6.3 课时4 平面向量数量积的坐标表示学案-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.3 课时4 平面向量数量积的坐标表示 【学习目标】 1.掌握平面向量数量积的坐标表示.(逻辑推理) 2.能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题.(数学运算) 【自主预习】 1.用语言叙述平面向量数量积的坐标表示. 2.如何用坐标表示向量的模、夹角和垂直关系? 1.(原创)判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若a=(m,0),则|a|=m. ( ) (2)已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b⇔x1x2-y1y2=0.( ) (3)若a·b≠0,则a与b不垂直. ( ) (4)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),则a·b=-2. ( ) 2.设a=(1,-2),b=(3,1),c=(-1,1),则(a+b)·(a-c)等于( ). A.11 B.5 C.-14 D.10 3.已知向量a=(x,1),b=(1,-2),且a⊥b,则|a+b|等于( ). A. B. C.2 D.10 4.已知向量=(4,0),=(2,2),则与的夹角的大小为 .  【合作探究】 　平面向量数量积的坐标表示 已知两个向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),类比向量数乘的坐标表示,探究平面向量数量积的坐标表示. 问题1:若i,j是两个互相垂直且分别与x轴、y轴同向的单位向量,则a,b如何用i,j表示? 问题2:能否用a,b的坐标表示a·b?怎样表示? 问题3:若a,b是非零向量,则a⊥b怎样用坐标表示呢?请用精练的语言总结. 问题4:怎样用坐标表示a∥b呢?请用精练的语言总结. 　　设非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2). 数量积 a·b=x1x2+y1y2 向量垂直 a⊥b⇔x1x2+y1y2=0 一、数量积的坐标运算 已知a=(2,-1),b=(1,-1),则(a+2b)·(a-3b)=( ). A.10 B.-10 C.3 D.-3 【方法总结】在进行数量积运算时,要正确使用公式a·b=x1x2+y1y2,并能灵活运用以下几个关系: (1)|a|2=a·a; (2)(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2; (3)(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2. 已知向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a等于( ). A.-1 B.0 C.1 D.2 二、平面向量的垂直问题 设向量m=(2x-1,3),向量n=(1,-1),若m⊥n,则实数x的值为( ). A.-1 B.1 C.2 D.3 【方法总结】用向量数量积的坐标表示解决垂直问题是把垂直条件代数化,方法更简捷,运算更直接,体现了向量问题代数化的思想. (2023年新高考全国Ⅰ卷)已知向量a=(1,1),b=(1,-1),若(a+λb)⊥(a+μb),则( ). A.λ+μ=1 B.λ+μ=-1 C.λμ=1 D.λμ=-1 　平面向量的模和夹角 问题1:若把表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别设为(x1,y1),(x2,y2),如何求a的坐标?|a|怎么用坐标表示? 问题2:设a,b都是非零向量,a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ是向量a,b的夹角,则cos θ如何用坐标表示? 问题3:已知非零向量a=(x,y),则与a共线的单位向量的坐标是什么?与a垂直的单位向量的坐标是什么? 1.向量模的公式 若a=(x,y),则|a|2=x2+y2,或|a|=. 2.两点间的距离公式 如果表示向量a的有向线段的起点和终点分别为(x1,y1),(x2,y2),那么a=(x2-x1,y2-y1),|a|=. 3.向量的夹角公式 设两非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ,则cos θ==. 一、向量的模 已知平面向量a=(3,5),b=(-2,1),求a-2b及其模的大小. 【方法总结】 求向量的模的两种基本策略 (1)字母表示下的运算:利用|a|2=a2,将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题. (2)坐标表示下的运算:若a=(x,y),则a·a=a2=|a|2=x2+y2,于是有|a|=. 已知向量a=(2,1),a·b=10,|a+b|=5,则|b|等于( ). A. B. C.5 D.25 二、向量的夹角 已知O是坐标原点,点A(-2,4),B(1,a),若∠ABO为钝角,则a的取值范围是( ). A.(1,2) B.(-∞,1)∪(2,+∞) C.(1,3) D.(-∞,1)∪(3,+∞) 【方法总结】利用向量法求夹角的方法技巧 (1)若a,b都是非零向量,a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ是a与b的夹角,利用公式cos θ==(2)非零向量a与b的夹角θ与向量的数量积的关系: ①若θ为直角,则充要条件为a⊥b,转化为a·b=0⇔x1x2+y1y2=0; ②若θ为锐角,则充要条件为a·b>0,且a与b的夹角不能为0(即a与b的方向不能相同); ③若θ为钝角,则充要条件为a·b<0,且a与b的夹角不能为π(即a与b的方向不能相反).,当向量的夹角为特殊角时,再求出这个角. 已知a=(1,-1),b=(λ,1),若a与b的夹角α为钝角,求实数λ的取值范围. 【随堂检测】 1.已知向量a=(2,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a=( ). A.6 B.5 C.1 D.-6 2.若向量a=(4,3-m),b=(1,m)的夹角为锐角,则实数m的取值范围是( ). A.-1,∪,4 B.(-1,4) C.-4,∪,1 D.(-4,1) 3.已知向量a,b满足|a|=5,b=(3,4),a·b=0,则|a-b|= .  4.已知a=(4,3),b=(-1,2). (1)求a与b的夹角的余弦值; (2)若(a-λb)⊥(2a+b),求实数λ的值. 参考答案 课时4　平面向量数量积的坐标表示 自主预习·悟新知 预学忆思 1.两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. 2.(1)若a=(x,y),则|a|=; (2)设两非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ,则cos θ==, 若a⊥b,则x1x2+y1y2=0. 自学检测 1.(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2.A　【解析】由题意得a+b=(4,-1),a-c=(2,-3),所以(a+b)·(a-c)=4×2+(-1)×(-3)=11.故选A. 3.B　【解析】由题意得a·b=x×1+1×(-2)=x-2=0,解得x=2, 由a+b=(x+1,-1)=(3,-1),可得|a+b|=. 4.90°　【解析】因为=-=(2,2)-(4,0)=(-2,2),所以·=2×(-2)+2×2=0,所以⊥,即与的夹角为90°. 合作探究·提素养 探究1　情境设置 问题1:a=x1i+y1j,b=x2i+y2j. 问题2:能,a·b=(x1i+y1j)·(x2i+y2j) =x1x2i2+(x1y2+x2y1)i·j+y1y2j2 =x1x2+y1y2. 问题3:a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0,对应的坐标相乘之和为0. 问题4:a∥b(b≠0)⇔x1y2-x2y1=0,坐标交叉相乘之差为0. 新知运用 例1　B　【解析】由题意得a+2b=(4,-3),a-3b=(-1,2),所以(a+2b)·(a-3b)=4×(-1)+(-3)×2=-10. 巩固训练　C　【解析】因为a=(1,-1),b=(-1,2), 所以2a+b=2(1,-1)+(-1,2)=(1,0), 则(2a+b)·a=(1,0)·(1,-1)=1. 例2　C　【解析】因为向量m=(2x-1,3),向量n=(1,-1),m⊥n, 所以m·n=(2x-1)×1+3×(-1)=2x-1-3=0,解得x=2. 巩固训练　D　【解析】因为a=(1,1),b=(1,-1),所以a+λb=(1+λ,1-λ),a+μb=(1+μ,1-μ).因为(a+λb)⊥(a+μb),所以(a+λb)·(a+μb)=0,所以(1+λ)(1+μ)+(1-λ)(1-μ)=0,整理得λμ=-1.故选D. 探究2　情境设置 问题1:a=(x2-x1,y2-y1), |a|=. 问题2:cos θ==. 问题3:设与a共线的单位向量为a0,则a0=±a=±=±,其中正号、负号分别表示与a同向、反向. 易知b=(-y,x)和a=(x,y)垂直,所以与a垂直的单位向量b0的坐标为±,. 新知运用 例3　【解析】∵a=(3,5),b=(-2,1), ∴a-2b=(3,5)-2(-2,1)=(3+4,5-2)=(7,3), ∴|a-2b|==. 巩固训练　C　【解析】∵a=(2,1),∴a2=5, 又|a+b|=5, ∴(a+b)2=50, 即a2+2a·b+b2=50, ∴5+2×10+b2=50, ∴b2=25, ∴|b|=5. 例4　C　【解析】由题意得,=(-3,4-a),=(-1,-a), 则·=(-3,4-a)·(-1,-a)=3-4a+a2<0,解得1<a<3, 且与不共线,即3a+4-a≠0,解得a≠-2, 综上,a∈(1,3),故选C. 巩固训练　【解析】∵a=(1,-1),b=(λ,1), ∴|a|=,|b|=,a·b=λ-1. 又∵a,b的夹角α为钝角, ∴即 解得λ<1且λ≠-1. ∴实数λ的取值范围是(-∞,-1)∪(-1,1). 随堂检测·精评价 1.A　【解析】由题意知2a+b=(3,0),则(2a+b)·a=(3,0)·(2,-1)=6,故选A. 2.A　【解析】因为向量a=(4,3-m),b=(1,m)的夹角为锐角,所以a·b>0⇒m2-3m-4<0⇒-1<m<4,且a,b不共线,即3-m≠4m⇒m≠. 综上可知,实数m的取值范围是-1,∪,4. 3.5　【解析】因为|a|=5,b=(3,4),所以b2=32+42=25, 又因为a·b=0,所以(a-b)2=a2-2a·b+b2=25-2×0+25=50, 所以|a-b|=5. 4.【解析】(1)∵a·b=4×(-1)+3×2=2, |a|==5,|b|==, ∴cos<a,b>===. (2)∵a-λb=(4+λ,3-2λ),2a+b=(7,8), (a-λb)⊥(2a+b), ∴(a-λb)·(2a+b)=7(4+λ)+8(3-2λ)=0, 解得λ=. 学科网（北京）股份有限公司 $$