论得出，，再设的半径 为，则．在中根据勾股定理列出方程，求出即可． 【详解】解： 是的一部分， 是的中点，， ，． 设的半径 为，则． 在中，， ， ， ， 即的半径 为． 故选：A． 【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理的应用，设的半径 为，列出关于的方程是解题的关键． 10. 如图，已知二次函数的图象与x轴相交于点，，则下列结论正确的个数是（ ） ① ② ③对任意实数m，均成立 ④若点，在抛物线上，则 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子的符号，由图象可得：抛物线开口向上，对称轴在轴左侧，交轴于负半轴，即可得出，，，从而求出，即可判断①；根据二次函数与 轴的交点得出二次函数的对称轴为直线，，，计算即可判断②；根据当 时，二次函数有最小值，即可判断③；根据即可判断④；熟练掌握二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图象可得：抛物线开口向上，对称轴在轴左侧，交轴于负半轴， ∴，，， ∴， ∴，故①正确； ∵二次函数的图象与x轴相交于点，， ∴二次函数的对称轴为直线，，， 由得：， ∵， ∴， ∴，即，故②错误； 当 时，二次函数有最小值， 由图象可得，对任意实数m，， ∴对任意实数m，均成立，故③正确； ∵点，在抛物线上，且， ∴，故④错误； 综上所述，正确的有①③，共个， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如图，该图形绕其中心旋转能与其自身完全重合，则其旋转角最小为_____度． 【答案】72 【解析】 【分析】本题考查了旋转对称图形，根据已知图形得出最小旋转角度数是解题关键．观察图形可得，图形由五个形状相同的部分组成，从而能计算出旋转角度． 【详解】解：解：图形可看作由一个基本图形旋转5次所组成，故最小旋转角为； 故答案为：72． 12. 若抛物线（ 是常数）与 轴没有交点，则 的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，掌握抛物线与x轴没有交点与没有实数根是解题的关键． 由抛物线与x轴没有交点，运用根的判别式列出关于c的一元一次不等式求解即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴没有交点， ∴没有实数根， ∴，． 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与交于两点，且点都在第一象限．若，则点 的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质以及勾股定理，完全平方公式的应用，先根据得出，设，则，结合完全平方公式的变形与应用得出，结合，则，即可作答． 【详解】解：如图：连接 ∵反比例函数的图象与交于两点，且 ∴ 设，则 ∵ ∴ 则 ∵点 在第一象限 ∴ 把代入得 ∴ 经检验：都是原方程的解 ∵ ∴ 故答案为： 14. 在平面直角坐标系中，点A的坐标是，以原点O为位似中心，把线段OA放大为原来的2倍，点A的对应点为．若点恰在某一反比例函数图象上，则该反比例函数的解析式为________． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用位似图形的性质以及结合A点坐标直接得出点A′的坐标．利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式． 【详解】∵以原点O为位似中心，将线段OA放大为原来的2倍，得到OA'，A（-2，1）， ∴点A的对应点A′的坐标是：（-4，2）或（4，-2）． 设反比例函数的解析式为()， ∴， ∴反比例函数的解析式为：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了位似变换、坐标与图形的性质以及待定系数法求反比例函数的解析式，正确把握位似图形的性质是解题关键． 15. 如图，在中，，， 是边上一点，且，点是的内心，的延长线交于点 ，是上一动点，连接、，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】在取点F，使，连接，，过点F作于H，利用三角形内心的定义可得出，利用证明，得出，则，当C、P、F三点共线时，最小，最小值为，利用含的直角三角形的性质求出，利用勾股定理求出，即可． 【详解】解：在取点F，使，连接，，过点F作于H， ∵I是的内心， ∴平分， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 当C、P、F三点共线时，最小，最小值为， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的内心，全等三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，勾股定理等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形和含的直角三角形是解题的关键． 三、解答题（共75分） 16. 如图，某同学学习物理《电流和电路》后设计了如图所示的电路图，其中分别表示四个可开闭的开关，“”表示小灯泡，“”表示电源．电源、小灯泡、开关和线路都能正常工作，当闭合开关中任意一个，再闭合开关时，小灯泡发光，按要求完成下列问题： （1）当开关闭合时，再随机闭合开关或或其中一个，小灯泡发光的概率为__________； （2）当随机闭合开关中的两个，请用画树状图或列表的方法求小灯泡发光的概率． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了画树状图或列表法求一个事件的概率． 当开关闭合时，再随机闭合开关或或中的任何一个都可以使小灯泡发光，所以小灯泡发光的的概率为； 列表可知随机闭合开关中的两个，共有种等可能出现的情况，只有闭合的开关中有时，可以使小灯泡发光，可以使小灯泡发光的情况有种情况，从而可求小灯泡发光的概率． 【小问1详解】 解：当开关闭合时，再随机闭合开关或或中的任何一个都可以使小灯泡发光， 小灯泡发光的的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表如下， 随机闭合开关中的两个，共有种等可能出现的情况， 只有闭合的开关中有时，可以使小灯泡发光， 可以使小灯泡发光的情况有种情况， 可以使小灯泡发光的概率为． 17. 已知关于 的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）当时，用配方法解方程． 【答案】（1）且 （2）， 【解析】 【分析】（1）根据题意，可得，注意一元二次方程的系数问题，即可解答， （2）将代入，利用配方法解方程即可． 【小问1详解】 解：依题意得：， 解得且； 【小问2详解】 解：当时，原方程变为：， 则有：， ， ， 方程的根为，． 【点睛】本题考查了根据根的情况判断参数，用配方法解一元二次方程，熟练利用配方法解一元二次方程是解题的关键． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． （1）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为； （2）将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后的，判断与，能否是关于某一点M为位似中心的位似图形？若是，请在图中画出位似中心M，并写出点M的坐标． 【答案】（1） 所作如图所示： （2）是，如图画出， M的坐标为 【解析】 【分析】本题主要考查了作图位似变换，平移变换，熟练掌握位似变换的性质是解题的关键． （1）根据位似变换的性质找出对应点，再顺次连接对应点，即可解题； （2）根据平移变换的性质画出，再根据位似中心的性质求解，即可解题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：与是关于某一点M为位似中心的位似图形，如图，M的坐标为． 19. 如图，将绕点A顺时针旋转得到，点B的对应点为D，点C的对应点为E． （1）作出旋转后的图形（尺规作图，保留作图痕迹）； （2）连接，若，请判断直线是否经过点E，并说明理由． 【答案】（1）如图，即为所求． （2） 直线经过点E．理由： 如图，连接， 根据作图可知：， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴点B，C，E在一条直线上， ∴直线经过点E． 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转作图，等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握等边三角形的性质． （1）先分别以点A，C为圆心，线段的长为半径画弧，两弧交于点E，再以点E为半径画弧，以点A为圆心，为半径画弧，两弧交于点D，连接即可； （2）先证明为等边三角形，得出，根据，得出，说明点B，C，E在一条直线上，即可得出结论． 【小问1详解】 解：先分别以点A，C为圆心，线段的长为半径画弧，两弧交于点E，再以点E为半径画弧，以点A为圆心，为半径画弧，两弧交于点D，连接，则即为所求． 【小问2详解】 略 20. 如图，直线 与相切于点 ，为的直径，过点 作于点 ，延长交直线 于点 ． （1）求证：平分； （2）如果，，求的半径． 【答案】（1） 证明：如图，连接． ∵直线 与相切于点 ， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，即平分； （2）4 【解析】 【分析】（1）连接，根据切线的性质可得出，结合题意可证，即得出，再根据等边对等角可得出，即得出，即平分； （2）设的半径为r，则，．再根据勾股定理可列出关于r的等式，求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设的半径为r，则，． 在中，， ∴， 解得：， ∴的半径为4． 【点睛】本题考查切线的性质，等腰三角形的性质，同圆半径相等，平行线的判定和性质，角平分线的判定，勾股定理等知识．连接常用的辅助线是解题关键． 21. 如图，是的外接圆，，是的直径，作直线，使，并与的延长线交于点E （1）求证：是的切线； （2）当，时，求的长 【答案】（1） 证明：是的直径， ， ， ， ， ， ， ， 即， 是的直径， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）由圆周角定理及推论证出，进而即可得证； （2）由勾股定理得出，然后再证，得出，进而代入求值即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，，，， 由勾股定理得，， ， 为的直径， 是的直径， ，， 由勾股定理得，， 由（1）知， ， 又为公共角， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理及推论，切线的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质解决此题的关键． 22. 已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点 是线段 上（不与点A重合）的一点． （1）求反比例函数的表达式； （2）如图1，过点 作轴的垂线与的图象交于点 ，当线段时，求点 的坐标； （3）如图2，将点A绕点 顺时针旋转得到点 ，当点 恰好落在的图象上时，求点 的坐标． 【答案】（1）； （2）； （3）点． 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数关系式是关键． （1）待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）设点，那么点，利用反比例函数图象上点的坐标特征解出点B的坐标即可； （3）过点 作轴，过点 作于点 ，过点 作于点，可得，则设点，得到点，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出n值，继而得到点E坐标． 【小问1详解】 解：将代入得， ， 将代入得，解得， 反比例函数表达式为， 【小问2详解】 解：如图，设点，那么点， 由可得， 所以， 解得（舍）， ; 【小问3详解】 解：如图，过点 作轴，过点 作于点 ，过点 作于点， ， 点 绕点 顺时针旋转， ， ， ， ， 设点， 点， ， 解得， 点或（舍），此时点． 23. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过原点和点．经过点 的直线与该二次函数图象交于点，与轴交于点 ． （1）求二次函数的解析式及点 的坐标； （2）点是二次函数图象上的一个动点，当点在直线上方时，过点作轴于点 ，与直线交于点 ，设点的横坐标为 ． ① 为何值时线段的长度最大，并求出最大值； ②是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）①当时，有最大值为；②当P的坐标为或时，与相似 【解析】 【分析】（1）把，，代入求解即可，利用待定系数法求出直线解析式，然后令，求出y，即可求出C的坐标； （2）①根据P、D的坐标求出，然后根据二次函数的性质求解即可； ②先利用等边对等角，平行线的判定与性质等求出，然后分，两种情况讨论过，利用相似三角形的性质、等腰三角形的判定与性质等求解即可． 【小问1详解】 解：把，，代入， 得， 解得， ∴二次函数的解析式为， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴直线解析式为， 当时，， ∴； 【小问2详解】 解：①设，则， ∴ ， ∴当时，有最大值为； ②∵，， ∴， 又， ∴， 又轴， ∴轴， ∴， 当时，如图， ∴， ∴轴， ∴P的纵坐标为3， 把代入，得， 解得，， ∴， ∴， ∴P的坐标为； 当时，如图，过B作于F， 则，， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴P的坐标为 综上，当P的坐标为或时，与相似． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数、一次函数解析式，二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，合理分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年第一学期期末教学质量检测 九年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 纹样是我国古代艺术中的瑰宝．下列四幅纹样图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 二次函数图象的顶点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 一元二次方程的解是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 已知蓄电池两端电压 为定值，电流与成反比例函数关系．当时，，则当时，的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为4，则圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点A的坐标是，将线段绕点O顺时针旋转，点A的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，把一根长的竹竿斜靠在石坝旁，量出竿长处离地面的高度为，则石坝的高度为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在扇形中，，点 是的中点．过点 作交于点 ，过点 作，垂足为点 ．在扇形内随机选取一点 ，则点 落在阴影部分的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”（ 图①）的形状示意图．是的一部分， 是的中点，连接，与弦交于点 ，连接 ，．已知cm，碗深，则的半径 为（ ） A. 13cm B. 16cm C. 17cm D. 26cm 10. 如图，已知二次函数的图象与x轴相交于点，，则下列结论正确的个数是（ ） ① ② ③对任意实数m，均成立 ④若点，在抛物线上，则 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如图，该图形绕其中心旋转能与其自身完全重合，则其旋转角最小为_____度． 12. 若抛物线（ 是常数）与 轴没有交点，则 的取值范围是________． 13. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与交于两点，且点都在第一象限．若，则点 的坐标为______． 14. 在平面直角坐标系中，点A的坐标是，以原点O为位似中心，把线段OA放大为原来的2倍，点A的对应点为．若点恰在某一反比例函数图象上，则该反比例函数的解析式为________． 15. 如图，在中，，， 是边上一点，且，点是的内心，的延长线交于点 ， 是上一动点，连接、，则的最小值为________． 三、解答题（共75分） 16. 如图，某同学学习物理《电流和电路》后设计了如图所示的电路图，其中分别表示四个可开闭的开关，“”表示小灯泡，“”表示电源．电源、小灯泡、开关和线路都能正常工作，当闭合开关中任意一个，再闭合开关时，小灯泡发光，按要求完成下列问题： （1）当开关闭合时，再随机闭合开关或或其中一个，小灯泡发光的概率为__________； （2）当随机闭合开关中的两个，请用画树状图或列表的方法求小灯泡发光的概率． 17. 已知关于 的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）当 时，用配方法解方程． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． （1）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为； （2）将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后的，判断与，能否是关于某一点M为位似中心的位似图形？若是，请在图中画出位似中心M，并写出点M的坐标． 19. 如图，将绕点A顺时针旋转得到，点B的对应点为D，点C的对应点为E． （1）作出旋转后的图形（尺规作图，保留作图痕迹）； （2）连接，若，请判断直线是否经过点E，并说明理由． 20. 如图，直线 与相切于点 ，为的直径，过点 作于点 ，延长交直线 于点 ． （1）求证：平分； （2）如果，，求的半径． 21. 如图，是的外接圆，，是的直径，作直线，使，并与的延长线交于点E （1）求证：是的切线； （2）当，时，求的长 22. 已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点 是线段 上（不与点A重合）的一点． （1）求反比例函数的表达式； （2）如图1，过点 作 轴的垂线与的图象交于点 ，当线段时，求点 的坐标； （3）如图2，将点A绕点 顺时针旋转得到点 ，当点 恰好落在的图象上时，求点 的坐标． 23. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过原点和点．经过点 的直线与该二次函数图象交于点，与 轴交于点 ． （1）求二次函数的解析式及点 的坐标； （2）点 是二次函数图象上的一个动点，当点 在直线上方时，过点 作轴于点 ，与直线交于点 ，设点 的横坐标为 ． ① 为何值时线段的长度最大，并求出最大值； ②是否存在点 ，使得与相似．若存在，请求出点 坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $